第05讲 拓展二：直线与双曲线的位置关系（解析版）2023-2024学年高二数学上学期重点题型方法与技巧（人教A版2019选择性必修第一册）

第第页第05讲拓展二：直线与双曲线的位置关系目录TOC\o"1-1"\h\u题型一：重点考查直线与双曲线位置关系 2题型二：重点考查直线与双曲线交点坐标 5题型三：重点考查双曲线的切线 6题型四：重点考查根据直线与双曲线位置关系求参数 9题型五：重点考查根据根与系数关系求参数 12题型六：重点考查求双曲线中弦长 16题型七：重点考查双曲线中焦半径问题 19题型八：重点考查双曲线中四边形面积 22题型九：重点考查双曲线中的中点弦问题 25题型十：重点考查双曲线中参数范围及最值问题 29题型十一：重点考查双曲线中定点问题 32题型十二：重点考查双曲线中定值问题 39题型十三：重点考查双曲线中定直线问题 43题型十四：重点考查双曲线中向量问题 49题型一：重点考查直线与双曲线位置关系典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的位置关系是（）A．相切 B．相交 C．相离 D．无法确定【答案】B【解答过程】由得

整理得，；所以，故直线和双曲线只有一个交点；又双曲线的渐近线方程为：与双曲线的一条渐近线平行且与双曲线只有一个交点.所以直线和双曲线的位置关系为相交．故选：B例题2．（2023秋·高二课时练习）直线与双曲线有且只有一个公共点，则实数．【答案】或【详解】由消去y，整理得，当时，由得；又注意到直线恒过点，且渐近线的斜率为时，直线与渐近线平行时也成立．故答案为：或

例题3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线与点，讨论过点的直线的斜率的情况，使与双曲线分别有一个公共点、两个公共点、没有公共点．【答案】答案见解析【详解】①当垂直于轴时，直线与双曲线相切，有一个公共点．②当与轴不垂直时，设直线的方程为，代入双曲线的方程中，有．当，即或时，方程有一个解．当时，，令，可得；令，可得；令，可得．综上所述，当直线的斜率或直线的斜率不存在时，直线与双曲线有一个公共点；当直线的斜率时，直线与双曲线有两个公共点；当直线的斜率时，直线与双曲线没有公共点．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）直线与双曲线的交点个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】A【详解】方法一：联立直线与双曲线的方程，，得，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点.方法二：由，得，所以双曲线的渐近线方程为，因为直线是双曲线的一条渐近线，因此交点个数为0.故选：A2．（2023春·新疆塔城·高二统考开学考试）若直线与曲线有且只有一个交点，则满足条件的直线有（

）A．条 B．条 C．条 D．条【答案】C【详解】直线，即恒过点，又双曲线的渐近线方程为，则点在其中一条渐近线上，又直线与双曲线只有一个交点，则直线过点且平行于或过点且与双曲线的右支相切，即满足条件的直线有条.故选：C3．（2023·全国·高二专题练习）直线与双曲线的交点情况是（

）A．恒有一个交点 B．存在m有两个交点C．至多有一个交点 D．存在m有三个交点【答案】C【详解】将代入得当时，无解；当时，，所以至多有一个交点．故选：C4．（2023秋·高二课时练习）讨论直线与双曲线的公共点的个数．【答案】时，无公共点；时，有一个公共点．【详解】联立直线和双曲线方程，消去y得．整理得，若，则方程①变为，无解，此时直线与双曲线无公共点．事实上，此时直线为，就是双曲线的渐近线，自然与双曲线无公共点．若，即直线平行于两条渐近线中的一条，方程①成为一元一次方程，有唯一解，原方程组有唯一一组解，此时直线与双曲线有一个公共点．综上可知，时，无公共点；时，有一个公共点．题型二：重点考查直线与双曲线交点坐标典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线的交点坐标为．【答案】，【详解】由，消得即，解得或代入直线得或，所以直线与双曲线的交点坐标为，，故答案为：，例题2．（2022·全国·高三专题练习）设点P是曲线上的动点，点，满足|PF|+|PA|＝4，则点P的坐标为．【答案】【详解】因曲线是双曲线y2﹣x2＝1在x轴上方的部分，故是双曲线的下焦点，则双曲线的上焦点为，由|PF|+|PA|＝4，又∴，∴，又，故P，A，共线，又的直线方程为，联立，解得：，，故点P的坐标为．故答案为：．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）判断直线与双曲线是否有公共点．如果有，求出公共点的坐标．【答案】有，坐标为【详解】联立直线与双曲线的方程，可得方程组消去y，可得，由此可解得．此时，．因此直线与双曲线有一个公共点，且公共点的坐标为．2．（2023·全国·高二随堂练习）求下列直线和双曲线的交点坐标：（1），；

