1.3探索三角形全等的条件（7）（分层练习）解析版

1.3探索三角形全等的条件（7）分层练习1．作已知角的平分线是根据三角形的全等判定（）作的．A．AAS B．ASA C．SAS D．SSS【答案】D【分析】根据作图过程可知用到的三角形全等的判定方法是SSS．【详解】如图所示，作已知∠AOB的平分线．①以O为圆心，任意长为半径作弧，交OA，OB于点D，E．②分别以D，E为圆心，以大于12DE长为半径弧，两弧在∠AOB内交于点C．作射线OC．则OC就是∠AOB故用到三角形的全等判定的SSS法．故选D．2.过点P画AB的垂线，三角尺的放法正确的是(

)A. B.C. D.【答案】C

【分析】本题考查作图-基本作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据垂线的定义判断即可．【详解】解：根据垂线的定义，选项C符合题意．

故选：C．3.小米在用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：

①分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于F；

②作射线BF，交边AC于点H；

③以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；

④取一点K，使K和B在AC的两侧；

所以，BH就是所求作的高．

其中顺序正确的作图步骤是(

)A.①②③④ B.④③②① C.②④③① D.④③①②【答案】D

【分析】此题主要考查了尺规基本作图，关键是掌握过直线外一点作已知直线的垂线的作法．

根据过直线外一点作已知直线的垂线的方法作BH⊥AC即可．

【详解】

解：用尺规作图作△ABC边AC上的高BH，作法如下：

取一点K，使K和B在AC的两侧；

以B为圆心，BK长为半径作弧，交直线AC于点D和E；

分别以点D，E为圆心，大于12DE的长为半径作弧，两弧交于F；

作射线BF，交边AC于点H；

所以，BH就是所求作的高．

故正确的作图步骤是④③①②．

故选：D4．如图，已知∠AOB（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于D，交OB于点E（2）分别以点D、E为圆心，大于12DE的长为半径画弧，两弧在∠（3）画射线OC根据上述作图步骤，下列结论正确的有（

）个①射线OC是∠AOB的平分线；②点O和点C关于直线DE对称；③射线OC垂直平分线段DE；④OD=DC.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】根据题意可知OD=OE,CD=CE，OC=OC，可通过证明三角形全等或线段垂直平分线的判定进行判断.【详解】解:连接CD、CE，由作图步骤可知OD=OE,CD=CE，又∵OC=OC，∴ΔODC≅ΔOEC，∴∠DOC=∠EOC，∴射线连接DE,因为ΔODF,ΔCDF不全等，所以点O和点C关于直线DE不对称，OD≠DC②④错误；∵OD=OE,CD=CE,∴射线OC垂直平分线段DE，③正确所以正确的是①③，有2个.故选B5．图1～图4是四个基本作图的痕迹，关于四条弧①、②、③、④有四种说法：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧；（2）弧②是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；（3）弧③是以A为圆心，任意长为半径所画的弧；（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧；其中正确说法的个数为（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】C【分析】根据基本作图的方法即可得到结论．【详解】解：（1）弧①是以O为圆心，任意长为半径所画的弧，正确；（2）弧②是以P为圆心，大于点P到直线的距离为半径所画的弧，错误；（3）弧③是以A为圆心，大于12AB（4）弧④是以P为圆心，任意长为半径所画的弧，正确．故选C．6.如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是(

