人教版高数必修四第6讲：平面向量的概念及线性运算

平面向量的基本概念与线性运算____________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________1、了解向量、向量的相等、共线向量等概念；2、掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．3、熟练掌握向量的线性运算法则：加法法则，减法法则，数乘法则.*创设情境兴趣导入如图7－1所示，用100N①的力，按照不同的方向拉一辆车，效果一样吗？图7－1平面向量的概念：1、平面向量：在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有方向的量叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既有大小，又有方向的量叫做向量（矢量），例如力、速度、位移等．平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向量，线段的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2所示，有向线段的起点叫做平面向量的起点，有向线段的终点叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；手写时应在字母上面加箭头，记作．aaAB图7－2向量的模长：向量的大小叫做向量的模．向量a,的模依次记作，．3、零向量：长度为0的向量叫做零向量，其方向是任意的．4、单位向量：长度等于1个单位长度的向量叫做单位向量．5、平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．平行向量又称为共线向量，任一组平行向量都可以移到同一直线上．规定：0与任一向量平行．6、相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量．7、相反向量：与向量a长度相等且方向相反的向量叫做a的相反向量．规定零向量的相反向量仍是零向量．平面向量的基本运算：一般地，a＋b叫做a,b的一个线性组合（其中,均为系数）．如果l＝a＋b，则称l可以用a，b线性表示．向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算．三角形法则：位移叫做位移与位移的和，记作=+．图图7－7ACBaba+bab一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一点A(如图7－6)，依次作=a,=b，则向量叫做向量a与向量b的和，记作a＋b，即a＋b=＋=（7．1）求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方法叫做向量加法的三角形法则．2、平行四边形法则：如图7－9所示，ABCD为平行四边形，由于=，根据三角形法则得图7－9图7－9ADCB＋=＋=这说明，在平行四边形ABCD中，所表示的向量就是与的和．这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则．平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加法具有以下的性质：（1）a＋0=0＋a=a；a＋（−a）=0；（2）a＋b=b＋a；（3）（a＋b）＋c=a＋（b＋c）．3、平面向量减法法则：与数的运算相类似，可以将向量a与向量b的负向量的和定义为向量a与向量b的差．即a−b=a＋(−b)．设a，b，则．即=（7．2）观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、b，其差a－b仍然是一个向量，叫做a与b的差向量，其起点是减向量b的终点，终点是被减向量a的终点．aaAa-bBbO图7－13一般地，实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的模为（7．3）若0，则当＞0时，a的方向与a的方向相同，当＜0时，a的方向与a的方向相反．由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当时，有（7．4）一般地，有0a=0,0=0．数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对于任意向量a,b及任意实数，向量数乘运算满足如下的法则：题型1平面向量的基本概念例1给出下列六个命题：①两个向量相等，则它们的起点相同，终点相同；②若|a|＝|b|，则a＝b；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，则A、B、C、D四点构成平行四边形；④在ABCD中，一定有eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；⑤若m＝n，n＝p，则m＝p；⑥若a∥b，b∥c，则a∥c.其中错误的命题有________．(填序号)答案：①②③⑥解析：两向量起点相同，终点相同，则两向量相等；但两相等向量，不一定有相同的起点和终点，故①不正确；|a|＝|b|，由于a与b方向不确定，所以a、b不一定相等，故②不正确；eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，可能有A、B、C、D在一条直线上的情况，所以③不正确；零向量与任一向量平行，故a∥b，b∥c时，若b＝0，则a与c不一定平行，故⑥不正确．例2在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点．ADCBADCB图7－5O（2）找出向量的负向量；（3）找出与向量平行的向量．分析要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，它们必须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同或相反．解由平行四边形的性质，得（1）=；（2）=,；（3）FADBEC（练习题1．1．1第2题图）第1题图EFABCDO（图1－8）第2题图ABDC图7－10F1F2k图7－11 解利用平行四边形法则，可以得到FADBEC（练习题1．1．1第2题图）第1题图EFABCDO（图1－8）第2题图ABDC图7－10F1F2k图7－11， 所以．练习：如图，已知a，b，求a＋b．（图1－15）b（图1－15）bbaa（1）（2）第1题图（1）a＋b=_____________,答案：（2）b＋c=_____________,答案：（3）a＋b＋c=_____________．答案：3．计算：（1）＋＋；（2）＋＋．答案：（1）（2）例5已知如图7－14（1）所示向量a、b，请画出向量a－b．