新教材2023年秋高中数学第3章圆锥曲线的方程探究课3圆锥曲线的光学性质及其应用教师用书含答案新人教A版选择性必修第一册

圆锥曲线的光学性质及其应用1．抛物线的光学性质(1)焦点：光线的聚集点．(2)抛物面：由抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲面，叫做抛物面．(3)抛物线的性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴．(4)抛物线性质的实际应用：一束平行于抛物线的轴的光线，经过抛物面的反射集中于它的焦点．人们应用这个原理，设计了太阳灶等生活用具．2．椭圆的光学性质从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上．胶片放映机的聚光灯反射镜的形状是旋转椭圆面．3．双曲线的光学性质从双曲线的一个焦点发出的光线，经过双曲线反射后，反射光线是散开的，它们好像是从另一个焦点射出的．【典例】(1)电影放映机上的聚光灯泡的反射镜轴截面是椭圆的一部分(如图所示)，灯丝在焦点F2处，由椭圆的光学性质知当片门安放在另一焦点F1处时，电影片门才能获得最强光．现测定某一型号电影放映机聚光灯泡的反射镜轴截面所在椭圆方程为x2169＋y2(2)如图是一种加热水和食物的太阳灶，上面装有可旋转的抛物面形状的反光镜，镜的轴截面是抛物线的一部分，盛水和食物的容器放在抛物线的焦点处，容器由若干根等长的铁筋焊接在一起的架子支撑．已知镜口圆的直径为12m，镜深2m，若把盛水和食物的容器近似地看作点，求每根铁筋的长度．[解](1)由反射镜轴截面所在椭圆方程为x2169＋y2144＝1，知a2＝169，b2＝144，所以c2＝25，即椭圆的焦距2c＝10.(2)如图，在反光镜的轴截面内建立平面直角坐标系，使反光镜的顶点(即抛物线的顶点)与原点重合，x轴垂直于镜口圆的直径．由已知，得A点坐标是(2，6)，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，则36＝2p×2，解得p＝9.所以所求抛物线的标准方程是y2＝18x，焦点坐标是F92，0.因为盛水和食物的容器在焦点处，所以A，|AF|＝2-922+6(1)已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a>b>0)，其焦点分别为F(c，0)，F′(－c，0)，则由一个焦点射向椭圆上任意一点的光波或声波，(2)解决与抛物线有关的实际应用问题时，一般可根据题意(或图形)建立平面直角坐标系，设出抛物线的标准方程，依据题意得到抛物线上一点的坐标，从而可求出抛物线的标准方程，进而利用其几何性质进行推理、运算．1．(2022·河南省开封市模拟)一种卫星接收天线如图1所示，其曲面与轴截面的交线为抛物线．在轴截面内的卫星波束呈近似平行状态射入形为抛物线的接收天线，经反射聚集到焦点F处，如图2所示．已知接收天线的口径AB为4.8m，深度为1m．若P为接收天线上一点，则点P与焦点F间的最短距离为()A．0.72m B．1.44mC．2.44m D．2.88mB[以线段AB的中垂线为x轴，抛物线与x轴的交点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则由题意可得A(1，2.4)．设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)，将A点的坐标代入得2.42＝2p，即2p＝5.76，所以p＝2.88，抛物线的方程为y2＝5.76x.设P(x0，y0)，则点P到焦点F的距离等于点P到准线的距离，即|PF|＝x0＋p2＝x0＋1.44≥1.44.故选B．2．汽车前灯的反光曲面与轴截面的交线为抛物线，灯口直径为197mm，反光曲面的顶点到灯口的距离是69mm.由抛物线的性质可知，当灯泡安装在抛物线的焦点处时，经反光曲面反射后的光线是平行光线．为了获得平行光线，应怎样安装灯泡？(精确到1mm)[解]如图所示，在车灯的一个轴截面上建立平面直角坐标系，设抛物线方程为y2＝2px(p>0)，灯泡应安装在其焦点F处．在x轴上取一点C，使|OC|＝69mm，过点C作x轴的垂线，交抛物线于A，B两点，线段AB就是灯口的直径，即|AB|＝197