（2），．【答案】（1）；（2）.【详解】（1）由消去y，得：，解得：或，由解得，；由解得，；所以交点坐标为：；（2）由消去y，得：，解得：.求得，；所以交点坐标为.题型三：重点考查双曲线的切线典型例题例题1．（2023秋·云南楚雄·高二统考期末）若直线与单位圆（圆心在原点）和曲线均相切，则直线的一个方程可以是【答案】（或，，，只需写出一个答案即可）【详解】显然直线存在斜率，设直线：，联立方程组,得因为直线与曲线相切，所以，即.因为直线与单位圆相切，所以联立方程组解得，故直线的方程可能是，，，故答案为：例题2．（2022秋·新疆昌吉·高二统考期中）已知双曲线E的两个焦点分别为，并且E经过点.(1)求双曲线E的方程；(2)过点的直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，求直线l的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）由已知可设双曲线E的方程为，则，解得，所以双曲线E的方程为.（2）当直线l的斜率不存在时，显然不合题意，所以可设直线l的方程为，如图，

联立，得（*），①当，即或时，方程（*）只有一解，所以直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，此时，直线l的方程为；②当，即时，要使直线l与双曲线E有且仅有一个公共点，则，解得，此时，直线l的方程为.综上所述，直线l的方程为或.精练核心考点1．（2022·全国·高三专题练习）已知双曲线的一条切线的斜率为2，求这条切线方程．【答案】.【详解】设出切线方程为，与联立得：，由，解得：，代入得切线方程为．2．（2022·全国·高三专题练习）求经过点的双曲线：的切线的方程．【答案】【详解】若直线斜率不存在，过点的直线方程为：，代入可得，与双曲线有两个交点，不是切线；若直线斜率存在，设的方程是：，即：，将它代入方程整理得：，由已知，即，解得：，故所求切线的方程为：，即：．3．（2022·全国·高三专题练习）过点作双曲线：的两条切线，切点分别为A，B，求直线AB的方程．【答案】【详解】解：设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为，则，联立方程，消去可得：，整理可得：，因为与双曲线相切，所以，，即，，代入可得：，即，所以，即，同理，切线的方程为，在切线上，所以有，满足直线方程，而两点唯一确定一条直线，直线AB的方程为题型四：重点考查根据直线与双曲线位置关系求参数典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知直线与双曲线没有公共点，则的取值范围是（

）A．B．C． D．【答案】C【详解】联立，消去得，当时，方程有解，即直线与双曲线有公共点；当时，，解得或.故选：C.例题2．（2023春·四川内江·高二四川省内江市第六中学校考阶段练习）已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，右顶点为.(1)求双曲线的方程；(2)已知过点的直线与双曲线只有一个公共点，求直线的方程.【答案】(1)(2)或【详解】（1）双曲线的一条渐近线为，故焦点到直线的距离为，所以，又，所以双曲线方程为（2）由题知，直线的斜率必存在.设直线方程为：联立，消y得①当时，上述方程只有一解，符合题意，所以；②当时，为使上述方程只有一解即，，化解得：，所以，所以.综上，直线方程为：或.例题3．（2023秋·高二课前预习）直线与双曲线的左支交于不同两点，则实数的取值范围为．【答案】【详解】由，消去整理得，因为该方程有两个不等且小于的根，所以，解得，所以实数的取值范围为.故答案为：精练核心考点1．（2023春·上海长宁·高二校考期中）已知直线与曲线只有一个公共点，求实数a的值；【答案】【详解】联立，当即时，方程是一元一次方程，有唯一解；当时，方程为一元二次方程，方程有唯一解时，，解得，故直线与曲线只有一个公共点时，的值为2．（2023秋·高二课前预习）已知双曲线的离心率为，实轴长为．(1)写出双曲线的渐近线方程；(2)直线与双曲线右支交于不同的两点，求实数的取值范围．【答案】(1)；(2).【详解】（1）由已知有，，所以，所以双曲线方程为，或，渐近线方程为（2）设两交点坐标分别为，，联立，消去得，由已知，因为直线与双曲线右支交于不同的两点，所以解得，实数的取值范围为.3．（2023·山西·校联考模拟预测）已知双曲线的右焦点为F，点，若直线AF与C只有一个交点，则．【答案】【详解】由题意知，双曲线C的渐近线方程为或，因为直线AF与C只有一个交点，所以直线AF与C的渐近线平行，即或，解得．故答案为：题型五：重点考查根据根与系数关系求参数典型例题例题1．（2023·全国·高一专题练习）如图，已知圆，Q是圆上一动点，AQ的垂直平分线交直线CQ于点M，设点M的轨迹为E.

