26.2实际问题与反比例函数（4）.析版

九年级数学下分层优化堂堂清第26章反比例函数26.2实际问题与反比例函数（解析版）学习目标：1运用反比例函数的知识解决实际问题.2经历“实际问题－建立模型－拓展应用”的过程，发展学生分析、解决问题的能力.3经历运用反比例函数解决实际问题的过程，体会数学建模的思想.老师对你说：知识点一、实际问题与反比例函数基本思路：建立函数模型，即在实际问题中求得函数解析式，然后应用函数的图象和性质等知识解决问题.2.用反比例函数解决实际问题的一般步骤：①定：审题确定出问题中的两个变量，并用字母表示出来。②求：用待定系数法或列方程法求出函数解析式，并求出自变量的取值范围。③解：利用反比例函数的图象及其性质去分析问题、解决问题，得到数学结论。④答：写出实际问题的答案。知识点二、用反比例函数解决实际问题①待定系数法：若题目中已知是反比例函数，则设其解析式为()，然后将x，y的值代入，求出k值即可。②列方程法：若题目中不知是什么函数，通常列出关于两个变量x，y的方程，变形即可得到函数解析式。基础提升教材核心知识点精练【考点1】实际问题与反比例函数【例11】如果等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，则y与x的函数关系式为（）A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝解：∵等腰三角形的面积为10，底边长为x，底边上的高为y，∴xy＝10，∴y与x的函数关系式为：y＝．故选：C．【例12】一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为（）A．v＝ B．v+t＝480 C．v＝ D．v＝解：由于以80千米/时的平均速度用了6小时到达目的地，那么路程为80×6＝480千米，∴汽车的速度v（千米/时）与时间t（小时）的函数关系为v＝．故选：A．【例13】如图，某校园艺社计划利用已有的一堵长为10m的墙，用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子．（1）设矩形园子的相邻两边长分别为xm，ym，y关于x的函数表达式为y＝（不写自变量取值范围）；（2）当y≥4m时，x的取值范围为1.2≤x≤3；m时，另一条边的长度为1.6m．解：（1）依题意得：xy＝12，∴y＝．故答案为：y＝．（2）∵4≤y≤10，即4≤≤10，∴1.2≤x≤3．∴x的取值范围为1.2≤x≤3．故答案为：1.2≤x≤3．（3）当x＝7.5时，y＝＝1.6；当y＝7.5时，＝7.5，解得：x＝1.6．mm．故答案为：1.6．【例14】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，动点P从B点出发，在BC上移动至点C停止．记PA＝x，点D到直线PA的距离为y，则y关于x的函数解析式是．解：如图，记AP边上的高为DE，∵矩形ABCD中，AD∥BC，∴∠DAE＝∠APB，∵∠B＝∠AED＝90°，∴△ABP∽△DEA，∴＝，∴＝，∴y＝．故答案为：y＝．【考点2】几何问题与反比例函数【例21】已知：如图，在平面直角坐标系中，有菱形OABC，点A的坐标为(10，0)，对角线OB、AC相交于点D，双曲线(x>0)经过点D，交BC的延长线于点E，且OB·AC＝160，有下列四个结论：①双曲线的解析式为y＝(x>0)；②点E的坐标是(4，8)；③sin∠COA＝；④AC＋OB＝12．其中正确的结论有（

）A．3个 B．2个 C．1个 D．0个【答案】A【分析】①过点C作CM⊥x轴于点M，根据菱形的性质结合三角形的面积公式可求出线段CM的长度，利用勾股定理可得出线段OM的长度，由此可得出点B的坐标，再由点D为菱形对角线的交点可得出点D的坐标，利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值，从而得知①不成立；②根据双曲线的解析式结合点E的纵坐标即可求出点E的坐标，从而得出②成立；③由线段CM、OC的长度结合角的正弦的定义即可得出③成立；④在Rt△CMA中，利用勾股定理即可得出线段AC的长度，再由OB•AC=160可得出线段OB的长度，从而得出④成立．综上即可得出结论．【详解】①