BBbOaAba（1）（2）图7－14解如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作=a，=b，连接BA，则向量为所求的差向量，即=a－b．练习：1．填空：（1）=_______________，答案：（2）=______________，答案：（3）=______________．答案：2．如图，在平行四边形ABCD中，设=a,=b，试用a,b表示向量、、．解：a+b，=b-a,=a－b例6在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－16，＝a，＝b，试用a,b表示向量、．分析因为,，所以需要首先分别求出向量与.图7－16解：＝a＋b,＝b−a，图7－16因为O分别为AC，BD的中点，所以（a＋b）＝a＋b，＝＝（b−a）＝−a+b．练习：1．计算：（1）3（a−2b）－2（2a＋b）；（2）3a−2（3a−4b）＋3（a−b）．解：（1）3（a−2b）－2（2a＋b）=3a-6b-4a-2b=4b-a（2）3a−2（3a−4b）＋3（a−b）=-11b图7－162．设a,b不共线，求作有向线段，使＝（a＋b）．图7－16解：如图所示。例7平行四边形OADB的对角线交点为C，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)eq\o(CD,\s\up6(→))，eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，用a、b表示eq\o(OM,\s\up6(→))、eq\o(ON,\s\up6(→))、eq\o(MN,\s\up6(→)).解：eq\o(BA,\s\up6(→))＝a－b，eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a－eq\f(1,6)b，eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BM,\s\up6(→))＝eq\f(1,6)a＋eq\f(5,6)\o(OD,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(ON,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(OD,\s\up6(→))＋eq\f(1,6)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(2,3)\o(MN,\s\up6(→))＝eq\o(ON,\s\up6(→))－eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)a－eq\f(1,6)b.练习：练习：在△ABC中，E、F分别为AC、AB的中点，BE与CF相交于G点，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AC,\s\up6(→))＝b，试用a，b表示eq\o(AG,\s\up6(→)).解：eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BG,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋λeq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(λ,2)))eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝(1－λ)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(λ,2)eq\o(AC,\s\up6(→))＝(1－λ)a＋eq\f(λ,2)b.又eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(CG,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋meq\o(CF,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝(1－m)eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\f(m,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(m,2)a＋(1－m)b，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－λ＝\f(m,2)，,1－m＝\f(λ,2)，))解得λ＝m＝eq\f(2,3)，∴eq\o(AG,\s\up6(→))＝eq\f(1,3)a＋eq\f(1,3)b.题型3共线向量例8设两个非零向量a与b不共线．(1)若eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)．求证：A、B、D三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．(1)证明：∵eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝2a＋8b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝3(a－b)，∴eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5eq\o(AB,\s\up6(→)).∴eq\o(AB,\s\up6(→))，eq\o(BD,\s\up6(→))共线．又它们有公共点B，∴A、B、D三点共线．(2)解：∵ka＋b与a＋kb共线，∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)，即(k－λ)a＝(λk－1)b.又a、b是两不共线的非零向量，∴k－λ＝λk－1＝0.∴k2－1＝0.∴k＝±1.练习：已知a、b是不共线的向量，eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ、μ∈R)，当A、B、C三点共线时λ、μ满足的条件为________．答案：λμ＝1解析：由eq\o(AB,\s\up6(→))＝λa＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋μb(λ、μ∈R)及A、B、C三点共线得eq\o(AB,\s\up6(→))＝teq\o(AC,\s\up6(→))，所以λa＋b＝t(a＋μb)＝ta＋tμb，即可得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(λ＝t，,1＝tμ，))所以λμ＝1.