第23讲圆的综合证明型问题专题复习

第23讲圆的综合证明问题专题复习【知识点睛】第一问常考考点——切线切线的判定：常用方法→有切点，连半径，证垂直！无切点，作垂直，证半径！☆特别地：题目中所需证的垂直，一般是由已知垂直转化而来的，故有“想证⊥，先找⊥”切线的性质：常用方法→见切点，连半径，得垂直！因切线所得结论必为⊥，故常以直角三角形来展开后续问题考题常见结合考点知2得1：三角形相似：Rt△勾股定理：圆中求长度，垂径＋勾股！三角函数：相似三角形与三角函数不分家，所以应用方法类似；特殊之处是：给三角函数，必“找”Rt△特殊角：常见特殊角有→15°、30°、45°、60°、75°、105°、120°、135°、150°、正切值=½/⅓/¾等的角度。☆特别地：题目中没给角度（90°、180°除外），又要求角度时，答案一般为特殊角！另：弧长与扇形面积：不规则图形面积想割补法常用公式：常用辅助线①连半径——有关切线时，连接的是过切点的半径②作弦心距——构造Rt△，进而用知2得3——或做两条弦心距，构造矩形或正方形③连接弦——使直径所对的圆周角=90°，进而在Rt△中展开问题【类题讲练】1．如图，△ABC中，AB＝AC，AH⊥BC于H，BD⊥AC于D，AH，BD相交于点O，以O为圆心、OD为半径的⊙O交BC于点E、F，已知AD＝6，BD＝8．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）求⊙O的半径；（3）求弦EF的长．【分析】（1）过点O作OM⊥AB于点M，利用角平分线的性质得到OM＝OD即可；（2）利用勾股定理求得AC＝AB＝10，从而得到CD＝4，再由勾股定理求得，则，再由勾股定理得到，由△AOD∽△ABH得到，即可求解；（3）连接OE，求得OH，利用勾股定理得到EH，即可求解．【解答】（1）证明：如图，过点O作OM⊥AB于点M，∵AH⊥BC，AB＝AC，∴AH平分∠BAC，∵OM⊥AB，OD⊥AC，∴半径OM＝OD，∴AB是⊙O的切线．（2）解：由勾股定理可得，，AC＝10，则CD＝4，由勾股定理可得：，由题意可得：AH为中线，∴，由勾股定理可得：，由（1）可得∠BAH＝∠OAD，∵∠ADB＝∠AHB＝90°，∴△AOD∽△ABH，∴，即，解得：OD＝3，即半径为3．（3）解：连接OE，由题意可得：OE＝3，OH⊥EF，∴EH＝HF，在Rt△AOD中，由勾股定理可得：，∴，在Rt△OEH中，由勾股定理可得：，∴EF＝2EH＝4．【点评】此题考查了圆的综合应用，掌握圆的切线的判定，垂径定理，相似三角形的判定与性质是解题的关键．2．如图，已知等腰△ABC中，AB＝BC，以AB为直径的⊙O与BC交于点E，与AC交于点D．（1）求证：AD＝ED；（2）若AC＝6．①设CE＝x，⊙O的半径为r，求r关于x的函数表达式．②当x＝r时，求图中阴影部分的面积．【分析】（1）连接BD，根据圆周角定理得∠ADB＝90°，再根据等腰三角形三线合一得∠ABD＝∠CBD，则＝，即可证明结论；（2）①证明△BAC∽△DCE，得，代入化简即可；②当x＝r时，则x＝r＝3，连接OD，OE，则△AOD、△DOE是等边三角形，得∠AOD＝∠DOE＝60°，利用阴影部分的面积为S扇形OBE﹣S△OBE．【解答】（1）证明：如图，连接BD，∵AB是直径，∴∠ADB＝90°，∵AB＝BC，∴∠ABD＝∠CBD，∴＝，∴AD＝DE；（2）解：①∵AB＝BC，∠ADB＝90°，∴AD＝CD＝3，∵AD＝DE，∴CD＝DE＝3，∴∠C＝∠CED＝∠BAC，∴△BAC∽△DCE，∴，∴，∴r＝；②当x＝r时，则x＝r＝3，连接OD，OE，则△AOD、△DOE是等边三角形，∴∠AOD＝∠DOE＝60°，∴∠BOE＝60°，∴△BOE是等边三角形，∴阴影部分的面积为S扇形OBE﹣S△OBE＝＝．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，扇形的面积计算等知识，根据相似三角形的判定与性质得出r与x的函数解析式是解题的关键．3．