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文档简介
第二十一章一元二次21.2.1配方法
学习目标-新课导入-新知探究-课堂小结-课堂训练第2课时用配方法解一元二次方程1.了解配方的概念.2.掌握用配方法解一元二次方程及解决有关问题.(重点)3.探索直接开平方法和配方法之间的区别和联系.(难点)
学习目标复习引入(1)9x2=1;(2)(x-2)2=2.2.下列方程能用直接开平方法来解吗?1.用直接开平方法解下列方程:(1)x2+6x+9=5;(2)x2+6x+4=0.把两题转化成(x+n)2=p(p≥0)的形式,再利用开平方法
新课导入问题1.你还记得吗?填一填下列完全平方公式.(1)a2+2ab+b2=(
)2;(2)a2-2ab+b2=(
)2.a+ba-b探究交流
新课导入问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立.(1)x2+4x+
=(x+
)2(2)x2-6x+
=(x-
)2(3)x2+8x+
=(x+
)2(4)x2-x+
=(x-
)2你发现了什么规律?222323424
新课导入二次项系数为1的完全平方式:
常数项等于一次项系数一半的平方.归纳总结:配方的方法想一想:x2+px+(
)2=(x+
)2
新知探究用配方法解方程怎样解方程:x2+6x+4=0(1)问题1
方程(1)怎样变成(x+n)2=p的形式呢?解:x2+6x+4=0
x2+6x=-4移项
x2+6x+9=-4+9两边都加上9二次项系数为1的完全平方式:
常数项等于一次项系数一半的平方.
新知探究利用上节课的知识,剩下的过程自己完成吧!方程配方的方法归纳:在方程两边都加上一次项系数一半的平方.注意是在二次项系数为1的前提下进行的.问题2
为什么在方程x2+6x=-4的两边加上9?加其他数行吗?不行,只有在方程两边加上一次项系数一半的平方,方程左边才能变成完成平方x2+2bx+b2的形式.
新知探究要点归纳:
像上面这样通过配成完全平方式来解一元二次方程,叫做配方法.1.配方法的定义2.配方法解方程的基本思路:把方程化为(x+n)2=p的形式,将一元二次方程降次,转化为一元一次方程求解.
新知探究例1
解下列方程:解:(1)移项,得x2-8x=-1,配方,得x2-8x+42=-1+42,(x-4)2=15由此可得即
新知探究方程的两根为配方,得由此可得二次项系数化为1,得解:移项,得2x2-3x=-1,即移项和二次项系数化为1这两个步骤能不能交换一下呢?
新知探究方程的两根为配方,得
因为实数的平方不会是负数,所以x取任何实数时,上式都不成立,所以原方程无实数根.解:移项,得二次项系数化为1,得即
新知探究思考1:用配方法解一元二次方程时,移项时要
注意些什么?思考2:用配方法解一元二次方程的一般步骤.移项时需注意改变符号.①移项,二次项系数化为1;②左边配成完全平方式;③左边写成完全平方形式;④降次;⑤解一次方程.
新知探究一般地,如果一个一元二次方程通过配方转化成
(x+n)2=p.①当p>0时,则,方程的两个根为②当p=0时,则(x+n)2=0,x+n=0,开平方得方程的两个根为
x1=x2=-n.③当p<0时,则方程(x+n)2=p无实数根.归纳总结:
新知探究例2.试用配方法说明:不论k取何实数,多项式k2-4k+5的值必定大于零.解:k2-4k+5=k2-4k+4+1=(k-2)2+1因为(k-2)2≥0,所以(k-2)2+1≥1.所以k2-4k+5的值必定大于零.配方法的应用
新知探究例3.若a,b,c为△ABC的三边长,且
试判断△ABC的形状.解:对原式配方,得
由代数式的性质可知所以,△ABC为直角三角形.
新知探究
大江东去浪淘尽,
千古风流数人物。
而立之年督东吴,
早逝英年两位数。
十位恰小个位三,
个位平方与寿符。
哪位学子算得快,
多少年华属周瑜?通过列方程,算出周瑜去世时的年龄.例4.读诗词解题:
新知探究解:设个位数字为x,十位数字为(x-3)x1=6,x2=5x2-11x=-30x2-11x+5.52=-30+5.52(x-5.5)2=0.25x-5.5=0.5,或x-5.5=-0.5
x2=10(x-3)+x∴这个两位数为36或25,∴周瑜去世的年龄为36岁.∵周瑜30岁还攻打过东吴,
新知探究配方法定义通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法.步骤一移常数项;二配方[配上];三写成(x+n)2=p(p≥0);
四直接开平方法解方程.特别提醒:在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式.应用求代数式的最值或证明
课堂小结1.解下列方程:(1)x2+4x-9=2x-11;(2)x(x+4)=8x+12;(3)4x2-6x-3=0;(4)3x2+6x-9=0.解:x2+2x+2=0,(x+1)2=-1.此方程无解;解:x2-4x-12=0,(x-2)2=16.x1=6,x2=-2;解:x2+2x-3=0,(x+1)2=4.x1=-3,x2=1.
课堂训练
课堂训练解:原式=2(x-
1)2+3当x=1时有最小值3解:原式=
-3(x-2)2-4当x=2时有最大值-42.应用配方法求最值.(1)2x2
-4x+5的最小值;(2)-3x2
+5x+1的最大值.3.已知a,b,c为△ABC的三边长,且
试判断△ABC的形状.解:对原式配方,得由代数式的性质可知所以,△ABC为等边三角形.
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