三角函数分析(戴立德)

普通高中课程标准实验教科书数学4

必修A版第一章三角函数

牡丹江市第十五中学戴立德1一、总体介绍

函数是刻画客观世界变化规律的数学模型，不同的变化规律应当用不同的函数来刻画。三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型，在数学和其他领域中具有重要作用，它是学生在高中阶段学习的又一类重要的基本初等函数。本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数Ⅰ的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。

2二、本章内容的地位作用31．通过本章的学习，学生可以加深对数学与实践关系的认识

三角函数是描述客观世界中周期变化规律的重要数学模型，周期变化现象在现实中大量存在，如音乐的旋律、波浪、昼夜的交替、潮汐、钟摆的运动、交流电等，这些现象都可以用三角函数来描述。实际上，三角函数的产生、发展与解决具有周期性变化规律的问题的需要密切相关。因此三角函数的学习能使学生加深认识数学与实践的紧密联系，体会数学的作用与价值，学习用数学的观点看待和处理日常生活以及其他学科的问题的方法。42．通过本章的学习，学生可以认识数学内容的联系性，学习数学研究的方法

本章中，学生将在数学1中学习函数概念与基本初等函数Ⅰ的基础上，学习三角函数及其基本性质，体会三角函数在解决具有周期变化规律的问题中的作用。三角函数与数学1中的函数概念有着特殊与一般的关系，三角函数的研究以一般函数概念及其研究方法为指导，同时三角函数的学习可以加深对函数概念的理解，提高用函数思想解决问题的能力，因此，在这部分教学中应贯穿函数的思想。同时，三角函数及其性质与圆及其性质有着直接的联系，三角函数的研究很好地体现了数形结合思想。在三角函数的研究中，借助单位圆进行几何直观是非常重要的手段，而且这也是使学生学会数形结合地思考和解决问题的好机会。

5三、教材编写中考虑的几个问题本章内容属于“传统内容”。与以往的教科书相比较，本章节在内容、要求以及处理方法上都有新的变化。61．以基本概念为主干内容贯穿本章，削枝强干，建立合理知识体系。“课标”设定的本章的学习目标是：通过实例，学习三角函数及其性质，体会三角函数在解决具有周期性变化规律的问题中的作用。根据上述学习目标，教科书的编写中，编者特别注意突出主干内容，强调模型思想、数形结合思想。本章突出了三角函数作为描述现实世界周期变化现象的数学模型这一本质。即通过现实世界的周期现象，在学生感受引入三角函数必要性的基础上，引出三角函数概念，研究三角函数的基本性质，并用三角函数的基础知识解决一些实际问题。突出强调主干，删除了任意角的余切、正割、余割，已知三角函数值求角以及反三角函数符号等内容；任意角、弧度制概念、同角三角函数的基本关系式、周期函数与最小正周期、三角函数的奇偶性等内容都降低了要求。72．强调联系，强调思想性，加强思维能力的培养在讨论三角函数及其性质时，经常提醒学生注意用数学1中获得的一般函数概念及其思想方法作指导。例如，教科书上有这样的话：“遇到一个新函数，非常自然的是画出它的图像，观察图像的形状，看看有没有特殊点，并借助于图像研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。特别的，三角函数具有‘周而复始’的特性到底应当如何描述？”这段话实际上是提示学生，在思考三角函数性质到底研究的是那些问题以及应当如何研究时，应当与自己在数学1中建立的关于函数性质的已有经验联系起来，这样从感情上让学生体会到数学是自然的，不是强加于人的，学生感受到联系的知识是最有用的，同时，很自然地以问题为核心，从思想方法上对学生的学习内容和方法水到渠成的引导到位。

