2022年高考数学(文)模拟卷(全国卷)(解析版)

2022年高考数学（文）模拟卷（全国卷）

二轮拔高卷02

（本卷满分15（）分，考试时间120分钟。）

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的。

J设集合4=。|乂242},2为整数集，则集合4口2中元素的个数是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】T集合A={x|x2v2}={x|-4vxv与，Z为整数集，.•.集合4cz={-1,0,1},

二集合AflZ中元素的个数是3个.故选：A.

2已知X,yeR,i为虚数单位，JL（x-2）i-y=-1+i,则x+y的值为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案（介一r-,=-i"3

【解析】由于（X—24—y=-1+1,所学•『=x+y=4.故选：D

[x-2=1[），=1

3若命题P：对任意的xeR,都有x3-x2+1<0,则力为（）

A.不存在xeR,使得X3-X2+1<OB.存在xeR,使得舞-举+1<0

C.对任意的xeR,都有X3-X2+1W0D.存在xeR,使得x3-x2+1z0

【答案】D

【解析】命题。:对任意的xeR,都有X3-X2+1<0的否定为

r。：存在xeR,使得X3-A2+120,故选D.

4从编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球，则恰有两个小球编号

相邻的概率为（）

115

A13,2cD

A.-B.-J-u.一

255228

【答案】D

【解析】从编号分别为1,2,3,4,5,6,7,8的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球共有

8x7x6

C；=TT=56种方法,

从编号分别为1,2,3,4,5,67,8的八个大小完全相同的小球中，随机取出三个小球恰有两个小球编号相邻的情

况如下：

1

{1,2,4},{1,2,5},{1,2,6},{1,2,7},{1,2,8},

{2,3,5),{2,3,6},{2,3,7},{2,3,8},

{1,3,4},{3,4,6},{3,4,7},{3,4,8},

(1,4,5},{2,4,5},{4,5,7},{4,5,8},

{1,5,6},{2,5,6},{3,5,6},{5,6,8},

{1,6,7},{2,6,7},{3,6,7},{4,6,7},

{1,7,8},{2,7,8},{3,7,8},{4,7,8},{5,7,8},

共有30种情况，所以恰有两个小球编号相邻的概率为：吧=吧，故选：D

5628

5如图，程序框图的运算结果为

A.6B.24C.20D.120

【答案】B

【解析】由程序框图得：5=1.n=2；s=2,n=3:S=6H=4,a=24,”=5,5>4输出结果

24,所以选B；

6要得到y=sin(2x-g)的图象，只需将y=cos2x的图象()

A.向左平移型个单位长度B.向左平移迈个单位长度

126

C.向右平移旦个单位长度D.向右平移迈个单位长度

126

【答案】C

5兀

【解析】由题意，将函数y=cos2x的图象向右平移一个单位长度，

12'

5兀\i/c5兀、r/c5兀.7C_./门冗\

可得y=cos[2(x--)]=cos(2x—)=sm[(2x——)+]=sm(2^—),

126623

2

即只需将丫=««2%的图象向右平移5n个单位长度，即可得到y=sin：2x-"'的图象.

12

故选：C.

7下面是某几何体的视图，则该几何体的体积为

俯视图

>io

D.—

3333

【答案】B

【解析】根据题中所给的几何体的三视图，可知其可以由正方体切割而成，

最后切割的结果为底面A8C。是完整的，其余两个顶点分别是正对内侧的两条竖直方向的棱中点和端点，

在求其体积时，过底面的对角线竖直方向切开，切为一个四棱锥和一个三棱锥，最后求得体积

V=­x—x(l+2)x2+~^x—x2x2x1=―,故选B.

32323

\exf

8已知函数/(%)=<则/(ln2)=()

[/(x-1),x>0,

24

A—B.-c.2eD.4e

ee

【答案】A

【解析】因为函数/(©=["，"WO，所以/(ln2)=/(ln2-l)=/(ln2)=eM<=L

[/(x-1),x>0,eee

故选：A

9已知函数/G)=logG、M+2XM)-X,现有如下说法：①函数/G)的图象关于直线x=-l对称；②函数

4

/G)在(-1,+8)上单调递减；③函数y=/G)-3有两个零点.则其中正确说法的个数为().

