专题1-2 解一元二次方程计算题（50题）（解析版）

（苏科版）九年级上册数学《第1章一元二次方程》专题1-2解一元二次方程计算题（50题）题型一用直接开平方法解一元二次方程题型一用直接开平方法解一元二次方程1．（2023春•乌鲁木齐县月考）用直接开平方法解一元二次方程：（1）x2﹣1＝80；（2）9x2+12＝16．【分析】（1）先把方程变形为x2＝81，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程变形为x2=4【解答】解：（1）∵x2﹣1＝80，∴x2＝81，∴x＝±9，即x1＝9，x2＝﹣9；（2）∵9x2+12＝16，∴x2=4∵x＝±23即x1=23，x2【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．2．（2021春•天津期中）解下列方程：（1）x2﹣3＝5；（2）3x2﹣1＝26；（3）12x2﹣8＝0【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：（1）x2﹣3＝5，∴x2＝8，∴x=±22∴x1＝22，x2＝﹣22．（2）解：∵3x2﹣1＝26，∴3x2＝27，则x2＝9，∴x1＝3，x2＝﹣3；（3）解：方程整理得：x2＝16，∴x1＝4，x2＝﹣4．【点评】本题主要考查解形如x2＝p（p≥0）的一元二次方程，直接利用开平方法是解题的关键．3．用直接开平方法解下列一元二次方程：（1）4x2﹣1＝0（2）（x﹣3）2＝2（3）81（x﹣2）2＝16．【分析】（1）先移项，系数化为1，再利用直接开平方法解方程；（2）利用直接开平方法解方程；（3）先将系数化为1，再利用直接开平方法解方程．【解答】解：（1）4x2﹣1＝0，即x2=1开方得：x＝±12（2）（x﹣3）2＝2，开方得：x﹣3＝±2，解得：x1＝3+2，x2＝3-（3）81（x﹣2）2＝16，即（x﹣2）2=16开方得：x﹣2＝±49解得：x1=229，x2【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．4．解下列方程：（1）3（x﹣1）2＝12；（2）2（x﹣1）2=18．（3）14（3x+1）【分析】利用直接开平方法求解即可．【解答】解：（1）3（x﹣1）2＝12，∴（x﹣1）2＝4，∴x﹣1＝±2，∴x1＝3，x2＝﹣1；（2）解：∵2（x﹣1）2=1∴（x﹣1）2=1则x﹣1＝±14∴x1=54，x2（3）解：14（3x+1）2＝64∴（3x+1）2＝256，∴3x+1＝±16，∴x1=-173，x2＝【点评】本题考查了直接开平方法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．5．（1）（2023春•潮安区校级月考）解方程：（2x﹣1）2﹣25＝0．【分析】利用直接开平方法解方程得出答案．【解答】解：（2x﹣1）2﹣25＝0移项，得（2x﹣1）2＝25，∴2x﹣1＝±5，解得x1＝3，x2＝﹣2．【点评】此题主要考查了直接开平方法解方程，正确开平方法是解题关键．（2）（2023•龙川县校级开学）14（x+1）2＝25【分析】用直接开方法解方程即可．【解答】解：14∴（x+1）2＝100，x+1＝±10，∴x1＝﹣11，x2＝9．【点评】本题考查直接开方法解一元二次方程，掌握方法是解题的关键．（3）（2022秋•南关区校级期末）解方程：2（x﹣3）2＝8．【分析】先把方程变形得到（x﹣3）2＝4，再把方程两边开方得到x﹣3＝±2，然后解一次方程即可．【解答】解：2（x﹣3）2＝8，（x﹣3）2＝4，x﹣3＝±2，所以x1＝5，x2＝1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣直接开平方法：形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程．（4）解方程：16（2﹣x）2﹣9＝0．【分析】利用直接开平方法解一元二次方程即可解答．【解答】解：16（2﹣x）2﹣9＝0移项得：16（2﹣x）2＝9，去系数得：(2-x)直接开平方得：2-x=±3即-x+2=34或解得：x1=5【点评】本题主要考查了直接开平方法解一元二次方程，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移到等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．6．