2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷(学生版+解析版)

2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷

一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）

1.（3分）2022的倒数的相反数是（）

1•一金

A.-------BC.-2022D.2022

2022

2.（3分）截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49

亿，46.49亿用科学记数法表示为（)

A.46.49X108B.4.649X108

C.4.649X109D.0.4649X1011

3.（3分）若关于y的方程ay-2=6+y与方程尹4=2的解相同,则。的值为（）

A.-3B.3C.-4D.4

4.（3分）等腰三角形ABC中，AB=AC,记周长为y,定义（X,y）为这个三角

形的坐标.如图所示，直线y=2x,y=3x,y=4x将第一象限划分为4个区域.下面四个

结论中,

①对于任意等腰三角形ABC,其坐标不可能位于区域I中；

②对于任意等腰三角形ABC,其坐标可能位于区域IV中；

③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域川中；

④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长.

所有正确结论的序号是（）

C.②④D.①②③

5.（3分）已知x、y为实数，且-3%+4+（y-3）2=0.若叼-3x=y,则实数a的值是

)

11八77

A.—B.--TC.—D.--?

4444

6.（3分）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24c机，若NAC8=

A.811c机B.\6ncmC.32Tle加D.192Tlem

7.（3分）定义：当时，其对应的函数值为y=/（〃），若/（〃）=〃成立，则称〃为函

数y的不动点.例如：函数y=7-3x+4,当％=2时，y=f（2）=22-3X2+4=2,因为

/（2）=2成立，所以2为函数y的不动点.因此对于函数y=（什1）/-（2/+1）%-3,

将函数图象向下平移相（相＞0）个单位长度，/2-4时，平移后函数不动点的个数有几

个（）

A.4B.3C.2D.1

8.（3分）如图，在Rt/XABC中，N4CB=90°,乙4=30°,贝UAB=2BC.请在这一结论

的基础上继续思考：若AC=2,点。是AB的中点，尸为边CD上一动点，则AP+4CP

的最小值为（）

A.1B.V2C.V3D.2

9.（3分）在平面直角坐标系X。），中，已知抛物线y=7-2x-3与x轴交于A、B两点，与

y轴交于C点，。为抛物线顶点.连接40交），轴于点E,点P在第四象限的抛物线上,

连接ARBE交于点G,设卬=SAABG：SMGP，则卬的最小值是（）

10.（3分）如图，在△4BC中，ZABC=3ZA,AC=6,BC=4,所以AB长为（）

BC

A.2V2B.VToC.V13

二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）

11.（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是

12.（3分）如图，在RtZVlBC中，ZACB=90°,AC=BC=2,。为边AB的中点，以点A

为圆心，以AO的长为半径画弧与腰4C相交于点E,以点8为圆心，以80的长为半径

画弧与腰BC相交于点F,则图中的阴影部分图形的面积为.（结果保留n）

14.（3分）中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史，可

见其根源的渊远流长元旦”一词最早出现于《晋书》.“元旦节”前夕，某超市分别以

每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真

空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种

年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数

量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖

出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的巳，卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠

41

数量和的卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的一.若第三天三种年货的销售总额比第

32

一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所

售出的三种年货的总利润为元.

15.（3分）阅读理解：平面内的OO和OO外一点A,过点4的直线/与OO交于8,C两

点（B在A,C之间），点。为平面内一点.若以AO为边的正方形4DE5的面积等于分

别以AB,AC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形AOEF为点A关于。。的“原本正

方形”，该正方形的中心称为点A关于。。的“原本点”.如图所示，正方形AOE尸的面

积等于矩形AMNC的面积，其中AM=AB,称正方形ADEF为点、A关于。。的“原本正

方形”，该正方形中心点G称为点A关于的“原本点”.当出现“特别情况”的时候，

即：当点。恰好在。0上时,称此时正方形的中心G为点A关于。0的“单纯原本点”.QN

的圆心为N（〃，0）（n>0）,半径为OM点”为坐标平面内一点，过点，的直线/与

yfS-

QN有两个交点，且-y=NH.若直线y=V3x+6上存在点尸,使得点P为点H关于。N

的“单纯原本点”，即可得出〃的最小值为.

