2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷（理科）附答案详解

2022年甘肃省兰州市高考数学诊断试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.t为虚数单位，若复数(l+mi)(l+i)是纯虚数，则实数加=()

A.-1B.0C.1D.0或1

2.已知集合M={y\y=sinx,xGR},N—{x\x2—x—2<0},则MC已=()

A.(-1,1]B.[-1,2)C.(-1,1)D.[-1,1)

3.已知|砧=3,。|=2，4与石的夹角为枭则|2五一39|=()

A.6B.3V6C.3V6-3V2D.3迎

4.圆/一2x+y2-3=0的圆心到直线y=x的距离是()

A.V2B.：C.1D.立

22

5.莫高窟坐落在甘肃的敦煌，它是世界上现存规模最大、内容最丰富的佛教艺术胜地,

每年都会吸引来自世界各地的游客参观旅游.已知购买莫高窟正常参观套票可以参

观8个开放洞窟，在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、臧

经洞17号窟被誉为最值得参观的洞窟.根据疫情防控的需要，莫高窟改为极速参观

模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，所有选择中至少包

含2个最值得参观洞窟的概率是()

A.5B.lC.1D七

6.已知一个半径为4的扇形圆心角为。(0V0<2兀)，面积为2兀，若tan(e+6)=3,

则tcmtp=()

A.0B.C.2D.-1

7.已知f(x)是奇函数，当%>0时，，/(x)=-log2(ax),若/(-4)=3,则a=()

A.七B.|C.2D.1

8.已知三棱锥P-ABC,PC为其外接球。的直径，PA=PB,若。为棱4B上与4、B不

重合的一点，则4PDC()

A.必为锐角B.必为直角C.必为钝角D.无法确定

9.已知/㈤=：sin(3x+£)(3>0)在［a,b］上单调，且值域为［一；,勺,b—a=兀，则

4)=()

A.1B.更C.-D.-

424

10.如图所示直三棱柱ABC—4aG内接于圆柱OR之中，圆柱的

体积为次兀，侧面积为2次兀，AB=V3,若三棱柱的体积为V,

则U的最大值为()

7

B—B

•4

c-

D.在

4

11.已知椭圆Q：捻+?=19＞。与双曲线。2有公共的焦点尸1、6,4为曲线G、。2

在第一象限的交点，且AAFiF2的面积为2,若椭圆Q的离心率为eu双曲线C2的离

心率为02，则4或+%的最小值为()

A.9B.IC.7D.\

12.若函数y=/(x)在其定义域内存在刈、%2，使得/'01)/。2)=2,则称函数y=f(x)

22

具有。性质.在函数①y=2sinxcosx,@y=\x—x—2\,③y=e-^+^-i,④y=

等中，不具有。性质的是()

A.②③B.①④C.③④D.①③

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.在(2/E+a)s的展开式中，/的系数为-io,则实数。=.

14.为了践行绿色发展理念，近年来我国一直在大力推广使用清洁能源.2020年9月我

国提出了“努力争取2030年前实现碳达峰，2060年前实现碳中和”的新目标.如

图是2016至2020年我国清洁能源消费占能源消费总量的比重y的数据统计图，根据

图中数据可以得到y关于年份序号》的回归直线方程：y=0,0132%+0.179'由回

归方程可预测2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为%.

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2016-2020中国清洁能源消费占能源消费总■的比・

2S001

---------------

---------------

>------------:

一1

L-八

比

1^00%

前

1000%

OOOW

a4•

年份次日

15.在△48C中，a,b,c分别为角4,B,C的对边，若(2b-c)cos4-acosC=0,四在

正方向上的投影是|前的:,△ABC的面积为3遮，则a=.

16.若曲线y=ln(x+b)与直线y=k(x+l)相切，则实数b的最大值是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.在①£=/②a?是由和a’的等比中项，这两个条件中任选一个，补充在下面问题

中，并解答.

问题：已知公差d不为0的等差数列色工的前n项和为S”，a3=6.