题型4向量共线的应用例4如图所示，设O是△ABC内部一点，且eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，则△AOB与△AOC的面积之比为________．答案：eq\f(1,2)解析：如图所示，设M是AC的中点，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝2eq\o(OM,\s\up6(→)).又eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－2eq\o(OB,\s\up6(→))，∴eq\o(OM,\s\up6(→))＝－eq\o(OB,\s\up6(→))，即O是BM的中点，∴S△AOB＝S△AOM＝eq\f(1,2)S△AOC，即eq\f(S△AOB,S△AOC)＝eq\f(1,2).练习：如图，△ABC中，在AC上取一点N，使AN＝eq\f(1,3)AC；在AB上取一点M，使得AM＝eq\f(1,3)AB；在BN的延长线上取点P，使得NP＝eq\f(1,2)BN；在CM的延长线上取点Q，使得eq\o(MQ,\s\up6(→))＝λeq\o(CM,\s\up6(→))时，eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，试确定λ的值．解：∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(NP,\s\up6(→))－eq\o(NA,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))－eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)(eq\o(BN,\s\up6(→))＋eq\o(CN,\s\up6(→)))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(QA,\s\up6(→))＝eq\o(MA,\s\up6(→))－eq\o(MQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))，又∵eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(QA,\s\up6(→))，∴eq\f(1,2)eq\o(BM,\s\up6(→))＋λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，即λeq\o(MC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(MC,\s\up6(→))，∴λ＝eq\f(1,2).一、选择题1．在下列判断中，正确的是()①长度为0的向量都是零向量；②零向量的方向都是相同的；③单位向量的长度都相等；④单位向量都是同方向；⑤任意向量与零向量都共线．A．①②③ B．②③④C．①②⑤ D．①③⑤[答案]D[解析]由定义知①正确，②由于两个零向量是平行的，但不能确定是否同向，也不能确定是哪个具体方向，故不正确．显然，③、⑤正确，④不正确，所以答案是D.2．向量(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→)))＋(eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))＋eq\o(OM,\s\up6(→))等于()A．eq\o(BC,\s\up6(→)) B．eq\o(AB,\s\up6(→))C．eq\o(AC,\s\up6(→)) D．eq\o(AM,\s\up6(→))[答案]C[解析]原式＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(OM,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＋0＝eq\o(AC,\s\up6(→)).3．若a、b为非零向量，则下列说法中不正确的是()A．若向量a与b方向相反，且|a|>|b|，则向量a＋b与a的方向相同B．若向量a与b方向相反，且|a|<|b|，则向量a＋b与a的方向相同C．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与a的方向相同D．若向量a与b方向相同，则向量a＋b与b的方向相同[答案]B[解析]∵a与b方向相反，且|a|<|b|时，a＋b与a的方向相反，a＋b与b的方向相同，故B不正确．4．已知下列各式：①eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))；②eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))；③eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→)).其中结果为零向量的个数为()A．0 B．1C．2 D．3[答案]C[解析]eq\o(AM,\s\up6(→))＋eq\o(MB,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＝0，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))＋eq\o(CO,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(BO,\s\up6(→))，故选C.二、填空题5．等腰梯形ABCD两腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))的关系是________．[答案]|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|[解析]由等腰梯形可知，两腰长度相等，故两腰上的向量eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(DC,\s\up6(→))满足|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|.6．如图所示，已知梯形ABCD，AD∥BC，则eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝________.[答案]eq\o(OC,\s\up6(→))[解析]eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(OC,\s\up6(→)).三、解答题7．