A.0B.1C.2D.3

【答案】C/、

cc).I8+2।、

/\/8V+2A7-X+1=log+1=logz1,

【解析】由题意得，/lv-l)=log(8-_I°(2,+2-/+1，

44(4*J口4

令g(x)=log」(2、+27)+l,定义域为R,可知g(-x)=g(x),则函数gQ)为偶函数，图象关于)，轴对称,

3

则函数/（X）的图象关于直线x=-l对称，故①正确；

Vxe（0,-H»）,2JV>1,函数y=2*+2-x在（0,+℃）上单调递增，函数y=1。号x在定义域上单调递增，

gG）=logQ+2-J+1在（0,ZO）上单调递增，

4

...函数/（X）在（-1,+8）上单调递增，故②错误；

由①②可知，函数fG）在上单调递减，在（一1,+8）上单调递增，/G）=/（-1）=_,

min2

又f（3）=logG+23）3=log（46+23）-3>3,/（-5）-log（8-+2T）+5=log（87+4-2）+5>3,

4444

函数y=/（x）-3有两个零点，故③正

确.综上，正确说法的个数为2.故选：C.

n已知等差数列〃｝和等差数列弘｝的前〃项和分别为sT且（〃+1）S=（7〃+23）T,则使上为整数

nnnnnnh

的正整数n的个数是（）

A.2B.6C.4D.5

【答案】C

s

【解析】依题意（〃+l）S=（7〃+23）T,4=4■土&

nflTn+1

n

a+〃（）

a2aa+a।2?—'2〃一）<

-b-'ttrb+b--b-^rb----7-----yT-

1

〃nI2〃-1-一3•2〃-12n-l

2

7（2n-l）+2314n+167"+88

（2、-1）+1-2nnn

所以上为整数的正整数〃为1,248,共4个.故选：C

h

〃声知尸，是两个定点，点P是以尸和尸为公共焦点的椭圆和双曲线的一个交点，且尸产1PF,记e和

I212121

e分别是上述椭圆和双曲线的离心率，则有

2

_LJ-,-LJ—C

A.e2+e2=2B.£2+62=4C.+=4D.+=2

I2I20202C2€2

I212

【答案】D

【解析】由双曲线的定义IpfUpf1=2,„①

I2

由椭圆的定义I尸勺U”|=2a②

37

又NFPF=90。，故J/|2+b|2=4y?③

'2II12

7

①2+②2得+尸|2+S/|2=2成+2，a④

12

4

11

将④代入③得柒+加2=2o,即C24-C2-2

~加一'

即LL=2故选D

6262

I2

12若曲线C：y=x2与曲线C：y=aex（a>0）存在公共切线，则4的取值范围为（）

「8丫/~o~\「4工、（A~]

,+oo（八XI,+oo4

A.IIB.|0，_[C.i_ID.0,_

|_e2JIe2j|_e2Je2_

【答案】D

【解析】设丁二工2在点（加，加2）处的切线斜率为2m，

y=aex在点（心的切线斜率为,

如果两个曲线存在公共切线，那么：2m=皿

7221一（101

又由斜率公式得到，2m=-------，由此得到机=2〃-2,则4〃-4=的有解.

m-n

由y=4九一4,y=aex的图象有交点即可.

设切点为（S，，），则〃e=4,且f=4s—4=,

4

即有切点（2,4）,a=一,

62

4

故。的取值范围是：〃4一且awO.又4〉0,.

（41

故答案为|04-选D.

Ie2」

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13函数y=logjx2-3x）的单调递减区间是

3

【答案】（3,+8）

【解析】令x2-3x>0求得x>3,或xVO,故函数的定义域为（-8,0）U（3,+oo）.

根据复合函数的单调性规律，本题即求函数f=x2-3x在（-8,0）U（3,+oo）上的增区间.根据二次函数

的性质可得，函数，=x2-3x在（-8,0）U（3,+oo）上的增区间为（3,+00）,故答案为（3,

+00）.14.己面向量〃=（1#）,8=（4+15）,若a与5共线，则实数&=_

【答案】1或-2

【解析】因为「与；共线，%伏+1）-2=0,解得％=1或&=-2.故答案为：1或-2.