用直接开平方法解一元二次方程（1）2y2＝8．（2）2（x+3）2﹣4＝0．（3）14（x+1）2＝（4）（2x+1）2＝（x﹣1）2．【分析】（1）（3）系数化为1，进一步利用直接开平方解方程；（2）移项，系数化为1，再直接开方；（4）直接开方，再按解一元一次方程的方法求解即可．【解答】解：（1）2y2＝8y2＝4y＝±2解得：y1＝2，y2＝﹣2．（2）2（x+3）2﹣4＝0（x+3）2＝2x+3＝±2解得：x1＝﹣3+2，x2＝﹣3-（3）14（x+1）2＝（x+1）2＝100x+1＝±10解得：x1＝﹣11，x2＝9．（4）（2x+1）2＝（x﹣1）22x+1＝x﹣1，2x+1＝﹣（x﹣1）解得：x1＝0，x2＝﹣2．【点评】此题主要考查了直接开方法求一元二次方程的解，解这类问题要移项，把所含未知数的项移到等号的左边，把常数项移项等号的右边，化成x2＝a（a≥0）的形式，利用数的开方直接求解．题型二用配方法解一元二次方程题型二用配方法解一元二次方程7．（2022秋•青神县期末）用配方法解方程：（x+1）（x﹣2）＝3x．【分析】先把方程化为一般式，再利用配方法得到（x﹣2）2＝6，然后利用直接开平方法解方程．【解答】解：方程化为x2﹣4x﹣2＝0，x2﹣4x＝2，x2﹣4x+4＝6，（x﹣2）2＝6，x﹣2＝±6，所以x1＝2+6，x2＝2-【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握配方法解一元二次方程的一般步骤是解决问题的关键．8．用配方法解方程：（1）x2﹣4x﹣3＝0（2）x2+8x＝20（3）x2﹣8x+13＝0【分析】利用配方法求解即可．【解答】解：（1）移项得x2﹣4x＝3，配方得x2﹣4x+4＝3+4，即（x﹣2）2＝7，开方得x﹣2＝±7，所以x1＝2+7，x2＝2-（2）解：配方得：x2+8x+16＝20+16，即（x+4）2＝36，开方得：x+4＝±6，解得：x1＝2，x2＝﹣10．（3）解：x2﹣8x+13＝0，移项，得：x2﹣8x＝﹣13，配方，得：x2﹣8x+16＝﹣13+16，即（x﹣4）2＝3，开方，得：x﹣4＝±3，∴x1=3+4，x2=-9.（1）（2022秋•青浦区期中）用配方法解方程：2x2﹣8x+1＝0．【分析】将二次项系数化为1，再将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】解：2x2﹣8x+1＝0，x2﹣4x=-1x2﹣4x+4=-12+4，即（x﹣2）∴x﹣2＝±142∴x1＝2+142，x2＝2【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．（2）（2022秋•闵行区校级期中）用配方法解方程：3x2﹣2x﹣6＝0【分析】利用解一元二次方程﹣配方法：先把二次项系数化为1，然后方程两边同时加上一次项系数一半的平方，进行计算即可解答．【解答】解：3x2﹣2x﹣6＝0，3x2﹣2x＝6，x2-23x2-（x-13）2x-13x-13=19x1=1+193，x【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．10．用配方法解一元二次方程：（1）x2﹣2x﹣1＝0（2）y2﹣6y+6＝0（3）5x2+4x＝1．【分析】（1）、（2）把常数项移项后，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．（3）化二次项系数为1，在左右两边同时加上一次项系数的一半的平方．【解答】解：（1）x2﹣2x﹣1＝0，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2，x﹣1＝±2，解得x＝1±2；（2）y2﹣6y+6＝0，y2﹣6y＝﹣6，y2﹣6y+9＝﹣6+9，（y﹣3）2＝3，y﹣3＝±3，解得y＝3±3；（3）5x2+4x＝1，x2+45xx2+45x（x+25）2x+25=解得x1=15，x2＝﹣【点评】本题考查了配方法解一元二次方程．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．11．使用“配方法”解一元二次方程（1）x2+6x+6＝0；（2）3x2+6x﹣5＝0；（3）3（x+2）2﹣6＝21．