(1)求轨迹E的方程：(2)过点A作倾斜角为的直线l交轨迹E于B，D两点，求|BD|的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）由题意得在的延长线上，，在的延长线上，，轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线,轨迹的方程为.（2）设切线的方程为，代入，消元得.设两点的坐标分别为，则所以.例题2．（2023秋·高二单元测试）已知双曲线.四个点中恰有三点在双曲线上.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线交于两点，且，求原点到直线的距离.【答案】(1)(2).【详解】（1）由双曲线性质可知，关于原点对称，所以一定在双曲线上，根据双曲线在第一象限图象而和坐标的数中，，但，所以点不在双曲线上，即在双曲线上.解得双曲线的方程为（2）直线的方程为，设，由消去得所以.由，可得，即所以，可化为即则即到的距离.

精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）写出以及韦达式子【答案】答案见解析【详解】联立，得，

其中，，.2．（2023·全国·高二随堂练习）已知直线与双曲线相交于A，B两点，O为坐标原点．如果，求a的值．【答案】.【详解】将代入方程，整理得，，设交点为则由且得且，∴，∵，∴，即，即，解得满足且.故.3．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线C：，过右焦点F且与渐近线垂直的直线l交双曲线于M，N两点，则M，N两点的纵坐标之和为．【答案】【详解】双曲线C：，右焦点，渐近线方程为．如图所示，假设直线l垂直于，则直线l的斜率为，所以直线l的方程为，将直线l与双曲线C联立消x得，设，，故；同理可得，当直线l垂直于时，解得．故答案为：题型六：重点考查求双曲线中弦长典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）过双曲线的左焦点作直线，与双曲线交于两点，若，则这样的直线有（

）A．1条 B．2条 C．3条 D．4条【答案】D【详解】由题意得双曲线左焦点，当直线垂直于横轴时，不符合题意，双曲线渐近线方程为；故可设，与双曲线联立可得，，由弦长公式知，则或.故存在四条直线满足条件.故选：D例题2．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线截直线所得的弦的长为．(1)求的值；(2)若轴上有一点，使的面积为，求点的坐标．【答案】(1)(2)，【详解】（1）解：设，所以，联立方程得，所以，即，，因为双曲线截直线所得的弦的长为，所以，整理得，即，满足，所以，所求得的值为.（2）解：根据题意，设，其到直线的距离为，因为的面积为，所以，解得：，所以，当时，到的距离为，解得或，即或；当时，到的距离为，解得或，即或；综上，点的坐标为，.例题3．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知双曲线．请从①②③中选取两个作为条件补充到题中，并完成下列问题．①；②离心率为2；③与椭圆的焦点相同．(1)求C的方程；(2)直线与C交于A，B两点，求的值．【答案】(1)(2)【详解】（1）选①②，可得，，解得，所以C的方程为；选①③，可得，，解得，所以C的方程为；选②③，可得，，解得，，所以C的方程为；（2）设，，联立，消掉y，整理得，所以，因为，所以．精练核心考点1．（2023·全国·高二课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长．【答案】8【详解】由双曲线，得，，焦点为，倾斜角，法一：直线斜率，直线方程为，联立消得，，由韦达定理知，代入弦长公式，得.法二：.故答案为：8.2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线经过点，过点的直线交左支于一点，且的斜率是，求长．【答案】【详解】解：由题意可得直线的方程为，即，设点，联立可得，解得或，则，因此，.3．（2023春·河北承德·高二承德市双滦区实验中学校考开学考试）双曲线的一条渐近线方程为，过焦点且垂直于轴的弦长为．(1)求双曲线方程；(2)过双曲线的下焦点作倾角为的直线交曲线于、，求的长．【答案】(1)(2)6【详解】（1）因为双曲线的一条渐近线方程为，所以,双曲线的上焦点为，在中令得，所以，∴,∴双曲线方程为;（2）过双曲线的下焦点且倾角为的直线斜率为，直线方程为,代入双曲线方程可得，，设，故，故的长为6.题型七：重点考查双曲线中焦半径问题典型例题例题1．（2023·全国·高二课堂例题）已知双曲线（a＞0，b＞0）的左焦点为F，且P是双曲线上的一点，求的最小值.【答案】【详解】设，则有，，，当P在双曲线右支时，因为，所以，所以的最小值为；当P在双曲线左支时，因为，所以，因此，的最小值为，综上所述：的最小值为；

