一元一次方程的实际应用（解析）

一元一次方程的实际应用教学目标：1.熟练掌握分析解决实际问题的一般方法及步骤；2.进一步提高分析实际问题中数量关系的能力，能熟练找出相等关系并列出方程；3.熟练行程、工程、配套、数字、调配、和差倍分、日历、销售、储蓄、积分、年龄、古数学、盈不亏、分段收费、方案选择等应用类问题的对应模型，并能利用一元一次方程解决实际应用类问题。知识精讲一、用一元一次方程解决实际问题的一般步骤列方程解应用题的基本思路为：问题方程解答．由此可得解决此类问题的一般步骤为：审、设、列、解、检验、答．要点诠释：（1）“审”是指读懂题目，弄清题意，明确哪些是已知量，哪些是未知量，以及它们之间的关系，寻找等量关系．（2）“设”就是设未知数，一般求什么就设什么为x，但有时也可以间接设未知数．（3）“列”就是列方程，即列代数式表示相等关系中的各个量，列出方程，同时注意方程两边是同一类量，单位要统一．（4）“解”就是解方程，求出未知数的值．（5）“检验”就是指检验方程的解是否符合实际意义，当有不符合的解时，及时指出，舍去即可．（6）“答”就是写出答案，注意单位要写清楚．二、一元一次方程常见类型（1）三个基本量间的关系：路程=速度×时间（2）基本类型有：①相遇问题（或相向问题）：Ⅰ．基本量及关系：相遇路程=速度和×相遇时间Ⅱ．寻找相等关系：甲走的路程+乙走的路程＝两地距离．②追及问题：Ⅰ．基本量及关系：追及路程=速度差×追及时间Ⅱ．寻找相等关系：同地不同时出发：前者走的路程＝追者走的路程；同时不同地出发：前者走的路程+两者相距距离＝追者走的路程．③航行问题：Ⅰ．基本量及关系：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度－水流速度，顺水速度－逆水速度＝2×水速；Ⅱ．寻找相等关系：抓住两地之间距离不变、水流速度不变、船在静水中的速度不变来考虑．（3）解此类题的关键是抓住甲、乙两物体的时间关系或所走的路程关系，并且还常常借助画草图来分析．相遇问题（两种基本类型）例1.李华和赵亮从相遇20千米的A、B两地同时出发相向而行，李华每小时走3千米，2小时后两人相遇，设赵亮的速度为x千米每小时，列方程得（）．A．2x+3=20B．+x=20C．2(3+x)=20 D．2(x3)=20解：根据题意列方程得，2(3+x)=20故答案为：C．例2.如图，甲、乙两人沿着边长为的正方形按的路线行走，甲从点出发，以/分钟的速度行走，同时，乙从点出发，以/分钟的速度行走．当乙第一次追上甲时，将在正方形的（）A．边上 B．边上 C．边上 D．边上解：设乙x分钟后追上甲，由题意得，70x50x=270，解得：x=13.5，13.5×70=945，945÷90=10……45，∴乙第一次追上甲是在AD上．故答案：D．追击问题例3.小明每天早上要在7：50之前赶到距离家1000的学校上学，一天，小明以80米/分的速度出发，5分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书，于是爸爸立即以180米/分的速度去追小明，并且在途中追上他，爸爸追上小明用了（）分钟A．3分 B．6分 C．4分 D．5分解：设小明爸爸追上小明用了x分钟，则此时小明走了（x＋5）分钟，由题意得：80（x＋5）＝180x，解得：x＝4，∵80×9＜1000米，∴小明爸爸追上小明用了4分钟．故答案为：C．例4.在高速公路上，一辆长5米、速度为120千米/时的轿车准备超越一辆长15米、速度为80千米/时的卡车，则轿车从开始追到卡车到超越卡车，需要花费的时间是（）秒．A B C．2 D解：设轿车从开始追及到超越卡车所需的时间为x小时，根据题意得：（12000080000）x=5+15，解得：x=0.0005，0.0005×3600=1.8（秒）．故答案为：B．航行问题例5.一轮船航行于两个码头之间，逆水航行需10小时，顺水航行需6小时，已知水流的速度为每小时航行8千米，则两码头间的距离为（）千米A．480 B．540 C．240 D．280解：设两码头间的距离为x千米，根据题意得，解得：x=240故答案为：C.例6.