83．加强几何直观，强调数形结合思想本章的内容为加强几何直观，引导学生用数形结合的思想方法研究数学问题提供了很好的条件，同时，几何直观对学生理解三角函数发挥了重要作用。本章特别强调了单位圆的直观作用，借助于单位圆直观的认识任意角、任意角的三角函数，理解三角函数的周期性、诱导公式、同角三角函数关系式以及三角函数的图像，借助三角函数的图像理解三角函数在一个周期上的单调性、最大值和最小值、图像与x轴的交点，对称性等性质。94．改进呈现方式，用恰时恰点的问题引导学生主动思维，使学生得到思维练通过提供直观感知、观察发现、归纳类比、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维活动为载体，达到体现数学教育新理念，促使学生采取积极主动、勇于探索的学习方式进行学习，引导教师改进教学方式，提高教学质量，使学生打好数学基础，提高数学思维能力。基于上述想法，呈现方式上，尽量做到，在保证内容体系的合理性、科学性的前提下，加强教科书的问题性和思想性，在知识的发生发展过程中，利用“观察”“思考”“探究”等栏目，提出恰时恰点的问题，把数学概念的概括过程和数学思想方法的形成过程设计成为一系列问题，启发学生积极主动地思维，这样，可以使学生感到概念的发展和数学思想方法的形成是自然的，不是强加于人的。

105．恰当使用信息技术

在本章，信息技术的使用在如下几个方面得到体现：一是利用信息技术工具进行角度制、弧度制的单位互换，求三角函数值，作函数图像；二是利用信息技术研究问题；三是利用“信息技术使用”栏目提供弹性内容。使用信息技术要适度在本章，信息技术的使用11四、具体内容分析1．1任意角和弧度制内容：任意角和弧度制课时：约2课时课标要求：了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化。12对教学的建议：

⑴课本第4页中的思考框中有这样的问题：在直角坐标系中，角的终边绕原点旋转3600后回到原来的位置，因此，在直角坐标系中讨论角可以很好的表现角的“周而复始”的变化规律。教学中应强调这种变化规律，正是角的这种变化规律，才使得三角函数具有周期性，这样到后面学习三角函数的周期性学生就不会感到不自然了。⑵弧度制中，强调在弧度下，角的集合与实数集之间的一一对应关系，这样到后面学习三角函数的定义，学生对三角函数的定义域是一些实数的集合就会感到很自然。⑶用计算器进行角度与弧度的互换，要说明一般情况下得到的是近似值。一般情况下知道互换公式，熟练进行特殊角的互换就可以了。131．2任意角的三角函数内容：任意角的三角函数课时：约3课时课标要求：借助于单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义；理解同角三角函数的基本关系式sin2x+cos2x=1，14对教学的建议

⑴本教材是用单位圆上点的坐标定义正弦函数、余弦函数的意义。这样定义可以使学生在三角函数学习之初就能感受到单位圆的重要性，反映数与形的关系更加直接，数形结合的更加紧密，为后续借助于单位圆的直观讨论三角函数的图像和性质奠定坚实的基础，例如从定义可以方便的推导出同角三角函数的关系式、诱导公式，而且为公式的记忆提供了图形支持。大纲教材是用角的终边上除原点以外任意一点的坐标和点到原点的距离的比值定义的，这样定义可以反映从锐角三角函数到任意角三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有的认知基础出发学习三角函数。实际上按照现行教材定义到后面学习辅助角公式时，学生会感到不自然（当然是按14523的顺序学习，如果先学完2，再学习4，就没有这种感觉了），所以建议老师们在按本教材学习完定义之后，把课本13页探究框中的内容引导学生进行探究，明确两种定义的等价性，但不需要过多练习，深入研究15⑵教材中删减了任意角的余切、正割、余割，建议老师们不要随意给学生进行补充，因为本节内容重点是理解三角函数概念，对细枝末节内容不做过多要求。

⑶教学中应强调正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上的点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，给出解析式和定义域，为后续学习正弦函数、余弦函数、正切函数的图像、性质奠定基础。⑷单位圆中三角函数线是数形结合的有效工具，为学习画三角函数的图像打下基础，同时又可以用来研究三角函数的性质。⑸同角三角函数的基本关系式这一节中不要随意补充已被删减的知识点，也不要引进那些繁琐的、技巧性高的变换题目161．3三角函数的诱导公式内容：三角函数的诱导公式课时：约2课时课标要求：借助于单位圆中的三角函数线推导出诱导公17对教学的建议