例题2．（2022·全国·高三专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．【答案】答案见解析【详解】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时，设直线AB为y=k(x-c)，双曲线方程可化为①，将直线y=k(x-c)代入①整理得，，设，当时，弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1)，于是∴，当时，弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2)，于是．（2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时，弦AB与x轴垂直，．精练核心考点1．（2022·高二课时练习）分别是双曲线的左、右焦点，过的直线分别交该双曲线的左、右两支于A、B两点，若，则（

）A．2 B． C．4 D．【答案】C【详解】解：由双曲线的定义可得，，因为，所以，所以，即，因为，所以，所以，由，得，所以，得，故选：C2．（2023·全国·高二专题练习）已知，分别为双曲线的左、右焦点，点，点的坐标为，为的角平分线，则【答案】6【详解】不妨设A在双曲线的右支上,∵为的平分线，∴，又∵，解得，故答案为6.题型八：重点考查双曲线中四边形面积典型例题例题1．（2023秋·山东青岛·高二校考期末）已知为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点在双曲线上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为.【答案】/【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，所以，四边形为矩形，设点，则，不妨设点为直线上的点，则，，所以，.故答案为：.例题2．（2023·山东·沂水县第一中学校联考模拟预测）过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的弦，，其中在双曲线的左支上，在轴上方，则的最小值为，当的倾斜角为时，四边形的面积为．【答案】1【详解】由双曲线可得，则，设直线，联立方程，消去x得：，则，由题意可得，解得，空1：根据对称性可知：，则，∵，则，可得，∴，可得，故的最小值为1；空2：连接，根据题意可知四边形为平行四边形，且，则点到直线的距离，且，当的倾斜角为时，则，即可得，故四边形的面积.故答案为：1；.精练核心考点1．（2023秋·内蒙古包头·高二统考期末）、是双曲线上关于原点对称的两点，、是左、右焦点．若，则四边形的面积是（