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED，OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：(1)分别写出eq\o(AO,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))相等的向量；(2)写出与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量；(3)写出与eq\o(AO,\s\up6(→))的模相等的向量；(4)向量eq\o(AO,\s\up6(→))与eq\o(CO,\s\up6(→))是否相等？[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(BO,\s\up6(→))＝eq\o(AE,\s\up6(→)).(2)与eq\o(AO,\s\up6(→))共线的向量为：eq\o(BF,\s\up6(→))，eq\o(CO,\s\up6(→))，eq\o(DE,\s\up6(→)).(3)|eq\o(AO,\s\up6(→))|＝|eq\o(CO,\s\up6(→))|＝|eq\o(DO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BO,\s\up6(→))|＝|eq\o(BF,\s\up6(→))|＝|eq\o(CF,\s\up6(→))|＝|eq\o(AE,\s\up6(→))|＝|eq\o(DE,\s\up6(→))|.(4)不相等．8.梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，M、N分别是CD和AB的中点，若=a，=b，试用a、b表示和，则=________，=______.解法一：连结CN，N为AB的中点.∵AN∥CD，且AN=CD，∴ANCD为平行四边形，有=－b.又由于=0，∴=b－a，－=a－b.解法二：梯形ABCD中，有=0，即有a＋＋（－a）＋（－b）=0，可得=b－a.在四边形ADMN中，有=0，即有b＋a＋＋（－a）=0，可得=a－b.答案：b－aa－b__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________基础巩固一、选择题1．把平面上一切单位向量平移到共同始点，那么这些向量的终点构成的图形是()A．一条线段 B．一段圆弧C．两个孤立的点 D．一个圆[答案]D[解析]图形是一个以始点为圆心，以1为半径的圆．2．把所有相等的向量平移到同一起点后，这些向量的终点将落在()A．同一个圆上 B．同一个点上C．同一条直线上 D．以上都有可能[答案]B[解析]由相等向量的定义知B正确．4．有下列说法：①时间、摩擦力、重力都是向量；②向量的模是一个正实数；③相等向量一定是平行向量；④共线向量一定在同一直线上．其中，正确说法的个数是()A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]对于①，时间没有方向，不是向量，故①错；对于②，零向量的模为0，故②错；③正确；对于④，共线向量不一定在同一直线上，故④错．5．下列说法错误的是()A．作用力与反作用力是一对大小相等、方向相反的向量B．向量可以用有向线段表示，但有向线段并不是向量C．只有零向量的模等于0D．零向量没有方向[答案]D[解析]零向量的方向是任意的，故选项D说法错误．6．如图所示，圆O上有三点A、B、C，则向量eq\o(BO,\s\up6(→))、eq\o(OC,\s\up6(→))、eq\o(OA,\s\up6(→))是()A．有相同起点的相等向量B．单位向量C．模相等的向量D．相等的向量[答案]C[解析]模都等于半径，但方向不同．9．a、b、a＋b为非零向量，且a＋b平分a与b的夹角，则()A．a＝b B．a⊥bC．|a|＝|b| D．以上都不对[答案]C[解析]由向量加法的平行四边形法则知，若a＋b平分a与b的夹角，则四边形是菱形，因此|a|＝|b|.10．△ABC中，D、E、F分别是边AB、BC、AC的中点，则下面结论正确的是()A．eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(FA,\s\up6(→)) B．eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))＝0C．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))≠0 D．eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))≠0[答案]D[解析]eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DE,\s\up6(→))，又eq\o(DE,\s\up6(→))≠eq\o(FA,\s\up6(→))，故排除A；eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→))，故eq\o(DE,\s\up6(→))＋eq\o(AF,\s\up6(→))≠0，排除B；eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，排除C；故选D.12．在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，则四边形ABCD一定是()A．矩形 B．菱形C．正方形 D．平行四边形[答案]D[解析]在四边形ABCD中，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))，又eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))，∴四边形ABCD是平行四边形．二、填空题12．若D、E、F分别是△ABC的三边AB、BC、AC的中点，则与向量eq\o(EF,\s\up6(→))相等的向量为________．[答案]eq\o(BD,\s\up6(→))、eq\o(DA,\s\up6(→))[解析]三角形的中位线平行且等于底边的一半，eq\o(EF,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(DA,\s\up6(→)).16．根据右图填空：b＋c＝________；a＋d＝________；b＋c＋d＝________；f＋e＝________；e＋g＝________.[答案]affbδ[解析]由向量加法的多边形法则可知．三、解答题17．某人从A点出发，向东走到B点，然后，再向正北方向走了60m到达C点．已知|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝120m，求eq\o(AC,\s\up6(→))的方向和A、B的距离．[解析]依题意，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(1202－602)＝60eq\r(3)(m)．