新教材2023年秋高中数学课时分层作业3空间向量基本定理新人教A版选择性必修第一册

课时分层作业(三)空间向量基本定理一、选择题1．已知{a，b，c}是空间的一个基底，则下列可以构成基底的一组向量是()A．a＋b，a，a－b B．a＋b，b，a－bC．a＋b，c，a－b D．a＋b，2a－b，a－b 2．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1C1的中点，若BA＝a，BC＝b，BB1＝c，则下列向量与BM相等的是(A．－12a－12b＋c B．12a＋1C．－12a＋12b＋c D．12a＋13．若向量MA，MB，MC的起点M与终点A，B，C互不重合，且点M，A，B，C中无三点共线，满足下列关系(O是空间任一点)，则能使向量MAA．OM＝1B．MA≠MBC．OM＝OAD．MA＝2MB4．已知正方体ABCD-A1B1C1D1，点E为上底面A1B1C1D1的中心，若AE＝AA1＋xAB＋yAD，则x，y的值分别为(A．1，1B．1，12C．12，125．如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC为正三角形，侧棱垂直于底面，AB＝4，AA1＝6．若E是棱BB1的中点，则异面直线A1E与AC1所成角的余弦值为()A．1313B．21313C．313二、填空题6．已知向量a，b，c构成空间的一个基底{a，b，c}，若d＝3a＋4b＋c，且d＝x(a＋2b)＋y(b＋3c)＋z(c＋a)，则x＝________．7．如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝π3，∠BAA1＝∠DAA1＝π4，则AC1的长为8．正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝2，AA1＝22，D为棱A1B1的中点，则异面直线AD与CB1所成角的大小为________．三、解答题9．如图所示，已知空间四边形ABCD的各边和对角线的长都等于a，点M，N分别是AB，CD的中点．(1)求证：MN⊥AB，MN⊥CD；(2)求MN的长．10．(多选)在三棱锥P-ABC中，三条侧棱PA，PB，PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝3，G是△PAB的重心，E，F分别为BC，PB上的点，且BE∶EC＝PF∶FB＝1∶2，则下列说法正确的是()A．EG⊥PG B．EG⊥BCC．FG∥BC D．FG⊥EF11．(多选)如图，一个结晶体的形状为平行六面体ABCD-A1B1C1D1，其中，以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，下列说法中正确的是()A．AC1＝66B．AC1⊥DBC．向量B1C与AD．BD1与AC所成角的余弦值为612．化学中，将构成粒子(原子、离子或分子)在空间按一定规律呈周期性重复排列构成的固体物质称为晶体．在结构化学中，可将晶体结构截分为一个个包含等同内容的基本单位，这个基本单位叫做晶胞．已知钙、钛、氧可以形成如图所示的立方体晶胞(其中Ti原子位于晶胞的中心，Ca原子均在顶点位置，O原子位于棱的中点)．则图中原子连线BF与B1E所成角的余弦值为________．13．棱长为a的正四面体ABCD中，E，F分别为棱AD，BC的中点，则异面直线EF与AB所成角的大小是________，线段EF的长度为________．14．如图所示，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD是正方形，AC与BD交于点O，EC⊥底面ABCD，F为BE的中点．(1)求证：DE∥平面ACF．(2)求证：BD⊥AE．(3)若AB＝2CE，在线段EO上是否存在点G，使CG⊥平面BDE？若存在，求出EGEO15．如图，在三棱锥O-ABC中，G是△ABC的重心(三条中线的交点)，P是空间任意一点．(1)用向量OA，OB，OC(2)设OP＝xOA＋yOB＋zOC，x，y，z∈R，请写出点P在△ABC的内部(不包括边界)的充要条件(不必给出证明)．课时分层作业(三)1．C2．D3．C4．C5．A6．27．98+569．解：(1)证明：设AB＝p，AC＝q，AD＝r．由题意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p，q，r三向量两两夹角均为60°.连接AN(图略)．MN＝AN＝12(AC＝12(q＋r－p)∴MN·AB＝12(q＋r－p＝12(q·p＋r·p－p2＝12(a2cos60°＋a2cos60°－a2＝0，∴MN⊥AB，同理可证MN⊥CD．(2)由(1)可知，MN＝12(q＋r－p)∴|MN|2＝14(q＋r－p)＝14[q2＋r2＋p2＋2(q·r－p·q－r·p＝1＝14×2a2＝a∴|MN|＝22a，∴MN的长为2210．ABD[如图，设PA＝a，PB＝b，PC＝c，则{a，b，c}是空间的一个正交基底，则a·b＝a·c＝b·c＝0，取AB的中点H，则PG＝23PH＝23×12(a＋b)＝13PE＝PB+BE＝PB＋13BC＝PB＋13(PCEG＝PG-PE＝13a＋13b－23b－13c＝13a－13b－1FG＝PG-PF＝13a＋13b－13EF＝PF-PE＝13b－13c+2∴EG·PG＝0，A正确；EG·BC＝0，B正确；FG≠λBC(λ∈R)，C不正确；FG·EF＝0，D11．AB[因为以顶点A为端点的三条棱长均为6，且它们彼此的夹角都是60°，所以AA1·AB＝AA1·AD＝AD·(AA1+AB+AD)2＝AA12＋AB2＋＝36＋36＋36＋3×2×18＝216，则|AC1|＝|AA1+AB+AC1·DB＝(AA1+AB+AD)·(AB显然△AA1D为等边三角形，则∠AA1D＝60°．因为B1C＝A1D，且向量A1D与AA1的夹角是120°，所以BD1＝AD+所以|BD1|＝AD+A|AC|＝AB+AD2＝又BD1·AC＝(AD+AA1所以cos〈BD1，AC〉＝BD1·ACBD12．1512．π413．14．解：(1)证明：设CB＝a，CD＝b，CE＝c，则{a，b，c}构成空间的一个基底，且|a|＝|b|，a·b＝b·c＝c·a＝0．依题意得DE＝CE-CD＝c－b，CA＝CB+BA＝a＋b，CF＝12(CB+设DE＝xCA＋yCF(x，y∈R)，则c－b＝x(a＋b)＋y12a+12c＝x+12因此x+1又CA与CF不共线，所以DE，CA，CF共面．又直线DE不在平面ACF内，所以DE(2)证明：依题意得BD＝BA+BC＝b－a，AE＝AC+CE＝AD+DC+CE＝－a－b＋c＝c－a－b，则BD·AE＝(b－a)·(c－a－b)＝－b2＋a2＝0(3)由AB＝2CE，设|a|＝|b|＝2，则|c|＝2，假设在线段EO上存在点G，使CG⊥平面BDE．由O，G，E三点共线，设CG＝(1－λ)CE＋λCO＝12λa＋12λb＋(1－λ)c(0≤λ≤由CG⊥平面BDE，知CG⊥DE，而DE＝c－b，所以CG·DE＝12λa+12λb+1-λc·(c－b)＝(1－λ)