）A． B．3 C．4 D．6【答案】D【详解】解：由可知，，所以，因为，是上关于原点对称的两点，且，所以四边形为矩形，设，，由双曲线的定义可得，所以，又因为，所以，所以，所以四边形的面积．故选：D．2．（2023春·甘肃临夏·高二校考开学考试）已知为双曲线：的两个焦点，，为上关于坐标原点对称的两点，且，则四边形的面积为．【答案】8【详解】由题意得，，由双曲线的对称性以及可知，四边形为矩形，所以，解得，所以四边形的面积为．故答案为：．题型九：重点考查双曲线中的中点弦问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知点，是双曲线上的两点，线段的中点是，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】D【详解】设，，则，两式相减得，即，∴.故选D.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的其中一个焦点为，一条渐近线方程为（1）求双曲线的标准方程；（2）已知倾斜角为的直线与双曲线交于两点，且线段的中点的纵坐标为4，求直线的方程.【答案】（1）（2）【详解】（1）由焦点可知，又一条渐近线方程为所以，由可得,解得，，故双曲线的标准方程为（2）设，AB中点的坐标为则①，②，②①得：，即，又，所以，所以直线的方程为，即例题3．（2023秋·高二课时练习）已知双曲线的中心在原点，且它的一个焦点为，直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，求此双曲线的方程．【答案】【详解】设双曲线的方程为，由题意可得，设，，由直线与其相交于、两点，线段中点的横坐标为，得的中点为，则，由且，两式相减得，则，即，所以，联立，解得，，故所求双曲线的方程为．精练核心考点1．（2023春·河南周口·高二校考开学考试）过点作斜率为1的直线，交双曲线于A，B两点，点M为AB的中点，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设点，则有，两式做差后整理得，由已知，，又，，得故选：B2．（2023春·陕西榆林·高二统考期末）已知为双曲线上两点，且线段的中点坐标为，则直线的斜率为.【答案】/2.25【详解】设，则两式相减得，由线段的中点坐标为，即，.故答案为：3．（2023秋·高二课时练习）经过点作直线交双曲线于两点，且为中点．(1)求直线的方程．(2)求线段的长．【答案】(1)(2)【详解】（1）设，代入双曲线方程得，两式相减得，即，因为为的中点，所以，所以，所以直线的斜率为所以的方程为，即，经验证符合题意，所以直线的方程为；（2）将代入中得，故，所以.题型十：重点考查双曲线中参数范围及最值问题典型例题例题1．（2023·上海·高二专题练习）过椭圆右焦点F的圆与圆外切，该圆直径的端点Q的轨迹记为曲线C，若P为曲线C上的一动点，则长度最小值为（

）A．0 B． C．1 D．2【答案】C【点睛】椭圆，，所以.设以为直径的圆圆心为，如图所示：因为圆与圆外切，所以，因为，，所以，所以的轨迹为：以为焦点，的双曲线的右支.即，曲线.所以为曲线上的一动点，则长度最小值为.故选：C例题2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线的右焦点为，若双曲线上存在关于原点对称的两点使，则的取值范围为．【答案】【详解】，设，则，，，化简得，因为满足双曲线方程，所以，因此可得：，由得，又，所以.故答案为：例题3．（2023秋·广东揭阳·高三普宁市第二中学校考阶段练习）已知双曲线：过点，渐近线方程为，直线是双曲线右支的一条切线，且与的渐近线交于A，B两点．(1)求双曲线的方程；(2)设点A，B的中点为M，求点M到y轴的距离的最小值．【答案】(1)(2)2【详解】（1）由题设可知，解得则：．（2）设点M的横坐标为当直线斜率不存在时，则直线：易知点到轴的距离为﹔当直线斜率存在时，设：，，，联立，整理得，，整理得联立，整理得，则，则，即则，即∴此时点到轴的距离大于2；综上所述，点到轴的最小距离为2．精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系xOv中，M为双曲线右支上的一个动点，若点M到直线的距离大于m恒成立，则实数m的最大值为（

）A．1 B． C．2 D．2【答案】B【详解】由点M到直线的距离大于m恒成立，可得点M到直线的最近距离大于m.因为双曲线的渐近线为，则与的距离即为最近距离，则，即.故选：B2．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线C的一条渐近线为直线，C的右顶点坐标为，右焦点为F.若点M是双曲线C右支上的动点，点A的坐标为，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】设双曲线方程为，则，所以，双曲线方程为，由，得，，因此在双曲线外部（不含焦点的部分），又，所以，在中，由三边之间的关系可知当是线段与双曲线的交点，即三点共线时，取得最小值，且最小值为，故选：B.3．（2023·全国·高三专题练习）已知点在双曲线上．（1）求正数的值；（2）求双曲线C上的动点P到定点的距离的最小值．【答案】（1）；（2）．【详解】（1）由题意，将点代入双曲线方程得，，又，所以；（2）由（1）知，，设点，则，且或，则，所以当时，取得最小值为，所以的最小值为.题型十一：重点考查双曲线中定点问题典型例题例题1．（2023秋·山东·高三校联考开学考试）如图，已知点和点在双曲线上，双曲线的左顶点为，过点且不与轴重合的直线与双曲线交于，两点，直线，与圆分别交于，两点.

