离散数学导论(盘) 教学课件 作者 王元元 张桂芸 第十一章演示文稿-大学课件-

第

十

一

章群、环、域11.1半群11.2

群11.3循环群和置换群11.5域11.4环第十一章群、环、域第十一章

群、环、域半群半群及独异点Δ

11.1.2自由独异点11.1.3半群及高斯半群第十一章

群、环、域群群及其基本性质子群、陪集和拉格朗日定理Δ

11.2.3正规子群、商群和同态基本定理第十一章

群、环、域循环群和置换群循环群置换群第十一章

群、环、域环环和整环Δ11.4.2子环和理想11.4.3

多项式环域和子域有限域第十一章

群、环、域11.5域第十一章

群、环、域半群半群及独异点定义11.1称代数结构<S，>为半群（semigroups）如果

运算满足结合律．当半群<S，

>含有关于运算的么元，则称它为独异点（monoid或含么半群．第十一章

群、环、域半群半群及独异点√定理11.1设<S，（1）<S，>为一半群,那么>的任一子代数都是半群，称为<S，>的子半群．（2）若独异点<S,

,e>的子代数含有么元e,,e>的子那么它必为一独异点,称为<S，独异点．第十一章

群、环、域半群半群及独异点√定理11.2设<S，

>,<S’，

’>是半群,h为S到S’的同态,这时称h为半群同态．对半群同态有同态象<h(S)，

’>为一半群．当<S，

>为独异点时，则<h(S)，

’>为一独异第十一章

群、环、域半群半群及独异点√定理11.3设<S，

>为一半群,那么<SS，○>为一半群，这里SS为S上所有

一元函数的集合，○为函数的合成运算．存在S到SS的半群同态．第十一章

群、环、域11.1半群Δ

11.1.2自由独异点定义11.2称独异点<S,,e>为自由独异点（free

monoi如果有A

S使得（1）e

A．对任意u

S，x

A,u

x

e

.对任意u,v

S，x,y A,若u

x

=

v

y,那么u

=

v,x

=

y．S由A生成,即S中元素或者为e,或者为A的成员，或者为A的成员的“积”:ai1

a

i2

aik…

(ai1,a

i2,…,aik

A)集合A称为S的生成集．第十一章

群、环、域11.1半群Δ

11.1.2自由独异点√定理11.4设<S，

,

e>为一自由独异点，A为它的生成集，g:

S

A

M→M为一已知函数，m

为M中已知元素，

那么下列等式组定义了一个S到M的函数f；其中w

S,x

A

。第十一章

群、环、域11.1半群Δ

11.1.2自由独异点√定理11.5设<S,,e1>和<T,,e2>为两个自由独异点A,B分别为它们的生成集，且

A

=

B，那么<S,

,e1>和<T,

,e第十一章

群、环、域半群11.1.3半群及高斯半群定义11.3设<S，

>为一半群，那么（l）当

满足交换律时，称<S，>为交换半群（commutative

semigroups）。当S中元素均可约时，称S为可约半群（cancelable

semigroups）．称S中元素a是b的因子（factor），如果有S中元素c，d，使

b

=

a

c，b＝d

a．在可约交换独异点<S, ,e>中，若a是b的因子，同时b又是a的因子，那么称a,b相伴（correlate）．第十一章

群、环、域11.1半群11.1.3半群及高斯半群√定理11.6设<S,

,e>为可约交换独异点,那么S中相伴关系～为<S,

,e>上同余关系．第十一章

群、环、域11.1半群11.1.3半群及高斯半群√定理11.7设<S,

,

e>为可约交换独异点。S中元素a，b相伴，当且仅当有可逆元c（c有逆元）,使a

=

b

cS中所有可逆元构成一个相伴类（相伴关系等价类）．S的相伴类具有相同的基数．第十一章

群、环、域11.1半群11.1.3半群及高斯半群√定理11.8可约交换独异点<S，

,e>的商半群<S/～，相伴关系）为一可约交换独异点，且=

S

/

[e]~

.定义11.4设<S,

,

e>为可约交换独异点．若a是,

[e]~>（～为

S中不可逆元素，且除了a及所有可逆元为其

S/～因子外没有别的因子，那么称a为既约元，否则称a为可约元．第十一章

群、环、域11.1半群11.1.3半群及高斯半群定义11.5可约交换独异点<S,,e>称为高斯半群(Gauss

semigroup)，如果S中不可逆元素均可分解为若干个（有限个）既约元素的积，且这种分解在相伴意义下是唯一的，即若a有两个分解a

=

p1

p2

…

pr

=

q1

q2

…

qs则r=s,且（适当变换运算次序）总可使pi与qi相伴。第十一章

群、环、域群群及其基本性质定义11.6称代数结构<G，>为群（groups）,如果（1）<G，（2）<G，（3）<G，>为一半群．>中有么元e.>中每一元素都有逆元．第十一章