三、解答题（本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9

分，21题9分，22题10分）

11

16.（6分）计•算：3tan30°—*in60°X（-）-'+（2022-TT）°.

L4,

17.（6分）一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉

字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

（1）若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

（2）小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树

状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率.

18.（7分）如图所示，已知BC是水平面，AB.AD,是斜坡.AB的坡角为42°,坡长

为200米，A。的坡角为60°,坡长为100米，8的坡比i=l：2位.

（1）求坡顶A到水平面BC的距离；

（2）求斜坡C。的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin42°-0.70,V3«1.73）

19.（8分）已知：正方形A8C3中，E是AB的中点，尸是4r（上一点，且E£>=尸C,ED、

FC交于点G,连接BG,BH平分/GBC交FC于H,连接。

(1)求证：EDJLFC；

(2)求证：△CGH是等腰直角三角形.

20.(9分)正方形ABCD的边长为6cm,P,Q两动点同时从点C出发，点P沿CB-BA

以3cmis的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD-DB以2cmk的速度向点B匀速运动，

当点尸到达终点A时，点。同时停止运动.设点P的运动时间为f(s),ACP。的面积

为S(。川).

(1)填空：点P的运动时间为5;

(2)求S关于，的函数解析式，并直接写出自变量r的取值范围.

21.(9分)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点8在x轴的负半轴上，

点C在y轴的正半轴上，直线BC的解析式为>=自+12(kWO),ACLBC,线段OA的

长是方程

x2-15%-16=0的根.请解答下列问题：

(1)求点A、点8的坐标.

(2)若直线/经过点A与线段BC交于点D,且tan/CAO=,,双曲线尸?(加70)

的一个分支经过点D,求m的值.

(3)在第一象限内，直线C8下方是否存在点P,使以C、A、P为顶点的三角形与aABC

相似.若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

22.(10分)数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述.小明对圆

中定值与最值问题十分感兴趣，为此他做了一个简单的探究.如图，在直角坐标系中，

圆心M在x轴正半轴上，点P为。M第一象限内的一个动点，据此:

【前提条件】假若sin/ABO=喀，r=5；

【探究规律】如图1,连接。尸并延长交y轴于点E,那么在P点移动过程中，是否有

为定值?若为定值，求出来定值；若不是，求出其最小值.

【归纳总结】如图2,小明发现做题越来越有意思，于是作/AZ)H=2NAB0,BHLDH,

交x轴于点尸，连接PF,0P.点G为线段0P的三等分点(OG<OP).以点。为圆心，

以线段0G为半径作OO,设。0半径为r,在点P移动过程中，是否有(17-15cos

ZFPO)为定值？若为定值，求出定值；若不为定值，请求出其最小值.

【拓展提升】如图3,若圆心和半径大小均不固定，那么点尸，A,B,C,D,M均为动

点，作尸T〃y轴，交动圆M于点7.Q,R两点为直线PT右侧的两个动点，并且PT=

PQ

QR.那么在点P运动过程中，是否有言为定值？若为定值，求出这个定值：若不为定值，

PR

请求出其最小值.

图1图2图3

2022年广东省深圳市南山区中考数学模拟试卷

参考答案与试题解析

一、单项选择题（每小题3分，共10小题，总共30分）

1.（3分）2022的倒数的相反数是（）

11

A.-------B.一点yC.-2022D.2022

20222022

【解答】解：2022的的倒数是白，相反数是一赢.

20222022

故选：B.

2.（3分）截止至10月7日，著名电影《长津湖》票房情况理想，总票房甚至达到46.49

亿，46.49亿用科学记数法表示为（）

A.46.49X108B.4.649X108

C.4.649X109D.0.4649X1011

【解答】解：46.49亿=4649000000=4.649X1（）9.

故选：C.

3.（3分）若关于y的方程ay-2=6+y与方程y+4=2的解相同，则。的值为（）

A.-3B.3C.-4D.4

【解答】解：,->•+4=2,

/•>-=-2,

方程ay-2=6+y与方程），+4=2的解相同，

-2方程ay-2=6+y的解，

-2。-2=6-2,

••-3,

故选：A.