)A.DB=DE

B.AB=AE

C.∠EDC=∠BAC

D.∠DAC=∠C【答案】D

【分析】本题考查作图-基本作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．

证明△ADE≌△ADB即可判断A，B正确，再根据同角的补角相等，证明∠EDC=∠BAC即可．

【详解】解：由作图可知，∠DAE=∠DAB，∠DEA=∠B=90°，

在△ADE和△ADB中，

∠DAE=∠DAB∠DEA=∠BAD=AD,

∴△ADE≌△ADB(AAS)，

∴DB=DE，AB=AE，

∵∠AED+∠B=180°，

∴∠BAC+∠BDE=180°，

∵∠EDC+∠BDE=180°，

∴∠EDC=∠BAC，

故A，B，C正确，

没有办法证明∠DAC=∠C，故D错误；

7．如图，已知∠AOB①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交OA、OB于M、N两点；②分别以点M，N为圆心，以大于12线段MN的长为半径作弧，两弧在∠AOB内部交于点则射线OC是∠AOB根据上面的作法，完成以下问题：（1）使用直尺和圆规，作出射线OC（请保留作图痕迹）；（2）完成下面证明过程．（注：括号里填写推理的依据）．连接MC，．在△OCM和△∵OM=ON,∴△OCM≌△OCN∴∠AOC=________（

即OC平分∠AOB【答案】（1）见解析；（2）SSS，∠BOC【分析】（1）根据题目中的作图步骤画图即可；（2）根据全等三角形的判定定理和性质，补充完整即可．【详解】（1）如图所示，射线OC即为所求；（2）连接MC，NC．在△OCM和△∵OM=ON,∴△OCM≌△OCN（∴∠AOC=∠BOC（即OC平分∠AOB8．已知：直线l和l外一点P．求作：直线l的垂线，使它经过点P．作法：①在直线l上任取两点A、B；②分别以点A、B为圆心，AP，BP长为半径作弧，在直线l下方两弧交于点C；③作直线PC．所以直线PC为所求作的垂线．（1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明．证明：连接AP、AC、BP、BC．∵AP＝AC，BP＝BC，AB＝AB，∴△APB≌△ACB（

）（填推理依据）．∴∠PAB＝∠CAB，∴PC⊥AB（

）（填推理依据）．【答案】（1）见解析；（2）SSS，等腰三角形三线合一【分析】此题考查作图问题，根据题意按照作图步骤一步步进行，注意保留作图痕迹．【详解】解：（1）（2）SSS，等腰三角形三线合一9.在下面的三角形中(可以使用刻度尺，量角器，三角尺)

(1)画线段BC的中点D，并连接AD；

(2)过点B画AC的垂线，垂足为点E，交AD于点F；

(3)延长AD至点M，使DM=AD，连接BM；

(4)图中表示点A到BE的距离的线段是：_______；(5)∠ADC的邻补角是：________________．【答案】(4)AE

(5)∠ADB和∠CDM

【分析】此题主要考查了基本作图，明确点到直线的距离以及邻补角的概念是解题的关键．

【详解】解：(1)如图所示，

(1)画线段BC的中点D，并连接AD；

(2)过点B画AC的垂线，垂足为点E，交AD于点F；

(3)延长AD至点M，使DM=AD，连接BM；

(4)表示点A到BC的距离的线段是AE；

(5)∠ADC的邻补角是∠ADB和∠CDM．

故答案为：(4)AE

(5)∠ADB和∠CDM．

10．数学活动课上，同学们探究了角平分线的作法．下面给出三个同学的作法：小红的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM＝ON，再过点O作MN的垂线，垂足为P，则射线OP便是∠AOB的平分线．小明的作法如图，∠AOB是一个任意角，在边OA、OB上分别取OM=ON，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点C的射线OC便是∠AOB的平分线．请根据以上情境，解决下列问题(1)小红的作法依据是．(2)为说明小明作法是正确的，请帮助他完成证明过程．证明：∵OM＝ON，OC＝OC，，∴△OMC≌△ONC()(填推理的依据)【答案】（1）等腰三角形三线合一定理；（2）CM=CN，边边边；（3）正确，证明见详解．【分析】（1）利用等腰三角形三线合一定理，即可得到结论成立；（2）利用SSS，即可证明△OMC≌△ONC，补全条件即可；【详解】解：（1）∵OM=ON，∴△OMN是等腰三角形，∵OP⊥MN，∴OP是底边上的高，也是底边上的中线，也是∠MON的角平分线；故答案为：等腰三角形三线合一定理；（2）证明：∵OM＝ON，OC＝OC，CM=CN，∴△OMC≌△ONC（边边边）；∴∠MOC=∠NOC，∴OC平分∠AOB；故答案为：CM=CN，边边边；11.如图，直线AB，点P为直线AB外一点．