(1),求数列｛即｝的通项公式；

an

(2)若数列bn=2,cn=an+bn,求数列｛c”｝的前n项和

18.自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市

教科研部门制定了该市各年级每个学科日均作业时间的判断标准.下表是初中八年

级4学科的判断标准.

日均作业时不低于16

[0,4)[4,8)[8,12)[12,16)

间（分钟）分钟

判断标准过少较少适中较多过多

之后教科研部门又随机抽取该市30所初中学校八年级A学科的作业时间作为样本,

得到A学科日均作业时间的频数分布表见下表.

日均作业时

[4,8)[8,12)[12,16)[16,20)[20,24]

间（分钟）

学校数2310105

（1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完

成4学科作业的日平均时间（结果精确到0.1）：

（2）①若4学科日均作业时间不低于12分钟，称为“作业超量”，以样本频率估计

概率，求该市任一所初中学校八年级4学科作业超量的概率；

②若为了对该市初中八年级4学科作业的布置情况做进一步研究，需再从该市所有

初中学校中抽取3所进行研究，用X表示抽取的3所学校中八年级4学科”作业超量

的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.

19.已知四棱锥P-4BCD中，底面4BCD为菱形，点E为

棱PC上一点（与P、C不重合），点M、N分别在棱PD、

PB上，平面EMN〃平面ZBCD.

（1）求证：BD〃平面4MN；

(2)若E为PC中点，PC=BC=BD=2,4PBe=%

PC1BD,求二面角E-MN-4的正弦值.

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20.已知居、尸2是椭圆C：W+《=l(a>b>0)的左、右焦点，直线x=—第b与椭

圆C相切于点4过尸2的直线交椭圆C于M、N两点，当直线MN与x轴垂直时，|MN|=

3.

(1)求椭圆C的方程；

(2)当直线AM、AN分别与直线x=4交于P、Q两点，求△APQ面积的最小值.

21.已知函数/(%)=e"-Q/-sm%,e为自然对数的底数.

(1)求/(%)在％=0处的切线方程；

(2)当，之0时,/(%)>1-X-sinx,求实数a的最大值;

(3)证明：当a<,时，f(x)在％=0处取极小值.

22.平面直角坐标系下，曲线6的参数方程为-L(t为参数)，曲线C2的参数方

程为｛；Z:篙'(a为参数).以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线G，C2的极坐标方程;

(2)过极点的直线1与曲线G交于4B两点，与曲线。2交于M、N两点，求-|MN|

的最小值.

已知函数/(x)=\2x-t|+2\x+t|.

(1)当t=l时，解关于x的不等式f(x)26；

(2)当t>0时，f(x)的最小值为6,且正数访匕满足a+b=t,求《+"+意的最小值.

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答案和解析

1.【答案】c

【解析】

【分析】

本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.

直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.

【解答】

解：(14-mt)(l+i)=(1-m)+(1+m)i是纯虚数，

故选：C.

2.【答案】A

【解析】解：：M={y|y=€R}=[-1,1],

N={x\x2-x-2<0}=(-1,2),

.••MCN=(-1,1],

故选：A.

化简集合M、N,再求交集即可.

本题考查了集合的化简与运算，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：由题意，

可知|2五一3万『=Q五一3至产

=4-|a|2-2-2a-3fa+9-|b|2

=4-9-12-|a||fe|-cos<a>b>+9-4

=72-12-3-2--

2

=36,

\2a-3b\=6.

故选：A.

先根据平面向量的运算及数量积计算出|2Z-3小2,即(2日-33)2的值，进一步即可计

算出|21-3方|的值，从而可得正确选项.

本题主要考查平面向量的运算，以及数量积的运算.考查了转化与化归思想，向量的运

算，以及逻辑推理能力和数学运算能力，属基础题.

4.【答案】D

【解析】解：圆/-2x+y2-3=0转换为(x-1)2+y2=4,故圆心的坐标为(1,0),

半径为2；

故圆心(1,0)到直线x-y=0的距离d=a=?.

