九年级数学知识点【北师大版】：一元二次方程的根的代数式求值综合问题（培优强化30题）（解析版）

2022-2023学年九年级数学上学期复习备考高分秘籍（月考+期中+期末）【北师大版】专题2.3一元二次方程的根的代数式求值综合问题（培优强化30题）一．选择题（共10小题）1．（2022•启东市二模）若关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则一元二次方程a2（x+2）2+bx+2bA．2020 B．2021 C．2022 D．2023【分析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0，由于关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，则关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，于是可判断一元二次方程a2（x+2）2+bx+2【解析】一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b＝1变形为a（x+2）2+2b（x所以此方程可看作关于（x+2）的一元二次方程，因为关于x的一元二次方程ax2+2bx﹣2＝0的一个根是x＝2022，所以关于（x+2）的一元二次方程a（x+2）2+2b（x+2）﹣2＝0的一个根是x＝2022，即x+2＝2022，解得x＝2020，所以一元二次方程a2（x+2）2+bx+2b故选：A．2．（2022•茌平区一模）已知a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，则代数式2a2﹣6a﹣1的值为（）A．1 B．﹣2 C．﹣2或1 D．2【分析】先根据一元二次方程解的定义得到a2﹣3a＝1，再把2a2﹣6a﹣1变形为2（a2﹣3a）﹣1，然后利用整体代入的方法计算．【解析】∵a是方程x2﹣3x﹣1＝0的一个根，∴a2﹣3a﹣1＝0，∴a2﹣3a＝1，∴2a2﹣6a﹣1＝2（a2﹣3a）﹣1＝2×1﹣1＝1．故选：A．3．（2022•永康市模拟）已知a是方程2x2﹣3x﹣5＝0的一个解，则﹣4a2+6a的值为（）A．10 B．﹣10 C．2 D．﹣40【分析】把x＝a代入方程求得2a2﹣3a＝5，然后根据﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）即可求解．【解析】把x＝a代入方程得：2a2﹣3a﹣5＝0，则2a2﹣3a＝5，则﹣4a2+6a＝﹣2（2a2﹣3a）＝﹣10．故选：B．4．（2022•渭滨区一模）若关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，则m+n的值是（）A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1【分析】先根据一元二次方程解的定义得到4+2m+2n＝0，然后利用等式的性质可得到m+n的值．【解析】∵关于x的一元二次方程x2+mx+2n＝0有一个根是2，∴4+2m+2n＝0，∴2m+2n＝﹣4，∴m+n＝﹣2．故选：B．5．（2022•双峰县一模）若x＝0是关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0的解，则m的值为（）A．m＝±1 B．m＝0 C．m＝1 D．m＝﹣1【分析】先把x＝0代入一元二次方程得m2﹣1＝0，解方程得到m＝1或m＝﹣1，然后根据一元二次方程的定义确定m的值．【解析】把x＝0代入一元二次方程（m﹣1）x2+2x+m2﹣1＝0得m2﹣1＝0，解得m＝1或m＝﹣1，因为m﹣1≠0，所以m的值为﹣1．故选：D．6．（2022春•淄川区期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为2022，则方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有根为（）A．2022 B．2020 C．2019 D．2021【分析】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，设t＝x+1得到at2+bt+5＝0，利用at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022得到x+1＝2022，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5必有一根为x＝2021．