一货轮往返于上、下游两个码头，逆流而上38个小时，顺流而下需用32个小时，若水流速度为8千米/时，则下列求两码头距离x的方程正确的是（）A． B． C． D．解：可列方程为：．答案为：B．例7.某学生乘船由甲地顺流而下到乙地，然后由乙地逆流而上到丙地，共用3小时，若水流速度为2km/h，船在静水中的速度为8km/h，已知甲地与丙地间的距离为2km，则甲乙两地间的距离为____km．解：（1）如下图，若丙在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则，解得：x＝12.5．（2）如下图，若丙不在甲地和乙地之间，设甲乙两地距离为x，则，解得：x＝10．故答案是：12.5或10．例8.一艘轮船在水中由地开往地，顺水航行用了4小时，由地开往地，逆水航行比顺水航行多用了1小时，已知此船在静水中速度是18千米/时，水流速度为___________千米/小时．解：设水流速度是x千米/时，4（x＋18）＝（4＋1）×（18−x），解得：x＝2．答案是：2．其他行程问题例9.一列长150米的火车，以每秒15米的速度通过长600米的桥洞，从列车进入桥洞口算起，这列火车完全通过桥洞所需时间是____秒．解：设火车完全通过桥洞所需时间为x秒，由题意得：15x＝600＋150，解得：x＝50．答案为：50．例10.已知A，B两地相距200千米，甲车的速度为每小时70千米，乙车的速度为每小时50千米．（1）若两车分别从A，B两地同时同向而行（甲车在乙车后面），问经过多长时间甲车追上乙车？（2）若两车同时从A，B两地相向而行，问经过多长时间两车相距20千米？【答案】（1）10小时；（2）经过或小时两车相距20千米.【解析】解：（1）设经过x小时甲车追上乙车，则70x50x=200，解得：x=10，即经过10小时甲车追上乙车；（2）两车同时从A，B两地相向而行，设经过y小时两车相距20千米，分相遇之前和相遇之后两种情况讨论：①在相遇之前70y+50y=20020，解得，②在相遇之后70y+50y=200+20，解得，答：两车同时从A，B两地相向而行，经过或小时两车相距20千米．如果题目没有明确指明总工作量，一般把总工作量设为1．基本关系式：（1）总工作量=工作效率×工作时间；（2）总工作量=各单位工作量之和．例11.一项工程甲队单独完成此项工程需60天，甲队单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的．若由甲队先做10天，剩下的工程再由甲、乙两队合作_____天可以完成此项工程．解：由题意知，乙队单独完成这项工程所需天数为60÷（天），设剩下的工程再由甲、乙两队合作x天可以完成此项工程，解得：x=30答案为：30.例12.为解决市民出行的问题，市政府决定再修建一条地铁．有甲、乙两个工程队负责施工一段长为540米的山体隧道贯穿工程．甲工程队独立工作12天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了8天，这20天共掘进180米．已知乙工程队每天比甲工程队少掘进2米，按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（x﹣2）米，由题意，得12x+8（x+x﹣2）＝180，解得x＝7，乙工程队每天掘进5米．（540180）÷（7+5）=30（天）答：甲乙两个工程队还需联合工作30天．配套问题等量关系：各种物品的总数量比等于一套组合中各部分的数量比。比如：螺栓与螺母的配套、盒身与盒底的配套，桌子与椅子的配套等等。例13.某车间有38名工人，每人每天可以生产1200个甲型零件或2000个乙型零件．2个甲型零件要配3个乙型零件，为使每天生产的两种型号的零件刚好配套，应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各多少名？解：设安排x名工人生产甲型零件，则（38x）人生产乙型零件，由题意得：，解得：x=20，3820=18，答：应安排生产甲型零件和乙型零件的工人各20名，18名．已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数的个位数字为a，十位数字为b，则这个两位数可以表示为10b+a．