八年级数学上册单元题型精练（基础题型+强化题型）（北师大版）：等腰直角三角形斜边中点旋转模型（强化）（解析版）

专题1.6等腰直角三角形斜边中点旋转模型1．如图，在中，，，直角的顶点是的中点，两边，分别交，于点，．以下结论错误的是A． B． C．三角形是等腰直角三角形 D．【解答】解：如图，，分别交，于点，，点为边上的任意一点，与不一定相等，故错误；，，，为中点，，，，，，，，故正确；在和中，，，，是等腰直角三角形，故正确；，，，，故正确，故选：．2．如图，在中，，，若点为的中点，过点作，分别交，于点，，连接，则下列结论中：①是等腰直角三角形；②的周长有最小值；③四边形的面积为定值8；④的面积有最小值；⑤的面积有最大值．正确的有A．5个 B．4个 C．3个 D．2个【解答】解：是等腰直角三角形，为的中点，，，，，，，在和中，，，，是等腰直角三角形，故①正确；当时，最小，则的周长、面积有最小值，故②④正确；，四边形的面积为的面积，，的面积为，的面积为4，四边形的面积为定值4，故③错误；当的面积有最小时，此时的面积最大，故⑤正确，正确的有①②④⑤，共4个，故选：．3．如图，在等腰中，，，是边上的中点，点、分别在、边上运动（不与端点重合），且保持，连接、、，在此运动变化的过程中，下列结论：①是等腰直角三角形；②四边形的面积是12；③．其中正确的结论是A．①② B．①③ C．①②③ D．②③【解答】解：①连接，，，，是边上的中点，，，，，，在和中，，，，，，即，是等腰直角三角形，所以此结论正确；②，四边形的面积，故②错误；③，，，，，，故③正确，故选：．4．如图，已知中，，，直角的顶点是中点，两边，分别交，于点，，给出以下四个结论：①；②；③是等腰直角三角形；④当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），．上述结论中始终正确有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【解答】解：，，直角的顶点是的中点，，，，，，，在和中，，，即结论①正确；是等腰直角三角形，是的中点，，又不一定是的中位线，，故结论②错误；，，又，是等腰直角三角形，故结论③正确；，，，故结论④正确；综上，当在内绕顶点旋转时（点不与，重合），始终正确的有3个结论．故选：．二．解答题（共14小题）5．已知：如图所示中，，，是中点，、分别是、边上的两动点，无论、如何运动，始终保持．求证：是等腰直角三角形．【解答】证明：连接，是中点，中，，，，，，在和中，，，，，，，即，是等腰直角三角形．6．如图，在中，，点为中点，点为线段上一点，，交于点，试给出线段、、之间的数量关系并证明．【解答】证明：延长到，使，连接，，点是的中点，，在和中，，，，，，，，，，，在中，由勾股定理得：，，，．7．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且，若，，求线段的长．【解答】解：连接，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，，，，又，．在与中，，．．，，．在中，，，，．8．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，．分别是、边上的点，且，（1）求证：；（2）若，，求线段的长．【解答】解：连接，在中，，为边的中线，，，，又，，，在与中，，．；（2），，，．9．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，分别是，边上的点，且．（1）证明：；（2）证明：．【解答】证明：（1）连接，等腰直角三角形，，为的中点，，，平分，，，，，，，，在和中，，．（2），，，，，，即．10．如图，、是等腰的斜边上的两动点，，且．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1）是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，，；（2）由（1）知，，，，，，，，在与中，，，，在中，根据勾股定理得，，，．11．已知：在中，，，点为边上一动点（与点不重合），连接，以始边作．（1）如图1，当，且时，试说明和的位置关系和数量关系；（2）如图2，当，且点在边上时，求证：．【解答】解：（1）与位置关系是，数量关系是．理由：，，，，在和中，，，且．，，即；（2）如图2，把绕点顺时针旋转，得到．连接，则，，，．，．，在和中，，．，又，，即；12．如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接．（1）求证：；（2）求证：．【解答】证明：（1）和都是等腰直角三角形，，，，，，在与中，，；（2）是等腰直角三角形，，由（1）得，，，．13．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点．求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1）和都是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；（2），，，，，，，，，，，，．14．如图，是等腰直角三角形，，为斜边的中点，，分别为，边上的点，且．若，．求的长．【解答】解：如图，连接．，，，，，，，，，，，，，．15．如图，是等腰直角三角形，，是斜边的中点，、分别是、边上的点，且．（1）请说明：；（2）请说明：；（3）若，，求的面积（直接写结果）．【解答】（1）证明：连接，等腰直角三角形，，为的中点，，，平分，，，，，，，，在和中，，．（2）证明：，，，，，在和中，，，，即．（3）解：，，根据勾股定理，的面积是．答：的面积是25．16．如图，在中，，，，垂足为，过点作，交于点，交于点．（1）求证：；（2）连接，若，，求①的长；②四边形的面积．【解答】（1）证明：是中点，，，，，，，在和中，，；（2）解：①，；同理可证：，，，，，在中，；②，，，，，，，，，四边形的面积．17．如图，和都是等腰直角三角形，，为边上一点，求证：（1）；（2）．【解答】证明：（1）和都是等腰直角三角形，，，，，，在和中，，；（2）是等腰直角三角形，度．，，．由（1）知，，即．18．如图所示：是等腰直角三角形，，是斜边的中点，，分别是，上的动点，且，（1）求