(1)求双曲线的标准方程；(2)设直线，的斜率分别为，，求的值；(3)证明：直线过定点.【答案】(1)(2)(3)直线过定点,证明见解析.【详解】（1）因为点和点在双曲线上，所以，解得，所以双曲线的标准方程为.（2）由题可知，直线的斜率不等于零，故可设直线的方程为，设，联立，整理得，若，即，直线的斜率为，与渐近线平行，此时直线与双曲线有且仅有一个交点，不满足题意，所以，所以，，因为,所以，所以.（3）（i）当轴时，且，所以，则，联立，整理得，即，解得或，当时，，所以，由于对称性，，此时直线过定点；（ii）当不垂直于轴时，以下证明直线仍过定点设为，因为，所以联立，即，所以，解得或，当时，，所以,同理，将上述过程中替换为可得，所以，，因为，所以，所以，所以三点共线，即此时直线恒过定点，综上直线过定点.例题2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的左右顶点分别为.直线和两条渐近线交于点,点在第一象限且,是双曲线上的任意一点.(1)求双曲线的标准方程；(2)是否存在点P使得为直角三角形？若存在,求出点P的个数；(3)直线与直线分别交于点,证明：以为直径的圆必过定点.【答案】(1)；(2)4个；(3)证明过程见解析.【详解】(1)因为,所以,双曲线的渐近线方程为：,由题意可知：而,所以,因此双曲线的标准方程为：；(2)因为直线的斜率为,所以与直线垂直的直线的斜率为,设点的坐标为：,则有.当时,所以且,解得或此时存在2个点；当时,所以且,,解得或,此时存在2个点；当时,此时点是以线段为直径圆上,圆的方程为：,与双曲线方程联立,无实数解,综上所述：点P的个数为4个；(3)设点的坐标为,.因为三点共线,所以直线的斜率相等,即因为三点共线,所以直线的斜率相等,即,所以的中点坐标为：,所以以为直径的圆的方程为：,即令或,因此该圆恒过两点.精练核心考点1．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线的离心率为2，右焦点到其中一条渐近线的距离为.(1)求双曲线的标准方程；(2)过右焦点作直线交双曲线于两点，过点作直线的垂线，垂足为，求证直线过定点.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）由题意，设右焦点的坐标为，双曲线的渐近线方程为：，右焦点到其中一条渐近线的距离为，可得，又因为，解得，故双曲线的标准方程为.（2）当直线的斜率不为0时，设，则联立方程组，得整理得：.，且，,，令得，，直线过定点.当直线的斜率为0时，此时直线:，此时均在轴上，故直线过定点.综上：直线过定点.2．（2023·全国·高二专题练习）已知双曲线，直线过的右焦点且与交于两点．(1)若两点均在双曲线的右支上，求证：为定值；(2)试判断以为直径的圆是否过定点？若经过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)圆过定点【详解】（1）如图，由，设，直线，代入，整理得：，由解得：由韦达定理：，由，同理，．为定值．另法：由，同理，．由于，不妨设，则．由，得．所以为定值．（2）由题意：圆的方程为即由对称性可知：若存在定点，则必在轴上令，有由（1）可知，代入方程后有：，即，令即．故圆过定点．题型十二：重点考查双曲线中定值问题典型例题例题1．（2023·全国·高二专题练习）已知为坐标原点，双曲线：（，）的左、右焦点分别为，，点在双曲线上，，分别是线段，的中点，且，．(1)求双曲线的标准方程；(2)已知点，，当与，不重合时，设直线，的斜率分别为，，证明：为定值．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）因为，，分别是线段，，的中点，所以，．因为，所以，所以由双曲线的定义知，解得．设双曲线的半焦距为（）．因为，所以，所以，所以．所以双曲线的标准方程为．（2）设（），则，所以，所以，所以．因为，，所以，所以，为定值．例题2．（2023秋·山西太原·高三统考阶段练习）已知双曲线：与双曲线有相同的焦点；且的一条渐近线与直线平行.(1)求双曲线的方程；(2)若直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），且分别交双曲线的两条渐近线于两点，为坐标原点，试判断的面积是否为定值，若是，请求出；若不是，请说明理由.