【分析】（1）移项，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）移项，系数化成1，配方，开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2+6x+6＝0，x2+6x＝﹣6，x2+6x+9＝﹣6+9，（x+3）2＝3，x+3=±3x1（2）3x2+6x﹣5＝0，3x2+6x＝5，x2+2x=5x2+2x+1=53（x+1）2=8x+1=±8x1（3）3（x+2）2﹣6＝21，（x+2）2＝9，x+2＝±3，x1＝1，x2＝﹣5．【点评】本题考查了解一元二次方程，能正确配方是解此题的关键．12．用配方法解方程：（1）x2+8x+15＝0（2）2x2﹣4x＝2（3）4x2﹣8x﹣7＝0．【分析】（1）先将方程整理成x2＝36，再两边开平方即可；（2）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得．【解答】（1）解：∵x2+8x+15＝0，∴x2+8x＝﹣15，∴x2+8x+16＝16﹣15，即（x+4）2＝1，∴x+4＝±1，∴x1＝﹣3，x2＝﹣5．（2）解：2x2﹣4x＝2，x2﹣2x＝1，x2﹣2x+1＝1+1，（x﹣1）2＝2．x﹣1=2，x﹣1=-解得x1＝1+2，x2＝1-（3）解：4x2﹣8x﹣7＝0，4x2﹣8x＝7，x2﹣2x=7配方得x2﹣2x+12=74（x﹣1）2=11x﹣1＝±112x＝1±112∴x1＝1+112，x2＝1【点评】本题主要考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边；（2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．选择用配方法解一元二次方程时，最好使方程的二次项的系数为1，一次项的系数是2的倍数．13．用配方法解方程：（1）x2﹣7x+12＝0；（2）2x2﹣4x﹣16＝0；（3）5x2﹣3x+5＝x2+5x；（4）（x+1）（2x﹣3）＝1．【分析】（1）运用配方法解决一元二次方程．（2）运用配方法解决一元二次方程．（3）运用配方法解决一元二次方程．（4）运用配方法解决一元二次方程．【解答】解：（1）∵x2﹣7x+12＝0，∴x2∴(x-7∴x-7∴x＝4或3．（2）∵2x2﹣4x﹣16＝0，∴2（x2﹣2x+1）＝18．∴2（x﹣1）2＝18．∴（x﹣1）2＝9．∴x﹣1＝±3．∴x＝4或x＝﹣2．（3）∵5x2﹣3x+5＝x2+5x，∴4x2﹣8x+5＝0．∴4（x2﹣2x+1）+1＝0．∴4（x﹣1）2＝﹣1＜0．∴该方程无解．（4）∵（x+1）（2x﹣3）＝1，∴2x2﹣3x+2x﹣3＝1．∴2x2﹣x﹣4＝0．∴2(x2∴2(x-1∴(x-1∴x-1∴x=±33【点评】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握配方法解一元二次方程是解决本题的关键．题型三用公式法解一元二次方程题型三用公式法解一元二次方程14．（2022秋•秦都区期末）用公式法解方程：2x2﹣x﹣5＝0．【分析】先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出答案即可．【解答】解：2x2﹣x﹣5＝0，这里a＝2，b＝﹣1，c＝﹣5，∵Δ＝b2﹣4ac＝（﹣1）2﹣4×2×（﹣5）＝41＞0，∴x=-b±∴x1=1+414，x【点评】本题考查了解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．15．（2022秋•新城区月考）用公式法解方程：m2﹣3m﹣1＝0．【分析】先计算出根的判别式的值，然后利用求根公式计算方程的根．【解答】解：m2﹣3m﹣1＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣1，∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×（﹣1）＝13＞0，∴m=3±∴m1=3+132，m【点评】本题考查了用公式法解一元二次方程，能熟记公式是解此题的关键．16．（2022秋•河南月考）用公式法解方程：（x﹣1）（x﹣2）＝5．【分析】根据公式法即可求出答案．【解答】解：（x﹣1）（x﹣2）＝5，x2﹣3x+2＝5，x2﹣3x﹣3＝0，∵a＝1，b＝﹣3，c＝﹣3，∴Δ＝b2﹣4ac＝9﹣4×1×（﹣3）＝9+12＝21，∴x1=3+212，x【点评】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是熟练运用公式法，本题属于基础题型．17．用公式法解一元二次方程．