新高考数学二轮复习考点突破讲义 第1部分 专题突破 专题2　培优点5　平面向量“奔驰定理”（含解析）

培优点5平面向量“奔驰定理”平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角、数列、几何等知识相结合考查．平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决跟三角形的面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用．考点一平面向量“奔驰定理”定理：如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·eq\o(PA,\s\up6(→))＋S△PAC·eq\o(PB,\s\up6(→))＋S△PAB·eq\o(PC,\s\up6(→))＝0.例1已知O是△ABC内部一点，满足eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(4,7)，则实数m等于()A．2B．3C．4D．5答案C解析由奔驰定理得S△BOC·eq\o(OA,\s\up6(→))＋S△AOC·eq\o(OB,\s\up6(→))＋S△AOB·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，又eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋meq\o(OC,\s\up6(→))＝0，∴S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶2∶m.∴eq\f(S△AOB,S△ABC)＝eq\f(m,1＋2＋m)＝eq\f(4,7)，解得m＝4.易错提醒利用平面向量“奔驰定理”解题时，要严格按照定理的格式，注意定理中的点P为△ABC内一点；定理中等式左边三个向量的系数不是三角形的面积，而是面积之比．跟踪演练1设点O在△ABC内部，且eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则eq\f(S△OAB,S△OBC)＝________.答案eq\f(3,5)解析由eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，得－12eq\o(OA,\s\up6(→))＝4(eq\o(OB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))＋3(eq\o(OC,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→)))，整理得5eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(S△OAB,S△OBC)＝eq\f(3,5).考点二“奔驰定理”和三角形的“四心”(四心在三角形内部)(1)O是△ABC的重心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝1∶1∶1⇔eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(2)O是△ABC的内心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝a∶b∶c⇔aeq\o(OA,\s\up6(→))＋beq\o(OB,\s\up6(→))＋ceq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(3)O是△ABC的外心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝sin2A∶sin2B∶sin2C⇔sin2A·eq\o(OA,\s\up6(→))＋sin2B·eq\o(OB,\s\up6(→))＋sin2C·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.(4)O是△ABC的垂心⇔S△BOC∶S△AOC∶S△AOB＝tanA∶tanB∶tanC⇔tanA·eq\o(OA,\s\up6(→))＋tanB·eq\o(OB,\s\up6(→))＋tanC·eq\o(OC,\s\up6(→))＝0.考向1“奔驰定理”与重心例2已知在△ABC中，G是重心，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且56aeq\o(GA,\s\up6(→))＋40beq\o(GB,\s\up6(→))＋35ceq\o(GC,\s\up6(→))＝0，则B＝________.答案eq\f(π,3)解析依题意，可得56a＝40b＝35c，所以b＝eq\f(7,5)a，c＝eq\f(8,5)a，所以cosB＝eq\f(a2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,5)a))2－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,5)a))2,2a×\f(8,5)a)＝eq\f(1,2)，因为0<B<π，所以B＝eq\f(π,3).考向2“奔驰定理”与外心例3已知点P是△ABC的外心，且eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\o(PB,\s\up6(→))＋λeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，C＝eq\f(2π,3)，则λ＝________.答案－1解析依题意得，sin2A∶sin2B∶sin2C＝1∶1∶λ，∴sin2A＝sin2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π(舍)，∴A＝B，又C＝eq\f(2π,3)，∴A＝B＝eq\f(π,6)，又eq\f(sin2B,sin2C)＝eq\f(1,λ)，∴λ＝eq\f(sin2C,sin2B)＝eq\f(sin\f(4π,3),sin\f(π,3))＝－1.考向3“奔驰定理”与内心例4在△ABC中，AB＝2，AC＝3，BC＝4，O为△ABC的内心，若eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))，则3λ＋6μ的值为()A．1B．2C．3D．4答案C解析eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(BC,\s\up6(→))可化为eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))－λeq\o(OA,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))－μeq\o(OB,\s\up6(→))＝0，整理得(1－λ)eq\o(OA,\s\up6(→))＋(λ－μ)eq\o(OB,\s\up6(→))＋μeq\o(OC,\s\up6(→))＝0，所以(1－λ)∶(λ－μ)∶μ＝4∶3∶2，解得λ＝eq\f(5,9)，μ＝eq\f(2,9)，所以3λ＋6μ＝3×eq\f(5,9)＋6×eq\f(2,9)＝3.