2023-2024学年江苏省苏州市吴中区碧波中学八年级（上）10月月考数学试卷含解析

2023-2024学年江苏省苏州市吴中区碧波中学八年级（上）10月月考数学试卷副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(

)A. B. C. D.2.如图，三个居民小区分别坐落在地图中的△ABC三个顶点A，B，C处，现要建一个牛奶供应站P，且该供奶站P到三小区A，B，C的距离相等，则该供奶站P的位置应选在

(

)

A.△ABC三边的垂直平分线的交点 B.△ABC三个内角平分线的交点

C.△ABC三条中线的交点 D.△ABC三条高所在直线的交点3.在▵ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件不能判断▵ABC是直角三角形的是

(

)A.∠A:∠B:∠C=3:4:5 B.∠A+∠B=∠C

C.a:b:c=3:4:5 D.a4.如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距

(

)

A.13海里 B.16海里 C.20海里 D.26海里5.如图，∠ABC=30∘，点D是它内部一点，OD=m，点E，F分别是BA，BC上的两个动点，则▵DEF周长的最小值为

(

)

A.0.5m B.m C.1.5m D.2m6.如图，已知BP是∠ABC的平分线，AP⊥BP，若▵BPC的面积为7cm2，则▵ABC的面积

(

)

A.8cm2 B.10cm2 C.7.如图，线段AB，BC的垂直平分线l1，l2相交于点O.若∠OEB=46∘，则∠AOC=(

)A.92∘ B.88∘ C.46∘8.如图，AC，BD在AB的同侧，AC=2，BD=8，AB=8，M为AB的中点．若∠CMD=120∘，则CD长的最大值是

(

)

A.8 B.10 C.12 D.149.如图，△ABC中，∠CAB=∠CBA=48°，点O为△ABC内一点，∠OAB=12°，∠OBC=18°，则∠ACO+∠AOB=(

)

A.190° B.195° C.200° D.210°10.如图，在▵ABC中，AD,BE分别为BC,AC边上的高，AD,BE相交于点F，AD=BD，连接CF，则下列结论：①BF=AC；②∠FCD=∠DAC；③CF⊥AB；④若BF=2EC，则▵FDC周长等于AB的长．其中正确的有

(

)

A.①② B.①③ C.①③④ D.②③④二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.等腰三角形的一边长为10，另一边长为5，则它的周长是

．12.如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的▵ABC，则与▵ABC成轴对称且以格点为顶点三角形共有

个．

13.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形．若正方形A,B,C,D的面积分别是3,2,3,4，则最大的正方形E的面积是

．

14.直角三角形的两条边长分别为3cm，4cm，则这个直角三角形的斜边长为____

_cm．15.我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐问水深几何？”(注：丈、尺是长度单位，1丈=10尺)这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为1丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面．则水池里水的深度是

尺．

16.如图，在Rt▵ABC中∠ABC=90∘,AB=20，以AC,BC为直径的半圆的面积分别为S1,S2，则S117.如图，在四边形ABCD中∠ABC=∠ADC=90∘，E为对角线AC的中点，连接BE、ED、BD，若∠BAD=56∘，则∠BED的度数为

．18.如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要_

___cm．

三、解答题（本大题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）19.(本小题8.0分)如图，在10×10的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1(即三角形的顶点都在格点上)．

(1)在图中作出▵ABC关于直线l对称的▵A1B1C1；(要求：A与A1，B与(2)若有一格点P到点A、B的距离相等，则网格中满足条件的点P共有__________个；(3)在直线l上求作一点Q使QB+QC的值最小，此时QB+QC=__________．20.(本小题8.0分)如图，在▵ABC和▵AEF中，AB=AC，AE=AF，∠BAC=∠EAF，BE与CF交于点O，与AC交于点D．(1)求证：BE=CF；(2)若∠BAC=80∘，求∠BOF21.(本小题8.0分)2021年是中国共产党建党100周年，大街小巷挂满了彩旗．如图所示：长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位：cm).其中长方形ABCD是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分DCEF为长方形绸缎旗面，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上．这杆从旗顶到地面的高度为220cm，在无风的天气里，彩旗自然下垂．求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度ℎ．