所以eq\o(AC,\s\up6(→))的方向是A点的东偏北30°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝60eq\r(3).18．两个力F1和F2同时作用在一个物体上，其中F1＝40N，方向向东，F2＝40eq\r(3)N，方向向北，求它们的合力．[解析]如图所示，eq\o(OA,\s\up6(→))表示F1，eq\o(OB,\s\up6(→))表示F2，以OA、OB为邻边作平行四边形OACB，则eq\o(OC,\s\up6(→))表示合力F.易知F＝80N，合力F与F1的夹角为60°.能力提升一、选择题1．若a为任一非零向量，b为其单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝±1；⑤eq\f(a,|a|)＝b.其中正确的是()A．①④⑤ B．③C．①②③⑤ D．②③⑤[答案]D[解析]|a|与|b|大小关系不能确定，故①错，a与其单位向量平行②正确．a≠0，∴|a|>0，③正确．|b|＝1，故④错．由定义知⑤正确．2．如图四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是()A．|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(EF,\s\up6(→))| B．eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(FH,\s\up6(→))共线C．eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(EH,\s\up6(→)) D．eq\o(DC,\s\up6(→))与eq\o(EC,\s\up6(→))共线[答案]C[解析]当ABCD与其他两个菱形不共面时，BD与EH异面，故选C.3．如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则下列说法中错误的是()A．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up6(→))相等的向量只有1个(不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身)B．图中所标出的向量中与eq\o(AB,\s\up6(→))的模相等的向量有4个(不含eq\o(AB,\s\up6(→))本身)C．eq\o(BD,\s\up6(→))的长度恰为eq\o(DA,\s\up6(→))长度的eq\r(3)倍D．eq\o(CB,\s\up6(→))与eq\o(DA,\s\up6(→))不共线[答案]D[解析]易知△ABC和△ACD均为正三角形．对于A，向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))；对于B，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(DA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CB,\s\up6(→))|＝|eq\o(CA,\s\up6(→))|；对于C，△BAD是顶角为120°的等腰三角形，则|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝eq\r(3)|eq\o(DA,\s\up6(→))|；对于D，eq\o(CB,\s\up6(→))∥eq\o(DA,\s\up6(→))成立，故D是错误的．4．四边形ABCD中，若eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))是共线向量，则四边形ABCD是()A．平行四边形 B．梯形C．平行四边形或梯形 D．不是平行四边形也不是梯形[答案]C[解析]因为eq\o(AB,\s\up6(→))与eq\o(CD,\s\up6(→))为共线向量，所以eq\o(AB,\s\up6(→))∥eq\o(CD,\s\up6(→))，但|eq\o(AB,\s\up6(→))|与|eq\o(CD,\s\up6(→))|可能相等，也可能不相等．1．已知向量a表示“向东航行1km”向量b表示“向南航行1km”则a＋b表示()A．向东南航行eq\r(2)km B．向东南航行2kmC．向东北航行eq\r(2)km D．向东北航行2km[答案]A[解析]如图所示，故选A.2．在平行四边形ABCD中，设eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，eq\o(AD,\s\up6(→))＝b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，eq\o(BD,\s\up6(→))＝d，则下列各式中不成立的是()A．a＋b＝c B．a＋d＝bC．b＋d＝a D．|a＋b|＝|c|[答案]C[解析]如图，a＋b＝c，|a＋b|＝|c|，a＋d＝b，b＋d≠a，故选C.3．已知正方形ABCD的边长为1，eq\o(AB,\s\up6(→))＝a、eq\o(BC,\s\up6(→))＝b、eq\o(AC,\s\up6(→))＝c，则|a＋b＋c|等于()A．0 B．3C．eq\r(2) D．2eq\r(2)[答案]D[解析]∵eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))，∴|a＋b＋c|＝|2c|，∵|c|＝eq\r(2)，∴|a＋b＋c|＝2eq\r(2)，故选D.4．下列命题中正确的个数为()①如果非零向量a与b的方向相同或相反，那么a＋b的方向必与a、b之一的方向相同；②在△ABC中，必有eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0；③若eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＝0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；④若a、b均为非零向量，则|a＋b|与|a|＋|b|一定相等．A．0 B．1C．2 D．3[答案]B[解析]①中a＋b有可能是0；③中A、B、C共线时不成立；④|a＋b|≤|a|＋|b|.只有②成立．二、填空题5．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，且eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，则四边形ABCD的形状为________．