中考数学考点大串讲（北师大版）：专题03 概率的进一步认识（基础30题2种题型）（解析版）

专题03概率的进一步认识（基础30题2种题型）一、用树状图或表格求概率1．（2023秋·全国·九年级专题练习）某商场为吸引顾客设计了如图所示的自由转盘，当指针指向阴影部分时，该顾客可获奖品一份，那么该顾客获奖的概率为（）

A． B． C． D．【答案】D【分析】求得阴影部分所在扇形圆心角为在圆周角中所占的比即为所求的概率．【详解】解：因为，所以顾客获奖的概率为．故选：D．【点睛】本题考查了几何型概率，这是基础题．2．（2022·湖南株洲·株洲二中校考二模）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受众人喜爱，小亮从反扣在桌面上的一张“冰墩墩”和两张“雪容融”卡片（除了图案外，其余都相同）中，随机抽取两张卡片留作纪念，则他抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】（1）画出树状图，共有6个等可能的结果，抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的有4种结果，再由概率公式求解即可．【详解】解：两张正面印有雪容融图案的卡片分别记为A1、A2，正面印有冰墩墩图案的卡片记为B，根据题意画树状图如下：

共有6个等可能的结果，其中抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的有4种结果，∴抽取到一张“冰墩墩”和一张“雪容融”的概率为，故选：C．【点睛】本题考查了的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．3．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，飞镖游戏板中每一块小正方形除颜色外都相同．若某人向游戏板投掷飞镖一次（假设飞镖落在游戏板上），则飞镖落在阴影部分的概率是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据几何概率的求法：飞镖落在阴影部分的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．【详解】解：∵总面积为，其中阴影部分面积为，∴飞镖落在阴影部分的概率是．故选：C．【点睛】本题考查了几何概率的求法，解题的关键是根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件A；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件A发生的概率．4．（2023秋·浙江·九年级专题练习）工厂从三名男工人和两名女工人中，选出两人参加技能大赛，则这两名工人恰好都是男工人的概率为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】画树状图，共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如图：共有20种等可能的结果，这两名工人恰好都是男工人的结果有6种，∴这两名工人恰好都是男工人的概率为，故选：C．【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．5．（2023春·甘肃酒泉·七年级统考期末）一只小狗在如图的方砖上走来走去，最终停在阴影方砖上的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出阴影部分的面积与总面积的比，再根据停在阴影方砖上的概率等于阴影部分的面积与总面积的比，即可得出答案．【详解】解：阴影部分的面积占总面积的，最终停在阴影方砖上的概率是．故选：B．【点睛】此题考查了几何概率，用到的知识点为：概率=相应的面积与总面积之比，关键是求出阴影部分的面积占总面积的比．6．（2023·河南新乡·校联考二模）将一枚飞镖任意投掷到如图所示的正六边形镖盘上（小正六边形的边长是大正六边形边长的），若飞镖落在镖盘上各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】图示可看出，小等边三角形与大等边三角形是相似三角形，利用小等边三角形与大等边三角形的面积之比等于相似比的平方可得出，小正六边形的面积等于大正六边形面积的四分之一，从而得出飞镖落在阴影区域的概率为四分之一．【详解】如下图．

∵小正六边形的边长是大正六边形边长的，即由知，，∴∴阴影区域（小正六边形）的面积等于大正六边形面积的．∴将一枚飞镖任意投掷到镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为．故选C．【点睛】本题考查了几何概率，利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方是解题的关键．7．（2023秋·河北邢台·九年级校联考期末）一个小球在如图所示的地板上自由滚动，并随机停在某块方砖上．如果每一块方砖除颜色外完全相同，那么小球最终停留在白砖上的概率是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】根据几何概率的求法：最终停留在白色的方砖上的概率就是白色区域的面积与总面积的比值．【详解】解：观察这个图可知：白色区域（4块）的面积占总面积（9块）的，则它最终停留在白砖上的概率是．故选：B．【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件（A）发生的概率．8．（2023春·江苏常州·八年级校考期中）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红球的概率为．【答案】【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：