15.已知圆G：住一力2十，=1与圆G：9+92―6尤+5=0外切，则a的值为

【答案】0或6

【解析】圆=1的圆心为（”，0），半径为1,圆G：1492—6工+5=°的圆心为3,0,

5

半径为2,两圆外切，所以|a-B=3，a=0,6

76.三棱锥P-48c中，平面PACL平面ABC,ABVAC,PA=PC=AC=2,AB=4,贝ij三棱锥P-A8C

的外接球的表面积为.

64

【答案】_n

3

【解析】根据题意，过等边三角形PAC的中心E作平面PAC的垂线，与过直角三角形ABC斜边BC的中点

D作平面ABC的垂线交于点0，点。即是三棱锥P-A8C的外接球的球心，如图所示：

三棱锥P-A8C中，平面PACL平面ABC,AB1AC,PA=PC=AC=2,48=4,

所以PF=《2z_124，EF=近,

3

在直角三角形ABC中，BC2=AB2+AC2.

解得：BC=245-所以CO=4，

三棱锥的外接球半径r="百2+(g)z=收,

则S=4兀T2=留三，故答案为：---

33

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考Th

都必须作答。第22、23题为选考题，考Th根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17.(12分)△ABC中，。，8c分别为角A8,C的对边，已知(b+c)cosA=百?sinA—4cosc.

(1)求角A；

(2)若ABCb

'△为锐角三角形，求一的取值范围’

c

【解析】(1)由正弦定理的(sin8+sinC)cosA=4sin8sinA-sin4cosC,

所以sin8cosA+sinCeosA+cosCsinA=4sinBsinA»

即sin8cosA+sin(A+C)=/sinBsinA,

因为sin(A+C)=sin8,

所以sinBcosA+sinB=《sin8sinA,

6

因为sin8>。所以cos4+1=^sin4,

所以sin(A-r)=」，

62

因为屋(，，吗，

666

所以4-三=三，所以4=:

663

［sinC+/cosC

(2)b_sinB_sin(?4+C)_2~2_1点，

csinCsinCsinC22tanC

因为有BC为锐角三角形，所以0<C<),8=0—

△232

所以3<C<2,所以tanC>W，

623

麻E11Pb(10、

2<2+2^C<2,B|Jc的取值范围是|j')

18.(12分)某学校为了解高三复习效果，从高三第一学期期中考试成绩中随机抽取50名考生的数学成绩，分

成6组制成频率分布直方图如图所示：

(1)求m的值；并且计算这50名同学数学成绩的样本平均数3

(2)该学校为制定下阶段的复习计•划，从成绩在［130,150］的同学中选出3位作为代表进行座谈，记成绩在

［140,150］的同学人数位&,写出1的分布列，并求出期望.

【解析】(1)由(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)x10=1解得m=0.008,根据各矩形中点横坐标与

纵坐标的积求和即可得到该校50名学生成绩的平均值；(2)成绩在1130,140)的同学人数为6,成绩在

1140,150)人数为4,看的可能取值为012,3,4,根据排列组合知识求出各随机变量对应的概率，从而可得

分布列，进而利用期望公式可得X的数学期望.

(1)由题(0.004+0.012+0.024+0.04+0.012+m)x10=1解得m=0.008

7

x=95x0.004x10+105x0.012x10+115x0.024x10+

125x0.04x10+135x0.012x10+145x0.008x10

=121.8

⑵成绩在（30,140）的同学人数为6,财在to,150）人数为4,尸（三=0）=氏_=1，尸^=推=1，

C36C32

1010

PU=2）=clcl=3,pG=3）=SQ=1

Cs10C330

1010

所以自的分布列为

22时

1131

—IP—♦）一«-p

621030

E^=0x^+1x^+2x^+3x^=.

6210305

19.（12分）在三棱锥A-BC£＞中，E,F分别是棱BC,8上的点，且EF〃平面ABA

①求证：BD//平面AEF；

②若AEL平面BCQ,DEA.BC,AE=CE=DE=2,记三棱锥F-ACE与三棱锥尸―AOE的体积分别

为V,V,S,V=2V,求三棱锥B-ADF的体积.