4.（3分）等腰三角形A8C中，AB=AC,记周长为y,定义（x,y）为这个三角

形的坐标.如图所示，直线y=2x,y=3x,y=4x将第一象限划分为4个区域.下面四个

结论中，

①对于任意等腰三角形ABC,其坐标不可能位于区域I中；

②对于任意等腰三角形ABC,其坐标可能位于区域IV中；

③若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域HI中；

④图中点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长.

C.②④D.①②③

【解答】解：如图，等腰三角形A3C中，AB=AC,记周长为y,

设8C=z,则y=2x+z,x>0,z>0.

①；BC=z>0,

/•y=2x+z>2x,

对于任意等腰三角形ABC,其坐标位于直线y=2r的上方，不可能位于区域I中，故

结论①正确;

②•.•三角形任意两边之和大于第三边,

.,.2x>z,即z<2x,

.".y=2x+z<4x,

,对于任意等腰三角形ABC,其坐标位于直线y=4x的下方，不可能位于区域IV中，故

结论②错误;

③若三角形ABC是等腰直角三角形，则z=缶,

V1<V2<2,AB=x>0,

'.x<y/2x<2x,

3x<2r+V2x<4x,

即3x<y<4x,

二若三角形ABC是等腰直角三角形，其坐标位于区域IH中，故结论③正确;

④由图可知，点“位于区域IH中，此时3x<yV4x,

3x<2x+z<4x,

.".x<z<2x；

点N位于区域n中，此时2x<yV3x,

/.2x<2x+z<3x,

AO<z<x；

・・•点M所对应等腰三角形的周长比点N所对应等腰三角形的周长短,

・••图中无法得到点M所对应等腰三角形的底边比点N所对应等腰三角形的底边长，故结

论④错误.

故选：A.

5.（3分）已知尤、y为实数，且府不4+（厂3）2=0.若叼-3x=y,则实数。的值是

（）

1177

A.-B.-4C.-D.一:

4444

【解答】VV37T4+（y-3）2=0,

.（3x+4=0

••（y-3=0，

（_4

解得产=一7

ly=3

"**axy-3x=y,

44

**•―x3ci-3X（―可）=3,

:.-4〃+4=3,

解得a=

故选：A.

6.（3分）一根钢管放在V形架内，其横截面如图所示，钢管的半径是24cm,若NAC3=

60°,则劣弧43的长是（)

B

C

A.8ITCAT7B.16TTCA?7C.32TTCWD.192m7加

【解答】解：由题意得：CA和C8分别与。。相切于点4和点8,

：.OA±CA,OBLCB,

：.ZOAC=ZOBC=90°,

VZACB=60°,

AZAOB=\20Q,

.1207TX24

/.------------=l6n(cm),

180

故选：B.

7.(3分)定义：当时，其对应的函数值为y=/(〃)，若/(〃)=。成立，则称〃为函

数y的不动点.例如：函数juf-Bea当％=2时，y=f(2)=22-3X2+4=2,因为

/(2)=2成立，所以2为函数y的不动点.因此对于函数y=(什1)(2f+l)x-3,

将函数图象向下平移机(/n>0)个单位长度，/>-4时，平移后函数不动点的个数有几

个()

A.4B.3C.2D.1

【解答】解：向下平移后的函数为：y=(/+I)A2-(2r+l)x-3-m,

当/=-1时，y=x-3-m,函数没有不动点；

当m-1时，

令》=(f+1)x2-(2r+l)x-3-m,

整理得，(/+1)?-(2/+2)x-3-m=0,

；.△=(2r+2)2+(/+1)(3+w)=0,整理得A=4(/+1)(什m+4),

'：m>0,r2-4,

.•・/+〃?+4>0,

当时，△<(),平移后函数不动点的个数为0个；

当r=-l时，不是二次函数；

当r>-l时，△>(),平移后函数不动点的个数为2个.

综上可知，当-1时，平移后函数不动点的个数为0个；当，＞-1时，平移后

函数不动点的个数为2个.

故选：C.