【解析】由a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5得到a（x+1）2+b（x+1）+5＝0，对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5，设t＝x+1，所以at2+bt+5＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+5＝0（a≠0）有一根为x＝2022，所以at2+bt+5＝0有一个根为t＝2022，则x+1＝2022，解得x＝2021，所以一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）＝﹣5有一根为x＝2021．故选：D．7．（2021•东兴区校级三模）若关于x的方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）的解是x1＝﹣3，x2＝2，则方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是（）A．x1＝﹣6，x2＝﹣1 B．x1＝0，x2＝5 C．x1＝﹣3，x2＝5 D．x1＝﹣6，x2＝2【分析】用字母表示出原方程的解和要求解方程的解，根据代数式关系求解即可．【解析】解方程m（x+h）2+k＝0（m、h、k均为常数，m≠0）得，x＝﹣h±km∵此方程解是x1＝﹣3，x2＝2，∴﹣h−km=−3，﹣∵方程m（x+h﹣3）2+k＝0的解是x＝3﹣h±km∴x1＝3﹣3＝0，x2＝3+2＝5，故选：B．8．（2021秋•通城县月考）关于m的一元二次方程7nm2﹣n2m﹣2＝0的一个根为2，则n2+n﹣2的值是（）A．25 B．26 C．27 D．1【分析】把x＝2代入已知方程得到n+1n=27，再利用完全平方公式得到n2+n﹣2＝（n+【解析】把m＝2代入方程7nm2﹣n2m﹣2＝0，得47n﹣2n2﹣2＝0，∴n2﹣27n+1＝0，∴n﹣27+即n+1n=∴n2+n﹣2＝（n+1n）2﹣2＝（27）故选：B．9．（2021秋•长葛市期中）若关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，则一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有根为（）A．2019 B．2020 C．2021 D．2022【分析】对于一元二次方程a（x+1）2+b（x+1）+2＝0，设t＝x+1得到at2+bt+2＝0，利用at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021得到x+1＝2021，从而可判断一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根为x＝2020．【解析】对于一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2即a（x+1）2+b（x+1）+2＝0，设t＝x+1，所以at2+bt+2＝0，而关于x的一元二次方程ax2+bx+2＝0（a≠0）有一根为x＝2021，所以at2+bt+2＝0有一个根为t＝2021，则x+1＝2021，解得x＝2020，所以一元二次方程a（x+1）2+bx+b＝﹣2必有一根为x＝2020．故选：B．10．（2022春•沙坪坝区校级期末）关于x的多项式N＝x﹣1，M＝2x2﹣ax﹣2，a为任意实数，则下列结论中正确的有（）个．①若M•N中不含x2项，则a＝﹣2；②不论x取何值，总有M≥N；③若关于x的方程M＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则实数a的最小值为﹣8；④不论a取何值，关于x的方程（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解．A．1 B．2 C．3 D．