①2x（x+4）＝1；②x2+4x﹣3＝0；③（x﹣2）（3x﹣5）＝1．【分析】根据公式法：ax2+bx+c＝0，的解是x=-b±【解答】解：①化为一般式，得2x2+8x﹣1＝0，a＝2，b＝8，c＝﹣1，Δ＝b2﹣4ac＝82﹣4×2×（﹣1）＝72＞0x1=-b+b2-4ac2a②x2+4x﹣3＝0，a＝1，b＝4，c＝﹣3，Δ＝b2﹣4ac＝42﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，x1=-b+b2-4ac2a=-4+272③化为一般式，得3x2﹣11x+9＝0，a＝3，b＝﹣11，c＝9，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣11）2﹣4×3×9＝13＞0，x1=-b+b2-4ac2a【点评】本题考查了解一元二次方程的方法，当把方程通过移项把等式的右边化为0后方程的左边能因式分解时，一般情况下是把左边的式子因式分解，再利用积为0的特点解出方程的根．因式分解法是解一元二次方程的一种简便方法，要会灵活运用．当化简后不能用分解因式的方法即可考虑求根公式法，此法适用于任何一元二次方程．18．（1）公式法解一元二次方程：2x2﹣4x﹣1＝0．【分析】找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值，代入求根公式计算即可求出解．【解答】解：这里a＝2，b＝﹣4，c＝﹣1，∵△＝b2﹣4ac＝16+8＝24＞0，∴x=-b±解得：x1=2+62，x【点评】此题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握求根公式是解本题的关键．（2）用公式法解一元二次方程：2x2﹣3x+1＝0．【分析】直接利用求根公式计算可得．【解答】解：∵a＝2，b＝﹣3，c＝1，∴Δ＝（﹣3）2﹣4×2×1＝1＞0，则x=-b±即x1＝1，x2=1【点评】本题考查的是解一元二次方程，根据题目的要求和结构特点，选择适当的方法解方程．19．用公式法解下列方程：（1）2x2+x﹣6＝0；（2）x2+4x＝2；（3）5x2﹣4x﹣12＝0；（4）4x2+4x+10＝1﹣8x．【分析】将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，判断b2﹣4ac的值是否大于0，若大于0，则x=-b±【解答】解：（1）a＝2，b＝1，c＝﹣6，∴b2﹣4ac＝12﹣4×2×（﹣6）＝49＞0，∴x=-1±∴x=-1±7则x1＝﹣2，x2=3（2）将方程化为一般形式，得x2+4x﹣2＝0，∵a＝1，b＝4，c＝﹣2，∴b2﹣4ac＝42﹣4×（﹣2）×1＝24＞0，∴x=-4±242=-即x1＝﹣2+6，x2＝﹣2-（3）a＝5，b＝﹣4，c＝﹣12，∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×5×（﹣12）＝256＞0，∴x=4±∴x1＝2，x2=-6（4）将方程化为一般形式4x2+12x+9＝0，∵a＝4，b＝12，c＝9，∴122﹣4×4×9＝0，∴x=-12±0x1＝x2=-3【点评】本题考查一元二次方程的解，解题的关键是掌握利用公式法解方程的步骤，属于中考常考题型．20．用公式法解方程．（1）x2﹣3x+1＝0；（2）x（x﹣2）＝3x+1；（3）2x2＝9x﹣8；（4）2y（y﹣1）+3＝（y+1）2．【分析】（1）直接利用公式法求解即可；（2）化简为一般式，利用公式法求解；（3）化简为一般式，利用公式法求解；（4）化简为一般式，利用公式法求解．【解答】解：（1）原方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴x=3±∴x1=3+52，x（2）化为一般式，得x2﹣5x﹣1＝0，方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＝25+4＝29＞0，∴x=5±∴x1=5+292，x（3）化为一般式：2x2﹣9x+8＝0，方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＝81﹣64＝17＞0，∴x=9±∴x1=9+174，x（4）将方程化为一般形式y2﹣4y+2＝0．方程的判别式Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0，∴y=-(-4)±82×1=∴y1＝2+2，y2＝2+【点评】本题考查解一元二次方程﹣公式法，解题的关键是掌握公式法的步骤，属于中考常考题型．