8.（3分）如图，在RlZVlBC中，ZACB=90°,ZA=30°,则A8=2BC.请在这一结论

的基础上继续思考：若AC=2,点。是AB的中点，P为边CD上一动点，则AP+^CP

A.1B.V2C.V3D.2

［解答］解：过C作CE±AB于E,过点P作PF1.EC于F,

VZACB=90°,点。是AB的中点，

：.CD=^AB=AD,

VZCAB=30°,

/.ZB=60°,

.♦.△88为正三角形，

：.ZDCE=30Q,

1

：.PF=^CP,

：.AP+^CP=AP+PF^AE,

VZCAB=30°,AC=2,

.•.CE=1AC=I,

：.AE=\!AC2-CE2=V3,

.•.AP+Q的最小值为后

故选：c.

A

9.（3分）在平面直角坐标系x。），中，已知抛物线y=/-2x-3与x轴交于A、B两点，与

y轴交于C点，。为抛物线顶点.连接AO交），轴于点E,点P在第四象限的抛物线上,

连接AP、BE交于点G,设W=S》BG：S^GP，则卬的最小值是（）

24255145

A.—B.—c.一D.一

2524816

【解答】解：•••点尸在第四象限的抛物线上，AP,BE交于点G,如图,

设P(相，-2m-3),其中0<m<3,

设直线AP的解析式为y=cx+d,

VA(-1,0),P(m,m2-2zn-3),

•(~c+d=0

''l-m2—2m—3=cm+d'

解得北聋」

二直线AP的解析式为y=（m-3）x+m-3.

设直线BE的解析式为y=ex+f,

'：B(3,0),E(0,-2),

.(3e+f=0

_2

解得『二可,

(f=~2

，直线BE的解析式为y=|x-2,

y=(m—3)x+m—3

联立方程组，得:2

\y=3x-92

3—3m

X=3m-ll

解得:

24—8m'

.24—8m

V0<m<3,

.•.24-8〃?>0,3m-ll<0,

24-8m

・•・-------<0,

3m-ll

...“.=S^ABG_弘8%1__8,

,BGP^AB\yp\—^AB\y^\?n2+2m+3—37n2+8m+3

令z=-3川+8加+3=-3(〃z-g)2+竽

・・•-3<0,

425824

**•当m=J时，z取得最大值―,w取得最小值为-2s=-»

33—25

3

・・・卬有最小值，最小值为二.

25

故选：A.

10.（3分）如图，在8c中，ZABC=3ZAfAC=6,8c=4,所以A8长为（）

A.2V2B.V10C.V13D.4

【解答】解：在AC边上取点。，使NA8O=杯NA8C,连接8。，如图所示,

：.AD=BD=2,CD=4,

VBC=4,

:./a=/CBD,

由余弦定理知：

222222

cosZ/fl=BD+CD-BC2+4-41

每BDlCD=2X2X4'=4'

'：ZBDA=TI-a

]

.".cosZB£）A=cos（n-a）=-costz=-4,

：.AB2=AD2+BD2-2XADXBDXCOSZBDA

=22+22-2X2X2X（-1）

=10

，AB=V10,

故选：B.

二、填空题（每小题3分，共5小题，总共15分）

11.（3分）如果式子有意义，那么x的取值范围是-2<xWl.

V2+x--------------------

【解答】解：由题意得，

rl-%>0

（2+%>0'

解得-2VxWl.

故答案为：-2<xWl.

12.（3分）如图，在RtZXABC中，ZACB=90°,AC=BC=2,。为边AB的中点，以点A

为圆心，以A。的长为半径画弧与腰AC相交于点E,以点B为圆心，以BO的长为半径

画弧与腰BC相交于点F,则图中的阴影部分图形的面积为2.（结果保留IT）

【解答】解：在RtzMBC中，NACB=90°,AC=BC=2,

：.AB=2y/2,/A=/8=45°,

•.,。是A8的中点，

：.AD=DB=V2,

^Sm=SAABC-2-S^ADE=1X2X2-2X=2-y,

ZJOUz

故答案为：2-冬

a2

13.(3分)若♦一壶=3,则的值为

a4-2a2-l

a4-2a2-l

【解答】解:

="2_2」

1

a---22

"a2

=3-2

=1,

a2

=L

14.(3分)中国的元旦，据传说起于三皇五帝之一的颛顼，距今已有3000多年的历史，可

见其根源的渊远流长.“元旦”一词最早出现于《晋书》.“元旦节”前夕，某超市分别以

每袋30元、20元、10元的价格购进腊排骨、腊香肠、腊肉各若干，由于该食品均是真

空包装，只能成袋出售，每袋的售价分别为50元、40元、20元，元旦节当天卖出三种

年货若干袋，元月2日腊排骨卖出的数量是第一天腊排骨数量的3倍，腊香肠卖出的数

量是第一天腊香肠数量的2倍，腊肉卖出的数量是第一天腊肉数量的4倍；元月3日卖

出的腊排骨的数量是这三天卖出腊排骨的总数量的g卖出腊香肠的数量是前两天腊香肠

数量和的士卖出腊肉的数量是第二天腊肉数量的若第三天三种年货的销售总额比第

一天三种年货销售总额多1600元，这三天三种年货的销售总额为9350元，则这三天所

售出的三种年货的总利润为4300元.

【解答】解：设元旦当天卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为x,y,z袋(x,y,z均为正

整数)，则元月2日卖出腊排骨、腊香肠、腊肉分别为3x,2»4z袋，元月3日卖出腊

排骨、腊香肠、腊肉分别为x,4)，，2z袋，根据题意得：

<40(4y-y)+20(2z-z)=1600

(50(x+3x+x)+40(y+2y+4y)+20(z+4z+2z)=9350'"

[6y+z=80①

(25x+28y+14z=935②‘

由①得：z=80-6y,

y,z均为正整数，

.,.当y=l时，z=74,14z>935,等式②不成立，不合题意；

当y=2时，z=68,14z>935,等式②不成立，不合题意；

当y=3时，z=62,28y+14z>935,等式②不成立，不合题意；

当y=10时，z=20,x=15,等式②成立，符合题意;

综上可知，x=15,y=10,z—20,

这三天所售出的三种年货的总利润为20X5x+20X7>+10X7z=100x+140,v+70z=

1500+1400+1400=4300（元）.

15.（3分）阅读理解：平面内的00和外一点A,过点A的直线/与OO交于3,C两

点（8在A,C之间），点。为平面内一点.若以AO为边的正方形AOEF的面积等于分

别以48,AC为一组邻边的矩形的面积，则称正方形AOE尸为点A关于的“原本正

方形”，该正方形的中心称为点A关于。。的“原本点”.如图所示，正方形AOEF的面

积等于矩形AMNC的面积，其中AM=A8,称正方形AOEF为点A关于。。的“原本正

方形”，该正方形中心点G称为点A关于的“原本点”.当出现“特别情况”的时候，

即：当点。恰好在。。上时,称此时正方形的中心G为点A关于。0的''单纯原本点ON

的圆心为N（小0）（">0）,半径为ON.点，为坐标平面内一点，过点H的直线/与

QN有两个交点，喔ON=NH.若直线y=V3x+6上存在点P,使得点P为点H关于ON

12-75+6V3

的“单纯原本点”，即可得出〃的最小值为.,•

【解答】解：•••直线)=岳+6与x轴、y轴分别交于点A、B,

(-2V3,0),B(0,6),AB=4次.

YN(”，0)(»>0),

：.AN=n-(-2V3)=〃+2b.

...0BB

・sinN840=彳^=

.•.点N到AB的距离为ANsin/BAO=孚〃+3.

依题意，若正方形ADEF为点A关于。。的原本正方形，则有AD2=ABXAC=OA2-凡

其中r为。。的半径.

设点H关于。N的原本正方形为HDEF,则有HD2=HN2-ON2^5n2-

：.HD=2n.

又,：DN=ON=n,NH=y[SON=V5n,

:.NNDH=90°.

又NEDH=90°,

:.N、。、E共线.

1

取£>E中点T,则尸T=TD=寸〃)=〃，PTLTN,

:.PI^=P『+TI^.

：.PN=或GANsin/BAO=骨+3

解得n>12臂百.

下面检验〃=叨|步是否满足题意.

当n=12M芋%,取PNUB于点P,则PN=享4N=冬计3=鼠!|母+3='，

以P为圆心、加〃为半径作圆交圆N于点£>,则NO=〃，PD=V2n,PN=V5n,NPDN

=135°.

以尸为中心，。为一个顶点作正方形HCER则//£)=2〃，HN=回,符合题目所有条

件.