[答案]菱形[解析]∵四边形ABCD中，eq\o(BA,\s\up6(→))＝eq\o(CD,\s\up6(→))，∴AB∥CD，且|eq\o(BA,\s\up6(→))|＝|eq\o(CD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为平行四边形，又∵|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))|，∴四边形ABCD为菱形．6．已知A、B、C是不共线的三点，向量m与向量eq\o(AB,\s\up6(→))是平行向量，与eq\o(BC,\s\up6(→))是共线向量，则m＝________.[答案]0[解析]∵A、B、C是不共线的三点，∴向量eq\o(AB,\s\up6(→))与向量eq\o(BC,\s\up6(→))不共线，又向量m与eq\o(AB,\s\up6(→))平行，与eq\o(BC,\s\up6(→))共线，故m＝．已知|eq\o(OA,\s\up6(→))|＝|a|＝3，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝|b|＝3，∠AOB＝90°，则|a＋b|＝________.[答案]3eq\r(2)[解析]设以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))为邻边的平行四边形为OADB，∵∠AOB＝90°，∴四边形OADB为矩形，∴OD＝3eq\r(2).即|a＋b|＝3eq\r(2).6．已知在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝2，则|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝________.[答案]2eq\r(3)[解析]|eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2eq\r(3).三、解答题8．一位模型赛车手摇控一辆赛车，沿直线向正东方向前行1m，逆时针方向旋转α度，继续沿直线向前行进1m，再逆时针旋转α度，按此方法继续操作下去．(1)按1100的比例作图说明当α＝60°时，操作几次赛车的位移为零．(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？请写出其中两个．[解析](1)如图所示，操作6次赛车的位移为零．(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零；按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180°－α的正多边形，故有n(180°－α)＝(n－2)·180°，所以n＝eq\f(360°,α)(n为不小于3的整数)，即α应为360°的约数，如α＝30°，则n＝12，即操作12次可回到起点；又α＝15°，则n＝24，即操作24次可回到起点．9．如图所示，在△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA边上的点，已知eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))，eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，试推断向量eq\o(DE,\s\up6(→))与eq\o(AF,\s\up6(→))是否为相等向量，说明你的理由．[解析]∵eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))∴|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝|eq\o(DB,\s\up6(→))|，从而D是AB的中点．∵eq\o(DF,\s\up6(→))＝eq\o(BE,\s\up6(→))，∴eq\o(DF,\s\up6(→))与eq\o(BE,\s\up6(→))是平行向量，从而DF∥BE，即DF∥BC.∴F是AC的中点．由三角形中位线定理知，DF＝eq\f(1,2)BC，又|eq\o(DF,\s\up6(→))|＝|eq\o(BE,\s\up6(→))|，即DF＝BE，从而E为BC的中点．于是DE∥AC，且DE＝eq\f(1,2)AC.∵F是AC的中点，∴AF＝eq\f(1,2)AC，∴DE綊AF，故eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(AF,\s\up6(→)).7．如图所示，在△ABC中，P、Q、R分别为BC、CA、AB边的中点，求证eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(CR,\s\up6(→))＝0.[解析]解法一：eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BP,\s\up6(→))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CQ,\s\up6(→))，eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(AR,\s\up6(→)).又∵P、Q、R分别为BC、CA、AB的中点，∴eq\o(BP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))，eq\o(CQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))，eq\o(AR,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(CR,\s\up6(→))＝(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＋eq\f(1,2)eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\f(3,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→)))＝0.解法二：eq\o(AP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))，eq\o(BQ,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)))，eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))，∴eq\o(AP,\s\up6(→))＋eq\o(BQ,\s\up6(→))＋eq\o(CR,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→))＋eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CA,\s\up6(→))＋eq\o(CB,\s\up6(→)))＝0.8．