共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，∴两次摸出的球都是红球的概率为，故答案为：．【点睛】本题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题的关键是要注意此题是放回试验还是不放回试验．9.（2023秋·全国·九年级专题练习）一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上，每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是．

【答案】【分析】根据题意可得：图中共有10块大小相同的小方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于5块小方格地砖的面积，根据及几何概率的求解方法解答即可．【详解】解：根据题意可得：图中共有10块大小相同的小方格地砖，其中黑色区域的面积恰好等于5块小方格地砖的面积，所以该小球停留在黑色区域的概率；故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率，弄清黑色区域的面积与图形总面积间的关系是解题的关键．10．（2023秋·浙江·九年级专题练习）如图，正方形纸板中每一块小正方形除颜色外其他都相同，在该图形中随机撒一粒黄豆，则黄豆落在阴影部分的概率是．

【答案】【分析】先求出阴影部分的面积，计算阴影部分占正方形纸板总面积的比例即可得出答案．【详解】解：令小正方形的边长为1，则每个正方形的面积都为1，总面积为，图中含阴影部分有7个小正方形，其中有6个小正方形的阴影部分只有一半，阴影部分面积为，∴黄豆落在阴影部分的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了几何概率，用A表示试验结果落在阴影部分这个事件，那么事件A发生的概率=阴影部分的面积与总面积之比，掌握几何概率的求法是解题关键．11．（2023春·山东德州·八年级统考期末）2011年，夏津县被评为“中国椹果之乡”将分别标有“椹”、“果”、“之”、“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其它差别，每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球不放回；再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“椹果”的概率是．【答案】【分析】列表得出所有等可能的情况数，找出能组成“椹果”的情况数，即可求出所求的概率．【详解】解：列表得：椹果之乡椹---果椹之椹乡椹果椹果---之果乡果之椹之果之---乡之乡椹乡果乡之乡---∵12种可能的结果中，能组成“椹果”有2种可能，共2种，∴两次摸出的球上的汉字能组成“椹果”的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率．12．（2023秋·全国·九年级专题练习）如图，以正方形边长为直径做半圆，形成如下图形，若将飞镖随机投掷到正方形镖盘面上，则飞镖落在黑色区域的概率是．

【答案】/【分析】如图，连接，相交于点O，根据正方形被分成四等分，飞镖落在每个区域的机会是均等的，即可得到飞镖落在黑色区域的概率．【详解】解：如图，连接，相交于点O，

∵正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，∴正方形被分成四个全等的等腰直角三角形，黑色区域的面积正好等于两个等腰直角三角形的面积，即黑色区域占了正方形面积的,∵飞镖落在每个区域的机会是均等的，∴飞镖落在黑色区域的概率是，故答案为：【点睛】此题考查了几何概率，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．13．（2023·辽宁阜新·阜新实验中学校考一模）有两个袋子，装着形状、大小相同的小球，其中甲袋有红球2个、白球1个，乙袋有红球1个、白球1个，从两个袋中各随机摸出一个球，两个都是红球的概率是．【答案】【分析】画树状图，共6种等可能的结果，其中两个都是红球的结果有2种，再由概率公式求解即可．【详解】解：画树状图如下：

共6种等可能的结果，其中两个都是红球的结果有2种，两个都是红球的概率是，故答案为：．【点睛】本题考查的是树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．14．（2023·全国·九年级专题练习）如图是一个转盘，转盘上共有红、黄、蓝三种不同颜色的区域，已知红色区域的圆心角为，黄色区域的圆心角为，自由转动转盘，指针落在蓝色区域的概率是．