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AE平分∠BAC，交BC于点E，点D在AC上，以AD为直径的⊙O经过点E，点F在⊙O上，且EF平分∠AED，交AC于点G，连接DF．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：△DEF∽△GDF；（3）若cos∠CAE＝，DF＝6，直接写出线段OG的长．【分析】（1）由角平分线的性质及等腰三角形的性质得出∠BAE＝∠OEA，进而得出AB∥OE，再由∠B＝90°，得出∠OEC＝90°，即可证明BC是⊙O的切线；（2）由角平分线性质及圆周角定理得出∠FED＝∠ADF，结合∠GFD＝∠DFE，即可证明△GFD∽△DFE；（3）连接OF、AF，由AD为直径及EF平分∠AED得出△AFD为等腰直角三角形，由DF＝10，得出AD、OA、OF的长度，由cos∠CAE＝，得出AE的长，由△AGE∽△FGD，得出AG与GF的关系，进而得出OG＝GF﹣10，在Rt△FOG中，利用GF2＝OF2+OG2，得出GF2＝102+（GF﹣10）2，解方程即可求出线段GF的长，进而可求出OG的长．【解答】（1）证明：如图，∵AE平分∠BAC，∴∠BAE＝∠EAO，∵OA＝OE，∴∠EAO＝∠OEA，∴∠BAE＝∠OEA，∴AB∥OE，∴∠OEC＝∠B，∵∠B＝90°，∴∠OEC＝90°，∵OE为半径，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠FED＝∠ADF，∵∠GFD＝∠DFE，∴△GFD∽△DFE；（3）解：如图3，连接OF、AF，∵AD为直径，∴∠AFD＝∠AED＝90°，∵EF平分∠AED，∴∠AEF＝∠FED＝45°，∴∠AFD＝∠AEF＝45°，∴△AFD为等腰直角三角形，∵DF＝6，OA＝OD，∴AD＝DF＝×6＝12，OF⊥AD，OA＝OD＝OF＝6，∵cos∠CAE＝，∴AE＝AD•cos∠CAE＝12×＝6，∵∠AEF＝∠ADF，∠AGE＝∠FGD，∴△AGE∽△FGD，∴＝＝，∴AG＝GF，∵AG＝AO+OG＝6+OG，∴6+OG＝GF，∴OG＝GF﹣6，在Rt△FOG中，GF2＝OF2+OG2，∴GF2＝62+（GF﹣6）2，解得：GF＝6（）或6（）（不符合题意，舍去），∴OG＝GF﹣6＝12﹣6，∴线段OG的长为12﹣6．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，综合运用以上知识是解题的关键．4．如图，△ABC内接于⊙O，AD平分∠BAC交⊙O于点D，过点D作DE∥BC交AC的延长线于点E．（1）求证：OD⊥DE．（2）若∠E＝60°，⊙O的半径为5，求AB的长．（3）在（2）的条件下，连结CD，记∠ADC＝α，∠CDE＝β，探究α与β的数量关系．【分析】（1）根据圆周角定理得∠BAC＝90°，从而得出∠BOD＝90°，再利用平行线的性质可得结论；（2）利用特殊角的三角函数可得答案；（3）利用三角形内角和定理可得答案．【解答】（1）证明：∵BC为⊙O的直径，∴∠BAC＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∵DE∥BC，∴∠ODE＝90°，∴OD⊥DE；（2）解：∵BC∥DE，∴∠ACB＝∠E＝60°，∵BC＝10，∴AB＝sin60°×10＝5；（3）解：由（2）知，∠DAE＝45°，∠E＝60°，∴∠ADE＝75°，∴α+β＝75°．【点评】本题主要考查了圆周角定理，平行线的性质，特殊角的三角函数等知识，熟练掌握圆的基本性质是解题的关键．5．直角三角板ABC的斜边AB的两个端点在⊙O上，已知∠BAC＝30°，直角边AC与⊙O相交于点D，且点D是劣弧AB的中点．（1）如图1，判断直角边BC所在直线与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）如图2，点P是斜边AB上的一个动点（与A、B不重合），DP的延长线交⊙O于点Q，连接QA、QB．