群、环、域群群及其基本性质定义11.7设<G，

>为一群．（1）若运算满足交换律，则称G为交换群或阿贝尔群（Abel

group）．阿贝尔群又称加群，常表示为<G，+>（这里的+不是数加，而泛指可交换二元运算）．加群的么元常用0来表示，常用-x来表示x的逆元.（2）

G为有限集时，称G为有限群（finite

group此时G的元素个数也称G的阶（order）；否则，称

G为无限群（infinite

group）．第十一章

群、环、域群群及其基本性质√定理1l.9设<G，

>为群，那麽G有唯一的么元，G的每个元素恰有一个逆元．关于x的方程a

x＝b，x

a＝b都有唯一解．G的所有元素都是可约的．因此，群中消去律成立：对任意a,x,y

Sa

x

=

a

y

蕴涵x

=

y

;

x

a

=

y

a

蕴涵x

=

y当G

{e}时,

G无零元．么元是G的唯一的等幂元素.第十一章

群、环、域对群<G，>的任意元素a,b，（1）(a-1)-1＝a（2）(ab)

-1＝b-1

a-1

．（3）(ar)-1

=(a–1)r（记为a–r）（r为整数）群群及其基本性质定理11.10第十一章

群、环、域群群及其基本性质定理11.11对群<G，

>的任意元素

a,b，及任何整数m，n,（l）a

ma

n

=

am+n（2）(a

m)

n

=

amn第十一章

群、环、域群群及其基本性质√定理11.12设<G，

>为一群,a为

G中任意元素，那么

aG

=

Ga定义11.8设<G，>为群，a

G，称a的阶(order)为n，如果an

=e,且n为满足此式的最小正整数上述n不存在时,称a有无限阶.第十一章

群、环、域群群及其基本性质定理11.13有限群G的每个元素都有有限阶,且其阶数不超过群G的阶数

G

.第十一章

群、环、域群群及其基本性质定理11.14设<G，

>为群,G中元素

a

的阶为

k,

那么,an

=

e当且仅当

k

整除

n

.定理11.15设<G，

>为群，a为G中任一元素，那么

a

与

a-1

具有相同的阶．第十一章

群、环、域11.2

群11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理定义11.9设<G，

>为群．称<H，G的子群(subgroups)，如果<H，

>为G的子代数

，且<H，

>为一群．第十一章

群、环、域11.2

群11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理定理11.16设<G，

>为群，那么<H，

>为<G，

>子群的充分必要条件是（l）G的么元e

H

．（2）若a，b

H

，则ab

H

．（3）若a

H，则a-1

H．第十一章

群、环、域11.2

群11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理定理11.17设<G，

>为有限群,那么当G的非空子集H对

运算封闭时,

<H，

>即为G的子群.定理11.18设<H，>为<G，>的子群，那麽当g

H时，

gH

=

H（Hg

=

H）。对任意g

G，

gH

=

H

（

Hg

=

H第十一章

群、环、域11.2

群11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理定义11.10设<H，

>为<G，

>的子群，那么对任一gG，称gH为H的左陪集(left

coset)称Hg为H的右陪集(right

coset).这里gH

=

{g

h

h

H}

，Hg

=

{h

g

h

H}第十一章

群、环、域11.2

群11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理定理ll.19设<H，

>为<G，

>的子群，a，b

G，那么,或者aH=bH（Ha=Hb），或者aH∩bH

=

（Ha∩Hb

=

）．>的子群定理11.20设<H，

>为有限群<G，那么H阶的整除G的阶．第十一章

群、环、域11.2

群11.2.2子群、陪集和拉格朗日定理定义11.11设<H，

>为群<G，

>的子群。定义G上H的左(右)陪集等价关系～。对任意a,b

G

a～b当且仅当a，b在H的同一左（右）陪集中定理11.21设～为群G上H的左（右）陪集等价关系，那么a～b当且仅当a-1b

H第十一章

群、环、域11.2

群Δ

11.2.3正规子群、商群和同态基本定理定义11.12设<H，

>为群<G，

>的子群，称H为正规子群（normal

subgroup），如果对任一g

G

,gH

＝

Hg定理11.22设<H，

>为群<G，

>的正规子群，那么H的左（右）陪集等价关系～为<G，

>上的同余关系.第十一章

群、环、域11.2

群Δ

11.2.3正规子群、商群和同态基本定理定理11.23群G的上述商代数结构<G/H,⊙>为一群.定理11.24设h为群<G1,

1,e1>到群<G2,

2,e2>的同态映射,那么h(e1)

