2022年内蒙古通辽市中考数学真题（学生版+解析版）

2022年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷数学

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在

答题卡上将代表正确答案的字母用25铅笔涂黑）

1.-3的绝对值是（）

11C

A.——B.3C.-D.-3

33

2.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部

分，其中是轴对称图形的为（）

>B京C।专

3.节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为

)

A.0.12xl06B.1.2xlO7C.1.2xl05D.1.2xl06

4.正多边形每个内角为108。，则它的边数是（）

A4B.6C.7D.5

5.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了

一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：

“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数

为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）

把

睾

英

街

'8x+3=y'8x+3=ySx-3=y

A.

7x-4=y7x+4=y7x+4=y7x-4=y

6.如图，一束光线AB先后经平面镜OM,ON反射后，反射光线CO与A8平行，当NA8M=35°

时，NDCN的度数为（）

A.55°B.70°C.60°D.35°

7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=（x-iy+l的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位

长度，所得函数的解析式为（）

A.y=（x-2）2-1B.y=（x-2『+3

C.y=x2+lD.y=x2-1

8.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以A8为直径的圆经过点

C,D,则cos/APC的值为（）

I_?k\

9.若关于％的分式方程：2--------二——的解为正数，则左的取值范围为（）

x-22-x

Ak<2B.Rv2且攵

C.k>—1D.k>—1且Zw0

10.下列命题：口（加・〃2）3=m3"5；口数据1,3,3,5的方差为2；□因式分解

X3-4X=X（X+2）（X—2）；」平分弦的直径垂直于弦；口若使代数式衣斤在实数范围内有意义，则

X>1.其中假命题的个数是（）

A.1B.3C.2D.4

11.如图，正方形A3CD及其内切圆。，随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分概率是（）

DC

12.如图，点。是oQ43C内一点，AO与x轴平行，3。与丁轴平行，BD=6,NBDC=120。，

qlk

5刖=',若反比例函数y=1（x<0）的图像经过C，O两点，则左的值是（）

A.—B.-6C.一12百D.-12

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横

线上）

13.菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形的边长为.

14.如图，依据尺规作图的痕迹，求Na的度数

15.如图，在矩形ABC。中，E为AD上的点，AE=A8,BE=DE，则tan/8Q£=

16.在中，ZC=90°,有一个锐角为60。，AB=6,若点P在京缱AB上（不与点A,B重

合），且NPCS=30°,则AP的长为.

17.如图，0。是AABC的外接圆，AC为直径，若AB=2£，BC=3,点尸从8点出发，在AABC内

运动且始终保持NC8P=NB4P,当C,P两点距离最小时，动点P的运动路径长为.

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上

写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18.计算：衣n+41-叫sin60。-出.

（［«+1>0

4。一2

19.先化简，再求值：a--十——,请从不等式组｛4a-5的整数解中选择一个合适的数求

3

值.

20.如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”

各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内.

（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率；

（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率.（用树状图或列表法表示）

21.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算A8的长度（结果保留小数点后一位，

6x1.7).

22.某学校在本校开展了四项“课后服务”项目（项目A：足球；项目8：篮球；项目C：跳绳：项目

D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查,

并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.

选修情况扇形统计图

项目

图1图2

(1)本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，8所对应的扇形的圆心角的度数是°:

(2)将条形统计图补充完整；

(3)若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数.

23.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育

用品，两个商店的优惠活动如下：

甲：所有商品按原价&5折出售；

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为x元，去甲商店购买实付海元，去乙商店购买实付y乙元，其函数图象

如图所示.

(1)分别求y甲，丸关于x的函数关系式；

(2)两图象交于点A,求点A坐标；

(3)请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

24.如图，在H/AAQB中，ZAOB=9Q°,以。为圆心，OB的长为半径的圆交边A8于点。，点C在边

上且CD=AC,延长CD交的延长线于点E.

(1)求证：CO是圆的切线;

(2)已知sinNOa>=[,AB=4也,求AC长度及阴影部分面积.

25.已知点£在正方形ABCO的对角线AC上，正方形AFEG与正方形ABCO有公共点A.

2CE

(1)如图1,当点6在4。上,产在A3上，求五口仃的值为多少;

CE

(2)将正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转仪(0。<a<90。)，如图2,求：——的值为多少;

DG

45=80，AG=^AD,将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转a(0°<a<360°),当C,

(3)

2

G,E三点共线时，请直接写出。G的长度.