【答案】【分析】求出蓝色区域对应的圆心角，再利用概率公式计算．【详解】解：（指针落在蓝色区域），故答案为：．【点睛】本题主要考查了几何概率的计算方法，在解题时能够计算出蓝色区域对应的圆心角是本题的关键．15．（2023秋·九年级课时练习）在创建“文明校园”的活动中，班级决定从四名同学（两名男生，两名女生）中随机抽取两名同学担任本周的值周长，用画树状图法求抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率．【答案】，过程见解析【分析】运用画树状图法将所有等可能结果表示出来，再根据概率的计算方法即可求解．【详解】解：两名男生表示为男，男，两名女生表示为女，女，抽取过程如图所示，

共有种等可能结果，其中抽到一男一女的结果有种，∴抽取的两名同学恰好是一名男生和一名女生的概率是．【点睛】本题主要考查运用画树状图法求随机事件的概率，掌握其运用是解题的关键．16．（2023秋·九年级课时练习）一个小球在如图所示的地面上随意滚动，小球“停在阴影方块上”与“停在白色方块上”的可能性哪个大？（方块的大小、质地均相同）【答案】停在白色方块上的可能性大【分析】根据概率公式直接计算即可．【详解】解：图中共有9个阴影方块，15个白色方块，故P（小球停在阴影方块上），P（小球停在白色方块上），∵，∴小球停在白色方块上的可能性大．【点睛】本题考查几何概率，以及事件发生可能性的大小，掌握几何概率的计算方法是解题的关键．17．（2023春·吉林松原·九年级校联考阶段练习）某校举行了某学科实验操作考试，有四个实验，规定每位学生只参加其中一个实验的考试，并由学生自己抽签决定具体的考试实验．小张、小厉都参加了本次考试．用画树状图或列表的方法求小张、小厉抽到同一个实验的概率．【答案】【分析】运用画树状图法求概率的计算方法即可求解．【详解】解：画树状图如图，

由树状图知共有种可能的结果，其中小张、小厉抽到同一个实验的结果有种，小张、小厉抽到同一个实验的概率．【点睛】本题主要考查运用列表法或画树状图法求随机事件的概率，掌握以上知识是解题的关键．18．（2023·广东梅州·统考二模）已知代数式．(1)化简代数式；(2)在满足的整数中随机抽取1个代入代数式中，求不会使得代数式无意义的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算即可解答；（2）先求出满足的整数，再求出分式有意义的条件即可解答．【详解】（1）解：；（2）解：在区间上的整数有，，0，1，2,共个，由（1）得，分式有意义的条件为：且，即可取0,1，∴不会使得代数式无意义的概率为．【点睛】本题考查了分式的运算法则，分式有意义的条件及列举法求概率，解题的关键是熟练掌握以上知识点并保持计算准确．19．（2023秋·浙江·九年级专题练习）临近毕业，甲、乙、丙三人相约去餐馆聚餐，丙先到达餐馆，选了一张方桌坐在如图所示的座位上，甲到达餐馆后，从座位①、②、③中随机选择一个坐下，乙到达餐馆后，从剩下的座位中再随机选择一个坐下．

(1)甲坐在①号座位上的概率是______．(2)用列表法或画树状图的方法，求甲、乙两人恰好相邻而坐的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据随机事件的特点即可求解；（2）按照座位画出树状图或列表即可求解．【详解】（1）解：因为甲、乙、丙三人坐在①号座位上的概率相同故甲坐在①号座位上的概率是：（2）解：画树状图如下∶