例14.幻方历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”当中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方．将数字1～9分别填人如图所示的幻方中，要求每一横行，每一竖行以及两条对角线上的数字之和都是15，则m的值为_________．解：根据题意得，2+7+a=15，∴a=1527=6，∵4+b+a=15，解得：b=1564=5，∵2+b+m=15，解得：m=8，故答案为：8．例15.把这九个数填入方格中，使其任意一行、任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为_______．解：由对角线上的三个数之和为：15，任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，第三列的最下面一个数为：6，由第三行的三个数之和为15，可得：8+x+6=15，∴x=1x+5+y=15∴y=9，x+y=10故答案为：10．例16.一个两位数，个位数字是x，十位数字是3，把x与3对调，新两位数比原来两位数小18，则x的值是（）A． B．0 C．1 D．2解：由题意得：30+x18=10x+3，解得：x=1，故答案为：C．例17.大扫除期间，七（2）班已经安排了6人打扫教室，4人打扫包干区，为了尽快完成打扫任务，有14人主动要求去帮忙，使得打扫包干区的人数是打扫教室人数的2倍．假设去教室帮忙的同学有x人，根据题意可列出方程（）A．2（6+x）＝4+（14﹣x） B．6+x＝2[4+（14﹣x）]C．2[6+（14﹣x）]＝4+x D．6+（14﹣x）＝2（4+x）解：设去教室帮忙的同学有x人，则去包干区帮忙的同学有（14x）人，由题意得：2（6+x）=4+（14x）．故答案为：A．例18.某班级原来女生人数是全班人数的，调入4名女生后，女生人数是全班人数的一半，原来全班共有____人．解：设原来全班共有x人，由题意得：，解得：x=72，∴原来全班共有72人，故答案为：72．和差倍分问题基本量及关系：增长量＝原有量×增长率现有量＝原有量+增长量，现有量＝原有量降低量．（2）寻找相等关系：抓住关键词列方程，常见的关键词有：多、少、和、差、不足、剩余以及倍，增长率等．例19.把一批图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本，则还缺20本．设这个班有学生x名，根据题意列方程正确的是（）A． B．C．3x＋20＝4x﹣20 D．3x﹣20＝4x＋20【答案】C.例20.中国古代人民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题：今有若干人乘车，每三人乘一车，刚好空余一辆；若每两人共乘一车，最终剩余七个人无车可乘．问有多少人，多少辆车？如果我们设有x辆车，则可列方程（）A．3（x+1）＝2x﹣9 B．3（x﹣1）＝2x+7C．+1＝ D．﹣1＝解：由题意得：3(x﹣1)＝2x+7．故答案为：B．例21.“一方有难、八方支援”在2020年“武汉保卫战”中，我们绍兴先后派出多支医疗队伍前往武汉和武汉人民一起抗战新冠病毒．现甲、乙两所医院共有医务人员100名，但随着疫情的发展，急需增加人手．我们绍兴一支80人的医疗队伍奉命志愿前往支援，其中20人到甲医院，60人到乙医院，这样刚好使得乙医院的医务人员数是甲医院医务人员数的2倍．求原来甲、乙两所医院各有医务人员几名？解：设原来甲医院有医务人员x名，则乙医院有医务人员（100x），由题意得：2（x+20）=100x+60，解得：x=40，10040=60人，∴原来甲、乙两所医院各有医务人员40名，60名．日历问题例22.如图为2021年11月的日历：（1）在日历上任意圈出一个竖列上相邻的3个数：①设中间的一个数为a，则另外的两个数为，；②若已知这三个数的和为60，则这三个数在星期．（2）在日历上用一个小正方形任意圈出其中的9个数，设圈出的9个数的中心的数为b，若这9个数的和为153，求b2﹣1的值．