26.如图，抛物线y=—f+bx+c与*轴交于A,8两点，与了轴交于。点，直线8C方程为

y=x-3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上一点，若S.PBC=LS«ABC，请直接写出点P的坐标;

△I。口△COG

(3)点。是抛物线上一点，若NACQ=45°,求点。的坐标.

2022年内蒙古通辽市初中毕业生学业考试试卷数学

一、选择题（本题包括12道小题，每小题3分，共36分，每小题只有一个正确答案，请在

答题卡上将代表正确答案的字母用25铅笔涂黑）

1.-3的绝对值是（）

1

A.——B.3D.-3

3仁5

【答案】B

【解析】

【分析】根据绝对值的定义化简即可.

【详解】解：•.[-3|=3,

-3的绝对值是3,

故选：B.

【点睛】本题考查绝对值的概念，能够熟练的求出某个有理数的绝对值是解决本题的关键.

2.冬季奥林匹克运动会是世界上规模最大的冬季综合性运动会，下列四个图是历届冬奥会图标中的一部

分，其中是轴对称图形的为（）

嚏卡。g

【答案】A4

【解析】

【分析】根据轴对称图形的定义，即可求解.

【详解】解：A、是轴对称图形，故本选项符合题意；

B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；

故选：A

【点睛】本题主要考查了轴对称图形的定义，熟练掌握若一个图形沿着一条直线折叠后两部分能完全重

合，这样的图形就叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴是解题的关键.

3.节肢动物是最大的动物类群，目前已命名的种类有120万种以上，将数据120万用科学记数法表示为

A.0.12xl06B.1.2xlO7C.1.2xl05D.1.2xl06

【答案】D

【解析】

【分析】绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为“xl",〃为正整数，且比原数的整数位

数少1,据此可以解答.

【详解】解：120万=1200000=1.2X10。

故选：D

【点睛】本题考查用科学记数法表示较大的数，熟练掌握科学记数法表示较大的数一般形式为ax10",

其中1W同＜10,〃是正整数，正确确定。的值和〃的值是解题的关键.

4.正多边形的每个内角为108°,则它的边数是（）

A.4B.6C.7D.5

【答案】D

【解析】

【分析】根据相邻的内角与外角互为邻补角求出每一个外角的度数为72。，再用外角和360。除以72。，计

算即可得解.

【详解】解：•.•正多边形的每个内角等于108。，

每一个外角的度数为180°-108°=72°,

二边数=360°+72°=5,

故选D.

【点睛】本题考查了多边形的内角与外角，对于正多边形，利用多边形的外角和除以每一个外角的度数求

边数更简便.

5.《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架，其中《盈不足》卷记载了

一道有趣的数学问题：“今有共买物，人出八，赢三；人出七，不足四，问人数、物价各几何？”译文：

“今有人合伙购物，每人出8钱，会多出3钱；每人出7钱，又差4钱，问人数，物价各多少？”设人数

为x人，物价为y钱，根据题意，下面所列方程组正确的是（）

‘8x+3=y8x-3=y8x+3=y8x—3=y

D.《

7x-4=y7x+4=y7x+4=y7x-4=y

【答案】B

【解析】

【分析】根据译文可知“人数*8-3=钱数和人数，7+4=钱数”即可列出方程组.

Sx-3=y

【详解】解：由题意可得，L，

7x+4=y

故选：B.

【点睛】本题考查列二元一次方程组.解题的关键是明确题意，找出等量关系，列出相应的方程.

6.如图，一束光线A8先后经平面镜OM,QV反射后，反射光线CO与A3平行，当NA8M=35°

时，NDCN的度数为（）

A.55°B.70°C.60°D.35°

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意得：NABM=NOBC,ZBCO=ZDCN,然后平行线的性质可得N8CZ）=70。，即可求

解.

【详解】解：根据题意得：/ABM=/OBC,/BCO=/DCN,

*/N4BM=35。,

：.NOBC=35。,

：.NABC=T80°-ZABM-ZOBC=180°-35°-35°=110°,

♦:CD〃AB,

：.NA8C+N8CZ>180。，

ZBCD=180°-ZABC=10°,

NBCO+NBCD+NDCN=T80。,/BCO=/DCN,

：.ZDCN=1(1800-NBCD)=55。.