在下列三个条件中选择两个作为已知条件，求出PQ的长度；①AD＝6，②AB＝6，③PD＝4，你选择的是①③．并写出求解过程．（3）若AD＝6，当点P在斜边AB上从A运动到B的过程中，求点Q的运动路径长．【分析】（1）作直径BE，连接AE，可计算出∠E＝60°，从而得出∠ABE＝90°﹣∠E＝30°，从而∠BAC＝∠ABE，于是AC∥BE，从而得出∠CBE＝90°，进一步得出结论；（2）可证明得出ADP∽△QDA，从而，进而求得DQ的长，进一步得出PQ的值（3）接OA，OB，OD，可得出∠AOB＝120°，∠AOD＝60°，进而得出△AOD是等边三角形，从而得出圆O的半径，进一步得出结果．【解答】解：如图1，BC所在的直线与⊙O相切，理由如下：作直径BE，连接AE，∴∠BAE＝90°，∴∠E+∠ABE＝90°，∵∠BAC＝30°∴的度数为：60°，∵点D是的中点，∴的度数为：120°，∴∠E＝60°，∴∠ABE＝90°﹣∠E＝30°，∴∠BAC＝∠ABE，∴AC∥BE，∵∠C＝90°，∴∠CBE＝90°，∴EB⊥CB，∵点B在⊙O上，∴CB所在的直线与⊙O相切；（2）若选择①③，∵＝，∴∠DAP＝∠AQD，∵∠ADP＝∠ADQ，∴△ADP∽△QDA，∴，∴，∴DQ＝9，∴PQ＝DQ﹣PD＝9﹣4＝5，若选择②③，连接BD，则△ABD是等腰三角形，则AD＝＝＝6，同样得出PQ＝5；（3）如图2，连接OA，OB，OD，由上可知：和的度数为：60°，∴∠AOD＝∠BOD＝60°，∠AOB＝120°，∵OA＝OD，∴△AOD是等边三角形，∴OA＝AD＝6，∴l＝＝4π，∴圆的周长等于2π•6＝12π，∴12π﹣4π＝8π，∴点Q的运动路径长为：8π．【点评】本题考查了切线的判定条件，圆周角定理的推论，相似三角形的判定和性质，弧长公式等知识，解决问题的关键是熟练掌握相关基础知识．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，以AB为直径的⊙O交BC于点D，过点D作MN⊥AC，垂足为M，交AB的延长线于点N，过点B作BG⊥MN，垂足为G，连接CN．（1）求证：直线MN是⊙O的切线；（2）求证：BD2＝AC•BG；（3）若BN＝OB，求tan∠ANC的值．【分析】（1）由AB是直径得AD⊥BC，又AB＝AC得∠BAD＝∠CAD，由OA＝OD得∠ODA＝∠BAD，进而可推出∠ODM＝90°；（2）由条件推出BD＝CD，CM＝BG，由△CDM∽△CAD，进一步可得结论；（3）由条件推得∠BOD＝60°，进而∠ABC＝60°，可得△ABC是等边三角形，从而CO⊥AB，进一步可求得结果．【解答】（1）证明：如图1，连接AD，OD，∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝∠ACD＝90°，即AD⊥BC，∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，BD＝CD，∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠BAD，∴∠OAD＝∠CAD，∵NM⊥AC，∴∠AMN＝90°，∴∠DAC+∠ADM＝90°，∴∠ODA+∠ADM＝90°，即∠ODM＝90°，∴OD⊥MN，OD是半径，∴直线MN是⊙O的切线；（2）证明：由（1）知，∠ADC＝90°，BD＝CD，∴∠ADC＝∠DMC＝90°，∵∠ACD＝∠DCM，∴△CMD∽△CDA，∴＝，∴CD2＝AC•CM，∴BD2＝AC•CM，在△BGD和△MCD中，，∴△BGD≌△CDM（AAS），∴BG＝CM，∴BD2＝AC•BG；（3）解：如图2，连接OD，OC，由（1）∠ODN＝90°，∵OD＝OB＝BN，∴cos∠DON＝＝，∴∠DON＝60°，∵AB＝AC，∴△ABC是等边三角形，∵OA＝OB，∴CO⊥AB，OC＝AC•cos60°＝，∴tan∠ANC＝＝．【点评】本题考查了与圆有关位置和性质，等边三角形判定和性质，解直角三角形，图形相似和全等等知识，解决问题的关键是熟练掌握图形的性质及图形的特殊性．7．