【答案】（1）①a7，a+7；②六；（2）288.解：（1）①设中间的一个数为a，则另外的两个数为a7，a+7故答案为：a7，a+7.②由题意知，a7+a+7+a=60解得：a=20根据日历可得这三个数在星期六故答案为：六.（2）根据题意，设圈出的9个数的中心的数为b，则这9个数的和为9b，则9b=153解得：b=17∴b2﹣1=288.（1）(2)标价＝成本(或进价)×(1＋利润率)(3)实际售价＝标价×打折率(4)利润＝售价－成本(或进价)＝成本×利润率注意：“商品利润＝售价－成本”中的右边为正时，是盈利；当右边为负时，就是亏损.打几折就是按标价的十分之几或百分之几十销售．例23.商店将某种商品按成本价提高50%后，标价为450元，又以8折出售，则售出这件商品可获利润（）元．A．300 B．210 C．150 D．60解：设这件商品成本价为x元，由题意得：x（1＋50%）＝450，解得：x＝300，可获利润为：450×−x＝60．故答案为：D．例24.某服装店卖出两件不同的衣服，均以91元卖出，其中一件赚30%，另一件亏30%，则卖出这两件衣服后商店（）A．不赚不亏 B．赚了21元 C．亏了18元 D．赚了39元解：设盈利的进价是x元，则x+30%x=91，解得：x=70．设亏损的进价是y元，则y–30%y=91，解得：y=130．91+91–130–70=–18，所以亏了18元．故答案为：C．例25.一件衣服先按成本提高50%标价，再以7折出售，结果获利5元，则这件衣服的成本是（）元．A．120 B．110 C．100 D．90解：设这件衣服的成本是x元，由题意得，70%×（1+50%）xx=5解得：x=100即这件衣服的成本是100元，故答案为：C．例26.某种商品每件的进价为120元，标价为180元．为了拓展销路，商店准备打折销售．若使利润率为20%，则商店应打（）A．五折 B．六折 C．七折 D．八折解：设商店应打x折，x﹣120＝120×20%，解得：x＝8．即商店应打八折．故答案为：D．例27.王先生到银行存了一笔三年期的定期存款，年利率是4.25%，若到期后取出得到本息和（本金+利息）33825元．设王先生存入的本金为x元，则下面所列方程正确的是（）A．x+3×4.25%x＝33825 B．x+4.25%x＝33825C．3×4.25%x＝33825 D．3（x+4.25%x）＝33825解：设王先生存入的本金为x元，根据题意得出：x+3×4.25%x＝33825故答案为：A．例28.我国古代著作《九章算术》中提到“以绳测井”问题：若将绳三折测之，绳多五尺，若将绳四折测之，绳多一尺．井深几何？题目大意是：用绳子测量水井深度，如果将绳子折成三等份，一份绳长比井深多5尺；如果将绳子折成四等份，一份绳长比井深多1尺．则井深__________尺．解：设井深为x尺，则绳长为：3（x+5），由题意得：3（x+5）=4（x+1）．解得：x=11，则4（x+1）=48尺．故答案为：11．例29.《九章算术》是中国古代《算经十书》最重要的一部，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系，其中有一道阐述“盈不足数”的问题，原文如下：今有人共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数，物价各几何？意思是说：现有一些人共同买一个物品，每人出8元，还盈余3元；每人出7元，则还差4元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？解：设共有x人．由题意得：8x3=7x+4．解得：x=7．则8x3=53．答：共有7人，这个物品的价格是53元．例30.在全国足球甲级A组的比赛中，某队在已赛的11场比赛中保持连续不败，积25分．已知胜一场得3分，平一场得1分，那么该队已胜场．解：设该队已胜x场，那么该队平场的场数为（11x），根据题意得：3x+（11x）=25，解得x=7．答：该队已胜7场．答案为：7．例31.为营造学党史、迎冬奥的浓厚氛围，某学校举行了主题为“扛红旗、当先锋、学党史、迎奥运”的知识竞赛，一共有30道题，每一题答对得4分，答错或不答扣2分．