故选：A

【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键.

7.在平面直角坐标系中，将二次函数y=(x-lp+1的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位

长度，所得函数的解析式为()

A.y=(x—2)一一1B.y=(x—2)一+3

C.y=x2+\D.y-x2-l

【答案】D

【解析】

【分析】根据抛物线的平移规律：上加下减，左加右减解答即可.

【详解】解：将二次函数y=(x-iy+l的图象向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得

函数的解析式为丁=(》一1+1)2+1-2=%2-1

故选D.

【点睛】本题考查了抛物线的平移规律.关键是确定平移前后抛物线的顶点坐标，寻找平移规律.

8.如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A,B,C都在格点上，以为直径的圆经过点

C,D,贝iJcosNAZX7的值为()

A.域1B.竺1C.2D.叵

131333

【答案】B

【解析】

【分析】首先根据勾股定理求出的长度，然后根据圆周角定理的推论得出NA0C=NC84,

ZACB=90"，计算出cosNCBA即可得到cosZADC.

【详解】解：：AB为直径，CB=3,AC=2,

•••NACB=90°，AB2=CB2+AC2，

AB=y[\3,

・•.c°s"BA=0=2=迹,

ABV1313

;AC=AC'

ZADC=ZCBA,

.3而

••cosZ-A.DC—------

13

故选：B.

【点睛】本题考查圆的性质和三角函数，掌握勾股定理及圆周角定理的推论是关键.

2k।

9.若关于x的分式方程：2-------=——的解为正数，则人的取值范围为（）

x-22-x

A.k<2B.%<2且左。0

C.k>一1D.k>一1且人工0

【答案】B

【解析】

【分析】先解方程，含有后的代数式表示X,在根据X的取值范围确定”的取值范围.

"2k1

【详解】解：------

x-22-x

2（x-2）-1+2攵=—1,

解得：x=2-k,

•••解为正数，

2—Zc>0,

k<2,

•••分母不能0,

尤。2,

...2—左。2,解得kH0,

综上所述：ZV2且ZHO,

故选：B.

【点睛】本题考查解分式方程，求不等式的解集，能够熟练地解分式方程式解决本题的关键.

10.下列命题：①（机=机3〃5；②数据1,3,3,5的方差为2；③因式分解

V—4x=x（x+2）（x-2）；④平分弦的直径垂直于弦；⑤若使代数式GT在实数范围内有意义，则

x>l.其中假命题的个数是（）

A.1B,3C.2D.4

【答案】C

【解析】

【分析】根据积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的条件，逐项

判断即可求解.

【详解】解：①（加故原命题假命题；

②数据1,3,3,5的平均数为;（1+3+3+5）=3,所以方差为

(1—3)2+(3—3)2+(3—3)2+(5—3)2]=2,是真命题;

(3)x3-4x=x(x2-4)=x(x+2)(%-2),是真命题;

④平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，故原命题是假命题;

⑤使代数式K万在实数范围内有意义，则X-1N0,即XN1,是真命题；

假命题的个数是2.

故选：C

【点睛】本题主要考查了积的乘方，方差的计算，多项的因式分解，垂径定理的推论，二次根式有意义的

条件，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

11.如图，正方形A8C0及其内切圆0,随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是（）

【答案】B

【解析】

【分析】设正方形的边长为则其内切圆的直径为。，分别求出正方形和阴影部分的面积，再利用面积

比求出概率，即可.

【详解】解：设正方形的边长为“，则其内切圆的直径为“，

其内切圆的半径为巴，正方形的面积为

2

...阴影部分的面积为

.•.随机地往正方形内投一粒米，落在阴影部分的概率是

故选：B

【点睛】本题考查了几何概型的概率计算，关键是明确几何测度，利用面积比求之.

12.如图，点。是匚70ABe内一点，A0与X轴平行，3。与y轴平行，BD=6NB£）C=120°,

at-b

$/=矛,若反比例函数y=、（x<0）的图像经过C，。两点，则后的值是（）

A.-673B.-6C.-12V3D.-12

【答案】C

【解析】

【分析】过点C作CE_Ly轴于点E,延长8。交CE于点F,可证明△COEgNIBE（AAS）,则0E=8D=

上;由5加广呆3力＜：尸=^百可得CF=9,由/8DC=120。，可知NCZ）F=60。，所以。尸=36，所以点。

的纵坐标为46；设C（加，石），D（zw+9,4后），则仁G掰=46（加+9）,求出机的值即可求出左的

值.