12V5+6V3

综上，〃的最小值为••I7…一

12V5+6V3

故答案为:

17

三、解答题(本题总分55分，其中16题6分，17题6分，18题7分，19题8分，20题9

分，21题9分，22题10分)

16.(6分)计-算：3tan300-*in60°X(-)-'+(2022-TT)°.

z4

【解答】解：原式=3x空-/x孚x4+l

=V3—V3+1

=1.

17.(6分)一个不透明的口袋装有分别标有汉字“美”“丽”“南”“山”的4个小球，除汉

字不同外，小球没有任何区别，每次摸球前先搅拌均匀.

(1)若从中任取一个小球，求摸出球上的汉字刚好是“美”的概率；

(2)小华从中任取一个小球，记下小球上的汉字后放回，再从中任取一小球，请用画树

状图或列表法，求小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率.

【解答】解：(1)摸出球上的汉字刚好是“美"的概率=!；

一

(2)画树状图为:

美00南山美丽南山美丽南山美丽南山

共有16种等可能的结果，其中取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的

结果数为4,

所以小华取出的2个小球上的汉字恰能组成“美丽”或“南山”的概率=芸=/

18.（7分）如图所示，已知BC是水平面，A8、AD,CQ是斜坡.AB的坡角为42°,坡长

为200米，的坡角为60°,坡长为100米，的坡比i=l：272.

（1）求坡顶A到水平面BC的距离；

（2）求斜坡CD的长度.（结果精确到1米，参考数据：sin42°七0.70,V3»1.73）

【解答】解：（1）过点A作AELBC于E,

在中，NB=42°,48=200米，

贝ijAE=AB・sinBg200X0.70=140（米），

答：坡顶A到水平面BC的距离约为140米；

（2）过点。作。FJ_8C于凡DGLAE^G,

则四边形EFDG为矩形，

：.GE=DF,

在RtZ\AG£>中，ZADG=60°,AD=100米,

则AG=AO・sin/40G=100x^286.5（米），

：.DF=GE=AE-AG=53.5（米），

•；。。的坡比，=1：2企，

：.DF：FC=1：2V2,

：.DF：CD=1：3,

/.CD=3DF=160.5s*161（米），

19.（8分）已知：正方形ABC。中，E是AB的中点，尸是4。上一点，且E£>=/C,ED、

FC交于点、G,连接BG,BH平分NGBC交FC于H,连接OH.

(1)求证：£D±FC；

(2)求证：△£>GH是等腰直角三角形.

【解答】证明：(1)；在正方形ABC。中，

：.AD^CD,

,:ED=FC,/Ctt4=NA=90°,

即在RtAAED和RtAFDC中，

..(AD=CD

'IFC=ED'

.".RtAAED^RtAFDC(HL),

：.NAED=NDFC,

VZAFC+ZDFC=180°,

.♦.NA尸C+NAE£>=180°,

AZA+ZFG£=180°(四边形内角和定理),

VZA=90°,

/.ZFGE=90°,

即EDI.FC；

(2)连接EC,

•.•由(1)得NFGE=90°,ZABC=90°,

：.ZEGC+ZEBC=180°,

."、C、G、E四点共圆(如图所示)，

ZAED=ZBCG,

:.NBGC=NBEC,

在RTABCE和RTAADE中,

BE=AE

Z-EBC—

BC=AD

:.RTLBCE义RT/XADE(SAS),

，NAED=NBEC,

:・/BGC=/AED,

：.ZBGC=ZBCG,

:・BG=BC,

又BH平分NG8C交FC于H,

・・・8”是GC的中垂线，

：.GH=HC,ZBHC=90°,

VZBCH+ZGCD=90°,NGCD+/GDC=90°,

:・/BCH=/CDG,

■:/DGC=/BHC=90°,CD=CB,

(ZCGD=/BHC

:•、乙GDC=LHCB，

VBC=CD

:.ABHCQ/XCGD,

:.DG=HC,

•：GH=HC,

:・GH=DG,

又•：NFGE=90°,

：./\DGH是等腰直角三角形.

20.(9分)正方形ABC。的边长为6cm,P,。两动点同时从点C出发，点、P沿CBfBA

以30Ms的速度向终点A匀速运动，点Q沿CD-DB以2cm/s的速度向点B匀速运动，

当点尸到达终点A时，点。同时停止运动.设点P的运动时间为/(s),△CP。的面积

为S(cw2).