故选：D.

首先把圆的方程转换为标准式，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果.

本题考查的知识要点：圆的方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学

生的运算能力和数学思维能力，属于基础题.

5.【答案】B

【解析】解：购买莫高窟正常参观套票可以参观8个开放洞窟，

在这8个洞窟中莫高窟九层楼96号窟、莫高窟三层楼16号窟、藏经洞17号窟被誉为最值

得参观的洞窟，

莫高窟改为极速参观模式，游客需从套票包含的开放洞窟中随机选择4个进行参观，基

本事件总数n=C^=70,

所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟包含的基本事件个数m=CjCl+废底=35.

所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率是P=-=^=i

n702

故选:B.

基本事件总数n=心,所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟包含的基本事件个数

m=ClCl+废谶.由此求出所有选择中至少包含2个最值得参观洞窟的概率.

本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基

础题.

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6.【答案】B

【解析】解：由题意得,0X42=2兀,

所以。=也

l+tan(p

所以tan(0+9)=

l-tan0

则tan,=

故选:B.

由已知结合扇形面积公式先求出0,然后结合两角和的正切公式可求.

本题主要考查了扇形面积公式及两角和的正切公式，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：f(x)是奇函数，当％>0时，f(x)=-log2(ax),

可得〃-4)=-/(4)=-[-log2(4a)]=3,

即4a=8,解得a=2.

故选：C.

由奇函数的定义和％>0时的函数解析式，结合对数的运算性质可得所求值.

本题考查函数的奇偶性的定义和运用，以及对数的运算性质，考查方程思想和运算能力,

属于基础题.

8.【答案】C

【解析】解：•••「。为球的直径，：.「818(7,PALAC,

在RMP4C和RtSBC中，PA=PB,PC=PC,

**•△PAC=^PBC,

:•AC=BC,设H4=m=PB,BC=n=AC,

m2+n2=PC2,

设PD=x,DC=y,在AABC中，CD<CB,■­-y<n,y2<n2,

在△P4B中，PD<PA,■.x<m,x2<m2,

x2+y2<m2+n2,

n”PD2+DC2-PC2x2+y2-PC2x2+y2-(m2+n2)

COSZ-PDC=---------=——乙----=——-----<0,

2PDDC2xy2xy

■.NPDC为△PDC的内角，:NPDC为钝角.

故选：c.

根据PC为球的直径，得至URtAPAC和RtAPBC全等，找至次2+y2<m2+n2,再代入

余弦定理即可求解.

本题考查了余弦定理的应用，属于中档题.

9.【答案】B

【解析】解：设T为/(x)的最小正周期,

因为/(久)在［a,b］上单调，则b-a=7rwg,

又因为/(x)=?sin(3x+力(3>0)且在［a,b］上值域为［-3，勺,

"T

故b-a=n=-

故7=2TI,

故3=1,

故/'(%)=Jsin(x+g),

No

所以优)T吒弓邛

故选：B.

由题可知，区间阿b］的长度兀即为f(X)最小正周期，由此求出3,从而可求//).

本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了函数思想，属于中档题.

10.【答案】a

【解析】解：设圆柱的半径为r,高为九,

,圆柱=s«=nr2h=87r

Sf则=2nrh=2V3TT

=V30r=1

得(rh

lr2/i=>/3.h=V3'

1

V二棱柱=S2ABCh=-xABxACxsinZ.BACxV3

=^xABxACxsin^BAC,

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由基本不等式，AB>0,AC>0,AB=V3.

则4BxAC<（竺产/，当且仅当AB=AC=遍时取等号，

当4B=y/3,OA=1,cos^OAB=啜=?,故cos^OAD=30。，

故的C=60°,sin^BAC=―,

2

则三棱柱体积的最大值为夜X百xbx省=2.

224

故选：A.

根据圆柱的体积和侧面积求出圆柱的底面半径和高，利用基本不等式求得48,AC,代

入圆柱体积公式计算即可.