考向4“奔驰定理”与垂心例5已知H是△ABC的垂心，若eq\o(HA,\s\up6(→))＋2eq\o(HB,\s\up6(→))＋3eq\o(HC,\s\up6(→))＝0，则A＝________.答案eq\f(π,4)解析依题意，可得tanA∶tanB∶tanC＝1∶2∶3，代入tanA＋tanB＋tanC＝tanAtanBtanC，可得6tanA＝6tan3A，因为tanA≠0，所以tanA＝±1.又因为tanA<tanB<tanC，所以tanA＝1，所以A＝eq\f(π,4).规律方法涉及三角形的四心问题时，内心和重心一定在三角形内部，而外心和垂心有可能在三角形外部，上述定理及推论中的点都在三角形内部，解题时，要注意观察题目有无这一条件．跟踪演练2(1)设I为△ABC的内心，且2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，则角C＝________.答案eq\f(π,3)解析由2eq\o(IA,\s\up6(→))＋3eq\o(IB,\s\up6(→))＋eq\r(7)eq\o(IC,\s\up6(→))＝0，可得a∶b∶c＝2∶3∶eq\r(7)，令a＝2k，b＝3k，c＝eq\r(7)k，则cosC＝eq\f(4k2＋9k2－7k2,2·2k·3k)＝eq\f(1,2)，又C∈(0，π)，所以C＝eq\f(π,3).(2)设点P在△ABC内部且为△ABC的外心，∠BAC＝eq\f(π,6)，如图．若△PBC，△PCA，△PAB的面积分别为eq\f(1,2)，x，y，则x＋y的最大值是______．答案eq\f(\r(3),3)解析方法一据奔驰定理得，eq\f(1,2)eq\o(PA,\s\up6(→))＋xeq\o(PB,\s\up6(→))＋yeq\o(PC,\s\up6(→))＝0，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝2xeq\o(PB,\s\up6(→))＋2yeq\o(PC,\s\up6(→))，平方得eq\o(AP,\s\up6(→))2＝4x2eq\o(PB,\s\up6(→))2＋4y2eq\o(PC,\s\up6(→))2＋8xy|eq\o(PB,\s\up6(→))|·|eq\o(PC,\s\up6(→))|·cos∠BPC，又因为点P是△ABC的外心，所以|eq\o(PA,\s\up6(→))|＝|eq\o(PB,\s\up6(→))|＝|eq\o(PC,\s\up6(→))|，且∠BPC＝2∠BAC＝eq\f(π,3)，所以x2＋y2＋xy＝eq\f(1,4)，(x＋y)2＝eq\f(1,4)＋xy≤eq\f(1,4)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋y,2)))2，解得0<x＋y≤eq\f(\r(3),3)，当且仅当x＝y＝eq\f(\r(3),6)时取等号，所以(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3).方法二S△PBC∶S△PCA∶S△PAB＝sin2A∶sin2B∶sin2C，sin2A∶sin2B∶sin2C＝eq\f(1,2)∶x∶y，又∠BAC＝eq\f(π,6)，∴sin2A＝eq\f(\r(3),2)，∵x＝eq\f(\r(3),3)sin2B，y＝eq\f(\r(3),3)sin2C，∴x＋y＝eq\f(\r(3),3)(sin2B＋sin2C)＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(sin2B＋sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5π,3)－2B))))＝eq\f(\r(3),3)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,3))).又∵B∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(5π,6)))，∴2B－eq\f(π,3)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(π,3)，\f(4π,3)))，∴sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2B－\f(π,3)))∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，1))，∴x＋y∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(3),3)))，∴(x＋y)max＝eq\f(\r(3),3).专题强化练1．点P在△ABC内部，满足eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋3eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，则S△ABC∶S△APC为()A．2∶1 B．3∶2C．3∶1 D．5∶3答案C解析根据奔驰定理得，S△PBC∶S△PAC∶S△PAB＝1∶2∶3.所以S△ABC∶S△APC＝3∶1.2．点O为△ABC内一点，若S△AOB∶S△BOC∶S△AOC＝4∶3∶2，设eq\o(AO,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，则实数λ和μ的值分别为()A.eq\f(2,9)，eq\f(4,9) B.eq\f(4,9)，eq\f(2,9)C.eq\f(1,9)，eq\f(2,9) D.eq\f(2,9)，eq\f(1,9)答案A解析根据奔驰定理，得3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋4eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，即3eq\o(OA,\s\up6(→))＋2(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→)))＋4(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝0，整理得eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,9)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(4,9)eq\o(AC,\s\up6(→))，故λ＝eq\f(2,9)，μ＝eq\f(4,9).3．