高中数学解三角形问题及其简单应用（含答案）

.解三角形问题中三角形解的个数原因探究1.1为什么已知两边和其中一边对角不能确定三角形【典例】在，角所对的边分别为，且.（1）若，则_______；(2)若，则_______．【解析】（1）由正弦定理得，即.又，则，,所以.(2)由，得，所以.当时，，所以；当时，，所以.所以或.【评注】在三角形全等的判定定理中，没有SSA这个定理，因为已知两边和其中一边的对角，不能确定三角形，即三角形可能不唯一.所以已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能出现多解的情况.上述例题（2）就是这个道理，而（1）为什么只有一个解？因为A＜C，A是锐角，所以三角形只有一个解.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，则=.1.【解析】因为，得，由于，得且，所以.【变式2】已知在中，角所对的边分别为，，试判断符合条件的有多少个？2.【解析】（法1）求得，又，得A＞45°，∴或.故符合条件的有个.（法2）.故符合条件的有个.1.2由正弦值求三角形内角时可能有两解【典例1】在中，，求的面积.【解析】（法1）由正弦定理得，得，由，得，又，所以.(1)当时，，此时，；(2)当时，，此时，.∴的面积为EQ\F(\r(,3),2)或EQ\F(\r(,3),4)．（法2）设，由余弦定理得，即，解得或2，(1)当时，；(2)当时，.∴的面积为EQ\F(\r(,3),2)或EQ\F(\r(,3),4)．【评注】因为正弦函数在上不单调，由正弦值求三角形的内角时，可能会得出两个解（直角除外），且两角互补，要注意判断取舍.【变式1】若的面积为，且，则等于．1.或【解析】，得，所以或.当时，；当时，.故等于或．【变式2】中，角所对的边分别为，且，的面积为，求与的值.2.【解析】由已知得.当时，；当时，.【变式3】已知，是的内角，且，求的大小.3.【解析】，则，由，得，所以，所以.【变式4】在中，角所对的边分别为，(1)求角；(2)若，的面积为，求.4.【解析】(1)由正弦定理得，则.由，，得，故.(2)由面积为得，由余弦定理得，解得.【典例2】在中，角所对的边分别为，如果有性质,试问这个三角形的形状具有什么特点？【解析】（法1）——化边为角：有已知得，即，因为，所以，或，即或，所以是等腰三角形或直角三角形.（法2）——化角为边：因为，所以，得，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形.【评注】根据所给条件确定三角形的形状，常用正弦、余弦定理实施边、角转换，使之变为只含边或只含角的式子，然后进行判断.但要注意在中，由，可得或，不要漏掉了.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.1.【解析】由已知得，化简得，与例题相同，所以是等腰三角形或直角三角形．【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.2.【解析】或cosC=0或C＝90°或C＝90°.所以△ABC是等腰三角形或直角三角形．【变式3】在中，内角所对的边分别为.已知，．求角的大小．【解析】，即，得，因为，得，得，所以.1.3由产生的漏解现象【典例】在中，角所对的边分别是，已知.若，求△ABC的面积.【解析】因为所以，化简得.当时，，由正弦定理得，由余弦定理得，所以，，得；当时，，，，所以.故的面积是.【评注】一般地，设为三角形的一个内角，则为非零实数或不存在,，也就是说可以等于0，如此题容易由，两边同除以，得到，遗漏的情况.【变式1】若是三角形的内角，则可能为0，但在△ABC中，已知角.若，求角的大小.1.【解析】由已知得，，即，从而，即或，因，所以.【变式2】已知是三角形的内角，向量，若，求角的大小.2.【解析】（法1）：由，得，整理得，，即，于是，即或，又因为，所以.（法2）：同法1，由，化简得，，，得，所以【变式3】等式两边乘以或除以同一个不为零的数，等式仍然成立在中，角所对的边分别为，已知，判断的形状.3.【解析】由正弦定理得，，化简得，所以或，又因为，所以.所以是等腰三角形或直角三角形.2.解三角形出现增解的应对策略2.1已知两边及大边对角的三角形唯一确定【典例】在中，角所对的边分别为，若，,,则角的大小为.【解析】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以.【评注】已知两边及一边的对角，首选正弦定理，但是要注意三角形形状的不确定性.如果已知角是已知的两边中较小边所对的角，则由“大边对大角”可知不会有两解.