本题考查了圆柱体积公式和基本不等式的应用，属于中档题.

11.【答案】B

【解析】解：设立居4尸2=0,由椭圆面积公式可得2xtang=2,则tan5=l,

据此可知sin，=cos-=—,

222

我们有模型:椭圆G与双曲线。2共焦点尸1，?2,且它们的一个公共交点为P,设4F1PF2=。，

咚2

则,有：—sin+—cos^=1.

赍ej

证明如下：

设椭圆短半轴长为瓦，双曲线虚半轴为电，由焦点三角形面积公式：

bl-tand--^―=>（af—c2）-tan20=c2—,

1tanev17z

今/T）鬻=（1一？=6T）siMe=d-?cos?仇

=等+等=1.

据此可得：盘+,=2,

故4号+城="4田+e分（城+专）="5+詈+3）对（5+2符=*

当且仅当登=：,或=|时等号成立.

故选：B.

由题意首先求得与4居AF2相关的三角函数值，然后结合基本不等式即可求得最小值.

本题主要考查椭圆与双曲线的关系，离心率的相关计算，由基本不等式求最值的方法等

知识，属于中等题.

12.【答案】D

【解析】解:对于①，y=2sinxcosx=sin2xE[—1,1],

・•・函数y=2si7ixcos》在其定义域内不存在%1、使得=2,故①不具有性

质。；

对于②，y=|%2-x-2|=|(x-i)2-^|,

取乙=萼，必=1,则/。1)/(次)=2,故②具有性质D；

;tZx1_(z_)2

对于③，y=e-+-=e24<1.

=e-/+xT在其定义域内不存在xi、x2,使得/Qi)f(X2)=2,③不具有。性质；

对于④，在丁=等中，/=由y'>0，得0<x<e,由y'<0得，x>e,

x—

-e时，ymax~"y€(°O>-]>

二函数y=W在其定义域内存在XI、尤2，使得/'(X1)/(X2)=2，故④具有。性质.

故选：D.

分别求出每个函数的值域，能求出结果.

本题考查命题真假的判断，考查函数的性质、值域等基础知识，考查运算求解能力，是

基础题.

13.【答案】-2

【解析】解：根据二项式定理可得展开式中含的项为C式豉)4.a=5ax2,

所以5a=-10,解得a=-2,

故答案为：—2.

根据二项式定理求出展开式中含42的项，由此即可求解结论.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算能力，属于基础题.

14.【答案】27.14

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【解析】解：由题意可知，2022年对应的年份序号为7,

y=0.0132X7+0.179=0.2714,

故2022年我国的清洁能源消费占能源消费总量的比重约为27.14%.

故答案为：27.14.

由题意可知，2022年对应的年份序号为7,将％=7代入线性回归方程，即可求解.

本题主要考查线性回归方程的应用，属于基础题.

15.【答案】-/13

【解析】解：整理(2b-c)cosA-acosC=0,

得：2bcosA=sinAcosC+cosAsinC,

解得：cosA=I，由于OVAVTT,则4=g,

因为荏在前方向上的投影是|希|的I，^V\AB\cosA=|c=||X?|=|b,

所以c=

因为△ABC的面积为3次，即gbcs讥4=|fo2-^=3V3,

所以b=3,则c=4,

由余弦定理可得：a2=b2+c2-2bccosA,解得Q=/正，

故答案为：VT3.

先利用正弦定理整理三角函数关系式求出4的值，再由而在前方向上的投影是|前|的|,

以及三角形面积公式求得b,c的值，最后利用余弦定理即可求得a的值.

本题考查平面向量数量积的运算性质，涉及正弦定理的应用，属于中档题.

16.【答案】2

【解析】解：设曲线y=ln(x+b)与直线y=k(x+1)相切的切点为(x()，yo).

由y=ln(x+b),得、'=击

=k

x0+b1+k+lnk

则y=k(x。+1)，所以匕

0k

7o=ln(%0+b)

1+x+lnxInx

令g(x)=(%>0),则g'(x)

X

令g'(x)=o,则欠=1,

所以当0<x<l时，g'(x)<0：当x>1时，g'(x)>0,

所g(x)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，

所以g(x)max=g⑴=2,

所以b的最大值为2.