题型四用因式分解法解一元二次方程题型四用因式分解法解一元二次方程21．用因式分解法解一元二次方程：（1）5（x2﹣x）＝3（x2+x）；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2．【分析】（1）整理后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）两边开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）5（x2﹣x）＝3（x2+x），整理得：2x2﹣8x＝0，2x（x﹣4）＝0，2x＝0，x﹣4＝0，x1＝0，x2＝4；（2）（x﹣2）2＝（2x+3）2，x﹣2＝2x+3，x﹣2＝﹣（2x+3），x1＝﹣5，x2=-1【点评】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程，题目比较好，难度适中．22．（2022春•天桥区校级期中）用因式分解法解下列一元二次方程：（1）x2﹣6x+8＝0；（2）3x﹣x2＝x﹣3；（3）（x﹣3）2＝2（x﹣3）．【分析】（1）利用因式分解法把方程转化为x﹣4＝0或x﹣2＝0，然后解一次方程即可；（2）先把方程化为一般式，再利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x+1＝0，然后解一次方程即可；（3）先移项得到（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，x﹣4＝0或x﹣2＝0，所以x1＝4，x2＝2；（2）3x﹣x2＝x﹣3，x2﹣2x﹣3＝0，（x﹣3）（x+1）＝0，x﹣3＝0或x+1＝0，所以x1＝3，x2＝﹣1；（3）（x﹣3）2﹣2（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3﹣2）＝0，x﹣3＝0或x﹣3﹣2＝0，所以x1＝3，x2＝5．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．23．用因式分解法解下列一元二次方程：（1）2x2﹣x﹣1＝0；（2）（x﹣2）2＝6﹣3x；（3）（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0；【分析】（1）因式分解法求解可得；（2）因式分解法求解可得；（3）整理后利用因式分解法求解可得；【解答】解：（1）2x2﹣x﹣1＝0，（2x+1）（x﹣1）＝0，∴2x+1＝0或x﹣1＝0，解得：x1=-12，x2＝（2）（x﹣2）2＝6﹣3x，（x﹣2）2+3（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x﹣2+3）＝0，∴x﹣2＝0或x+1＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣1；（3））（x+1）2﹣6（x+1）+9＝0，（x+1﹣3）2＝0，∴x﹣2＝0，解得：x1＝x2＝2；【点评】本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．24．用因式分解法解一元二次方程：（1）3x2﹣5x＝0；（2）4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0；（3）（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0．【分析】（1）提公因式法因式分解解方程即可；（2）利用平方差公式因式分解解方程即可；（3）利用完全平方公式因式分解解方程即可．【解答】解：（1）∵3x2﹣5x＝0，∴x（3x﹣5）＝0，∴x＝0或3x﹣5＝0，∴x1＝0，x2=5（2）∵4（x﹣3）2﹣25（x﹣2）2＝0，∴[2（x﹣3）]2﹣[5（x﹣2）]2＝0，∴[2（x﹣3）+5（x﹣2）][2（x﹣3）﹣5（x﹣2）]＝0，∴（2x﹣6+5x﹣10）（2x﹣6﹣5x+10）＝0，∴（7x﹣16）（﹣3x+4）＝0，∴7x﹣16＝0或﹣3x+4＝0，∴x1=167，x2（3）∵（2x+1）2+4（2x+1）+4＝0，∴[（2x+1）+2]2＝0，∴2x+1+2＝0，∴x=-3∴x1＝x2=-3【点评】本题考查一元二次方程﹣因式分解法，解题的关键是掌握因式分解法解方程．