简单地说，三角形中,大边对大角，小边对小角，小角只能为锐角【变式1】三角形中大边对大角，非最大边所对的角一定是锐角在中，角所对的边分别为，已知，则边长等于（）A. B. C. D.1.B【解析】，.由，故,所以，.【变式2】在中，角所对的边分别为，已知，，，则．2.EQ\F(π,4)【解析】，所以，又易知，所以.【变式3】已知在中，，则的面积为___________.3.【解析】由正弦定理得，得，所以，故.【变式4】在中，角所对的边分别为，若，则角______.4.EQ\F(π,6)【解析】由，得，因为，所以.【变式5】在中，角所对的边分别为，若角依次成等差数列，且，，则角.5.【解析】易得，，，所以，.【变式6】在中，已知.求的值.6.【解析】由余弦定理得，由正弦定理得，又，得C为锐角，∴，∴.2.2根据两角正弦值大小剔除增解【典例】在中，，，则的值为___________.【解析】由，，得,又,得，因为为锐角，所以也为锐角，故，所以【评注】在中，．【变式1】在中，求证：.1.【证明】设为外接圆的半径，.【变式2】在中，若，，则的值为．2.【解析】由题意易得．由，得，所以角是锐角，所以，易得．【变式3】在中，，，则的值为___________.3.【解析】由题意易得，由，得，所以角B是锐角或钝角，．进而得或=．2.3根据三角函数值的范围剔除增解【典例】在中，角所对的边分别为，，，，则满足此条件的三角形有（）A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】，则，这是不成立的，所以不存在满足条件的三角形.选A.【评注】利用三角函数值的范围剔除增解.【变式1】钝角的面积是，，，则()A．5B.eq\r(5)C．2D．11.B【解析】由已知得，所以或.当时，，此时，为直角三角形，不符合题意；当时，符合题意，故选B.【变式2】借助余弦函数的单调性，缩小角的范围，避免讨论已知在中，角所对的边分别为，为锐角，且，，则的值为．2.【解析】，所以.由，得，，所以.故，又，故．【变式3】根据三角形中各内角的正弦值均大于零探求隐含条件，合理舍去增解在中，已知，则角.【解析】平方相加，整理得，即，因为，所以或.又由，得，所以，即，故.3．几何法判断三角形解的个数3.1画图观察直观判断三角形解的个数【典例】已知在中，角所对的边分别为，，试判断符合条件的有多少个？【解析】以已知角作支架，邻边做吊杆，对边作吊绳荡起“秋千”如图，作，由得，，∴.于是，以点为圆心，以为半径画圆与直线交于两点，从而，顶点有两个可能位置.故符合条件的有个.【评注】三角形解的个数的判定（画图观察法）：已知，设，⑴为锐角时：①时，无解；baChbaCh③时，两解（B为一锐角，一钝角）；④时，一解（B为一锐角）.⑵为直角或钝角时：①时，无解；②时，一解（B为锐角）.【变式1】已知在中，角所对的边分别为，不解三角形，则下列判断正确的（1）有两个解；（2）有一个解；（3）有一解；（4）无解.1.（1）（2）（4）【解析】由画图、计算易知（1）（2）（4）正确，（3）错误.【变式2】已知在中，角所对的边分别为，根据下列条件解三角形：①＝30°，＝14，＝7；②＝60°，＝10，＝9．那么，下面判断正确的是()A．①只有一解，②也只有一解． B．①有两解，②也有两解．C．①有两解，②只有一解． D．①只有一解，②有两解．2.D【解析】①中，②中又，可知①有一解，A＝90°，②有两解.【变式3】在中，角所对的边分别为，若，则此三角形有()A．无解B．两解C．一解D．解的个数不确定3.B【解析】，又因为，所以有两个，三角形有两解.【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，则满足此条件的三角形的个数是几个？4.【解析】过顶点作，垂足为..所以满足条件的三角形不存在.3.2根据三角形解的个数确定字母参数的范围【典例】如果满足，的三角形ABC恰好有一个解，那么实数的取值范围是【解析】如图，以C为圆心，12为半径作圆，当圆与射线BA相切时，三角形ABC形状确定，只有一个解，此时，所以；当圆与射线BA相交，且也只有一个解，所以.综上，实数的取值范围是或【评注】根据三角形解的个数确定字母参数的范围实质上就是把字母参数视为已知条件，从而把问题重新划归成解三角形问题.【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，此三角形有解，则角的取值范围是.1.【解析】由，得.因为三角形有解，且，所以且角为锐角，所以角的取值范围是.【变式2】若满足条件，，的有两个，则边长的取值范围是.2.【解析】由已知得，则.又由，得，所以，故边长的范围是.【变式3】在中，角所对的边分别是，已知，且此三角形只有一个解，则边长的取值范围是.