故答案为：2.

设曲线y=ln(x+b)与直线y=fc(x+1)相切的切点为(右,%)，根据条件得到b关于k的

方程，再利用导数求出b的最值即可.

本题考查了利用导数研究函数的单调性与最值，利用导数研究函数的切线，考查了方程

思想和函数思想，属中档题.

17.【答案】解：选条件①时，£=

由于公差d不为。的等差数列｛5｝的前n项和为右,

所以3s5=59,

整理得3x(5%+10d)=9al+36d,

故的=d,

由于。3=6,

整理得的+2d=6,

故的=d=2,

所以0n=24-2(n-1)=2n；

n

(2)由(1)得:bn=4,

n

故％=an+bn=2n+4,

所以〃=(24-4+.・,+2n)+(41+42+...4-4n)="xj」4-n2+n=、3、4-n24-n.

选条件②时，。2是和。4的等比中项，且。3=6,

故产,

=6

解得Qi=d=2；

所以0n=2+2(n-1)=2n；

n

(2)由(1)得:bn=4,

n

故Cn=an+%=2n+4,

所以心=(2+4+..・+2九)+(41+42+...4-4n)=+n24-n=，+n2+n.

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【解析】选条件①时，（1）直接利用关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用分组法

的应用求出数列的和.

选条件②时，（1）直接利用关系式的应用求出数列的通项公式；（2）利用分组法的应用求

出数列的和.

本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的求和，分组法的求和，主

要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题.

18.【答案】解：（1）由表中数据可得，该市初中八年级学生完成4学科作业的日平均时

,--,6X2+10X3+14X10+18X10+22X5.„

间-----------------------«15.7.

2+3+10+10+5

（2）①4学科日均作业量不低于12分钟在区间[12,16）,[16,20）,[20,24）,有10+10+5=

25所学校，

故该市任一所初中学校八年级4学科作业超量的概率P=|^=7.

306

②由题意可知，X所有可能取值为0,1,2,3,X〜B（3,4，

P4=。)=(1-丁=强

P(X=2)=CJ(|)2(1-1)1=§,

P(X=3)=(|)3=黑，

故X的分布列为：

X0123

1525125

P

2167272216

故E(X)=3X”今

oZ

【解析】（1）根据已知条件，结合表中数据，以及平均数公式，即可求解.

（2）①根据己知条件，结合古典概型的概率公式，即可求解.

②由题意可知，X所有可能取值为0,1,2,3,X〜8（3,|）,分别求出对应的概率，再

结合期望的公式，即可求解.

本题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题.

19.【答案】⑴解：•••平面EMN〃平面ABCD,

平面PB。n平面ABC。=BD,

平面PBDCl平面EMN=MN,

：.BD//MN,

BD呈平面EMN,MNu平面EM/V,

•••8。〃平面4MN；

(2)证明：由(1)得BD〃平面4MM

7,

•••PC=BC=2,Z.PBC=4

:.乙PBC=乙CPB=乙BCP=

42

APC1BC,又PCO.・・PC1平面4BCD,

•••四边形4BCD是菱形，BC=BD=2,

：,△BCD为正三角形，•••ADCB=p

连接4C交B0于。，以。为坐标原点，。4所在直线为x轴,

。8所在直线为y轴，过。点作PC的平行线为z轴，

建立空间直角坐标系，如图示：

则4(75,0,0),F(0,1,0),C(-V3,0,0),D(0,-l,0),P(一封0,2),

为PC中点，且平面EMN〃平面4BCD,

可得M,N分别为PD与PB的中点，

二M(一日,1),W(—Y>|>1)»F(—V3,0,l),

平面EMN的法向量是平面4BCC的法向量，

vPC1平面ABCD,.•.平面EMN的法向量可以是五=PC=(0,0,-2)，

设平面AMN的法向量为记=(x,y,z),

丽=(0,1,0)，俞=(一喙-31)，

第16页，共20页

.(m.MN=0.y_

*•~AM=0，-1+z=0,

设x=2,贝上=3次，.・.m=(2,0,373),

,—>-»、ni-n0+0+663^3

・•.cos<M,n>=-=^7==7=,

・•・sin<m,n>=11——=

\3131

••・二面角E-MN—4的正弦值是组.

