新教材2023年秋高中数学微专题强化练1空间向量应用的综合问题新人教A版选择性必修第一册

微专题强化练(一)空间向量应用的综合问题一、选择题1．如图所示，M，N是直角梯形ABCD两腰的中点，DE⊥AB于E，现将△ADE沿DE折起，使平面ADE与平面BDE的夹角为45°，此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B，则M，N的连线与AE所成的角的大小为()A．45°B．90°C．135°D．150°2．(2022·山东泰安期中)如图，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD是等边三角形，四边形ABCD是矩形，且AD＝2AB，E为CD的中点，F为AD上一点，当BF⊥PE时，AFFD＝(A．3B．12C．13D3．如图，四棱锥P-ABCD中，PB⊥平面ABCD，底面ABCD为直角梯形，AD∥BC，AB⊥BC，AB＝AD＝PB＝3，点E在棱PA上，且PE＝2EA，则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为()A．23B．66C．334．如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点E为线段AB的中点，点F在线段AD上移动，当异面直线B1C与EF所成角最小时，其余弦值为()A．0B．12C．105D二、填空题5．如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，动点M在线段PQ上，E，F分别为AB，BC的中点．设异面直线EM与AF所成的角为θ，则cosθ的最大值为________．6．如图，正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________．三、解答题7．如图所示，在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，底面ABCD是平行四边形，∠ABC＝45°，AD＝AP＝2，AB＝DP＝22，E为CD的中点，点F在线段PB上．(1)求证：AD⊥PC；(2)试确定点F的位置，使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等．微专题强化练(一)1．B2．C3．B4．C5．257．解：(1)证明：如图所示，在平行四边形ABCD中，连接AC，因为AB＝22，BC＝2，∠ABC＝45°，由余弦定理得，AC2＝AB2＋BC2－2·AB·BC·cos45°＝4，得AC＝2，所以∠ACB＝90°，即BC⊥AC．又AD∥BC，所以AD⊥AC．因为AD＝AP＝2，DP＝22，所以PA⊥AD，又AP∩AC＝A，AP，AC⊂平面PAC，所以AD⊥平面PAC，又PC⊂平面PAC，所以AD⊥PC．(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，侧面PAD∩底面ABCD＝AD，PA⊂侧面PAD，所以PA⊥底面ABCD，所以直线AC，AD，AP两两垂直，以A为原点，直线DA，AC，AP分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz，则A(0，0，0)，D(－2，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，E(－1，1，0)，P(0，0，2)，所以PC＝(0，2，－2)，PD＝(－2，0，－2)，PB＝(2，2，－2)．设PFPB＝λ(λ∈[0，1])则PF＝(2λ，2λ，－2λ)，F(2λ，2λ，－2λ＋2)，所以EF＝(2λ＋1，2λ－1，－2λ＋2)．易得平面ABCD的一个法向量为m＝(0，0，1)．设平面PDC的法向量为n＝(x，y，z)，由n·PC令x＝1，得n＝(1，－1，－1)．因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等，所以|cos〈EF，m〉|＝|cos〈EF，n〉|，即EF·mE