22.(本小题8.0分)如图，在△ABC中，AB=AC，D为CA延长线上一点，且DE⊥BC交AB于点F．(1)求证：△ADF是等腰三角形；(2)若AC=10，EF=4，F为AB中点，则AB+AD−DE=_____．23.(本小题8.0分)如图，将矩形ABCD(AB<AD)沿BD折叠后，点C落在点E处，且BE交AD于点F，若AB=6，BC=8．

(1)求DF的长；(2)求▵DBF和▵DEF的面积；(3)求▵DBF中F点到BD边上的距离．24.(本小题8.0分)如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320 km的B处，以每小时40 km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200 km的范围内是受台风影响的区域．

(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？25.(本小题8.0分)如图1，ΔABC中，CD⊥AB于D，且BD:AD:CD=2:3:4，(1)试说明ΔABC是等腰三角形；(2)已知SΔABC=40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止．设点M运动的时间为①若ΔDMN的边与BC平行，求t的值；②若点E是边AC的中点，问在点M运动的过程中，ΔMDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．

答案和解析1.【答案】A

【解析】【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．【详解】A.是轴对称图形，故A符合题意；B.不是轴对称图形，故B不符合题意；C.不是轴对称图形，故C不符合题意；D.是轴对称图形，故D不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．2.【答案】A

【解析】【分析】根据线段的垂直平分线的性质确定P点的位置．【详解】解：∵点P到点A，B，C的距离相等，∴点P为AB、BC、AC的垂直平分线的交点．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的重心：重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为2：1.也考查了线段垂直平分线的性质．掌握三角形的重心及线段垂直平分线的性质是解题关键．3.【答案】A

【解析】【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理逐项判断即得答案．【详解】A、∵∠A:∠B:∠C=3:4:5，∴∠C=53+4+5×B、∵∠A+∠B=∠C，且∠A+∠B+∠C=180∴∠C=90∘，故C、∵a:b:c=3:4:5，故设a=3k,b=4k,c=5k∴a2+D、a2+b故选：A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理和勾股定理的逆定理，熟练掌握这两个基本知识点是解题的关键．4.【答案】D

【解析】【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了24海里，10海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．【详解】解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，∴∠BAC=90°，两小时后，两艘船分别行驶了12×2=24(海里)，5×2=10(海里)，根据勾股定理得：AB故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．5.【答案】B

【解析】【分析】作D点关于AO的对称点G，作D点关于OB的对称点H，连接GH交AO于点E，交OB于点F，连接GO，OH，此时▵DEF的周长最小，最小值为GH，证明▵GOH是等边三角形，即可求解．【详解】解：作D点关于AO的对称点G，作D点关于OB的对称点H，连接GH交AO于点E，交OB于点F，连接GO，OH，DE，DF如图所示：

由对称性可知，GE=ED，DF=FH，OG=OD=OH，∴ED+DF+EF=GE+EF+FH≥GH，当点G、E、F、H四点共线时▵DEF的周长最小，最小值为GH，∵∠GOA=∠AOD，∠DOB=∠BOH，∴∠GOH=2∠AOB，∵∠AOB=30∴∠GOH=60∴▵GOH是等边三角形，∴GH=OD，∵OD=m，∴▵DEF周长的最小值为m，

故选：B．【点睛】本题主要考查了利用轴对称求最短距离，熟练掌握轴对称求最短距离的方法，轴对称的性质，等边三角形的判定与性质是解题的关键．6.【答案】D

【解析】【分析】延长AP交BC于点C，根据题意，通过ASA判定▵ABP≌▵DBP，由▵APC和▵DPC同高等底，所以面积相等，根据等量代换便可得出S▵ABC【详解】解：延长AP交BC于点C，如图所示，，∵AP⊥BP，∴∠APB=∠DPB=90∵BP是∠ABC的角平分线，∴∠ABP=∠DBP，在▵ABP和▵DBP中，∠ABP=∠DBP∴▵ABP≌▵DBPASA∴AP=DP，∴S∵▵APC和▵DPC同底等高，∴S∴S∴S故选：D．【点睛】本题考查了三角形的角平分线和全等三角形的判定，解题的关键是熟练运用三角形的角平分线和全等三角形的判定．7.【答案】B