25．用因式分解法解一元二次方程：（1）x2﹣2x＝0；（2）4x2﹣4x+1＝0；（3）4（x﹣2）2﹣9＝0；（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0．【分析】（1）先利用提取公因式法分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（2）先利用完全平方公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（3）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可；（4）先利用平方差公式分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【解答】解：（1）x2﹣2x＝0，x（x﹣2）＝0，则x＝0或x﹣2＝0，解得x1＝0，x2＝2；（2）4x2﹣4x+1＝0，（2x﹣1）2＝0，解得x1＝x2=1（3）4（x﹣2）2﹣9＝0，（2x﹣4﹣3）（2x﹣4+3）＝0，（2x﹣7）（2x﹣1）＝0，2x﹣7＝0或2x﹣1＝0，x1=72，x2（4）（x+1）2﹣4（2x﹣1）2＝0，（x+1+4x﹣2）（x+1﹣4x+2）＝0，（5x﹣1）（3﹣3x）＝0，5x﹣1＝0或3﹣3x＝0，x1=15，x2＝【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程．因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．题型五用指定方法解一元二次方程题型五用指定方法解一元二次方程26．（2023春•蓬莱区期中）用指定的方法解方程：（1）12（2）x2＝8x+20（用公式法）；（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0（用因式分解法）；（4）（x+2）（3x﹣1）＝10（用适当的方法）．【分析】（1）利用配方法得到（x﹣2）2＝14，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（3）利用因式分解法把方程转化为x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，然后解一次方程即可；（4）先把方程化为一般式得到3x2+5x﹣12＝0，再利用因式分解法把方程转化为3x﹣4＝0或x+3＝0，然后解一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣4x＝10，x2﹣4x+4＝14，（x﹣2）2＝14，x﹣2＝±14，所以x1＝2+14，x2＝2-（2）x2＝8x+20，x2﹣8x﹣20＝0，a＝1，b＝﹣8，c＝﹣20，Δ＝（﹣8）2﹣4×1×（﹣20）＝16×9＞0，x=-b±b2-4ac所以x1＝10，x2＝﹣2；（3）（x﹣3）2+4x（x﹣3）＝0，（x﹣3）（x﹣3+4x）＝0，x﹣3＝0或x﹣3+4x＝0，所以x1＝3，x2=3（4）（x+2）（3x﹣1）＝10，方程化为一般式为3x2+5x﹣12＝0，（3x﹣4）（x+3）＝0，3x﹣4＝0或x+3＝0，所以x1=43，x2＝﹣【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了配方法和公式法．27．（1）用直接开平方法解下列方程：2（2x﹣3）2＝12（2）用配方法解一元二次方程：x2﹣6x﹣6＝0（3）用因式分解法解下列方程：4x2﹣169＝0．【分析】（1）将方程两边同时乘以12得到（2x﹣3）2＝6（2）由方程可知a＝1，b＝﹣6，c＝﹣6，b2﹣4ac＝36+24＝60，然后利用求根公式即可解得方程；（3）将原方程因式分解成（2x﹣13）（2x+13）＝0，即可解得方程．【解答】解：（1）∵2（2x﹣3）2＝12，∴（2x﹣3）2＝6，∴2x﹣3＝±6，∴x1=322+3（2）∵x2﹣6x﹣6＝0，∴a＝1，b＝﹣6，c＝﹣6，b2﹣4ac＝36+24＝60，∴x=-b±b2-4ac∴x1＝3+15，x2＝3-（3）∵4x2﹣169＝0，∴（2x﹣13）（2x+13）＝0，∴x1=132，x2【点评】本题主要考查了解一元二次方程的知识，根据方程的特点选择合适的方法解一元二次方程是解决此类问题的关键．一般解一元二次方程的方法有直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法．