轮船从A港沿东偏北30°方向行驶了40nmile(海里)到达B处，再由B处沿正北方向行驶40nmile到达C处．求此时轮船关于A港的相对位置．[解析]如右图，eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分别表示轮船的两次位移，则eq\o(AC,\s\up6(→))表示轮船的和位移，eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BC,\s\up6(→)).在△ADB中，∠ADB＝90°，∠DAB＝30°，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝40，所以|eq\o(DB,\s\up6(→))|＝20，|eq\o(AD,\s\up6(→))|＝20eq\r(3).在△ADC中，∠ADC＝90°，|eq\o(DC,\s\up6(→))|＝60，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝eq\r(|AD→|2＋|DC→|2)＝eq\r(20\r(3)2＋602)＝40eq\r(3)(nmile)．因为|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|，所以∠CAD＝60°.答：轮船此时位于A港东偏北60°，且距A港40eq\r(3)nmile的C处．9．已知下图中电线AO与天花板的夹角为60°，电线AO所受拉力F1＝24N；绳BO与墙壁垂直，所受拉力F2＝12N.求F1和F2的合力．[解析]如图，根据向量加法的平行四边形法则，得到合力F＝F1＋F2＝eq\o(OC,\s\up6(→)).在△OCA中，|F1|＝24，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝12，∠OAC＝60°，∴∠OCA＝90°.∴|eq\o(OC,\s\up6(→))|＝12eq\r(3).∴F1与F2的合力为12eq\r(3)N，与F2成90°角竖直向上．教师备选题目：1.如图，在四边形ABCD中，AC和BD相交于点O，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(AB,\s\up6(→))＝b，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AO,\s\up6(→))＝________．(用向量a和b表示)答案：eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b解析：因为eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DC,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋eq\f(1,2)b，又eq\o(AB,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，所以eq\o(AO,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a＋\f(1,2)b))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(1,3)b.2.(2013·四川)如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，则λ＝________．答案：2解析：eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AC,\s\up6(→))＝2eq\o(AO,\s\up6(→))，则λ＝2.3.(2013·江苏)设D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，AD＝eq\f(1,2)AB，BE＝eq\f(2,3)DC，若eq\o(DE,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))(λ1、λ2为实数)，则λ1＋λ2＝________．答案：eq\f(1,2)解析：eq\o(DE,\s\up6(→))＝eq\o(DB,\s\up6(→))＋eq\o(BE,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)(eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→)))＝－eq\f(1,6)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))＝λ1eq\o(AB,\s\up6(→))＋λ2eq\o(AC,\s\up6(→))，故λ1＝－eq\f(1,6)，λ2＝eq\f(2,3)，则λ1＋λ2＝eq\f(1,2).4.已知点P在△ABC所在的平面内，若2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＋4eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．答案：eq\f(4,5)解析：由2eq\o(PA,\s\up6(→))＋3eq\o(PB,\s\up6(→))＋4eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))，得2eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(AB,\s\up6(→))＋3eq\o(BP,\s\up6(→))，∴2eq\o(PA,\s\up6(→))＋4eq\o(PC,\s\up6(→))＝3eq\o(AP,\s\up6(→))，即4eq\o(PC,\s\up6(→))＝5eq\o(AP,\s\up6(→)).∴eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))|,|\o(PC,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,5)，eq\f(S△PAB,S△PBC)＝eq\f(|\o(AP,\s\up6(→))|,|\o(PC,\s\up6(→))|)＝eq\f(4,5).1.在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AD,\s\up6(→))＝λeq\o(AO,\s\up6(→))，则λ＝________．答案：2解析：因为四边形ABCD为平行四边形，对角线AC与BD