【解析】【分析】根据线段垂直平分线的性质结合三角形外角性质得到∠AOC=2∠ABC，再利用垂直的定义结合直角三角形两锐角互余得到∠ABC=90【详解】解：如图，连接BO并延长至点P，l1与线段AB交于F∵l1，l2是AB∴OA=OB，OB=OC，∠ODE=∠OFA=90∴∠A=∠ABO，∠C=∠CBO∴∠AOP=2∠ABO，∠COP=2∠CBO，∴∠AOC=∠AOP+∠COP=2∠ABO+∠CBO∵∠OEB=46∘，∴∠ABC=90∴∠AOC=2∠ABC=2×44故选：B【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形外角的性质，垂直的定义，直角三角形两锐角互余，注意掌握辅助线的作法，注意掌握整体思想与数形结合思想的应用．8.【答案】D

【解析】【分析】如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′，证明▵A′MB′为等边三角形，即可解决问题．【详解】解：如图，作点A关于CM的对称点A′，点B关于DM的对称点B′．∵∠CMD=120∴∠AMC+∠DMB=60∴∠CMA′+∠DMB′=60∴∠A′MB′=60∵MA′=MB′=MA=MB，∴ΔA′MB′为等边三角形∵CD≤CA′+A′B′+B′D=CA+AM+BD=14，∴CD的最大值为14，故选：D．

【点睛】本题考查等边三角形的判定和性质，两点之间线段最短，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用两点之间线段最短解决最值问题9.【答案】D

【解析】【分析】作CD⊥AB于点D，延长BO交CD于点P，连接AP.由题意可求出∠ABP=∠ABC−∠OBC=30∘.由所作辅助线可判断CD为AB的垂直平分线，即得出PA=PB，从而得出∠BAP=∠ABP=30∘，进而可求出∠CAP=∠CAB−∠BAP=18∘.由图易求出∠ACD=90∘−∠CAD=42∘，由三角形外角性质可求出∠AOP=∠OAB+∠OBA=42∘【详解】如图，作CD⊥AB于点D，延长BO交CD于点P，连接AP．由题意可求出∠ABP=∠ABC−∠OBC=30∵∠CAB=∠CBA，∴CA=CB．∵CD⊥AB，∴CD为AB的垂直平分线，∴PA=PB，∴∠BAP=∠ABP=30∴∠CAP=∠CAB−∠BAP=18∵∠ACD=90∘−∠CAD=∴∠AOP=∠ACP=42∵∠OAP=∠BAP−∠BAO=18∴∠CAP=∠OAP=18又∵AP=AP，∴▵CAP≅▵OAP(ASA)，∴AC=AO．∵∠CAO=∠CAB−∠BAO=36∴∠ACO=∠AOC=1∵∠AOB=180∴∠ACO+∠AOB=故选D．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，线段垂直平分线的性质以及三角形全等的判定和性质，综合性强，较难．正确做出辅助线是解题关键．10.【答案】C

【解析】【分析】延长CF交AB于H，先利用“ASA”证明▵DBF≌▵DAC，得出BF=AC,DF=DC，可判断①正确；由∠FDC=90∘，得出∠DFC=∠FCD=45∘，再由三角形外角的性质，可判断②错误；由∠ABC=45∘,∠FCD=45∘，得出∠BHC=180∘−∠ABC−∠FCD=90∘，得出CF⊥AB，可判断③正确；由BF=2EC,BF=AC，可证明【详解】解：如图，延长CF交AB于H，

∵AD,BE分别为BC,AC边上的高，∴∠BDF=∠ADC=∠BEA=∠BEC=90∵AD=BD，∴∠ABD=45∵∠DAC+∠ACB=∠DBF+∠ACB=90∴∠DAC=∠DBF，在▵DBF和▵DAC中，∠BDF=∠ADC=∴▵DBF≌▵DACASA∴BF=AC,DF=DC，故①正确；∵∠FDC=90∴∠DFC=∠FCD=45∵∠DFC>∠DAC，∴∠FCD>∠DAC，故②错误；∵∠ABC=45∘，∴∠BHC=180∴CF⊥AB，故③正确；∵BF=2EC,BF=AC，∴AC=2EC，∴AE=EC，∵BE⊥AC，∴BE垂直平分AC，∴AF=CF,BA=BC，∴▵FDC的周长=FD+FC+DC=FD+AF+DC=AD+DC=BD+DC=BC=AB，故④正确，∴正确的有①③④．故选：C．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，得到▵DBF≌▵DAC是解决问题的关键．11.【答案】25