或【解析】因为三角形只有一个解，所以或，即或.4.三角形形状的判定4.1利用余弦定理判断锐角、直角、钝角【典例】在中，角所对的边分别为，用余弦定理证明：当角C为钝角时，；当角C为锐角时，.【证明】角C为钝角时，，由余弦定理得，所以；同理可证，当角C为锐角时，.【评注】因为y＝cosx在（0，π）上单调递减，且符号易于判断，故判断三角形形状首选余弦定理．【变式1】在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定1.D【解析】易知，，所以为锐角，但的情况不知道，故选D.【变式2】在中，若，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定2.C【解析】易知，，所以为钝角，为钝角三角形.【变式3】在中，角所对的边分别为，若三边满足，则的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定3.A【解析】由条件知，所以，所以.则，即，所以为锐角.又，所以是锐角三角形.4.2化边为角判定三角形形状【典例】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.【解析】令，由正弦定理得，代入已知条件得，即，又因为，所以，从而是正三角形.【评注】通过三角恒等变换和正弦定理，把条件式转化，直至能确定三个角的关系为止，即可判断三角形的形状．【变式1】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.1.【解析】，,所以是等腰直角三角形.【变式2】在中，已知，判定的形状.2.【解析】，,得，所以是等腰三角形.【变式3】在中，角所对的边分别为，已知，判定的形状.3.【解析】，由变式2知是等腰三角形.【变式4】在中，角所对的边分别为，已知，，判定的形状.【解析】，，所以为等腰直角三角形.【变式5】在中，角所对的边分别为，已知，，判定的形状.5.【解析】由，得，由余弦定理得，又因为，故.由得，所以为等边三角形．4.3化角为边判断判定三角形形状【典例1】在中，角所对的边分别为，已知，，判断的形状.【解析】令，由正弦定理得，，代入得，又因为，所以，整理得，所以，再根据条件得，所以是等边三角形.【评注】利用正弦或余弦定理化角为边，再进行代数恒等变形，直至能确定边的关系为止.【变式1】在中，若，则的形状一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形1.C【解析】，所以，故，选C.【变式2】在中，角所对的边分别为，若，，试判断的形状．2.【解析】由题意易得，将代入得，化简得，又，所以△ABC是等边三角形．【典例2】在△ABC中，若，试判定△ABC的形状.【解析】（法1：用角判定）∵;∴整理得即∵是△ABC的内角，∴或即或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.（法2：用边判定）∴整理得∵，，∴整理得∴或∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.【评注】判定三角形形状一般有两种方向，一个从边判定,一个从角判定;正弦定理、余弦定理是联系三角形边与角的桥梁，它能使三角形边与角相互转化.【变式1】在△ABC中，若，则△ABC的形状.1.等腰三角形【解析】由.∴△ABC是等腰三角形.【变式2】在△ABC中，若，则△ABC的形状如何？2.【解析】∴,整理得∵∴∴△ABC是直角三角形.5.三角形中的取值范围与最值问题5.1三角形形状隐含角的范围【典例】设锐角三角形的内角的对边分别为，且，求的取值范围．【解析】由得,所以，所以由为锐角三角形，知，，所以，因此，所以，即，故的取值范围为．【评注】锐角满足：不等式，，同时成立.不论问哪个角的大小，必须三个角同时考虑，以避免失误.【变式1】在锐角中，，，则的取值范围是.1.【解析】由，，，所以，故，所以的取值范围是．【变式2】锐角的内角的对边分别为，设，则的取值范围是.2.【解析】=，由题意知，，，得，即，所以的范围是.【变式3】钝角三角形的三个内角成等差数列，且最大边与最小边之比为，则的取值范围是.3.【解析】不妨设，，,，所以的取值范围是.【变式4】在锐角中，则的值等于，的取值范围为.4.2；【解析】则，，得，，且，解得，所以，，的取值范围为.【变式5】锐角△ABC满足不等式同时成立锐角中，若，则的取值范围是.5.【解析】5.2三角形两边之和大于第三边的配合使用【典例】在锐角中，角所对的边分别为，边长，则边长的取值范围是.【解析】因为是锐角三角形且，所以只需要且.由，得，于是；由,则，得，又由，得，所以，故边长的取值范围是【评注】为锐角三角形同时成立，且三角形两边之和大于第三边；若是钝角，则且.