由图可得共有6种等可能的结果，甲、乙两人恰好相邻而坐的有4种，所以甲、乙两人恰好相邻而坐的概率为【点睛】本题考查概率的相关知识点．掌握列表法和画树状图是求解概率的关键．20．（2023秋·云南昆明·九年级昆明市第一中学西山学校校考阶段练习）如图，是由转盘和箭头组成的两个装置，装置A，B的转盘分别被分成四、三个面积相等的扇形，装置A上的数字分别是1，2，3，4，装置B上的数字分别是3，4，5，这两个装置除了表面数字不同外，其它构造完全相同．现在分别同时用力转动A，B两个转盘．(1)A转盘指向偶数的概率是．(2)请用列表法或画树状图的方法，求A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率．【答案】(1)(2)【分析】（1）直接根据概率公式求解即可；（2）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．【详解】（1）解：A转盘指向偶数的概率是．故答案为：；（2）列表如下：1234345674567856789由上图可得出所有等可能的结果有12种，其中A、B转盘指向的数字之和不小于6的情况有9种，则A、B转盘指向的数字之和不小于6的概率是．【点睛】此题考查了用树状图或列表法求概率，还用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，熟练掌握树状图或列表法是解题的关键．21．（2023·陕西渭南·统考二模）近年来，西安充分挖掘传统文化，不断推陈出新，着力打造文化旅游“金字招牌”，将文化底蕴和流行时尚元素融合，设计出了众多的爆款文创产品．小华在西安旅游时购买了四件文创产品：A．唐妞徽章领针，B．不倒翁小姐姐摆件，C．华清宫彩色金属书签，D．秦将军兵马俑手办．她想让好友晶晶和萱萱分别选一件作为礼物．每件都很精美，一时之间不知如何选择，于是她用抓阄的方式来确定礼物的归属，将分别写有A、B、C、D的四张纸片（上面的字母分别代表对应的文创产品），折叠成外表完全一样的纸团搅匀，她先让晶晶从这4个纸团中随机抽取一个，搅匀后，再让从剩下的3个纸团中随机抽取一个．

(1)晶晶抽到华清宫彩色金属书签的概率是___________；(2)利用画树状图或列表法求晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的概率．【答案】(1)(2)晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的概率为【分析】（1）共有四件文创产品，晶晶抽到华清宫彩色金属书签的概率即为；（2）利用列表法把所有可能出现的结果列举出来，进而求出晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的概率．【详解】（1）解：共有四件文创产品，晶晶抽到华清宫彩色金属书签的概率即为；（2）解：根据题意列表，所有可能出现的结果如下：

共有12种可能出现的结果，每种情况可能性相等，其中晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针，即包括的结果有6种，所以晶晶和萱萱有一人抽到唐妞徽章领针的概率为．【点睛】本题考查了利用画树状图或列表法求随机事件的概率，正确列表或树状图是解题的关键．二、用频率估计概率22．（2023秋·陕西西安·九年级西安行知中学校联考阶段练习）一个黑色不透明的袋子中装有若干个白球和红球，共计10个，这些球除颜色外都相同．将球搅匀，每次从中随机摸出一个球，记下颜色后放回、再搅匀、再摸球，通过大量重复摸球试验后，发现摸到白球的频率稳定于，由此可估计袋子中白球的个数约为（

）A．4 B．6 C．8 D．9【答案】A【分析】大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：根据题意得：（个），答：估计袋子中红球的个数约为4个；故选：A．【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解决本题的关键是掌握频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．23．（2023秋·九年级单元测试）下表显示的是某种大豆在相同条件下的发芽试验结果：每批粒数n100300400600100020003000发芽的粒数m9628238257094819042850发芽的频率0.960.9400.9550.950.9480.9520.95下面有三个推断：①当n为400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.855；②随着试验时大豆的粒数的增加，大豆发芽的频率总在0.95附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计大豆发芽的概率是0.95；③若大豆粒数n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为3800粒；其中推断合理的是（）A．①②③ B．①② C．①③ D．②③【答案】D【分析】根据表中信息，当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.950，由于试验次数较多，可以用频率估计概率．【详解】解：①当n＝400时，发芽的大豆粒数为382，发芽的频率为0.955，所以大豆发芽的概率是0.855，此推断错误；②根据上表当每批粒数足够大时，频率逐渐接近于0.95，所以估计大豆发芽的概率是0.95，此推断正确；③若n为4000，估计大豆发芽的粒数大约为粒，此结论正确．故选：D．【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：频率=所求情况数与总情况数之比．24．（2023秋·九年级课时练习）某人在做抛掷硬币试验时，抛掷次，正面朝上的次数为，则正面朝上的频率为．下列说法正确的是（

