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微专题强化练(一)空间向量应用的综合问题一、选择题1.如图所示,M,N是直角梯形ABCD两腰的中点,DE⊥AB于E,现将△ADE沿DE折起,使平面ADE与平面BDE的夹角为45°,此时点A在平面BCDE内的射影恰为点B,则M,N的连线与AE所成的角的大小为()A.45°B.90°C.135°D.150°2.(2022·山东泰安期中)如图,平面PAD⊥平面ABCD,△PAD是等边三角形,四边形ABCD是矩形,且AD=2AB,E为CD的中点,F为AD上一点,当BF⊥PE时,AFFD=(A.3B.12C.13D3.如图,四棱锥P-ABCD中,PB⊥平面ABCD,底面ABCD为直角梯形,AD∥BC,AB⊥BC,AB=AD=PB=3,点E在棱PA上,且PE=2EA,则平面ABE与平面BED的夹角的余弦值为()A.23B.66C.334.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E为线段AB的中点,点F在线段AD上移动,当异面直线B1C与EF所成角最小时,其余弦值为()A.0B.12C.105D二、填空题5.如图,四边形ABCD和ADPQ均为正方形,它们所在的平面互相垂直,动点M在线段PQ上,E,F分别为AB,BC的中点.设异面直线EM与AF所成的角为θ,则cosθ的最大值为________.6.如图,正三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长都相等,E,F,G分别为AB,AA1,A1C1的中点,则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________.三、解答题7.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,侧面PAD⊥底面ABCD,底面ABCD是平行四边形,∠ABC=45°,AD=AP=2,AB=DP=22,E为CD的中点,点F在线段PB上.(1)求证:AD⊥PC;(2)试确定点F的位置,使得直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等.微专题强化练(一)1.B2.C3.B4.C5.257.解:(1)证明:如图所示,在平行四边形ABCD中,连接AC,因为AB=22,BC=2,∠ABC=45°,由余弦定理得,AC2=AB2+BC2-2·AB·BC·cos45°=4,得AC=2,所以∠ACB=90°,即BC⊥AC.又AD∥BC,所以AD⊥AC.因为AD=AP=2,DP=22,所以PA⊥AD,又AP∩AC=A,AP,AC⊂平面PAC,所以AD⊥平面PAC,又PC⊂平面PAC,所以AD⊥PC.(2)因为侧面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD,侧面PAD∩底面ABCD=AD,PA⊂侧面PAD,所以PA⊥底面ABCD,所以直线AC,AD,AP两两垂直,以A为原点,直线DA,AC,AP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,则A(0,0,0),D(-2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),E(-1,1,0),P(0,0,2),所以PC=(0,2,-2),PD=(-2,0,-2),PB=(2,2,-2).设PFPB=λ(λ∈[0,1])则PF=(2λ,2λ,-2λ),F(2λ,2λ,-2λ+2),所以EF=(2λ+1,2λ-1,-2λ+2).易得平面ABCD的一个法向量为m=(0,0,1).设平面PDC的法向量为n=(x,y,z),由n·PC令x=1,得n=(1,-1,-1).因为直线EF与平面PDC所成的角和直线EF与平面ABCD所成的角相等,所以|cos〈EF,m〉|=|cos〈EF,n〉|,即EF·mE
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