【详解】解：过点C作轴于点号延长BD交CE于点F,

♦・・四边形045。为平行四边形,

：.AB//OCfAB=OC,

：.NCOE=NABD,

・・・班)〃y轴，

NADB=90°,

•••△COE义AABD(AAS),

：.OE=BD=#,，

・：S&BDL』・BD・CF=*6,

22

：.CF=9,

'：ZBDC=\20°,

：.NCDF=60。,

DF=3yjj.

.•.点。的纵坐标为4G，

设C（加，6），D（m+9,4右），

•.•反比例函数产K（x<0）的图像经过C、D两点,

x

k=6m=48（机+9）,

.".^=-12^/3.

故选：C.

【点睛】本题主要考查反比例函数与几何的综合问题，坐标与图形，全等三角形的判定与性质，设出关键

点的坐标，并根据几何关系消去参数的值是本题解题关键.

二、填空题（本题包括5道小题，每小题3分，共15分，将答案直接填在答题卡对应题的横

线上）

13.菱形ABCD中，对角线AC=8,BD=6,则菱形的边长为

【答案】5

【解析】

【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分求出OA、0B,再利用勾股定理列式进行计算即可得解.

【详解】如图，

•••四边形/8CZ）是菱形,

：.OA=-AC=4,OB=-BD=3,AC1BD,

22

"B=JQA?+OB”=5

故答案为5

【点睛】本题主要考查了菱形的对角线互相垂直平分的性质，勾股定理的应用，熟记菱形的各种性质是解

题的关键.

14.如图，依据尺规作图的痕迹，求Na的度数

【解析】

【分析】先根据矩形的性质得出AB〃CD,故可得出/48。的度数，由角平分线的定义求出/E8F的度

数，再由EF是线段5。的垂直平分线得出/£尸8、尸的度数，进而可得出结论.

【详解】解：如图，

•••四边形为矩形，

/.AB//CD,

：.ZABD=NCDB=60°,

由尺规作图可知，BE平分乙4BD,

/EBF=-ZABD=1x60°=30°,

22

由尺规作图可知EF垂直平分BD,

：.NEFB=9Q°,

：.Z.BEF=90°-ZEBF=60°,

Na=/BEF=6Q°.

故答案为：60°.

【点睛】本题主要考查了尺规作图-基本作图、角平分线以及垂直平分线的知识，解题关键是熟练掌握5种

基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于己知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平

分线；过一点作已知直线的垂线）.

15.如图，在矩形ABCD中，E为上的点，AE=AB,BE=DE,则tanN8Z）E=.

【答案】V2-l##-l+V2

【解析】

【详解】解：设AB=1，

••・在矩形ABC。中，E为A。上的点，AE=AB,BE=DE，

：.ED=BE=ylAE2+AB2=V2，

A£>=AE+EO=1+应，

tanZBDE=—=-^=y[2-l,

AD1+V2

故答案为：V2-1,

【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，求正切，掌握正确的定义是解题的关键.

16.在吊AABC中，NC=90°,有一个锐角为60。，AB=6,若点P在耳线A3上（不与点A,B重

合），且NPCB=30°,则钎的长为.

9

【答案】一或9或3

2

【解析】

【分析】分//8C=60、/N8C=30。两种情况，利用数形结合的方法，分别求解即可.

【详解】解：当/48C=60°时，则/8ZC=30°,

8C」A8=3,

2

AC=y]AB2-BC2=3百，

当点P在线段NB上时，如图，

•••NPC8=30。，

；.NBPC=90°,BPPCLAB,

AP=AC-COSZBAC=3A/3X-=-；

22

当点P在N8的延长线上时，

ZPCB=30°，NPBC=NPCB+NCPB,

ZCPS=30°,

NCPB=NPCB,

：.PB=BC=3,

:.AP=AB+PB=9；

当乙48c=30°时，贝l」N8/C=60°,如图，

B

P/

A

AC=，A8=3,

2

•••NPC3=30。，

ZAPC=60°,

：.ZACP=60°,

ZAPC=ZR4C=ZACP,

...△/PC为等边三角形，

：.PA=AC=3.

9

综上所述，AP的长为一或9或3.