）A．的值一定等于0.5 B．的值一定不等于0.5C．多投一次，的值更接近0.5 D．抛掷次数逐渐增加，的值稳定在0.5附近【答案】D【分析】在同样条件下，做大量的重复试验，利用一个随机事件发生的频率逐渐稳定到某个常数，可以估计这个事件发生的概率．【详解】解：抛掷硬币试验，正面朝上的概率为：随着抛掷次数的增加，正面朝上的频率会逐渐稳定附近故选：D【点睛】本题考查用频率估计概率．掌握相关结论是解题关键．25．（2021秋·陕西延安·九年级校考阶段练习）一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32，它的概率估计值是．（精确到0.01）【答案】0.32【分析】用频率估计概率即可．【详解】解：∵一个事件经过5000次试验，它的频率是0.32，∴它的概率估计值是0.32，故答案为：0.32．【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．26．（2023·山西太原·山西实验中学校考模拟预测）我省积极探索保障粮食安全，做强精品粮油，始终坚持“藏粮于地、藏粮于技”战略，稳定粮食面积，提升基础保障能力，增强科技支撑能力，牢牢把饭碗端在自己手中．某农科所在相同条件下做某种作物种子发芽率的试验，结果如下表所示：种子个数n10001500250040008000150002000030000发芽种子个数m8991365224536447272136801816027300发芽种子频率0.8990.9100.8980.9110.9090.9120.9080.910则该作物种子发芽的概率约为．（结果保留两位小数）【答案】0.91【分析】根据某农科所在相同条件下做某作物种子发芽率的试验表，可得大量重复试验发芽率逐渐稳定在左右．【详解】解：观察表格发现，随着实验次数的增多，种子发芽的频率逐渐稳定在附近，所以估计该作物种子发芽的概率约为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，解答此题的关键是判断出：大量重复试验发芽率逐渐稳定在左右．27．（2023春·辽宁锦州·七年级统考期末）苗圃技术人员对某种花苗移植的成活情况进行调查，将调查数据整理后结果如表所示：移植总数4007501500350060009000成活数3696621335320354308073成活的频率根据表中数据，估计这种花苗移植的成活概率为．（精确到）【答案】【分析】大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．【详解】解：由表格数据可得，随着样本数量不等增加，这种花苗种植成活的概率稳定在左右，故估计这种花苗移植的成活概率为，故答案为：．【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．28．（2023秋·浙江·九年级专题练习）（1）某射击运动员在同一条件下进行射击，结果如下表：射击总次数n101002005001000击中靶心次数m986168426849击中靶心频率m/n0.90.860.840.8520.849则这名运动员在此条件下击中靶心的概率大约是（精确到0.01）．（2）一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球共40个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，则这个袋中白球的个数最有可能是．

（3）如图，现有若干个边长相等的小等边三角形组成的图形，其中已经涂黑了3个小三角形（阴影部分表示）在空白的三角形中只涂黑一个小三角形，使整个图案成轴对称图形的概率是．

【答案】（1）（2）（3）【分析】（1）随着射击次数增多，击中靶心的频率越来越稳定，所以可以把击中靶心的频率作为击中靶心的概率值．（2）随着试验次数增多，摸到白球的频率越来越稳定，于是可以把摸到白球的频率作为摸到白球的概率，据此可求得白球的个数．（3）根据概率的计算公式求解即可．【详解】（1）随着射击次数增多，击中靶心的频率越来越稳定，所以可以把击中靶心的频率作为击中靶心的概率值，观察表格数据可知，击中靶心的概率大约是．故答案为：．（2）随着试验次数增多，摸到白球的频率越来越稳定，于是可以把摸到白球的频率作为摸到白球的概率，观察统计图可知，摸到白球的概率为，所以袋中白球的个数(个)．故答案为：．（3）只涂黑一个小三角形的所有可