过点C作CM⊥x轴于点M，如图1所示．∵OB•AC=160，四边形OABC为菱形，∴S△OCA=OA•CM=OB•AC=40，∵A点的坐标为（10，0），∴OA=10∴CM=8，∴OM==6，∴点C（6，8），∴点B（16，8）．∵点D为线段OB的中点，∴点D（8，4），∵双曲线经过D点，∴k=8×4=32，∴双曲线的解析式为y=∴①不正确；②∵点E在双曲线y=的图象上，且E点的纵坐标为8，∴32÷8=4，∴点E（4，8），∴②正确；③∵sin∠COA==,∴③正确；④在Rt△CMA中，CM=8，AM=OAOM=106=4，∴AC===4,∵OB•AC=160，∴OB=8∴AC+OB=12∴④成立．综上可知：②③④成立．故答案为A【例22】如图，曲线C2是双曲线C1：y=（x＞0）绕原点O逆时针旋转45°得到的图形，P是曲线C2上任意一点，点A在直线l：y=x上，且PA=PO，则△POA的面积等于（）A． B．6 C．3 D．12【答案】B【分析】将双曲线逆时针旋转使得l与y轴重合，等腰三角形△PAO的底边在y轴上，应用反比例函数比例系数k的性质解答问题．【详解】如图，将C2及直线y=x绕点O逆时针旋转45°，则得到双曲线C3，直线l与y轴重合．双曲线C3，的解析式为y=，过点P作PB⊥y轴于点B，∵PA=PO，∴B为OA中点．∴S△PAB=S△POB，由反比例函数比例系数k的性质，S△POB=3，∴△POA的面积是6.故选B．【例23】以矩形ABCD两条对角线的交点O为坐标原点，以平行于两边的方向为坐标轴，建立如图所示的平面直角坐标系，BE⊥AC，垂足为E．若双曲线y=（x＞0）经过点D，则OB•BE的值为___．【答案】3【分析】由双曲线y=（x＞0）经过点D知S△ODF=k=，由矩形性质知S△AOB=2S△ODF=，据此可得OA•BE=3，根据OA=OB可得答案．【详解】如图，∵双曲线y=（x＞0）经过点D，∴S△ODF=k=，则S△AOB=2S△ODF=，即OA•BE=，∴OA•BE=3，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OB，∴OB•BE=3，故答案为3．能力强化提升训练1.如图，在平面直角坐标系中，正方形的中心在原点O，且正方形的一组对边与x轴平行，P(2a，a)是反比例函数y＝的图象与正方形的边的一个交点，则图中阴影部分的面积是________．【答案】4【分析】先利用反比例函数解析式y＝确定P点坐标为（2，1），由于正方形的中心在原点O，则正方形的面积为16，然后根据反比例函数图象关于原点中心对称得到阴影部分的面积为正方形面积的.【详解】解：把P(2a，a)代入y＝得:2a•a=2，解得a=1或1，∵点P在第一象限，∴a=1，∴P点坐标为(2，1)，∴正方形的面积=4×4=16，∴图中阴影部分的面积=×正方形的面积=4．故答案为4．2.习总书记强调，实行垃圾分类，关系广大人民群众生活环境，关系节约使用资源，也是社会文明水平的一个重要体现．为改善城市生态环境，某市决定从6月1日起，在全市实行生活垃圾分类处理，某街道计划建造垃圾初级处理点20个，解决垃圾投放问题．有A、B两种类型垃圾处理点，其占地面积、可供使用居民楼幢数及造价见表：类型占地面积可供使用幢数造价（万元）A1518B2030(1)已知该街道可供建造垃圾初级处理点的占地面积不超过370m2，如何分配A、B两种类型垃圾处理点的数量，才能够满足该街道490幢居民楼的垃圾投放需求，且使得建造方案最省钱？(2)当建造方案最省钱时，经测算，该街道垃圾月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可以近似的表示为：，若每个B型处理点的垃圾月处理量是A型处理点的1.2倍，该街道建造的每个A型处理点每月处理量为多少吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低？（精确到0.1）【答案】(1)当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱(2)每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低【分析】（1）首先依据题意得出不等关系即可供建造垃圾初级处理点占地面积＜等于370m2，居民楼的数量大于等于490幢，由此列出不等式组；再根据题意求出总费用为y与A型处理点的个数x之间的函数关系，进而求解；（2）分0≤x＜144、144≤x＜300两种情况，分别利用二次函数和反比例函数的性质求出函数的最小值，进而求解．【详解】（1）解：设建造A型处理点x个，则建造B型处理点（20﹣x）个．依题意得：，解得6≤x≤9.17，∵x为整数，∴x＝6，7，8，9有四种方案；设建造A型处理点x个时，总费用为y万元．则：yx+2.1（20﹣xx+42，∵﹣0.6＜0，∴y随x增大而减小，当x＝9时，y的值最小，此时y＝36.6（万元），∴当建造A型处理点9个，建造B型处理点11个时最省钱；（2）解：由题意得：每吨垃圾的处理成本为（元/吨），当0≤x＜144时，＝（x3﹣80x2+5040x）＝x2﹣80x+5040，∵>0，故有最小值，当x＝﹣＝﹣＝120（吨）时，的最小值为240（元/吨），当144≤x＜300时，＝（10x+72000）＝10+，当x＝300（吨）时，＝250，即＞250（元/吨），∵240＜250，故当x＝120吨时，的最小值为240元/吨，∵每个B型处理点的垃圾月处理量是AA型处理点9个，建造B型处理点11个，∴每个A型处理点每月处理量＝×120×≈5.4（吨），故每个A型处理点每月处理量为5.4吨时，才能使该街道每吨垃圾的月处理成本最低．3.如图，点A是反比例函数的图象上任意一点轴交反比例函数的图象于点B，以为边作平行四边形，其中C、D在x轴上，则平行四边形的面积为（