如图，在⊙C中，ED为直径，点A为直径ED延长线上一点，点B为⊙C上一点，连接AB，且AB为⊙C切线，连接BD，BE．（1）如图1，当AB＝8，ED＝12时，求AE的长；（2）如图2，若tan∠BAE＝，作∠BAE的平分线AF，且与BE交于点F；若AF＝2，求⊙C的半径．【分析】（1）由切线的性质可得∠ABD＝∠E，由此可得△ABD∽△AEB，所以AB：AE＝AD：AB，代入数据即可得出AD的长，进而可得AE的长；（2）连接BC，利用tan∠BAE＝＝，设AB＝4x，则BC＝3x，则AC＝5x，过点D作DH⊥AB于点H，由于DH∥BC，利用平行线分线段成比例定理得到比例式，求得DH，AH，BH，则tan∠ABD可求，利用∠ABD＝∠E，tanE可得；过点F作FM⊥CE于M，利用角平分线的性质定理可得FE＝BE；利用勾股定理分别在Rt△BDE和Rt△FME中用x表示出线段BD，BE，FM，EM．最后在Rt△AFM中利用勾股定理列出关于x的方程，解方程求得x的值，⊙C的半径可求．【解答】解：（1）∵AB为⊙C切线，∴∠ABD＝∠E，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△AEB，∴AB：AE＝AD：AB，∵AB＝8，DE＝12，∴8：（AD+12）＝AD：8，解得AD＝4（负值舍去），∴AE＝AD+DE＝16．（2）如图，连接BC，过点D作DH⊥AB于点H，则BC⊥AB，∴DH∥BC．∴tan∠BAE＝＝，设AB＝4x，则BC＝3x，则AC＝5x，∵CD＝CB＝3x，∴AD＝AC﹣CD＝2x．∵DH∥BC，∴＝＝．∴＝＝．∴DH＝x，AH＝x.∴BH＝AB﹣AH＝x，在Rt△BHD中，tan∠HBD＝＝＝．∵∠ABD＝∠E，∴tanE＝tan∠HBD＝．如图，过点F作FM⊥CE于M，∵tanE＝，∴＝．∴AE＝AC+CE＝8x．∵AF是∠BAC的平分线，∴＝＝＝．∴FE＝BE．在Rt△BDE中，tanE＝＝，则BE＝2BD．∵BD2+BE2＝DE2，∴BD2+（2BD）2＝（6x）2．∴BD＝x，∴BE＝2BD＝x．∴FE＝x．在Rt△BDE中，tanE＝＝，则ME＝2MF．∵FM2+ME2＝FE2，∴FM2+（2MF）2＝（x）2．∴FM＝x．∴ME＝2FM＝x，∴AM＝AE﹣ME＝（8﹣）x＝x．在Rt△AFM中，∵AM2+FM2＝AF2，∴（x）2+（x）2＝42．解得：x＝±（负数不合题意，舍去）．∴x＝．∴⊙C的半径CE＝3x＝．【点评】本题是一道圆的综合题，主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理及其推论，平行线的判定与性质，勾股定理，解直角三角形的应用，一元二次方程的解法．连接经过切点的半径和构造恰当的直角三角形是解题的关键．8．如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，AD＝4，BC＝10，sinC＝，以AB为直径作⊙O，把⊙O沿水平方向平移x个单位，得到⊙O′，A'B'为直径AB平移后的对应线段．（1）当x＝0，且M为⊙O上一点时，求DM的最大值；（2）当B′与C重合时，设⊙O′与CD相交于点N，求点N到AB的距离；（3）当⊙O′与CD相切时，直接写出x的值2或12．【分析】（1）当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，易证四边形ABED是矩形，可得AB＝DE，AD＝BE＝4，解Rt△DEC求出DE＝8，CD＝10，可得⊙O的半径为4，利用勾股定理求出OD，即可得到DM的最大值；（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'＝10，连接A'N，过点N作NF⊥A'B'于点F，如图，解Rt△A'B'N，求出A'N，B'N，然后根据等积法求出NF即可解决问题；（3）当⊙O'与CD相切，在CD的左边时，设切点为P，如图，则A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，根据切线长定理可得A'D＝PD，B'C＝PC，求出A'D＝4﹣x，B'C＝10﹣x，根据CD＝PD+PC＝A'D+B'C列方程求出x即可；当⊙O'与CD相切，在CD的右边时，同理求解即可．