=

e2

.第十一章

群、环、域11.2

群Δ

11.2.3正规子群、商群和同态基本定理定理11.25设h为群<G1,

1>到群<G2,

2>的同态映射,那么h的核K(h)构成<G1,

1>的正规子群.(为简明计,以下用K表示K(h))定理11.26设h为群<G1,

1>到群<G2,

2>的同态映射,K

=K(h),那么商群<G/K,⊙>与同态像<h(G1),

2>同构第十一章

群、环、域循环群和置换群循环群定义11.13称<G，>为循环群(cyclic

group)，如果G为群，且G中存在元素g,使G以{g}为生成集，即G的任何元素都可表示为g的幂（约定e=g0），这时g称为循环群G的生成元（generater）．第十一章

群、环、域循环群和置换群循环群定理11.26设<G，

>为循环群，g为生成元，那么G为阿贝尔群．G的h同态像是以h（g）为生成元的循环群．G为无限循环群时必同构于<I,+>．G为有限循环群时，必有

G={e，g，g2,…，gn-1}其中n

=

G

，也是g的阶．从而n阶循环群必同构于<Nn

,＋n>．第十一章

群、环、域循环群和置换群循环群定理

11.27

循环群的子群都是循环群．定理11.28设<G，

>为g生成的循环群．若G为无限群，则G有无限多个子群，它们分别由g0,g1,g2,g3,…生成．若G为有限群，

G ＝

n，且n有因子k1,k2,k3,…,kr，那么G有r个循环子群，它们分别由

gk1,gk2,gk3,…生成.（注意这r个子群中可能有相同者第十一章

群、环、域11.3循环群和置换群11.3.2置换群定义11.14称有限集上的双射函数为置换．称任意集合上的双射函数为变换．定义11.15将n个元素的集合A上的置换全体记为S，那么称群<S,○>为n次对称群（symmetric

group），它的群又称为n次置换群（permutation

group）．第十一章

群、环、域11.3循环群和置换群11.3.2置换群定义11.16对任意集合A定义集合SS={f

f

AA∧f为双射}那么群<S，○>及其子群称为变换群.其中为函数的合成运算．定理11.29每个群均同构于一个变换群，特别地,每一个有限群均同构于一个置换群.第十一章

群、环、域环环和整环定义11.17称代数结构<R,+,·>为环（ring），如果<R,+>是阿贝尔群（或加群）．<R,·>是半群．（5）乘运算对加运算可分配，即对任意元素a,b,cR，a（b＋c）＝

ab+ac

,

（b＋c）a

=

ba+ca第十一章

群、环、域环环和整环定理11.30设<

R,+,·>为环，0为加法么元,那么对任意a,b,c

R（1）0a=a0=0(加法么元必为乘法零元)（2）（-a）b=a（-b）=-ab（-a表示a的加法逆元）（3）（-a）（-b）=

ab（4）若用a–b表示a+(-b),则（a-b）c＝ac–bc

,

c（a-b）＝ca-cb第十一章

群、环、域环环和整环定义11.18环<

R,+,·>中·运算满足交换律时，称R为交换环（commutative rings），当·运算有么元时，R为含么环（ring

with

unity）．定义11.19设<R,+,·>为环，若有非零元素a，b满足ab=0，并称R为含则称a,b为R的零因子（divisor

of

0）零因子环，否则称R为无零因子环．第十一章

群、环、域环环和整环定理11.31设<R,+,·>为环，那么R为无零因子环当且仅当R满足可约性（即R中所有非零元素均可约）．定义11.20设<R,+,·>不是零环．称R为整环（1ntegra1

omain），如果<R,+,·>是含么、交换、无零因子坏．第十一章

群、环、域11.4环Δ11.4.2子环和理想定义11.21设<R,+,·>为环，称代数结构<S,+,·>为

R的子环（subring），如果（1）<S,+>为<R,+>的子群（正规子群）．（2）<S,·>为<R,·>的子半群．第十一章

群、环、域11.4环Δ11.4.2子环和理想定义11.22设<D,+,·>为环<R,+,·>的子环．称<D,+,·>为

R的理想子环,简称理想（ideals），如果对任意的

r

R,d

D,有rd

D，dr

D.当D＝R或D＝{0}时，称<D,+,·>为<R,+,·>平凡理想.第十一章

群、环、域11.4环Δ11.4.2子环和理想定理11.32设<D1,+,·>,<D2,+,·>为环<R,+,·>的理想，那么（1）<D1

D2,+,·>为<R,+,·>的理想．（2）<D1+D2,+,·>为<

R,+,·>的理想．其中D1+D2

=

{d1+d2

d1

D1∧d2

D2}第十一章

群、环、域11.4环Δ11.4.2子环和理想定理11.33设h为环<R1,+,·>到环<R2,+,·>的同态，那么

（1）<

h(R1),+,·>为<

R2,+,·>的子环．（2）<K(h),+,·>为R1的理想．定理11.34设<D,+,·>为环<R,+,·>的理想，作<R,+>的正规子群<D,+>的（加法）陪集等价关系～，它是<R,+,·>上的同余关系。第十一章