【解析】【分析】因为边为2和5，没说是底边还是腰，所以有两种情况，需要分类讨论．【详解】当5为底时，其它两边都为10，而10、5、10可以构成三角形，周长为25；当5为腰时，其它两边为10和5.因为5+5=10，所以不能构成三角形，故舍去，∴答案只有25．故答案为25．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和三角形的三边关系；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．12.【答案】5

【解析】【分析】解答此题首先找到△ABC的对称轴，EH、GC、AD，BF等都可以是它的对称轴，然后依据对称找出相应的三角形即可．【详解】解：与△ABC成轴对称且以格点为顶点三角形有△ABG，△CDF，△AEF，△DBH，△BCG共5个，故答案为5．【点睛】本题主要考查轴对称的性质；找着对称轴后画图是正确解答本题的关键．13.【答案】12

【解析】【分析】设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为g，根据题意，运用勾股定理可得，g2=a2+b2，正方形G的面积是正方形A,B的面积和，正方形F【详解】解：如图所述，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形G的边长为g，

∴根据题意可得，a2=3，∴g∵g2是正方形∴正方形G的面积为5，即正方形G的面积是正方形A,B的面积和，同理，正方形F的面积为3+4=7，∴正方形E的面积为5+7=12，故答案为：12．【点睛】本题主要考查以勾股定理为背景的图形面积的计算，理解图示，掌握勾股定理计算图形面积的方法是解题的关键．14.【答案】5或4

【解析】【分析】根据勾股定理计算即可．【详解】解：当4cm为直角边时，这个直角三角形的斜边长为3当4cm为斜边时，这个直角三角形的斜边长为4cm，故答案为：5或4．【点睛】此题考查了勾股定理：两直角边的平方和等于斜边的平方，熟记定理是解题的关键．15.【答案】12

【解析】【分析】首先设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度为(x+1)尺，根据勾股定理可得方程x2【详解】设这个水池深x尺，由题意得，x2解得：x=12答：这个水池深12尺．故答案为：12．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．16.【答案】50π

【解析】【分析】根据半圆面积公式，求出S1、S【详解】S1=1所以S1故答案为50π．【点睛】本题考查了半圆的面积公式，解题的关键是熟练掌握圆的面积公式．17.【答案】112∘【解析】【分析】证明EA=EB=EC=DE，可得∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，可得∠DEB=2∠DAE+∠BAE【详解】解：∵∠ABC=∠ADC=90∘，E为∴EA=EB=EC=DE，∴∠DAE=∠EDA，∠BAE=∠EBA，在▵AED中，∠DEC=∠DAE+∠ADE=2∠DAE，同理可得到：∠BEC=2∠BAE，∴∠DEB=∠DEC+∠BEC=2∠DAE+∠BAE故答案为：112∘【点睛】本题考查的是直角三角形斜边上的中线的性质，三角形的外角的性质，等腰三角形的性质，熟练的求解∠DEB=∠DEC+∠BEC是解本题的关键．18.【答案】10

【解析】【分析】要求所用细线的最短距离，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．【详解】解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′=1+3+1+3=8(cm)，A′B′=6cm，根据两点之间线段最短，AB′=故答案为：1019.【答案】(1)解：根据轴对称的性质，找到A1▵A

(2)解：由题意可得，点P在线段AB的垂直平分线上，如下图：

由图形可得，满足条件的点P有9个；故答案为：9(3)解：连接BC1交直线l于点Q，点由轴对称的性质可得：Q∴QC+QB=QB+Q由三角形三边关系可得：QC+QB=QB+Q当Q、B、C1三点共线时，QC+QB=QB+QC1由勾股定理得：BC∴QC+QB的最小值为5