【解答】解：（1）如图，当x＝0，连接DO并延长交⊙O于点M，则此时DM的值最大，过点D作DE⊥BC于E，∵∠A＝∠B＝∠DEB＝90°，∴四边形ABED是矩形，∴AB＝DE，AD＝BE＝4，∴EC＝BC﹣BE＝10﹣4＝6，∵在Rt△DEC中，sinC＝，∴设DE＝4k，CD＝5k（k＞0），由勾股定理得：EC2+DE2＝CD2，即62+（4k）2＝（5k）2，整理得：k2＝4，∵k＞0，∴k＝2，∴DE＝4k＝8，CD＝5k＝10，∴AB＝DE＝8，∴OA＝OB＝4，∴OD＝＝4，∴DM＝，即DM的最大值为；（2）当B'与C重合时，⊙O'与CD相交于点N，则⊙O向右平移了10个单位长度，连接OO'，则OO'＝10，连接A'N，过点N作NF⊥A'B'于点F，如图，则∠A'NB'＝90°，在Rt△CDE中，，，∵A′B′∥AB∥DE，∴∠A'B'N＝∠CDE，在Rt△A'B'N中，A'B'＝AB＝8，∵，，∴，，∵，∴，∴点N到AB的距离为；（3）当⊙O'与CD相切，在CD左边时，设切点为P，如图则四边形A'B'ED是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，∴A'D＝PD，B'C＝PC，∵AA'＝BB'＝x，∴A'D＝4﹣x，B′C＝10﹣x，∵CD＝PD+PC＝A'D+B'C，∴10＝4﹣x+10﹣x，解得：x＝2；当⊙O'与CD相切，在CD的右边时，设切点为Q，则四边形ABB'A'是矩形，A'D、CD、B'C都是⊙O'的切线，∴A'D＝QD，B'C＝QC，∵AA'＝BB'＝x，∴A'D＝x﹣4，B'C＝x﹣10，∵CD＝QD+QC＝A'D+B'C，∴10＝x﹣4+x﹣10，∴x＝12；综上所述：当⊙O′与CD相切时，x＝2或12；故答案为：2或12．【点评】本题主要考查了矩形的判定，解直角三角形，勾股定理，点与圆的位置关系，平移的性质，圆周角定理，切线的性质以及切线长定理等知识，熟练掌握直径所对的圆周角是直角，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键．9．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AC为对角线，AC＝AD，直径AE交CD于点F，连接DE．（1）如图1，求证：AE⊥CD；（2）如图2，连接BD交AC于点G，∠AGD+∠ADC＝180°，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，过点G作GH⊥CD于H，过点A作AM∥BD交⊙O于点M，若BG＝GH，AE＝10，求线段AM的长．【分析】（1）根据等弦对等弧可得弧AC＝弧AD，进而得出∠ADC＝∠AED，由AE为⊙O的直径，得出∠ADE＝90°，根据∠ADC+∠CDE＝∠AED+∠CDE＝90°，得出∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，即可得证；（2）证明△ABC≌△AGD（SSS），进而得出BC＝CD，即可得证；（3）连接BO、OD连接CO交BD于L，延长CO交AM于K，证明Rt△GLC≌Rt△CHG，得出CH＝GL，设GH＝CL＝a，CH＝GL＝b，在Rt△CLD中，CD2＝CN2+DN2得出a＝3b，进而得出cos∠LCD＝，由垂径定理，得出∠AKO＝∠OFC＝90°，AK＝MK＝AM，则∠LCD＝∠OAK，cos∠OAK＝，根据AO＝AE＝5，即可求解．