【变式1】锐角的边长分别为，3，1，则的取值范围是.1.【解析】由题意得，又且，解得的取值范围是.【变式2】在钝角中，三边长分别为4,5，，则实数的取值范围为_______________.2.【解析】或，解得实数的取值范围为.5.3利用余弦定理、基本不等式求最值【典例1】若的内角A、B、C满足，则的最小值是.【解析】由正弦定理得，再由余弦定理得，当且仅当，即时等号成立.故所求的最小值是.【评注】现将等式中角应用正余弦定理化为边，化简整理后，再应用基本不等式求最值。同时要注意取等的条件，即取最值的条件。【变式1】在中，角所对边长分别为，若，则的最小值为（）A.B.C.D.1.C【解析】当且仅当时取“=”.【变式2】利用，求角的取值范围在△ABC中，角所对边长分别为，,则角的取值范围是.【解析】，，，当且仅当时取“=”，所以角的取值范围是.【变式3】在△ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等差，则角C的取值范围是.【解析】因为a、c、b成等差，所以，当且仅当时取“=”，所以角的取值范围是.【变式4】在△ABC中，角所对边长分别为，若a、c、b成等比，则角C的取值范围是.4.【解析】，当且仅当时取“=”，所以角的取值范围是.【变式5】利用，求边长的最小值在△中，角所对边长分别为，，若△的面积为，则边的最小值为．5.【解析】，得，，所以，当且仅当时取等号，故的最小值为．【变式6】利用，，求周长的最小值已知分别是的三个内角的对边，.（=1\*ROMANI）求角的大小；（II）若的面积，求周长的最小值．6.【解析】（=1\*ROMANI）由正弦定理得，化简整理得，所以.（II）由，得，，所以，又，当且仅当时，的最小值为，的最小值为.故周长的最小值为.【典例2】已知分别为三个内角的对边，，且，则面积的最大值为_________．【解析】由条件可得,由正弦定理可得,即,由余弦定理可得,即A=60°.再由，得.故△ABC的面积.所以面积的最大值为．【评注】最值问题经常利用的不等式：，，.【变式1】利用余弦定理结合求周长的最大值已知分别为三个内角的对边，，，则周长的最大值为_______．1.6【解析】由余弦定理得，，解得，当时取“=”，所以周长的最大值为6.【变式2】利用，结合余弦定理求面积的最大值在锐角中，角的对边分别为,已知,，且.（Ⅰ）求角的大小；（Ⅱ）若，求面积的最大值．2.【解析】（Ⅰ）由，得，，，所以，又,故.（Ⅱ）由余弦定理得，所以，所以，当且仅当取等号，故.【变式3】已知内接于单位圆(半径为1个单位长度的圆),且.(1)求角的大小;(2)求面积的最大值.3.【解析】(1)由已知得,整理得,所以,(2)由得,由得,(当且仅当时取等号)所以，面积的最大值为.【变式4】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知（Ⅰ）证明：a+b=2c;（Ⅱ）求cosC的最小值.4.【解析】(Ⅰ)由题意知，化简得，即，因为,所以.从而.由正弦定理得.（Ⅱ）由（Ⅰ）知,所以，当且仅当时，等号成立.故的最小值为.【变式5】已知分别是的三个内角的对边，且(I)求角B的大小；(II)若，求b的取值范围．5.【解析】(1)由已知得,化简得，，所以.(2)由余弦定理得，当且仅当时取“=”，所以，又，所以b的取值范围是.5.4化归为三角函数的最值与值域问题【典例】在中，，则的最大值为________.【解析】由正弦定理知，得，又,所以,其中是第一象限角，所以的最大值为.【评注】在中，根据（为外接圆半径），可将边长转化为三角形内角的正弦值，进而转化为某一个角的三角函数的最值或值域问题.【变式1】在ABC中，.（1）求的大小；（2）求的最大值.1.【解析】（1）由余弦定理及题设得又∵，∴；（2）由（1）知，，因为，所以当时，取得最大值.【变式2】设的内角所对的边分别为，且（1）求角B的大小；（2）若，求的周长的取值范围。2.【解析】（1）由余弦定理得化简整理得，所以.（2）由，，，故的周长的取值范围为．【变式3】如图，在等腰直角中，，，点在线段上．(1)若，求的长；(2)若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．3.【解析】(1)由余弦定理得，,解得.(2)设，则，在中，由正弦定理，得，所以，同理，故.因，所以当时，的最大值为1，此时的面积取到最小值，即时，的面积的最小值为.6.三角形中几种常见的变换方法6.1两角和与第三角的三角函数关系【典例】在中，角所对应的边分别为.已知，，求角C.【解析】，得即，化简得，又因为是的内角，所以，又因为，所以.【评注】在中，，所以有；；.