故答案为5

【解析】【分析】(1)根据轴对称的性质，求得A1(2)由题意可得，点P在线段AB的垂直平分线上，寻找相应的格点即可；(3)根据轴对称的性质可得：QC1=QC，再根据三角形三边关系可得，当Q、B、【点睛】此题考查了轴对称的性质，垂直平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解．20.【答案】(1)证明：∵∠CAB=∠EAF，∴∠CAB+∠CAE=∠EAF+∠CAE，∴∠BAE=∠CAF，在▵BAE和▵CAF中，AB=AC∴△BAE≌△CAFSAS∴BE=CF；(2)解：∵▵BAE≌▵CAF，∴∠EBA=∠FCA，即∠DBA=∠OCD，∵∠BDA=∠ODC，∴∠BAD=∠COD，∵∠BAC=80∴∠COD=80∴∠BOF=100

【解析】【分析】(1)利用SAS可以证明▵BAE≌▵CAF，从而可以证明结论成立；(2)根据(1)中的全等和三角形内角和可以得到∠COD的度数，据此即可求解．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．21.【答案】解：由题意可得：彩旗这一长方形的对角线即12∴ℎ=220−150=70cm．

【解析】【分析】分析可知：彩旗自然下垂时，距离地面的最小距离是旗杆的高度减去彩旗的对角线的长．【点睛】本题考查了勾股定理的实际应用，此类题的难点在于正确理解题意，结合实际运用勾股定理．22.【答案】(1)证明：∵AB=AC∴∠B=∠C又∵DE⊥BC∴∠B+∠BFE=90°，∠C+∠D=90°∴∠BFE=∠D∵∠BFE=∠AFD∴∠D=∠AFD∴▵ADF是等腰三角形；(2)解：过A作AG⊥DE，交DE于点G∵DE⊥BC∴∠AGF=∠BEF∵AB=AC，AC=10，F为AB中点∴BF=AF=5又∵在Rt▵BEF中，EF=4，∴BE=在▵AGF和▵BEF中∠AGF=∠BEF∴▵AGF≌▵BEF∴EF=GF∵AG⊥DE，△ADF是等腰三角形，∴AD=AF=12∴DF=2EF∴DE=DF+EF=3EF=12∴AB+AD−DE=10+5−12=3故答案为：3．

【解析】【分析】(1)通过已知条件证明∠AFD和∠D相等就能证明▵ADF是等腰三角形；(2)过A作AG⊥DE，交DE于点G.根据全等三角形的判定和性质得出▵AGF≌▵BEF，▵ADG≌▵AFG，找出线段间的数量关系求解即可．【点睛】本题考查了全等三角形的判定、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理．解题的关键是熟悉全等三角形的判定以及等腰三角形的性质．23.【答案】(1)解：∵四边形ABCD是矩形，∴AD=BC=8，AB=CD=6，∠A=90∘，∴∠DBC=∠FDB，由折叠性质得：∠DBC=∠DBE，∴∠FDB=∠FBD，∴BF=FD，设AF=x，则BF=DF=8−x．在Rt▵ABF中，由勾股定理得：AB2+A解得：x=7∴DF=8−7(2)解：由折叠的性质得：BE=BC=8，DE=CD=4，∠E=90∘，∴S▵DEF=1S▵DBF(3)解：BD=AD2+AB2则S▵DBF=12BD⋅ℎ，即：75∴F到BD边上的距离为154

【解析】【分析】(1)易证BF=FD，在直角▵ABF中，根据勾股定理就可以求出DF的长；(2)由折叠的性质得BE=BC=8，DE=CD=6，∠E=90∘，EF=BE−BF=74，由(3)由勾股定理得出BD的长，设F到BD边上的距离为ℎ，则S▵DBF【点睛】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、三角形面积计算等知识，熟练掌握折叠的性质，运用三角形面积公式计算是解题的关键．24.【答案】(1)解：由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt▵ABC中，∠ABC=30∘，AB=320km，则因为160<200，所以A城要受台风影响；(2)设BF上点D，DA=200km，则还有一点G，有AG=200km．

∵DA=AG，∴▵ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，CD=GC，在Rt▵ADC中，DA=200km，