【解答】（1）证明：在⊙O中，∵AC＝AD，∴弧AC＝弧AD，∴∠ADC＝∠AED，∵AE为⊙O的直径，∴∠ADE＝90°，∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，∴∠ADC+∠CDE＝∠AED+∠CDE＝90°，∴∠AFD＝∠AED+∠CDE＝90°，∴AE⊥CD；（2）证明：∵四边形ABCD是⊙O内接四边形，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠AGD＝180°，∴∠AGD＝∠ABC，∵∠AGD+∠AGB＝180°，∴∠AGB＝∠ADC，∵AD＝AC，则弧AD＝弧AC，∴∠ABD＝∠ADC＝∠AGB＝∠DGC＝∠ACD，∴AG＝AB，DG＝CD，∵AC＝AD，∴△ABC≌△AGD（SSS），∴BC＝DG＝CD，∴．（3）解：连接BO、OD连接CO交BD于L，延长CO交AM于K，∵，∴OC⊥BD，∵DG＝CD，S△GCD＝GD×CL＝CD×GH，∵BG＝GH，∴GH＝CL＝BG，在Rt△GLC和Rt△CHG中，，∴Rt△GLC≌Rt△CHG（HL），∴CH＝GL，设GH＝CL＝a，CH＝GL＝b，∵BG＝GH，∴BL＝GB+GL＝LD＝a+b，∵BN＝DN，∴GD＝a+b+b＝a+2b＝CD，在Rt△CLD中，CD2＝CN2+DN2，∴（a+2b）2＝a2+（a+b）2，即（a﹣3b）（a+b）＝0，∴a＝3b，即CL＝3GL，∴GD＝GL+LD＝b+a+b＝a+2b＝5b．在Rt△CLD中，CL＝a＝3b，CD＝GD＝5b，∴cos∠LCD＝，∵AM∥BD，∴OK⊥AM，∴∠AKO＝∠OFC＝90°，AK＝MK＝AM，∴∠LCD＝∠OAK，∴cos∠OAK＝，∵AE＝10，∴AO＝AE＝5，∴AK＝AO﹣cos∠OAK＝3，∴AM＝2AK＝6．【点评】本题考查了圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解直角三角形，三角形全等的判定与性质，综合运用以上知识是解题的关键．10．如图，⊙O是四边形的外接圆，直径为10，过点D作DP⊥AB，交BA的延长线于点P，AD平分∠PAC．（1）如图1，若AC是⊙O的直径，求证：PD与⊙O的相切；（2）若AC是⊙O的直径，＝，求∠PDC的度数．（3）如图2，若BC＝CD，求AB+AD的最大值．【分析】（1）连接OD，由DP⊥AB得∠PAD+∠PDA＝90°，根据AD平分∠PAC，即得∠DAC+∠PDA＝90°，而∠DAC＝∠ODA，即可得∠ODP＝90°，故PD与⊙O相切；（2）连接OD，先判断出OD∥AB，得出∠AOD＝45°，进而求出∠ODC＝°，即可求出答案；（3）连接AD，BD，在AC上截取AH＝AD，先判断出△BDC是等边三角形，得出DB＝DC，进而判断出△ADH是等边三角形，得出∠ADH＝60°，AD＝DH，进而判断出△ADB≌△HDC（SAS），得出AB＝CH，即可求出答案．【解答】（1）证明：连接OD，如图1：∵DP⊥AB，∴∠DPA＝90°，∴∠PAD+∠PDA＝90°，∵AD平分∠PAC，∴∠PAD＝∠DAC，∴∠DAC+∠PDA＝90°，∵OA＝OD，∴∠DAC＝∠ODA，∴∠ODA+∠PDA＝90°，即∠ODP＝90°，∴OD⊥PD，∵OD为⊙O的半径，∴PD与⊙O相切；（2）解：连接OD，如图1：∵AC为⊙O的直径，∴∠ABC＝90°，∵，∴AB＝BC，∴∠BAC＝∠ACB＝45°，由（1）知，PD⊥OD，∵PD⊥AB，∴OD∥AB，∴∠AOD＝∠BAC＝45°，∴∠ACD＝∠AOD＝°，∵OC＝OD，∴∠ODC＝∠ACD＝°，∵∠ODP＝90°，∴∠PDC＝∠ODP+∠ODC＝°；（3）解：连接AD，BD，在AC上截取AH＝AD，如图2：∵BC＝CD，∴＝，∴∠CAD＝∠BAC，∵AD平分∠PAC，∴∠CAD＝∠BAC＝∠DAP＝60°，∴∠DBC＝∠BDC＝60°，∴△BDC是等边三角形，∴DB＝DC，∵∠DAC＝60°，AH＝AD，∴△ADH是等边三角形，∴∠ADH＝60°，AD＝DH，∴∠ADH＝∠BDC＝60°，∴∠ADB＝∠HDC，∴△ADB≌△HDC（SAS），∴AB＝CH，∴AB+AD＝CH+AH＝AC，∴当AC为直径，即AC＝10时，AB+AD取最大值是10．【点评】本题考查圆的综合应用，涉及圆的切线判定、勾股定理、全等三角形的判定及性质、等边三角形判定及性质、解直角三角形等知识，作出辅助线构造出等边三角形是解本题的关键．