【变式1】在中，角所对应的边分别为.若,,，则（）（A）4（B）（C）3（D）1.D【解析】，∴，由余弦定理得.【变式2】在中，角所对应的边分别为.已知，则的值为.2.1【解析】由题意易得，。【变式3】在中，角所对应的边分别为.若，则之间的关系可用等式表示为．3.【解析】，即，即，所以，故.【变式4】在中，角所对应的边分别为.已知，，求B.4.【解析】，，，.【变式5】已知是三角形三内角，向量，且，若，求的值.5.【解析】由，得，即，因为,所以.因为，化简得，，得.所以．【变式6】在中，已知．(1)求证：；(2)若求A的值．6.【解析】（1）由已知得，即，，所以.（2）由，则.即.∴.由（1），得，解得，又因为，，所以A,B为锐角，所以，∴.∴.【变式7】已知的内角，面积满足所对的边，求证：。7.【解析】，,，即得；根据三角形面积公式，得，所以，，所以，又，得，所以【变式8】在锐角三角形中，若，则的最小值是.8.【解析】由，得，又，又，可得（*），由三角形为锐角三角形，则，在（*）式两侧同时除以可得，所以,所以。6.2不能遗忘的“切化弦”【典例】已知锐角中，角所对应的边分别为.且，则角B的大小为_________．【解析】由，得，所以，又因为△ABC是锐角三角形，所以.【评注】在三角函数部分切弦互化是很容易想到，在解三角形问题中，遇到切也要考虑是否需要采用“切化弦”.【变式1】在中，已知，则．1.3【解析】由已知得，所以，故.【变式2】在锐角中，角所对应的边分别为.，则.【解析】，.【变式3】在中，角所对的边分别为，若，且，则该三角形的面积的最大值为.【解析】由已知得，化简整理得，，有正弦定理得，再由余弦定理整理得，，，当且仅当时取“=”，所以该三角形的面积的最大值为.7.常见的解三角形实例7.1距离的测量问题【典例】在相距2千米的两点处测量目标点C（无法到达），若，，则两点之间的距离为________千米．【解析】由已知条件，得.结合正弦定理，得，即，解得(千米)．所以两点之间的距离为eq\r(6)千米.【评注】(1)在测量上，我们根据测量需要适当确定的线段叫做基线（如本题中的线段AB）．一般来说，基线越长，测量的精确度越高．(2)解决实际测量问题的过程一般要充分理解题意，正确做出图形，把实际问题里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解．【变式1】如图，一艘船上午9：30在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午10：00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距8eq\r(2)nmile.此船的航速是________nmile/h.1.32【解析】设航速为nmile/h，在中，，nmile，，，所以nmile/h.【变式2】要测量对岸两点之间的距离，选取相距eq\r(3)km的两点，并测得，求之间的距离．2.【解析】如图所示，在中，，，在中，,有正弦定理得（km），在中，有余弦定理得（km）.7.2高度的测量问题【典例1】如图所示，为测一树的高度，在地面上选取两点，从两点分别测得树尖的仰角为30°，45°，且两点间的距离为60m，则树的高度为________m.【解析】在中，，所以，由正弦定理得，，所以树的高度为(m).【评注】仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图)．【变式1】如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是，则河流的宽度BC约等于.（用四舍五入法将结果精确到个位.参考数据：，，，，）1.【解析】易得，.【变式2】某登山队在山脚A处测得山顶B的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1000m后到达D处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC为________m.2.【解析】过点作交，,由正弦定理得(m)，(m).【变式3】在某个位置测得某山峰仰角为，对着山峰在水平地面上前进900m后测得仰角为，继续在水平地面上前进300eq\r(3)m后，测得山峰的仰角为，则该山峰的高度为________m.3.【解析】如图所示，，，由，解得，则，，所以山峰的高度（m）.【变式4】如图，在湖面上高为10m的处测得天空中一朵云C的仰角为30°，测得云C在湖中之影D的俯角为45°，则云C距湖面的高度为________m.4.【解析】，在,中，，在中，,所以，解得.