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文档简介
绝密★启用前
2022年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)
理科数学
参考答案
注意事项:
1.答卷前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位
号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号
及科目,在规定的位置贴好条形码.
2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标
号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号.回答非选择题时,
将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选
项中,只有一项是符合题目要求的.
1.C2.B.3.D4.B5.A6.B7.D8.B9.C10.A11.C12.A
二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.11
14.—
3
16.V3-l##-l+V3
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17〜
21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题,考生根据
要求作答.
(-)必考题:共60分.
25
17.(1)解:因为——+n=2cin+1,即2S〃++〃①,
n
当〃22时,②,
22
①一②得,+72-2S„_1-(n-1)=2/14Z??+«-2(^-1)^-(n-l),
即2a〃+2〃-l=2w〃-2(〃-1)+1,
即=2(〃-1),所以a“-a,i=l,且“eN*,
所以{a,,}是以1为公差的等差数列.
(2)-78.
18.(1)证明:在四边形4BCD中,作。ELAfi于E,于尸,
因为CO//AB,AD=CO=C8=1,AB=2,
所以四边形ABC。为等腰梯形,
所以AE=BF=L,
2
G__________
故。石=〒,BD=1DE2+BE2=G,
所以4。2+8。2=他2,
所以AD_LBD,
因为PD_L平面ABC。,BDu平面ABC。,
所以
又PDcAD=D,
所以8。,平面PA。,
又因B4u平面PAD,
所以
⑵好.
5
19.(1)0.6;
(2)分布列见解析,E(X)=13.
【解析】依题可知,X的可能取值为0,10,20,30,所以,
p(X=0)=().5X0.4x0.8=0.16,
P(X=10)=0.5x0.4x0.8+0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2=0.44,
P(X=20)=0.5x0.6x0.8+0.5x0.4x0.2+0.5x0.6x0.2=0.34,
p(X=30)=0.5x0.6x0.2=0.06.
即X的分布列为
X0102030
p0.160.440.340.06
期望E(X)=0x0.16+10x0.44+2()x0.34+30x0.06=13.
20.⑴/=以;
(2)AB;x=y/2y+4.
21.已知函数/(x)=---lnx+x-a.
(1)(-oo,e+l]
(2)由题知,/(x)一个零点小于1,一个零点大于1
不妨设为<1<々
1
要证不工2<1,即证x<一
'2
1(1、
因为%,一G(0,1),即证/(内)〉/-
X2kX27
1、
因为/(xj=/(i),即证/(%2)>/—
e"-1
即证----Inx+x-xer-Inx——>0,XG(l,+oo)
XX
e*-
即证——xe*—2
X
下面证明尤>1时,
、ex-
设g(x)=---xex,x>1,
X
(n1
y1—ev-e^
lX)
x—\
设夕(x)=一(x>—x>0
Xx~
所以夕(x)>°(l)=e,而e:<e
所以史-拉>0,所以gU)>。
X
所以g(x)在(1,4W)单调递增
p—
即g(x)>g(l)=O,所以J—xe,>0
x
1
令/z(x)=x,x>1
X
hf(x)=—
x
所以/z(x)在(1,+c。)单调递减
即〃(无)<人(1)=0,所以1nx-<0;
2(x)
八,e*1,1(1)
综上,----xe'—2nInx—x—>0,所以MW<。
x2xJ
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做,
则按所做的第一题计分.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.(1)/=6x-2(y>0);
(2)G,G的交点坐标为(1,2),G,02的交点坐标为[一;,一1],(-1,-2).
[选修4-5:不等式选讲]
23.(1)证明:由柯西不等式有[。2+尸+(242]02+12+]2)44+6+2(;)2,
所以a+Z?+2c、<3,
当且仅当。=Z?=2c=l时,取等号,
所以Q+Z?+2C<3;
(2)证明:因为力=2c,a>0,b>0,c>0,由(1)得a+〃+2c=a+4c<3,
即0<a+4c<3,所以‘一2」,
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