11．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AO平分∠CAB，交BC于点O，以O为圆心，OC为半径作圆，延长AO交⊙O于点D．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若求，tan∠D的值；（3）在（2）的条件下，连接点C及AB与⊙O的切点交AD于点G，⊙O的半径为3，求点C与该切点间的距离．【分析】（1）作OH⊥AB于H，利用角平分线的性质可得OC＝OH，即可证明结论；（2）利用两个角相等证明△EAC∽△CAD，得，可得答案；（3）设CE＝x，则CD＝2x，ED＝x，可得x的值，再说明AO是CH的垂直平分线，利用等积法求出CG的长即可．【解答】（1）证明：作OH⊥AB于H，∵AO平分∠CAB，∴OC＝OH，∴AB是⊙O的切线；（2）解：连接CE，∵ED是直径，∴∠ECD＝90°，∴∠ACB＝∠ECD＝90°，∴∠ACE＝∠OCD，∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ACE＝∠D，∵∠EAC＝∠CAE，∴△EAC∽△CAD，∴，∴tanD＝；（3）在Rt△DCE中，设CE＝x，则CD＝2x，ED＝x，∴x＝6，∴x＝，在Rt△ACO和Rt△AHO中，∵OC＝OH，OA＝OA，∴Rt△ACO≌Rt△AHO（HL），∴AC＝AH，∴AG垂直平分CH，∵，∴CG＝＝＝，∴CH＝2CG＝，∴点C与该切点间的距离为．【点评】本题是圆的综合题，主要考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角函数等知识，利用等积法求出CG的长是解题的关键．12．3如图，平行四边形ABCD中，AC⊥BC于C，AB＝10，，经过点C作圆O和AB边切于E点（E点可与点A、B重合），分别交BC边，AC边于点F，G．（1）BC的长为8；（2）若点O在边BC上，求的长；（3）嘉琪说：“若点E与点A重合，则点D一定在圆O上”．你觉得嘉琪的判断对吗？请说明理由；（4）设圆O的半径为r，直接写出r的取值范围．【分析】（1）根据三角函数的定义以及勾股定理即可求解（2）若点O在边BC上，AC切⊙O于点C，连接OE，根据同角的三角函数求出OE，即可求解；（3）比较OD与半径的大小即可；（4）当CE为⊙O的直径时，半径r最小，此时，Rt△ABC斜边上的高CE为⊙O的直径，根据三角形的面积可得CE，即可求出半径r的最小值，当点E与点B重合时，半径r最大，连接OB，过O作ON⊥BC于N，根据等角的三角函数求出OB，即可得出结论．【解答】解：（1）∵AC⊥BC于C，AB＝10，∴sinB＝＝，∴AC＝6，在Rt△ABC中，∵BC2+AC2＝AB2，∴BC＝＝8．故答案为：8．（2）如图2，当圆O在BC上时，∵∠ACB＝90°，∴AC切圆O于C点，连接OE．∵圆O和AB边切于点E，∴∠OEB＝90°，∴AE＝AC＝6，∴BE＝AB﹣AE＝4，∵tanB＝＝，∴OE＝3，由于圆O在BC上，∴∠FOC＝180°，∴弧CF的长为＝3π．（3）不对，理由如下：如图3，作OE⊥AD于E，连接OA、OD，作OF⊥AC于F，∴AF＝FC＝＝3，∵AB切圆O于A点，∴∠OAB＝90°，∴∠OAC+∠BAC＝90°，在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，∴∠B+∠BAC＝90°，∴∠OAC＝∠B，∵∠FAE＝∠AFO＝∠AEO＝90°，∴四边形AFOE是矩形，∴OE＝AF＝3，OE∥AF，∴∠AOE＝∠OAC＝∠B，∴AE＝OE•tan∠AOE＝3×＝，OA＝＝3＝，∴DE＝AD﹣AE＝8﹣＝，在Rt△DOE中，∵OD＞DE，∴OD＞，∴OD＞OA，∴D在圆O的外部．（4）如图4，当CE为圆O直径时，圆O半径最小，S△ABC＝AC•BC＝AB•CE，∴CE＝，∴半径r最小为：．