） B．3 C．5 D．6【答案】C【分析】设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b，即可求得A、B的横坐标，则AB的长度即可求得，然后利用平行四边形的面积公式即可求解．【详解】解：设A的纵坐标是b，则B的纵坐标也是b．把代入得，，则，即A的横坐标是；同理可得：B的横坐标是：．则．则平行四边形的面积为．故选：C．【点睛】本题考查了是反比例函数与平行四边形的综合题，理解A、B的纵坐标是同一个值，表示出AB的长度是关键．堂堂清选择题（每小题4分，共32分）1．甲、乙两地相距100km，则汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数图象大致是（

）A． B． C．D．【答案】B【分析】根据速度×时间=路程得：xy=100，从中求出y=(x>0)即可．【详解】解：根据速度×时间=路程得：xy=100，∴汽车由甲地行驶到乙地所用时间y（小时）与行驶速度x（千米/时）之间的函数关系式为：y=(x>0)．故选B．【点睛】主要考查了反比例函数的应用．解题的关键是根据实际意义列出函数关系式从而判断它的图象类型，要注意自变量x的取值范围，结合自变量的实际范围作图．2．某电子产品的售价为元，购买该产品时可分期付款：前期付款元，后期每个月分别付相同的数额，则每个月付款额（元）与付款月数（为正整数）之间的函数关系式是（）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用后期每个月付相同的数额，进而得到与的关系式．【详解】解：由题意得：，即，故选：D．【点睛】本题主要考查根据实际问题列反比例函数关系式，正确理解题意是解题的关键．3．为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量与时间成正比例；药物释放完毕后，与成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（

）A．药物释放过程需要小时B．药物释放过程中，与的函数表达式是C．空气中含药量大于等于的时间为D．若当空气中含药量降低到【答案】D【分析】先求出反比例函数的解析式，再求出一次函数的解析式，结合图像，逐项判断即可【详解】根据题意：设药物释放完毕后与的函数关系式为，结合图像可知经过点（，）与的函数关系式为设药物释放过程中与的函数关系式为结合图像当时药物释放完毕代入到中，则，故选项A正确，设正比例函数为，将（，1）代入得：，解得，则正比例函数解析式为，故选项B正确，当空气中含药量大于等于时，有，解得，结合图像，即，故选项C正确，当空气中含药量降低到时，即，解得，故选项D错误，故选：D．【点睛】本题考查了函数，不等式的实际应用，以及识图和理解能力，解题关键是利用图像的信息求出函数解析式．4．如图，长方体的体积是100m3，底面一边长为2m．记底面另一边长为xm，底面的周长为lm，长方体的高为hm．当x在一定范围内变化时，l和h都随x的变化而变化，则l与x，h与x满足的函数关系分别是（）A．一次函数关系，二次函数关系B．反比例函数关系，二次函数关系C．反比例函数关系，一次函数关系D．一次函数关系，反比例函数关系【答案】D【分析】根据底面的周长公式“底面周长=2（长+宽）”可表示出l与x的关系式，根据长方体的体积公式“长方体体积=长×宽×高”可表示出h与x，根据各自的表达式形式判断函数类型即可．【详解】解：由底面的周长公式：底面周长=2（长+宽）可得：即：l与x的关系为：一次函数关系．根据长方体的体积公式：长方体体积=长×宽×高可得：h与x的关系为：反比例函数关系．故选：D【点睛】本题考查了函数关系式的综合应用，涉及到一次函数、二次函数、反比例函数等知识，熟知函数的相关类型并且能够根据实际问题列出函数关系式是解决本题的关键．5．某学校对教室采用药薰消毒法进行消毒．现测得不同时刻的与的数据如表：时间分钟含药量毫克则下列图象中，能表示与的函数关系的图象可能是（