⑴三角函数的诱导公式在大纲版教材是从求三角函数值引入的，把1800，-，3600-，900-的三角函数与的三角函数的关系作为诱导公式，并且把900-的诱导公式作为和差角公式的推论给出。本教材是借助于单位圆，先引导学生讨论了这些角的终边与角的终边之间的对称关系，然后根据三角函数的定义导出所有的诱导公式。这样既能很好地反映诱导公式的本质（圆的对称性的代数表示），又能使他们成为了一个有机整体。另外，去掉了关于3600-的诱导公式（因为它与-的诱导公式等价），增加了900+的诱导公式。为了使学生尽快熟悉并形成使用弧度制的习惯，在诱导公式中全部使用了弧度制。18⑵教材中三角函数的诱导公式是通过创设一个思考框和一个探究框这样两个问题情境引出的，其中，“思考”中的问题是上位的，它对利用圆的性质讨论三角函数的性质具有一般思想方法的引导作用；“探究”中的问题比较具体，可以直接引起学生对诱导公式的探究活动。设计这样的问题系列，就是希望学生在问题的引导下，开展积极主动的思维活动，自己独立推到出三角函数的诱导公式，体现学生认知的过程性，培养学生的主动探究、创新意识和应用意识。教学中最好遵循教材的设计思想。191．4三角函数的图像与性质内容：正弦、余弦函数的图像；正弦、余弦函数的性质；正切函数的图像和性质课时：约4课时课标要求：借助于单位圆中的三角函数线，能画出y=sinx，y=cosx，y=tanx的图像，了解三角函数的周期性；借助于图像，理解正弦、余弦函数的性质。

20对教学的建议⑴强调提醒学生注意用数学1中获得的一般函数概念及其思想方法作指导。例如，教科书上有这样的话：“遇到一个新函数，非常自然的是画出它的图像，观察图像的形状，看看有没有特殊点，并借助于图像研究一下它的性质，如：单调性、奇偶性、最大值、最小值等。特别的，三角函数具有‘周而复始’的特性到底应当如何描述？”这段话实际上是提示学生，在思考三角函数性质到底研究的是那些问题以及应当如何研究时，应当与自己在数学1中建立的关于函数性质的已有经验联系起来，这样从感情上让学生体会到数学是自然的，不是强加于人的，学生感受到联系的知识是最有用的，同时，很自然地以问题为核心，从思想方法上对学生的学习内容和方法水到渠成的引导到位。

21⑵加强几何直观，强调数形结合。教学中一定要借助于三角函数的图像直观讨论三角函数的性质。三角函数的奇偶性，函数的周期性和最小正周期等内容降低了要求。221．5函数y=Asin(ωx+φ)的图像内容：函数y=Asin(ωx+φ)的图像课时：约2课时课标要求：结合具体实例，了解函数y=Asin(ωx+φ)的实际意义；能借助于计算器或计算机画出函数y=Asin(ωx+φ)的图像，观察参数A，ω，φ对函数图像变化的影响。23对教学的建议

⑴由于涉及的参数有3个，先讨论某个参数对图像的影响，再整合成完整的问题解决。具体线索如下：探索φ对y=sin(x+φ)图像的影响，探索ω对y=sin(ωx+φ)图像的影响，探索A对y=Asin(ωx+φ)图像的影响，上述三个过程的合成。具体讨论中，先让学生对参数赋值，形成对图像变化的具体认识，再推广到一般情形。这样安排既分散了难点，又使学生形成清晰的讨论线索，从中能使学生学习到如何将复杂问题分解为简单问题并“各个击破”，然后整合为整个问题的解决的思想方法，培养学生有条理地思考的习惯，有利于培养学生的逻辑思维能力。241．6三角函数模型的简单应用内容：三角函数模型的简单应用课时：约2课时课标要求：会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。25对教学的建议主要以举例的方式说明三角函数模型的应用方法。选题包括：用已知的三角函数模型解决问题；将复杂的函数模型转化为y=sinx等基本初等函数解决问题；根据问题情境建立精确的三角函数模型问题；通过建立数学模型，利用根据建立拟合函数解决实际问题。安排本节内容的目