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文档简介

绝密★启用前

2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)

理科数学

参考答案

注意事项:

1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位

号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号

及科目,在规定的位置贴好条形码.

2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标

号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,

将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选

项中,只有一项是符合题目要求的.

1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A

二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.

13.11

14.—

3

16.V3-l##-l+V3

三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜

21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据

要求作答.

(-)必考题:共60分.

25

17.(1)解:因为——+n=2cin+1,即2S〃++〃①,

n

当〃22时,②,

22

①一②得,+72-2S„_1-(n-1)=2/14Z??+«-2(^-1)^-(n-l),

即2a〃+2〃-l=2w〃-2(〃-1)+1,

即=2(〃-1),所以a“-a,i=l,且“eN*,

所以{a,,}是以1为公差的等差数列.

(2)-78.

18.(1)证明:在四边形4BCD中,作。ELAfi于E,于尸,

因为CO//AB,AD=CO=C8=1,AB=2,

所以四边形ABC。为等腰梯形,

所以AE=BF=L,

2

G__________

故。石=〒,BD=1DE2+BE2=G,

所以4。2+8。2=他2,

所以AD_LBD,

因为PD_L平面ABC。,BDu平面ABC。,

所以

又PDcAD=D,

所以8。,平面PA。,

又因B4u平面PAD,

所以

⑵好.

5

19.(1)0.6;

(2)分布列见解析,E(X)=13.

【解析】依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以,

p(X=0)=().5X0.4x0.8=0.16,

P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,

P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,

p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.

即X的分布列为

X0102030

p0.160.440.340.06

期望E(X)=0x0.16+10x0.44+2()x0.34+30x0.06=13.

20.⑴/=以;

(2)AB;x=y/2y+4.

21.已知函数/(x)=---lnx+x-a.

(1)(-oo,e+l]

(2)由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1

不妨设为<1<々

1

要证不工2<1,即证x<一

'2

1(1、

因为%,一G(0,1),即证/(内)〉/-

X2kX27

1、

因为/(xj=/(i),即证/(%2)>/—

e"-1

即证----Inx+x-xer-Inx——>0,XG(l,+oo)

XX

e*-

即证——xe*—2

X

下面证明尤>1时,

、ex-

设g(x)=---xex,x>1,

X

(n1

y1—ev-e^

lX)

x—\

设夕(x)=一(x>—x>0

Xx~

所以夕(x)>°(l)=e,而e:<e

所以史-拉>0,所以gU)>。

X

所以g(x)在(1,4W)单调递增

p—

即g(x)>g(l)=O,所以J—xe,>0

x

1

令/z(x)=x,x>1

X

hf(x)=—

x

所以/z(x)在(1,+c。)单调递减

即〃(无)<人(1)=0,所以1nx-<0;

2(x)

八,e*1,1(1)

综上,----xe'—2nInx—x—>0,所以MW<。

x2xJ

(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,

则按所做的第一题计分.

[选修4-4:坐标系与参数方程]

22.(1)/=6x-2(y>0);

(2)G,G的交点坐标为(1,2),G,02的交点坐标为[一;,一1],(-1,-2).

[选修4-5:不等式选讲]

23.(1)证明:由柯西不等式有[。2+尸+(242]02+12+]2)44+6+2(;)2,

所以a+Z?+2c、<3,

当且仅当。=Z?=2c=l时,取等号,

所以Q+Z?+2C<3;

(2)证明:因为力=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,

即0<a+4c<3,所以‘一2」,

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