）A．B．C． D．【答案】D【分析】直接利用表格中数据分别得出函数解析式，进而得出答案．【详解】解：由表格中数据可得：，数据成比例增长，是正比例函数关系，设解析式为：，则将代入得：，解得：，故函数解析式为：，由表格中数据可得：，数据成反比例递减，是反比例函数关系，设解析式为：，则将代入得：，故函数解析式为：．故函数图象D正确．故选：．【点睛】此题主要考查了正比例函数与反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．6.某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪，要求边长均不小于5m，则草坪的一边长y（单位：m）随另一边长x（单位：m）的变化而变化的图象可能是（）．A． B．C． D．【答案】C【解析】∵草坪面积为100m2，∴x，y存在的关系为．∵两边长均不小于5m，∴x≥5，y≥5，则x≤20．故选：C．7．列车从甲地驶往乙地，行完全程所需的时间与行驶的平均速度之间的反比例函数关系如图所示．若列车要在内到达，则速度至少需要提高到（

）．A．180 B．240 C．280 D．300【答案】B【分析】】依据行程问题中的关系：时间=路程÷速度，即可得到汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式，把t=2.5h代入即可得到答案．【详解】解：∵从甲地驶往乙地的路程为200×3=600（km），∴汽车行驶完全程所需的时间t（h）与行驶的平均速度v（km/h）之间的关系式为当t=2.5h时，即2.5=∴v=240，答：列车要在2.5h内到达，则速度至少需要提高到240km/h．故选：B．【点评】本题考查了反比例函数的应用，找出等量关系是解决此题的关键．8．如图，曲线表示温度与时间之间的函数关系，它是一个反比例函数的图象的一支．当温度时，时间应（

）A．不小于 B．不大于 C．不小于 D．不大于【答案】B【分析】首先确定函数解析式，然后根据函数值的取值范围确定自变量的取值范围即可．【详解】解：设函数解析式为，经过点，，函数解析式为，当时，.故选.【点睛】本题考查反比例函数的性质，待定系数法求比例系数k是解题第一步，后续不等式求解，需要注意如果涉及负数需要变号．二、填空题（每小题4分，共20分）9.一辆汽车从甲地开往乙地，随着汽车平均速度的变化，到达时所用的时间的变化情况如图所示，那么行驶过程中与的函数表达式为________．【答案】【分析】观察图象可知与成反比例函数关系，可设与的关系式为：，将点代入求得，进而得到与的关系式．【详解】解：由图象可知与成反比例函数关系，设与的关系式为：，将点代入得：，∴，∴与的关系式为：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的应用，理解题意和熟练掌握待定系数法是解本题的关键．10．在平整的路面上某型号汽车急刹车后仍将滑行的距离s（米）与刹车的速度v（千米/时）有这样的关系，当汽车紧急刹车仍滑行27米时，汽车刹车前的速度是____________千米/时．【答案】【分析】根据已知函数解析，将代入求得，再求算术平方根即可．【详解】依题意，，，解得：．故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的的应用，掌握反比例函数的性质是解题的关键．11．小明要把一篇文章录入电脑，所需时间与录入文字的速度（字）之间的反比例函数关系如图所示，如果小明要在内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为______字．【答案】【分析】先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再求出时，的值，然后根据反比例函数的增减性即可得．【详解】解：设反比例函数的解析式为，将点代入得：，则反比例函数的解析式为，当时，，反比例函数的在内，随的增大而减小，如果小明要在内完成录入任务，则小明录入文字的速度至少为字，故答案为：．【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质，熟练掌握待定系数法是解题关键．12．小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间（分）与骑车速度（千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是__________千米/分．【答案】【分析】先求出小宇家到学校的距离和函数关系式，再把t=15代入函数关系式即可得到结果．×20=3（km），设函数的解析式为：（t＞0）又s=3，∴（t＞0）当t=15时，（千米/分）．故答案为：0.2．【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．13．某一蓄水池每小时注水量q（m3）与注满水所用时间t（h）之间的函数关系图象如图所示，则此函数的表达式为__；如果注满水池需要8h，那么每小时的注水量为__m3；如果要求在5h内注满水池，那么每小时的注水量至少为__m3．【答案】