4【分析】M•N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，M•N中不含x2项，则a+2＝0，可判断①正确；举反例可判断②错误；由t2+2t﹣3=a2，得a＝2（t+1）2﹣8，可判断③正确；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，即M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，分别求出Δ的值，可判断【解析】M•N＝（x﹣1）（2x2﹣ax﹣2）＝2x3﹣（a+2）x2+（a﹣2）x+2，若M•N中不含x2项，则a+2＝0，∴a＝﹣2，故①正确；当x＝0时，N＝﹣1，M＝﹣2，此时M＜N，故②错误；若关于x的方程2x2﹣ax﹣2＝0的两个解分别为x1＝t2，x2＝2t﹣3，则t2+2t﹣3=a∴a＝2（t+1）2﹣8，∴当t＝﹣1时，a的最小值是﹣8，故③正确；由（M+N）2﹣（M+N）＝6得（M+N﹣3）（M+N+2）＝0，∴M+N﹣3＝0或M+N+2＝0，由M+N﹣3＝0得2x2+（1﹣a）x﹣6＝0，Δ＝（1﹣a）2+48＞0，∴M+N﹣3＝0有两个不相同的实数根，由M+N+2＝0得2x2+（1﹣a）x﹣1＝0，Δ＝（1﹣a）2+8＞0，∴M+N+2＝0有两个不同的实数根，∴（M+N）2﹣（M+N）＝6始终有4个不相同的实数解，故④正确，∴正确的有①③④，共3个，故选：C．二．填空题（共10小题）11．（2022•成都模拟）若m是x2﹣2x﹣3＝0的一个实数根，则(m2【分析】将x＝m代入已知方程得到m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m；然后将其代入所求的代数式进行化简即可．【解析】依题意得：m2﹣2m﹣3＝0，∴m2﹣2m＝3，m2﹣m＝3+m，∴(＝3×＝3×1＝3．故答案是：3．12．（2021秋•曲靖期末）已知关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b的根为±3，那么关于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b的解【分析】根据关于x的一元二次方程12022x2+3=2x2+b【解析】∵关于x的一元二次方程12022∴关于y的一元二次方程12022（y2+1）+3＝2（y2+1）+b可得y2+1＝x2解得y＝﹣22和22．故答案为：﹣22和22．13．（2021秋•汉寿县期末）已知x＝2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，并且等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，则△ABC的周长为14．【分析】先根据一元二次方程的解的定义把x＝2代入方程求出m的值，得到原方程为x2﹣8x+12＝0，再解此方程得到x1＝2，x2＝6，然后根据三角形三边的关系得到△ABC的腰为6，底边为2，再计算三角形的周长．【解析】∵2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，∴把x＝2代入方程整理得：4﹣4m+3m＝0，∴解得m＝4，∴原方程为：x2﹣8x+12＝0，∴方程的两个根分别是2，6，又∵等腰三角形ABC的腰和底边长恰好是这个方程的两个根，∴若2是等腰三角形ABC的腰长，则2+2＝4＜6构不成三角形，∴等腰三角形ABC的腰长为6，底边长为2，∴三角形ABC的周长为：6+6+2＝14，故答案是：14．14．（2022春•闽清县期末）若m是方程x2﹣x﹣1＝0的一个根，则代数式m−1m的值是【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值；即用这个数代替未知数所得式子仍然成立；将m代入原方程即可求m−1【解析】把x＝m代入方程x2﹣x﹣1＝0可得：m2﹣m﹣1＝0，即m2﹣1＝m，∴m−1故答案为：1．15．（2021春•长兴县月考）已知下面三个关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2恰好有一个相同的实数根，则a+b+c的值为0．【分析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入3个方程得出a•t2+bt+c＝0，bt2+ct+a＝0，ct2+a•t+b＝0，3个方程相加即可得出（a+b+c）（t2+t+1）＝0，即可求出答案．【解析】设这个相同的实数根为t，把x＝t代入ax2+bx+c＝1，bx2+cx+a＝﹣3，cx2+ax+b＝2得：a•t2+bt+c＝1，bt2+ct+a＝﹣3，ct2+a•t+b＝2，相加得：（a+b+c）t2+（b+c+a）t+（a+b+c）＝0，（a+b+c）（t2+t+1）＝0，∵t2+t+1＝（t+12）2∴a+b+c＝0，故答案是：0．