1221

【解析】（1）'.'EF〃平面A5。，EFu平面BCD,平面BC。Cl平面ABD=8。，.•.E77/BD,

又平面4EF,^^平面人后/^:^/平面人后尸；

（2）,/V=V=[S〃,AE,V=V=!s,.AC,V=2V,

1A-CEF3CEF2A-DEF3DEF21

2

S4=2S.：.DF=2FC,:.S=_S；

'附%EF"BDF3%CO

由（1）知：EF//BD,r.BC=3CE=6,:S=^BCD£=lx6x2-6,

BCD22

2°

=-S.=4,又AE,平面BCD,

BDF3BCD

.­,V=V=1SA•AE」X4X2=9.

H-ADFA-BDF3BDF33

8

20.(12分)设椭圆上+%=im>b>0)的右顶点为A,上顶点为B.已知椭圆的离心率为由，/回=JT7.

ai3

(1)求椭圆的方程；

(2)设直线/：y="伏<。)与椭圆交于P,Q两点，/与直线AB交于点M,且点P,M均在第四象限.若

△BPM的面积是BP。面积的2倍，求火的值.

【解析】⑴设椭圆的焦距为2c,由已知得_=_，又1,11G=Z?2+C2,可得2a=3).由I+4;产、

a?9

从而。=3/=2.

所以，椭圆的方程为0嗅

94

(11)设点P的坐标为(x,y),点M的坐标为(x,y),由题意，%>x>o,

222

点。的坐标为(-x,-y).由aBPM的面积是△3PQ面积的2倍，可得|PM|二2|PQ|,

从而厂[=2[▼(7)],即*.

2

易知直线AB的方程为2x+3y=6,由方程组(2'+3}'='消去》可得》6,由方程组Il£X2_+V2=1,消

[y=日，2■3Z+2[y=kx,

6

去y,可得「■由1=5]可得寸97+4=5(31+2)，两边平方，整理得18A2+254+8=0，解

1,922+4

得%=-3,或，1

2

8，舍去；当上=_2时，x=12,X=廿，符合题意.所以，女的值为-

当攵----时，—/、V，I•口心,0-

9222152

21.(12分)已知函数/G)=x+aex-l(aeR),g(x)=xeX-2x-2.

(1)讨论/(X)的单调性；

(2)若fG)的极大值为-2,求证：f(\nx)<g(x).

【解析】(1)由/(x)=x+“ex-l,得尸(x)=14-.

当420时，/'(x)20恒成立，所以函数/G)在R上单调递增；

当a<0时，由/'G)>0,得xcTn(-a),由f」x)<0,得x>—ln(—6/),

所以函数/(X)在(Yo,Tn(-4))上单调递增，在(-ln(-a),+s)[二单调递减,

综上可知，当。20时，/G)在R上单调递增；

当〃<0时，/Q)在(F,—ln(-〃))上单调递增，(-ln(—〃),+00)上单调递减.

⑵由(1)知〃<0,且当x=Tn(-〃)时，/G)取得极大值,

所以/(-ln(-ti))=-ln(-tz)+ae-iM-a)-1=-2,解得。=一1,

9

贝ij/G）=X-CA-1.

要证/（inxkgG）,即证xev-x-lnx-1＞0.

F（%）=xer-x-lnx-1,贝ijF（x）=（犬+1）口一-l=（x+l）^e-v-1'x＞0.

T〔力

令6（冗）=（1+1）［&-1,k＞0）,而G（x）在（0,+8）上单调递增，

7

因为G（l）=2（e-l）＞0,G［；j=：%-2）＜0

G（x）=（）0=1

BxG1

所以0,使得，即。―

0X

0

所以当xe（0,x）时，G（x）＜0,当xw（x,+8）时,G（x）＞0,

00

所以尸Q）在（o,x）上单调递减，在（X,*»）卜单调递增，

00

所以尸（x））=X^Q-X-Inx-1,

min0000

e、=x=-lnxF（x）=l-x+x-1=（

又因为。一，即OI1，所以3

Xo0min00

0

所以F（x）＞0,即xet-x-lnx-1＞0,亦即/（inx）wgQ）.

（-）选考题：共10分。请考Th在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分,）八「

x=2cosv