如图5，当E点与B点重合时，圆O半径最大，如图，连OB、OC，过O作OH⊥BC于H，可证∠ABC＝∠BOH，∴tan∠ABC＝＝tan∠BOH＝，由BH＝BC＝4，可得OH＝，∴OB＝＝，即半径为．综上所述，半径r的取值范围为：≤r≤．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握平行四边形的性质以及勾股定理，切线的性质，解直角三角形，圆周角定理是解题的关键．13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，O为AB上一点，经过点A，D的⊙O分别交AB，AC于点E、F，连接OF交AD于点G．（1）求证：BC是⊙O的切线；（2）求证：AD2＝AB•AF；（3）若BE＝8，tanB＝，求AD的长．【分析】（1）先判断出OD∥AC，得出∠ODB＝90°，即可得出结论；（2）先判断出∠AEF＝∠B，再判断出∠AEF＝∠ADF，进而得出∠B＝∠ADF，进而判断出△ABD∽△ADF，即可得出结论；（3）连接EF，在直角三角形BOD中，根据勾股定理可得BO的长度用BD和OD表示，进而得sinB＝＝，设圆的半径为r，由sinB的值，利用锐角三角函数定义求出r的值，由直径所对的圆周角为直角，得到EF与BC平行得到sin∠AEF＝sin∠B，进而求出AF的长，再根据（2）的结论可求出AD的长．【解答】（1）证明：如图1，连接OD，则OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD是∠BAC的平分线，∴∠OAD＝∠CAD，∴∠ODA＝∠CAD，∴OD∥AC，∴∠ODB＝∠C＝90°，∵点D在⊙O上，∴BC是⊙O的切线；（2）证明：如图2，连接OD，DF，EF，∵AE是⊙O的直径，∴∠AFE＝90°＝∠C，∴EF∥BC，∴∠B＝∠AEF，∵∠AEF＝∠ADF，∴∠B＝∠ADF，由（1）知，∠BAD＝∠DAF，∴△ABD∽△ADF，∴＝，∴AD2＝AB•AF；（3）解：如图3，连接EF，在Rt△BOD中，tanB＝＝，∵OD2+BD2＝OB2，设OD为5x，则BD为12x，由勾股定理得BO＝＝13x，∴sinB＝＝，设半径为r，则＝，解得r＝，∴AE＝15，AB＝AE+BE＝23，∵AE为直径，∴∠AFE＝∠C＝90°，∴EF∥BC，∴∠AEF＝∠B，∴sin∠AEF＝＝，∴AF＝AE×＝15×＝，∵AD2＝AB•AF，∴AD＝＝＝．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握切线的判定，圆周角的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，是解答本题的关键．14．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC＝2DE，求tan∠ABD的值．【分析】（1）直接利用圆周角定理得出∠CDE的度数；（2）直接利用直角三角形的性质结合等腰三角形的性质得出∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，进而得出答案；（3）利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值．【解答】（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠EDC＝90°；（2）证明：∵∠EDC＝90°，F是EC的中点，∴DF＝FC，∴∠FDC＝∠FCD，∵OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∵∠OCF＝90°，∴∠ODF＝∠ODC+∠FDC＝∠OCD+∠DCF＝90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD＝∠ACD，∵∠E+∠DCE＝90°，∠DCA+∠DCE＝90°，∴∠DCA＝∠E，∵∠ADC＝∠CDE＝90°，∴△CDE∽△ADC，∴＝，∴DC2＝AD•DE∵AC＝2DE，∴设DE＝x，则AC＝2x，则A