q＝【分析】根据题意设q与t之间的函数关系为，利用待定系数法即可求出该函数关系式．再根据题意分别求出当和时，q的值即可．【详解】解：根据题意可设每小时注水量q（m3）与注满水所用时间t（h）之间的函数关系为：，∵点(12，3)在该图象上，∴将点(12，3)代入该函数关系式得：．解得：，故，∵注满水池需要8h，即，∴每小时的注水量为：．∵要求在5h内注满水池，即，∴每小时的注水量至少为：．故答案为：，4.5，7.2．【点睛】本题考查反比例函数的实际应用．根据图象上的点的坐标，利用待定系数法求出该函数解析式是解答本题的关键．解答题（共6小题，48分）14.（8分）用若干根火柴首尾相接摆成一个矩形，设每一根火柴的长度为1，矩形两条邻边的长分别为x，y，要求摆成的矩形的面积为8．（1）求y关于x的函数解析式；（2）能否摆成正方形？请说明理由．【答案】解：（1）(x＝1，2，4，8)；（2）不能摆成正方形．理由如下：因为x2＝8，解得，不是整数，所以不能摆成正方形．15.（8分）张丽每天上学、放学都往返于她家和学校之间．已知她家离学校1500m，设她每天往返的速度为vm/min，从家到学校所用时间为tmin．（1）请你写出t与v之间的函数解析式，并画出其函数图象；（2）星期一，她步行到学校，速度为80m/min，赶到学校发现忘了带铅笔盒，于是借了一辆自行车回家去取，为了不耽误上课时间，她必须在10min之内赶到家，那么她骑自行车的速度要比步行至少快多少？【答案】解：（1）根据题意，知v＝(t＞0)．列表：t/min103050100150v/（m/min点并连线，如图所示．（2）由v＝，得t＝．由题意，得≤10．解得v≥150，150－80＝70．所以张丽骑自行车的速度至少要比她步行快70m/min．16.（8分）近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（mm．(1)求y与x之间的函数关系式．(2)当近视眼镜的度数时，求近视眼镜镜片焦距x的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设出反比例函数解析式，把代入即可求解；（2）直接利用代入求出答案．【详解】（1）解：由已知设y与x的函数关系式为，把代入，得，解得：，故y与x之间的函数关系式为：；（2）解：由（1）知，则当时，有，解得：，故当近视眼镜的度数时，近视眼镜镜片焦距x的值为m．17．（8分）某乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活动中心，这样必须把生活垃圾运走．(1)假如每天能运，所需时间为y天，写出y与x之间的函数关系式；(2)若每辆拖拉机一天能运，则4辆这样的拖拉机要用多少天才能运完？(3)在（2）的情况下，运了10天后，剩下的任务要在不超过6天的时间完成，那么至少需要增加多少辆这样的拖拉机才能按时完成任务？【答案】(1)(2)4辆这样的拖拉机要用25天才能运完(3)至少需要增加6辆这样的拖拉机才能按时完成任务【分析】（1）根据每天能运，所需时间为y天的积就是，即可写出函数关系式；（2）把代入，即可求得天数；（3）首先算出10天以后剩余的数量，然后计算出6天运完所需的拖拉机数，即可求解．（1）解：∵，∴；即y与x之间的函数关系式为．（2）解：，将代入得：，答：4辆这样的拖拉机要用25天才能运完．（3）运了10天后剩余的垃圾有，设需要增加这样的拖拉机m辆，根据题意得：，解得：，答：至少需要增加6辆这样的拖拉机才能按时完成任务．【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，不等式的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义求解．18（8分）同心守“沪”，抗击疫情！我市医护人员分批出征她援上海．丽水到上海行驶里程为400千米记汽车行驶时间为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．(1)求v关于t的函数表达式；(2)人民医院医疗队上午8点搭乘汽车从丽水出发．医疗队需在当天12点30分至14点（含12点30分和14点）间到达上海，求汽车行驶速度v的范围．(3)医疗队能否在当天11点20分前到达上海？请说明理由．【答案】(1)(2)(3)医疗队不能在当天11点20分前到达上海，理由见解析【分析】（1）由速度路程时间即可得出结果；（2）8点到12点30分时间长为小时，8点到14点时间长是小时，将它们分别代入v关于t的函数表达式，即可得汽车行驶速度v的范围；（3）8点到11点20分时间长为小时，将其代入v关于t的函数表达式，得到的速度与最大速度进行比较即可．（1）解：，汽车行驶速度不超过100千米/小时，v关于t的函数表达式为：；（2）8点到12点30分时间长为小时，8点到14点时间长是小时，将代入得；将代入得；汽车行驶速度v的范围为：；（3）医疗队不能在当天11点20分前到达上海，理由如下：8点到11点20分时间长为小时，将代入得100千米/小时，故医疗队不能在当天11点20分前到达上海．【点睛】本题考查了反比例函数在行程问题中的应用，根据时间、速度、路程的关系可以求解，难度不大．19（8分）A、B两地相距400千米，某人开车从A地匀速到B地，设小汽车的行驶时间为t小时，行驶速度为v千米/小时，且全程限速，速度不超过100千米/小时．（