16．（2021秋•海淀区校级月考）已知a是x2+x﹣2＝0的根，则代数式（a2+a）（a−2a+【分析】先利用一元二次方程根的定义得到a2＝﹣a+2，a2+a＝2，再利用通分和整体代入的方法进行计算即可．【解析】∵a是x2+x﹣2＝0的根，∴a2+a﹣2＝0．∴a2﹣2＝﹣a，a2+a＝2．∴（a2+a）（a−2＝2×（a2＝2×（−a＝4．故答案是：4．17．（2021秋•宝山区校级期中）已知p、q是实数，有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，则q的最小值﹣2．【分析】由方程|x2+px+q|＝2得到x2+px+q﹣2＝0，x2+px+q+2＝0，根据判别式得到Δ1＝p2﹣4q+8，Δ2＝p2﹣4q﹣8，依此可Δ2＝0，Δ1＝16，可得p2﹣4q﹣8＝0，依此可求q的最小值．【解析】∵|x2+px+q|＝2，∴x2+px+q﹣2＝0①，x2+px+q+2＝0②，∴Δ1＝p2﹣4q+8，Δ2＝p2﹣4q﹣8，∴Δ1＞Δ2，∵有且只有三个不同的x值满足方程|x2+px+q|＝2，∴Δ2＝0，Δ1＝16，∴p2﹣4q﹣8＝0，∴q=14p当p＝0时，q的最小值﹣2．故答案为：﹣2．18．（2021秋•隆昌市校级月考）已知a是方程x2﹣2021x+1＝0的根，则2a2【分析】根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2021a+1＝0，即a2＝2021a﹣1，把a2＝2021a﹣1代入原式，化简得a+1a−2，再通分得到原式=a2+1【解析】∵a是方程x2﹣2021x+1＝0的根，∴a2﹣2021a+1＝0，∴a2＝2021a﹣1，∴2＝2（2021a﹣1）﹣4041a+＝a+1=a=2021a−1+1＝2021﹣2＝2019．故答案为：2019．19．（2021•上杭县模拟）我们知道，一元二次方程x2＝﹣1没有实数根，即不存在一个实数的平方等于﹣1．若我们规定一个新数“i”，使其满足i2＝﹣1（即方程x2＝﹣1有一个根为i），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，从而对于任意正整数n，我们可以得到i4n+1＝i4n•i＝i，同理可得i4n+2＝﹣1，i4n+3＝﹣i，i4n＝1．那么i+i2+i3+i4+…+i2020+i2021的值为i．【分析】根据i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，2021÷4＝505…1，进而得出i2021＝i1，进而求出即可．【解析】依题意有i1＝i，i2＝﹣1，i3＝i2•i＝（﹣1）•i＝﹣i，i4＝（i2）2＝（﹣1）2＝1，∵2021÷4＝505…1，∴原式＝i﹣1﹣i+1+…+i﹣1﹣i+1+i＝i．故答案为：i．20．（2021•汝阳县一模）已知实数a是一元二次方程x2﹣2016x+1＝0的根，求代数式a2﹣2015a−a2+1【分析】利用方程解的定义得到a2＝2016a﹣1，然后利用整体代入的方法计算代数式的值．【解析】∵a是方程x2﹣2016x+1＝0根，∴a2﹣2016a+1＝0，∴a2＝2016a﹣1，∴原式＝2016a﹣1﹣2015a−＝a﹣1﹣a＝﹣1．故答案是：﹣1．三．解答题（共10小题）21．（2022春•丰城市校级期末）已知a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根．求：（1）2a2﹣4040a﹣3的值；（2）代数式a2﹣2019a+2020【分析】（1）根据一元二次方程的解的定义得到a2﹣2020a+1＝0，则a2＝2020a﹣1，然后把a2＝2020a﹣1代入原式即可求解；（2）可化简得原式＝a+1【解析】（1）∵a是方程x2﹣2020x+1＝0的一个根，∴a2＝2020a﹣1，∴a2＝2020a﹣1，∴2a2﹣4040a﹣3＝2（2020a﹣1）﹣4040a﹣3＝4040a﹣2﹣4040a﹣3＝﹣5；（2）原式＝2020a﹣1﹣2019a+＝a+1=a=2020a−1+1＝2020﹣1＝2019．22．（2022•双峰县一模）先化简，再求值：(a−2aa+1)÷a2【分析】根据题意先解方程求出a﹣a2的值，然后把代数式化简，再把a﹣a2的值代入即可．【解析】∵a是方程x2∴a2﹣a−7∴a﹣a2=−(a−2a＝{a(a+1)−2aa+1}÷(a−1)=a2=a(a−1)a+1＝a﹣a2，∴代数式的值为−723．