2

9

故答案为：或9或3

2

【点睛】本题是解直角三角形综合题，主要考查了含30度角的直角三角形、解直角三角形，等边三角形

的判定和性质等，分类求解是本题解题的关键.

17.如图，0。是AABC的外接圆，AC为直径，若AB=2g，BC=3,点P从8点出发，在AABC内

运动且始终保持NCBP=N84P,当C,P两点距离最小时，动点P的运动路径长为.

【解析】

【分析】根据题中的条件可先确定点P的运动轨迹，然后根据三角形三边关系确定CP的长最小时点P的

位置，进而求出点P的运动路径长.

【详解】解：:AC为。。的直径，

/.ZABC=90°.

：.ZABP+ZPBC=9C).

Q4PAB=NPBC,

：.ZPAB+ZABP=90°.

A.-.ZAPB=90°.

.•.点尸在以为直径的圆上运动，且在△/8C的内部，

如图，记以为直径的圆的圆心为Q,连接QC交于点P，连接QRCP.

QCP2。。-Of,

当点O1,P,C三点共线时，即点P在点P'处时，CP有最小值，

vAB=2^

：.O、B=g

在RtABCO、中，tanZ.BOC-=—j=—>/3.

XO、B，3

:.NBO}C=60.

:%,=啊也=27r

1803

二.C,P两点距离最小时，点P的运动路径长为且加

3

【点睛】本题主要考查了直径所对圆周角是直角，弧长公式，由锐角正切值求角度，确定点尸的路径是解

答本题的关键.

三、解答题（本题包括9道小题，共69分，每小题分值均在各题号后面标出，请在答题卡上

写出各题解答的文字说明、证明过程或计算步骤）

18.计算：V2-V6+4|l-^sin60°——.

【答案】4

【解析】

【分析】根据二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数指数累进行计算即可求解.

【详解】解：原式=2百+4(g—1卜等一2

=26+6-2百-2

=4

【点睛】本题考查了实数的混合运算，掌握二次根式的乘法，化简绝对值，特殊角的三角函数值，负整数

指数基是解题的关键.

fl+l>0

4a-2

19.先化筒，再求值：a--+—―,请从不等式组<4a-5整数解中选择一个合适的数求

aa"-----<1

值.

【答案】"+2〃，3

【解析】

【分析】根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后根据不等式组求出。的值并代入原式即可

求出答案.

(4、a-2

【详解】解：a——4--^

IaJa~

aa-2

_(a+2)(a-2)a2

aa-2

=〃+2a，

Q+1>0①

②，

解不等式①得：a>-\

解不等式②得：a<2,

-1<o<2>

为整数，

取0,1,2,

：aH0,a—2¥0,

a=\,

当a=l时，原式=『+2x1=3.

【点睛】本题考查分式的化简求值，解一元一次不等式组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以

及乘除运算法则，本题属于基础题型.

20.如图，一个圆环被4条线段分成4个相等的区域，现有2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩"和''雪容融”

各一个，将这两个吉祥物放在任意两个区域内.

（1）求：吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率；

（2）求：吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率.（用树状图或列表法表示）

【答案】（1）-

4

⑵3

4

【解析】

【分析】（1）根据概率公式直接求解；

（2）根据列表法求概率即可求解.

【小问1详解】

吉祥物“冰墩墩”放在区域①的概率,,

4

故答案为：:

【小问2详解】

①②③④

①①②①③①④

②②①②③②④

③③①③②③④

④④①④②④③

共有12种等可能结果，吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的共有8种可能，

Q3

吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”放在相邻的两个区域的概率为2=2.

124

【点睛】本题考查了概率公式与列表法求概率，掌握求概率的方法是解题的关键.

21.某型号飞机的机翼形状如图所示，根据图中数据计算A3的长度（结果保留小数点后一位,

V3«1.7）.

【答案】的长度约为9.8米

【解析】

【分析】延长84交C£的垂线OG干点F,AC,Ob交于点G,则四边形。EBE是矩形，根据图示，可

得四边形。尸班:是正方形，解RtACGD,RtAAGR,即可求解.

【详解】解：如图，延长84交CE的垂线DG于点尸，4C,。/交于点G,则四边形DEBE是矩形,

­.•NFDB=45°,

：.DF=FB，

，四边形。为阳是正方形，

：.BF=EB=14,

ZDCG=90°-60°=30°,AF//CD,

:.ZFAG=ZDCG=30°,

RtZ\COG中，DG=tanZDCGCD=—x20=^^.