（1）小明参加了竞赛，得90分，则他一共答对了多少道题？（2）小刚也参加了竞赛，考完后自信满满，说：“这次竞赛我会得100分！”你认为可能吗？并说明理由．解：（1）设小明在竞赛中答对了x道题，根据题意得，4x﹣2（30﹣x）＝90，解得，x＝25．答：小明在竞赛中答对了25道题；不可能，理由如下：如果小刚的得分是100分，设他答对了y道题，根据题意得，4y﹣2（30﹣y）＝100，解得y＝．因为y不能是分数，所以小刚没有可能拿到100分．例32.为鼓励市民节约用水，某地自来水公司推出如下收费标准：若每户每月用水不超过5立方米，则每立方米收费2元；若每户每月用水超过5立方米，则超过部分每立方米收费2.5元，已知小明家每月水费都不超过17元，则小明家每月用水量（每月用水量是正整数）至多是（

）A．6立方米 B．7立方米 C．8立方米 D．9立方米解：设小明家每月用水x吨，∵17＞5×2，∴x＞5，∴5×2+（x5）×2.5=17，解得：x=7.8，∴小明家每月用水至多是8吨．故答案为：C．例33.随着互联网的普及和城市交通的多样化，人们的出行方式有了更多的选择．下图是某市两种网约车的收费标准，例：乘车里程为30公里，若选乘出租车，费用为：（元）；若选乘曹操出行（快选），费用为：（元）请回答以下问题：（1）小明家到学校的路程是10公里．如果选乘出租车，车费为元；如果选乘曹操出行（快选），车费为元．（2）周末小明有事外出，要选乘网约车，如果乘车费用预算为25元，他的行车里程数最大是多少公里？（3）元旦期间，小明外出游玩，约车时发现曹操出行（快选）有优惠活动：总费用打八折．于是小明决定选乘曹操出行（快选）．付费后，细心的小明发现：相同的里程，享受优惠活动后的曹操出行（优选）的费用还是比出租车多了1.8元，求小明乘车的里程数．【答案】（1）29.4；40；（2）8；（3）6公里或15公里.解：（1）出租车：14+2.2×（103）=14+15.4=29.4（元）；曹操出行10+2.4×10+0.4××60=10+24+6=40（元）．（2）设他的行车里程数为x公里，因为25＜29.4，25＜40，故x＜10．出租车：14+2.2×（x3）=25，解得：x=8．曹操出行：10+2.4

x+0.4××60＝25，解得：x=5．∵8＞5，∴小明行车路程数最大是8公里．（3）设小明乘车的里程数为y公里．①yy+0.4××60]×0.814=1.8，解得：y=3.25＞3（舍去）．②3＜yy+0.4××60]×0.8[14+2.2×（y3）]=1.8，解得：y=6．③yy+0.8×（y10）+0.4××60]×0.8[14+2.2×（y3）+（y10）]=1.8，解得：y=15．综上所述，小明乘车里程数为6公里或15公里．例34.为鼓励市民节约用水，某市自来水公司对每户用水量采取了分段计费的方法进行收费，每户每月用水量在规定吨数及以下的按一种单价收费，超过规定吨数的部分按另一种单价收费．下表是小明家1﹣4月份的用水量和费用情况：月份1234用水量（吨）681013费用（元）12162231（1）请根据表中信息，求出规定吨数和两种收费标准；（2）若小明家5月份用水18，则应交水费多少元？（3）若小明家6月份交水费58元，则他家6月份用水多少吨？【答案】（1）规定吨数为8吨，在规定吨数及以下的收费标准为每吨水2元，超过规定吨数的部分的收费标准为每吨水3元；（2）应交水费46元；（3）他家6月份用水22吨解：（1）设规定的吨数为x吨，由表格可知在1月和2月时，每吨水的费用为2元，∴规定吨数及以下的收费标准为每吨2元，∵三月份的用水量为10吨，但是费用是22元＞20元，∴规定的吨数一定小于10吨，∵4月份的用水量比3月份的用水量多3吨，多收费9元，∴可知超过规定吨数的收费标准为每吨3元，∴，解得：x=8，即规定吨数为8吨，在规定吨数及以下的收费标准为每吨水2元，超过规定吨数的部分的收费标准为每吨水3元；（2）由题意得，小明家5月份应交水费元，即应交水费46元；（3）设他家6月份用水m吨，∵，∴∴，解得：m=22，即他家6月份用水22吨.例35.公园门票价格规