（2020秋•凤凰县校级期末）若方程x2+ax+b＝0和x2+bx+a＝0只有一个公共根，则（a+b）200的值是多少？【分析】设出公共根x0构造二元一次方程组，解出符合条件的公共根．【解析】设公共根为x0，则x0①﹣②，得（a﹣b）（x0﹣1）＝0，当a＝b时，两方程完全一样，不合题意；当x0＝1时，a+b＝﹣1，则（a+b）200＝1．答：（a+b）200的值是1．24．（2020春•湖州月考）若m是方程x2﹣2x﹣15＝0的一个根，求代数式(m+5−16【分析】先解一元二次方程，求出m的值，化简代数式后代入求值．【解析】∵x2﹣2x﹣15＝0，∴（x﹣5）（x+3）＝0．∴x＝5或x＝﹣3．由于m是方程的一个根，所以m＝5或﹣3．∵(m+5−=25−=(3+m)(3−m)＝﹣2（3+m）﹣2＝﹣6﹣2m﹣2．当m＝5时，原代数式无意义；当m＝﹣3时，原式＝﹣6﹣2×（﹣3）﹣2＝0﹣2＝﹣2．25．（2018秋•汉滨区期末）若a是方程x2﹣2018x+1＝0的一个根，求代数式a2﹣2019a+a【分析】先把x＝a代入方程，可得a2﹣2018a+1＝0，进而可得可知a2﹣2018a＝﹣1，进而可求a2﹣2019a＝﹣a﹣1，a2+1＝2018a，然后把a2﹣2019a与a2+1的值整体代入所求代数式求值即可．【解析】把x＝a代入方程，可得：a2﹣2018a+1＝0，所以a2﹣2018a＝﹣1，a2+1＝2018a，所以a2﹣2019a＝﹣a﹣1，所以a2﹣2019a+a2+12018=−a﹣1+2018a201826．（2022春•霍邱县期末）定义：若一个一元二次方程的“某一个根”是另一个一元二次方程的一个根，则称这两个方程为“友好方程”．已知关于x的一元二次方程x2＝3x与x2﹣2x+m﹣1＝0是“友好方程”，求m的值．【分析】首先解得第一个方程，然后利用友好方程的定义代入第二个方程求得m的值即可．【解析】x2＝3x，解得x1＝0，x2＝3，将x1＝0代入x2﹣2x+m﹣1＝0中，得m＝1；将x2＝3代入x2﹣2x+m﹣1＝0中，得m＝﹣2；所以m的值为1或﹣2．27．（2022春•建邺区期末）已知关于x的一元二次方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1（m为常数）．（1）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0的根，求m的值；（2）若它的一个实数根是关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0的根，求证：m+n≥﹣2．【分析】（1）先解一次方程得到x＝m+2，然后把x＝m+2代入一元二次方程得到（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，然后解关于m的方程即可；（2）先解一次方程得到x＝n+2，把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得到m＝n2+n﹣1，所以m+n＝n2+2n﹣1，利用配方法得到m+n＝（n+1）2﹣2，然后根据非负数的性质可得到结论．【解答】（1）解：解关于x的方程2（x﹣m）﹣4＝0得x＝m+2，把x＝m+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（m+2﹣1）（m+2﹣2）＝m+1，整理得m2＝1，解得m＝1或m＝﹣1；（2）证明：解关于x的方程2（x﹣n）﹣4＝0得x＝n+2，把x＝n+2代入方程（x﹣1）（x﹣2）＝m+1得（n+2﹣1）（n+2﹣2）＝m+1，整理得m＝n2+n﹣1，所以m+n＝n2+2n﹣1＝（n+1）2﹣2，因为（n+1）2≥0，所以m+n的最小值为﹣2．28．（2021秋•上思县期末）已知2是关于x的方程x2﹣2mx+3m＝0的一个根，而这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长．（1）求m的值；（2）求△ABC的周长．【分析】（1）直接把x＝2代入方程x2﹣2mx+3m＝0可求出m的值；（2）先解方程x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2，x2＝6，再利用三角形三边的关系确定等腰三角形的腰与底，然后计算它的周长．【解析】（1）把x＝2代入方程得4﹣4m+3m＝0，解得m＝4；（2）当m＝4时，原方程变为x2﹣8x+12＝0，解得x1＝2