31

【解析】(1)根据面面平行求出BD〃MN,再根据线面平行的判定定理证明即可；

(2)建立坐标系，分别求出平面EMN和平面MM4的法向量，从而求出二面角E-MN-4

的正弦值.

本题考查了面面平行的性质，考查线面平行的判定定理，考查空间向量的应用以及求二

面角问题，考查转化思想，是中档题.

(2^3,

-a-------b

3

20.【答案】解：(1)由题意可知J型=3，解得。=2,b=®c=1,

苏=ft2+C2

••・椭圆c的标准方程为：立+e=1；

43

(2)设MQiJi),N(%2，V2)，直线MN的方程为％=my+1,

设直线AM,AN的斜率分别为自，fc2,

.k卜=%.._乃乃_当、2___________yiyz______

・12X((f

•xt+22+2(小+2)(42+2)7ny1+3)7ny2+3)+3m(y1+y2')+9

由12=O'消去X'整理得(3m2+4)y2+6my-9=0,

—6171-9->

为+%=2，，%为=,2z

八J“37n2+4s37n2+4/=144m+144>0,

：・k也=.2无*。=/

3m2+4+3m^+4+

直线AM的方程，y=ki(x+2),•••P(4,6ki),同理。(4,6七)，

-1

：.△4PQ的面积为S=-x6x|6七一6k2\=181kl-七|,

,••七七=一；<0，•••5=18(优1|+%21)236平两=18,当且仅当自=一k2时

取”="，

・•.△4PQ面积的最小值为18.

【解析】(1)由已知可得关于a,b,c的方程组，求解a,b,c的值，即可求得椭圆方程；

(2)设直线MN的方程，分别表示出直线4M,4N的斜率，并将直线MN的方程代入椭圆

方程，可得卜也=一；,分别求得P和Q点坐标，表示出AAPQ的面积，利用基本不等式

可求得△APQ面积的最小值.

本题考查椭圆的标准方程,直线与椭圆位置关系，直线的斜率公式及基本不等式的应用，

考查转化思想，计算能力，属于中档题.

21.【答案】解：(1),：/(%)=ex—ax2—sinx,/(O)=1,且/'(x)-ex—lax—cosx,

则((0)=0,所以/(x)在x=0处的切线方程为y=1.

(2)当x20时，/(x)>1—x—sinx,Bpex—ax2+x-1>0,

当x=0时，ex-ax2+x—I=0,

当x>0时，ex-ax2+x—I>0,即aW，、厂,

因为x>0,所以1-1>e°-1=0,

当x>2时，g'(x)>0,g(x)在(2,+8)上单调递增；

当0<x<2时，g'(x)<0,g(x)在(0,2)上单调递减，

所以gCOmin=9(2)=子所以Q<子，所以实数Q的最大值为宁•

(3)若aV：,当％€(-]()，y=e"和y=S出%都单调递增，

所以九'(%)=e*-2Q+sinx单调递增，

①当八'(一巴)=e3一2a-lZ0,即av」二时,

2—2

则"(x)=ex-2a+sinx>O(xG(一/)，则h(x)在%G(-],同上单调递增,

而九(0)=0,所以当％6(一90)时，h(x)<0,所以/(x)在(一热0)上单调递减；

当％e(0弓)时，八(x)>0,所以/(x)在(0,方上单调递增：所以/'(X)在x=0处取极小值：

②当1(一巴)=e-i-2a-l<0,即<a<三时，九<0)=1-2a>0,且x€(-7,7)-

222已/