(1)填空：点p的运动时间为4

(2)求S关于f的函数解析式，并直接写出自变量f的取值范围.

【解答】解：(1)由题意得，点P运动到终点时间为：6X24-3=4(C,

点。运动到终点时间为：6X24-2=6(s),

V4<6,

两点的运动时间为4s,

故答案为：4；

(2)当0<fW2时，点P在BC边上点。在CO边上，

此时CP=3f,CQ=2t,

1

.•.S=*x3fX2r,

整理得，S=3尸；

当2<fW3时，点尸在AB边上点。在CO边上,

此时，CQ=2t,

.".5=1x2zX6,

整理得，S=6f；

当3<fW4时，点尸在AB边上点Q在BO边上,

连接AQ,过点。作QMLAO,QN1AB,

此时CQ=2「12,

.MQDQ

•.=»

ABBD

MQ2t-12

6—6^2，

解得MQ=V2t-6vL

；.NQ=6-g+6夜，

：.S=6X6-2x1x6X(V2r-6V2)-1x(12-3r)X(6—应r+6夜)，

整理得，S=-挈尸+(9V2+9)Z-72V2,

综上，当0<fW2时，5=3?；当2</W3时，S=6f；当3<fW4时，S=一挈P+(9立+9)

t-72V2.

21.(9分)如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B在x轴的负半轴上，

点C在)，轴的正半轴上，直线8c的解析式为y=fcc+12(AWO),ACLBC,线段。4的

长是方程

x2-15x-16=0的根.请解答下列问题：

(1)求点4、点B的坐标.

(2)若直线/经过点A与线段BC交于点。，且tan/C4O=/双曲线y=?(/nW0)

的一个分支经过点£>，求，〃的值.

(3)在第一象限内，直线CB下方是否存在点P,使以C、A、P为顶点的三角形与aABC

相似.若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.

【解答】解：由/-15%-16=0得，

川=16,X2=-1(舍去)，

・・・。4=16,

・・・A(16,0),

当x=0时，y=12,

：.C(0,12),

・・・OC=12,

：.AC=y/OA2+OC2=V162+122=20,

VAC±BC,

AZACB=ZAOC=90°,

*：ZOAC=ZBAC,

：.AAOC^AACB,

,ACOA

ABAC

.2016

••~~=f

AB20

：.AB=25

：.OB=AB-OA=25-16=9,

：.B(-9,0)；

(2)如图1,

图1

作OEJ_OC于E,

CD1

VtanZCAD=^=^,AC=20,

ACD=^x20=5,

V0C=12,03=9,

:・BC=y/OC2+OB2=15,

VZCED=ZBOC=90°,

：.DE//0B,

:•△CDEs^CBO,

tDE_CECD

・'OB~0C~BC

.DECE51

••————,

912153

：.DE=3fCE=4,

：.OE=OC-CE=8,

：.D(-3,8),

m

/.—=8,

-3

；.m=-24；

(3)如图2,

：.P(25,12),

APAC

ACBCf

AP20

2015

：.AP=80

由△PEAs△4。。得，

PEAEAP

OA~OC~AC

80

tPEAEy4

••16—12—20-3’

64

・・・PE=孑，AE=16,

：.OE=OA+AE=32,

64

：.P(32,—),

3

如图4,

当△RlCsACBA时，此时△必Cg/\OCA,

：.P(16,12),

如图5,

当△filCsacAB时，此时△/?4cg△OAC

.AP0A164

・'CP-0C-12-3’

作尸"J_OC于"，AG_LP”于G,

由△4GPS/\PHC得，

AGPGAP4

PH~CH~CP~3’

・,.设AG=4x,PG=4y,贝ljPH=3x,CH=3y,

9

：PH+PG=0A=16,OC+CH=AG9

(3x+4y=16

(3y+12=4N

96

x=25

48'

Z=25

•DU,288人口4384

..PH=3x=^~,AH=4x=

288384

:.p(----------),

2525

64—288384

综上所述：P（25,12）或（32,y）或（.6,⑵或（玄’—）.

22.（10分）数学探究一直是数学学习的极重要的方法，新课标对此有细致阐述.小明对圆

中定值