33

—34考

U-20^

FGFG

r△AFG中，AF=——/一=14痒20,

tanZFAGtan30°曲

T

48=8/一4/=14-146+20=34-14639.8米.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键.

22.某学校在本校开展了四项''课后服务”项目（项目A：足球；项目8：篮球；项目C：跳绳；项目

D：书法），要求每名学生必选且只能选修其中一项，为了解学生的选修情况，学校决定进行抽样调查,

并根据收集的数据绘制了图1和图2两幅不完整的统计图.

选修情况扇形统计图

(1)本次调查的学生共有人；在扇形统计图中，B所对应的扇形的圆心角的度数是°;

(2)将条形统计图补充完整；

(3)若全校共有1200名学生，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数.

【答案】(1)200、108；

(2)见解析(3)900人

【解析】

【分析】(1)由Z活动的人数及其所占百分比可得总人数，用360。乘以8活动人数所占比例即可得;

(2)用总人数减去其它活动人数求出C的人数，从而补全图形；

(3)用样本估计总体可得结论.

【小问1详解】

本次调查的学生共有30・15%=200(人)，

扇形统计图中，8所对应的扇形的圆心角的度数是360。X里=108。，

200

故答案为：200、108；

【小问2详解】

C活动人数为200-(30+60+20)=90(人)，

补全图形如下：

项目

【小问3详解】

1200X^22=900（人）

所以，估计该校选修篮球和跳绳两个项目的总人数为900人.

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的

信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据：扇形统计图直接反映部分占总体的

百分比大小.

23.为落实“双减”政策，丰富课后服务的内容，某学校计划到甲、乙两个体育专卖店购买一批新的体育

用品，两个商店的优惠活动如下:

甲：所有商品按原价8.5折出售:

乙：一次购买商品总额不超过300元的按原价付费，超过300元的部分打7折.

设需要购买体育用品的原价总额为X元，去甲商店购买实付y甲元，去乙商店购买实付九元，其函数图象

如图所示.

（1）分别求海，九关于》的函数关系式；

（2）两图象交于点A,求点A坐标；

（3）请根据函数图象，直接写出选择去哪个体育专卖店购买体育用品更合算.

【答案】(1)-y皿的函数关系式为T。9g>；oo)

(2)(600,510)

(3)当x<600时，选择甲商店更合算；当―600时一，两家商店所需费用相同；当x>600时，选择乙商店

更合算.

【解析】

【分析】(1)根据题意，可以分别写出甲、乙两家商店y与x的函数关系式；

(2)根据(1)的结论列方程组解答即可；

(3)由点力的意义并结合图象解答即可.

【小问1详解】

由题意可得，yit>=0.85x；

乙商店：当0球300时,，y乙与x的函数关系式为y

当x>300时，yz,=300+(x-300)x0.7=0.7x+90,

()

由上可得，y乙与x的函数关系式x0为<x<八300<

[0.7x+90(x>300)

【小问2详解】

Vm=0.85x[^=600

由《，解得《，

y乙=0.7x+90口乙=510

点/的坐标为(600,510)；

【小问3详解】

由点力的意义，当买的体育商品标价为600元时，甲、乙商店优惠后所需费用相同，都是510元，

结合图象可知，

当XV600时，选择甲商店更合算；

当尸600时，两家商店所需费用相同；

当x>600时，选择乙商店更合算.

【点睛】本题考查一次函数的应用以及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函

数的性质解答.

24.如图，在中，ZAOB=90°,以。为圆心，08的长为半径的圆交边于点。，点C在边

。4上且8=从。，延长C£)交08的延长线于点E.

(1)求证：CO是圆的切线；

(2)己知sinNOCO=1,AB=4亚,求AC长度及阴影部分面积.

【答案】(1)证明见详解；

(2)AC=3,阴影部分面积为夺-4万.

【解析】

【分析】(1)连接OD,证明NO£>E=90。即可；

(2)在出△08中，由勾股定理求出OC、OD、CD,在中，由勾股定理求出OE,用△OCE

的面积减扇形面积即可得出阴影部分面积.