(1)过点P作AB的垂线；(用直尺和圆规作图，保留作图痕迹)(2)你能证明上述作图的合理性吗？(画出图形，简要说明画法，并说明理由)(3)如图，已知四边形ABCD，满足AB=AD，CB=CD，若AC=8，BD=6，则四边形ABCD的面积为________．【分析】此题(1)主要考查了过直线外一点作已知直线的垂线，熟练掌握基本作图方法是解题关键．

(2)考查全等三角形判定方法，利用SSS，SAS判定．

(3)考查三角形面积问题，可以考虑S四边形ABCD=S(1)如图PQ即为所求

(2)如图，连接PC、PD、QC、QD，直线PQ交AB于点O，

∵在△PCQ和△PDQ中，PC=PD∴△PCQ≌△PDQ(SSS)∴∠CPQ=∠DPQ，

∴180°-∠CPQ=180°-∠DPQ，

即∠CPO=∠DPO，∵在△PCO和△PDO中PC=PD∴△PCO≌△PDO(SAS)∴∠POC=∠POD又∵∠POC+∠POD=180°∴∠POC=90°∴PQ⊥AB(3)解：设BD与AC交于点E，

∵AB=AD，CB=CD，

由(2)知，AC垂直平分BD，

∴S四边形ABCD=S△ABD1.如图，已知△A BC中，AB=AC.

(1)求做：△ABC的高CD和BE.，要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法(2)判断线段BE与CD的数量关系，并证明你的猜想.，【分析】本题考查了作图-复杂作图和三角形全等的判定：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

(1)利用基本作图(过一点作已知直线的垂线)作CD⊥AB于D，BE⊥AC于E；

(2)利用“AAS”证明△ADC≌△AEB即得到BE=CD．【详解】解：(1)如图，

(2)CD=BE.理由如下：

∵CD和BE为高，

∴∠ADC=∠AEB=90°，

在△ADC和△AEB中

∠A=∠AADC=∠AEBAC=AB，

∴△ADC≌△AEB，

∴BE=CD．2.如图，点P是∠ABC内一点．

(1)画图：①过点P画BC的垂线，垂足为D

②过点P画BC的平行线交AB于点E，过点P画AB的平行线交BC于点F (尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)

(2)∠EPF与∠B的数量关系并说明理由。【分析】主要考查了基本作图中的垂线和平行线的作法，平行线的性质．要求能够熟练的运用尺规作图，并保留作图痕迹．(1)①直接利用尺规过点P作PD⊥BC的垂线即可；②利用尺规通过平移分别作BC，AB的平行线即可；(2)根据平行线的性质和等量代换进行解答即可．【详解】解：(1)如图所示：①PD即为所求；②PE，PF即为所求．

(2)∠EPF=∠B．理由：∵PE//BC(已知)，∴∠AEP=∠B(两直线平行．同位角相等)，

又∵PF//AB(已知)，∴∠EPF=∠AEP(两直线平行，内错角相等)，

∴∠EPF=∠B(等量代换)．如图，在△ABC中，小刚同学按如下步骤作图：(1)以B为圆心，BC长为半径画弧，交AB于点E(2)分别以点C．E为圆心，大于12CE的长为半径画弧，两弧在△ABC内相交于点(3)连接BP,并延长交AC于点D(4)连接DE根据以上作图步骤，有下列结论：①BD平分∠ABC；②AD+DE=AC；③点P与点D关于直线CE对称；④△BCD与△BED关于直线BD对称.其中正确结论的个数是（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【分析】根据作法（1）（2）可证△BCP≌△BEP，可判断BD是∠ABC的平分线，可证①②