群、环、域11.4环Δ11.4.2子环和理想定理11.5设h为环<R1,+,·>到环<R2,+,·>的同态，K=K(h)，那么K导出的商环<R1/K，

，⊙>与同态象<h(R1)，+,·>同构.第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定义11.23设<R,+,·>为含么交换环，x被称为未定元，它本身不是R的元素，但它与R中元素的乘积满足rx=xr，那么形如f(x)=a0+a1x+…+anxn

(ai

R，i=0,1,…,n)的表达式称为环R上的一元多项式，简称为R-多项式(polynomials).第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定义11.24代数结构<R[x]，+,·>（+,·分别是R-多项式的加、乘运算）称为R-多项式环（ring

of

polynomial）.第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定理11.36设<R,+,·>为含么交换环，

那么，R-多项式环<R[x]，+,·>也是含么交换环，并且R为整环当且仅当R[x]为整环．第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定义11.25设<S,+,·>为含么交换环，<R,+,·>是S的子环且R与S具有同一乘法么元.设f(x)=a0+a1x+…+anxn（an

0）

R[x]，c

S,那么称f(c)

=

a0+a1c+…+ancn为f(x)在c处的值，若f(c)=0，那么称c为f(x)的根(roots)．第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定理11.37环<

S,+,·>，<

R,+,·>如

定义11.24所述，c

S，那么R[c]是S的子环.定理11.38设c是环R的超越元，f（x），g（x）

R[x]且f（c）=

g（c），那么f（x）＝

g（x）．第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定义11.26环如<

S,+,·>，<

R,+,·>如定义11.25所述c

S,如果c不是任何非零R-多项式的根，只是零多项式O(或0(x))的根，那么称c为环R的超越元，否则称c为环R的代数元．第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定义11.27设f（x）

R[x]，R为含么交换环，若有R-多项式g（x），其最高次数项系数为e，及q（x），r（x）（其次数低于g（x）的次数或为零多项式），使得

f（x）＝

q（x）g（x）＋

r（x）

（11-l）那么式（11-l）称为f（x）的欧几里得标准形（Euclid

nomal

form）．称q（x）为g（x）除f（x）的商式，r（x）为g（x）除f（x）的余式．第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定理11.39设R为含么交换环，那么对任意f（x），g（x）g（x）最高次数项系数为e，都有唯一的q（x）和r（x），使f（x）可表示为欧几里得标准形．定理11.40设R为含么交换环，f（x）

R[x]，R[x]，那么，c是f（x）的根当且仅当f（x）可被x-c整除（即余式为

0）．第十一章

群、环、域11.4环11.4.3多项式环定理11.41设R是含么交换环，f（x）R[x]，那么，f（x）有不同的根c1，c2，…，cm，当且仅当f（x）可被（x-c1）（x-c2）…（x-cm）整除．定理11.42设R是含么整环，f（x）为R[x]中的n次非零多项式．那么f（x）的不同根的个数不超过n。第十一章

群、环、域域域和子域定义11.28称<F,+,·>为域（fields）,如果<F,+,为一环,且<F-{0},·>为阿贝尔群．定理11.43<Np,+p,

p>为域当且仅当p为质数．定理11.44有限整环都是域．第十一章

群、环、域域域和子域定理11.45设<F,+,·>为域,那么F中的非零元素在<F，+>中有相同的阶.定义11.29域<F,+,·>中非零元素关于运算+的阶称为域F的特征数．第十一章

群、环、域域域和子域定理11.46域的特征数或为质数，或为

。定义11.30设<F,+,·>为域．<S,+,·>为F的子环,且<S,+,·>为一域，那么称S为F的子域（subfields）.第十一章

群、环、域域域和子域定理11.47设<F

,+

,·>为域，F’

F，且F’至少有两个元素．那么<F’,+,·>为<F,+,·>的子域当且仅当F’满足下列条件:对任意a,b

F’,有a-b

F’（从而<F’,+>为<F,+>的子群）.对任意a,b

F’,有ab-1

F’（从而<F’,·>为<F,·>的子群）．第十一章

群、环、域域域和子域定理11.48设<F1,+,·>,<F2,+,·>都是域<F,+,·>域，那么<F1

F2