【小问1详解】

证明：连接

,/OD=OB

AOBD=AODB

•：AC=CD

・・・ZA=ZADC

•・•ZADC=ZBDE

：./A=/EDB

403=90。

/.N/+N/8O=90°

JNODB+/BDE=90。

即ODLCE,

又。在O上

・・・CO是圆的切线；

【小问2详解】

解：由（1）可知，NOQG90。

在中，sinZ.OCD=—=

5OC

.•.设OD=OB=4x,则0C=5x,

•••CD=>JOC2-OD2=J（5x）+（4尤）2=3x

,,.AC=3x

：.OA=OC+AC=8x

在出△048中：OB2+O^=AB1

即：（©J+（8*2）=卜非『

解得x=l,（-1舍去）

：.AC=3,0C=5,OB=OD=4

4OF

在在&ZXOCE中，sinZOCD=-=——

5CE

设OE=4y,贝ljCE=5y,

OE2+OC2=CE2

（4y）2+52=（5y）2

解得y=*,9舍去）

33

：.OE=4y=—

史士」x型34%="钮

-OEOC-

s阴影2360233

:.阴影部分面积为一47.

3

【点睛】本题考查切线的判断和性质、勾股定理、三角函数、阴影部分面积的求法，解题的关键在于灵活

运用勾股定理和三角函数求出相应的边长，并能将阴影部分面积转化为三角形与扇形面积的差.

25.已知点£在正方形ABCO的对角线AC上，正方形AFEG与正方形A8C0有公共点A.

2CE

（1）如图1,当点G在AO上,产在A5上，求ODG的值为多少;

CE

(2)将正方形绕A点逆时针方向旋转。（。。<a<90。），如图2,求：的值为多少;

DG

AB=S6,AG=^AD,将正方形AFEG绕A逆时针方向旋转a(0°<a<360°),当C,

2

G,£三点共线时，请直接写出QG的长度.

【答案】（1）2（2）V2

（3）4（\/6—A/2j

【解析】

【分析】（1）根据题意可得GE〃DC,根据平行线分线段成比例即可求解;

AGAD1

（2）根据（1）的结论，可得:六=丁=一尸，根据旋转的性质可得ND4G=NC4E,进而证明

AEAC<2

^GAD^^EAC,根据相似三角形的性质即可求解；

（3）勾股定理求得CG,EC,进而根据△G4/K^E4C,由相似三角形的性质即可求解.

【小问1详解】

•.•正方形AFEG与正方形A8CD有公共点A,点G在AD上，尸在AB上,

:.GE//DC

AG_AE

~DG~~EC

ECAE

~DG~~AG

四边形AFEG是正方形

AE=y/2AG

.当旦«CE垃AE£尼

"41DG-DG-AG一''

【小问2详解】

如图，连接AE，

正方形AFEG绕A点逆时针方向旋转«(0°<«<90°),

ZDAG^ZCAE

AGAD_1

~AE~~AC~42

^GAD^^EAC

空=生=a,

DGAD

【小问3详解】

如图,

■AB-8\/2,AG———AD，

2

/.AD=AB=8y[2,AG=—x8V2=8,AC=0A5=16,

2

•••G,尸,。三点共线,

RtAAGC中，GC=VAC2-AG2=V162-82=873-

:.CE=GC-GE=S43-S>

由（2）可知△G4Z3AE4C,

空=@=及

DGDA

DACE8后x（86-8）=4（«一回

DG=

AC16

【点睛】本题考查了平行线分线段成比例，相似三角形的性质与判定，正方形的性质，勾股定理，旋转的

性质，综合运用以上知识是解题的关键.

26.如图，抛物线y=——+Zu+c与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，直线3c方程为

y=x-3.

(1)求抛物线的解析式；

(2)点P为抛物线上一点，若S.8C==SAA8C，请直接写出点P的坐标；

(3)点。是抛物线上一点，若NACQ=45。，求点。的坐标.

【答案】(1)y=-x2+4x-3

,c、，3+>/5—1+y/5.-ji,3*y/i—1—\[s、_p./3+J13-5+Jl3、_u.,3—J13-5-113、

(2)(———,-----)或(-----,------)或(——--,--------)或(——--,---------)

22222222

【解析】

【分析】(1)先根据一次函数解析式求出点8、C坐标；再代入丁=一产+法+，，求出氏c即可求解：

(2)过点力作ZNJ_8C于N,过点尸作PW_L8C于过点P作PE