△ABC的重心为G，AB＝6，AC＝8，BC＝2eq\r(13)，则△BGC的面积为()A．12eq\r(3) B．8eq\r(3)C．4eq\r(3) D．4答案C解析cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(36＋64－52,2×6×8)＝eq\f(1,2)，又A∈(0，π)，∴A＝eq\f(π,3)，∴S△ABC＝eq\f(1,2)×6×8×sineq\f(π,3)＝12eq\r(3)，又G为△ABC的重心，∴eq\o(GA,\s\up6(→))＋eq\o(GB,\s\up6(→))＋eq\o(GC,\s\up6(→))＝0，即S△AGB∶S△AGC∶S△BGC＝1∶1∶1，∴S△BGC＝eq\f(1,3)S△ABC＝4eq\r(3).4.如图所示，在△ABC中，AB＝8，AC＝6，∠BAC＝60°，M为△ABC的外心，若eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，λ，μ∈R，则4λ＋3μ等于()A.eq\f(3,4) B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,3) D.eq\f(8,3)答案C解析在△ABC中，由余弦定理，可得BC＝eq\r(82＋62－2×8×6cos60°)＝2eq\r(13)，所以圆M的半径R＝eq\f(2\r(13),2sin60°)＝eq\f(2\r(39),3)，所以S△AMB＝eq\f(1,2)×8×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－42)＝eq\f(8\r(3),3)，S△BMC＝eq\f(1,2)×2eq\r(13)×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－\r(13)2)＝eq\f(13\r(3),3)，S△CMA＝eq\f(1,2)×6×eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(39),3)))2－32)＝5eq\r(3).由eq\o(AM,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))＋μeq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(MA,\s\up6(→))＋λeq\o(MB,\s\up6(→))－λeq\o(MA,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))－μeq\o(MA,\s\up6(→))＝0，整理得(1－λ－μ)eq\o(MA,\s\up6(→))＋λeq\o(MB,\s\up6(→))＋μeq\o(MC,\s\up6(→))＝0，所以S△AMB∶S△BMC∶S△CMA＝μ∶(1－λ－μ)∶λ＝8∶13∶15，解得λ＝eq\f(5,12)，μ＝eq\f(2,9)，所以4λ＋3μ＝eq\f(7,3).5.(多选)如图，设P，Q为△ABC内的两点，且eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，则()A.eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,5) B.eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(1,3)C.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5) D.eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(3,4)答案AC解析由eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(PB,\s\up6(→))－eq\f(2,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(PC,\s\up6(→))－eq\f(1,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＝0，整理得eq\f(2,5)eq\o(PA,\s\up6(→))＋eq\f(2,5)eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\f(1,5)eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，所以2eq\o(PA,\s\up6(→))＋2eq\o(PB,\s\up6(→))＋eq\o(PC,\s\up6(→))＝0，eq\f(S△ABP,S△ABC)＝eq\f(1,2＋2＋1)＝eq\f(1,5).由eq\o(AQ,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(AC,\s\up6(→))，可得eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(QB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(QA,\s\up6(→))＋eq\f(1,4)eq\o(QC,\s\up6(→))－eq\f(1,4)eq\o(QA,\s\up6(→))＝0，整理得eq\o(QA,\s\up6(→))＋8eq\o(QB,\s\up6(→))＋3eq\o(QC,\s\up6(→))＝0，所以eq\f(S△ABQ,S△ABC)＝eq\f(3,1＋8＋3)＝eq\f(1,4)，eq\f(S△ABP,S△ABQ)＝eq\f(4,5).6．△ABC的内切圆圆心为O，半径为2，且S△ABC＝14,2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，则△ABC的外接圆面积为________．答案eq\f(64π,7)解析∵2eq\o(OA,\s\up6(→))＋2eq\o(OB,\s\up6(→))＋3eq\o(OC,\s\up6(→))＝0，且O为内心，∴a∶b∶c＝2∶2∶3，令a＝2k，则b＝2k，c＝3k，设△ABC内切圆半径为r，外接圆半径为R，又S△ABC＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)·r⇒eq\f(1,2)×7k×2＝14⇒k＝2，∴a＝4，b＝4，c＝6，∴cosC＝－eq\f(1,8)，sinC＝eq\f(3\r(7),8)，又2R＝eq\f(c,sinC)＝eq\f(6,\f(3\r(7),8))⇒R＝eq\f(8,\r(7))＝eq\f(8\r(7),7)，∴外接圆面积S＝πR2＝eq\f(64π,7).7．若△ABC内接于以O为圆心，以1为半径的圆，且3eq\o(OA,\s\up6(→))＋4eq\o(OB,\s\up6(→))＋5eq\o(OC,\s