【典例2】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得公路北侧一山顶D在西偏北的方向上，行驶600m后到达处，测得此山顶在西偏北的方向上，仰角为，则此山的高度m.【解析】依题意，，，在中，由，所以，因为，所以在中由正弦定理得，即m.在中，因为，，所以，故m.【评注】方向角：从东、西、南、北的某一方向开始最小角旋转到另一方向时所转的角度．如西偏北75°，就是从西开始旋转到正北，转过的角度为75°．方位角：从测者所站位置逆时针旋转到正北方向时所转的最小角．【变式1】要测量底部不能到达的东方明珠电视塔的高度，在黄浦江西岸选择两观测点，在两点测得塔顶的仰角分别为45°，30°，在水平面上测得电视塔底部与地连线及两地连线所成的角为120°，两地相距500m，则电视塔的高度是()A．100eq\r(2)mB．400mC．200eq\r(3)mD．500m1.D【解析】设塔高m，则m，m，在中，得，解得(负值已舍)，，故选D.【变式2】如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与.测得＝，＝，＝30m，并在点测得塔顶的仰角为60°，则塔高＝m.2.【解析】由，,所以（m）.【变式3】如图，为测量山高，选择和另一座山的山顶为测量观测点．从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得.已知山高m，则山高＝____m.3.150【解析】易得(m)，在中，由，得，在中，可求(m).【变式4】如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到处时测得北侧远处一山顶在西偏北的方向上，仰角为，行驶4km后到达处，测得山顶在西偏北的方向上.（Ⅰ）求山的高度；（Ⅱ）设汽车行驶过程中，仰望山顶的最大仰角为，求.4.【解析】（Ⅰ）设山高为（m)，则.在中，，，根据正弦定理，得（m）.（Ⅱ）如图，过点作，垂足为，连接，，，，所以。【变式5】如图，跳伞塔高4，在塔顶测得地面上两点的俯角分别是，又测得,求两地的距离.5.【解析】因为,所以在中,，又因为,所以在中,在中，由余弦定理得：，故.7.3角度的测量问题【典例】甲船点发现乙船在北偏东60°的处，乙船以每小时海里的速度向北行驶，已知甲船的速度是每小时海里，问甲船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇？【解析】如图所示．设经过t小时两船在点相遇，则在中，(海里)，(海里)，B＝120°，由正弦定理得，整理得，又因为，所以，因此.所以甲船应沿着北偏东30°的方向前进，才能最快与乙船相遇．【评注】追及问题常用正余弦定理求解．【变式1】两座灯塔和与海岸观察站的距离相等，灯塔在观察站北偏东40°，灯塔在观察站南偏东60°，则灯塔在灯塔的()北偏东10°B.北偏西10°C.南偏东10°D.南偏西10°1.B【解析】灯塔,的相对位置如图所示，由已知得，，则，即北偏西10°.故选B.【变式2】如图，两座相距60m的建筑物的高度分别为20m，50m，为水平面，则从建筑物的顶端看建筑物的张角为________．2.45°【解析】依题意可得在中，有余弦定理得。【变式3】如图所示，位于处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的处的乙船，现乙船朝北偏东的方向即沿直线前往处救援，求的值．3.【解析】在中，由余弦定理，得.由正弦定理得,，所以.【变式4】某渔船在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在处获悉后，立即测出该渔船在方位角为45°，距离为10海里的处，并测得渔船正沿方位角为105°的方向，以10海里/小时的速度向小岛B靠拢，我海军舰艇立即以10eq\r(3)海里/小时的速度直线航行前去营救，求舰艇的航向和靠近渔船所需的时间．【解析】如图所示，设所需时间为t小时，则，在中，，，根据余弦定理可解得，此时，，又有正弦定理求得，所以舰艇航行的方位角为75°，舰艇需1小时靠近渔船.7.4是否进入某区域问题【典例】海滨某城市A附近海面上有一台风，在城市A测得该台风中心位于方位角150°、距离400km的海面P处，并以70km/h的速度沿北偏西60°的方向移动.如果台风侵袭的范围是半径为250km的圆形区域，问：几小时后该城市开始受到台风侵袭？（）【解析】如图所示，设台风移动到B时，A市开始受到台风侵袭.由题意知，由正弦定理得,则，又再由正弦定理得，，故，即2.8小时后该城市开始受到台风侵袭.【评注】是否进入某区域问题，一般转化为动点到定点的距离与符合某区域条件的距离的大小比较.【变式1】如图，一船由西向东航行，在A处