【答案】(1)(2)是，2【详解】（1）设双曲线的焦距为，由题意可得：，则，则双曲线的方程为.（2）由于直线与双曲线右支相切（切点不为右顶点），则直线的斜率存在，设直线的方程为，则，消得：，则，可得：①设与轴交点为，则，∵双曲线两条渐近线方程为：，联立，解得，即，同理可得：，则（定值）.精练核心考点1．（2023·全国·高三专题练习）已知，分别是双曲线的左、右焦点，A为双曲线在第一象限的点，的内切圆与x轴交于点．(1)求双曲线C的方程；(2)设圆上任意一点Q处的切线l，若l与双曲线C左、右两支分别交于点M、N，问：是否为定值？若是，求出此定值；若不是，说明理由．【答案】(1)(2)为定值，且．【详解】（1）如图，设，与的内切圆分别交于G，H两点，则，所以，则，则双曲线C的方程为．（2）由题意得，切线l的斜率存在．设切线l的方程为，，．因为l与圆相切，所以，即．联立消去y并整理得，所以，．又．又，将代入上式得．综上所述，为定值，且．2．（2023秋·全国·高二随堂练习）已知双曲线过点，且离心率(1)求该双曲线的标准方程：(2)如果，为双曲线上的动点，直线与直线的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出该定值.【答案】(1)(2)证明见解析，【详解】（1）由题意，解得，，故双曲线方程为（2）设点，，设直线的方程为，代入双曲线方程，得，，，，同理，.题型十三：重点考查双曲线中定直线问题典型例题例题1．（2023·全国·高三专题练习）已知双曲线过点，离心率为，直线交轴于点，过点作直线交双曲线于两点.(1)求双曲线的标准方程；(2)若是线段的中点，求直线的方程；(3)设是直线上关于轴对称的两点，直线与的交点是否在一条直线上？请说明你的理由.【答案】(1)(2)或(3)直线PM与QN的交点在定直线，理由见解析【详解】（1）由题意得：，，.解得，，所以双曲线的标准方程为.（2）方法1：设，则依题意有解得，所以直线的方程为或.方法2：设直线的方程为，与双曲线的方程联立得：.当时设，，得，.又因为，所以，，解得.此时，所以直线MN的方程为或.（3）方法1：设，，直线PM的方程为，直线ON的方程，联立两方程，可得①结合（2）方法2，可得代入①得故.所以直线PM与QN的交点在定直线上.方法2设直线MN的方程为，与双曲线的方程联立得：.设，，，，由根与系数的关系，得，.：，：，联立两方程，可得：，解得所以直线PM与QN的交点在定直线上.例题2．（2023春·云南红河·高三开远市第一中学校校考阶段练习）设双曲线，其虚轴长为，且离心率为．(1)求双曲线的方程；(2)过点的动直线与双曲线的左右两支曲线分别交于点、，在线段上取点使得，证明：点落在某一定直线上．【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解：设双曲线，其虚轴长为，且离心率为，∴，，∵，∴，，∴双曲线的方程为．（2）解：设点，A，的坐标分别为，，，且，∵，∴，即，①设直线的方程为，②将②代入中整理，得，∴，，代入①，整理可得，得，联立②消得，∴点落在某一定直线上．精练核心考点1．（2023春·黑龙江·高三校联考开学考试）已知双曲线Γ：，，为Γ的左、右顶点，为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为．过点且不垂直于x轴的直线l与Γ交于M，N两点．(1)求Γ的方程；(2)若点E，F为直线上关于x轴对称的不重合两点，证明：直线ME，NF的交点在定直线上．【答案】(1)；(2)详见解析.【详解】（1）由题意得，又为Γ上一点，的斜率与的斜率之积为，所以，解得，所以双曲线Γ的标准方程为；（2）设直线MN的方程为，由，可得，则，，设，，，，，所以，直线：，：，联立两方程，可得：，解得，当直线与x轴重合时，则，：，：，联立可得，综上，直线ME与NF的交点在定直线上.2．（2023春·江西九江·高二瑞昌市第一中学校考期中）已知在平面直角坐标系xOy中，动点M到点的距离与它到直线的距离之比为2.记M的轨迹为曲线E.(1)求E的方程；(2)若P是曲线E上一点，且点P不在x轴上，作PQ⊥l于点Q，证明：曲线E在点P处的切线过△PQA的外心.【答案】(1)(2)证明见解析【详解】（1）解:设动点坐标为,则根据题意得,两边同时平方,化简可得,所以曲线的方程为;（2）由题设点,因为点不在轴上,即,所以曲线在点的切线斜率存在,设为,则在点的切