28．用指定方法解一元二次方程（1）直接开平方法：（x+6）2﹣9＝0；（2）公式法：x2（3）配方法：4x2﹣x﹣9＝0；（4）因式分解法：4x2﹣144＝0．【分析】（1）将方程常数项移到方程右边，利用平方根的定义开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；（3）将方程两边同时除以4，二次项系数化为1，常数项移到右边，方程两边都加上一次项系数一半的平方，左边化为完全平方式，右边合并为一个常数，开方转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解；（4）方程左边的多项式利用平方差公式分解因式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解．【解答】解：（1）（x+6）2﹣9＝0，变形得：（x+6）2＝9，开方得：x+6＝3或x+6＝﹣3，解得：x1＝﹣3，x2＝﹣9；（2）这里a＝1，b=-2，c=-∵Δ＝b2﹣4ac＝2+1＝3，∴x=2则x1=2+32，（3）4x2﹣x﹣9＝0，变形得：x2-14x配方得：x2-14x+164=14564开方得：x-18=则x1=1+1458，x（4）4x2﹣144＝0，方程整理得：x2﹣36＝0，分解因式得：（x+6）（x﹣6）＝0，可得x+6＝0或x﹣6＝0，解得：x1＝﹣6，x2＝6．【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法、配方法、公式法，以及直接开平方法，利用此方法解方程时，首先将方程右边化为0，左边化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．29．用指定的方法解方程．（1）x2+2x﹣1＝0；（用配方法）（2）3x2﹣5x+1＝0；（用公式法）（3）3（2x+1）2＝4x+2；（用因式分解法）（4）3x2+5x＝3x+3．（用公式法）【分析】（1）利用配方法求解即可；（2）利用公式法求解即可；（3）方程利用因式分解法求出解即可；（4）利用公式法求解即可．【解答】解：（1）x2+2x﹣1＝0，x2+2x＝1，x2+2x+1＝1+1，即（x+1）2＝2，∴x+1＝±2，∴x1＝﹣1+2，x2＝﹣1-（2）3x2﹣5x+1＝0，∵a＝3，b＝﹣5，c＝1，∴Δ＝（﹣5）2﹣4×3×1＝13＞0，∴x=-b±∴x1=5+136，x（3）3（2x+1）2＝4x+2，3（2x+1）2﹣2（2x+1）＝0，（2x+1）[3（2x+1）﹣2]＝0，∴2x+1＝0或6x+1＝0，∴x1=-12，x2（4）3x2+5x＝3x+3，∵a＝3，b＝2，c＝﹣3，∴Δ＝22﹣4×3×（﹣3）＝40＞0，∴x=-b±∴x1=-1+103，x【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．30．用指定的方法解下列一元二次方程：（1）x2+3x﹣10＝0（用配方法）；（2）4y2﹣7y+2＝0（用公式法）；（3）2x2﹣7x+3＝0（用因式分解法）．【分析】（1）常数项移到右边，两边加上一次项系数一半的平方，计算即可求出解；（2）找出a，b及c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解；（3）方程左边的多项式分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．【解答】（1）x2+3x﹣10＝0（用配方法），变形得：x2+3x＝10，配方得：x2+3x+94=494，即（x开方得：x+32=解得：x1＝﹣5，x2＝2；（2）4y2﹣7y+2＝0（用公式法），这里a＝4，b＝﹣7，c＝2，∵△＝49﹣32＝17，∴y=7±则y1=7+178，y（3）2x2﹣7x+3＝0（用因式分解法），分解因式得：（x﹣3）（2x﹣1）＝0，可得x﹣3＝0或2x﹣1＝0，解得：x1＝3，x2=1【点评】此题考查了解一元二次方程，选择适当的方法是解本题的关键．31．用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）x2﹣7x﹣30＝0（因式分解法）【分析】（1）根据直接开平方法步骤计算可得；（2）将常数项移到右边后，把二次项系数化为1，再配上一次项系数的一半的平方，写成完全平方式后开方可得；（3）套用求根公式计算可得；（4）十字相乘法因式分解后求解可得．【解答】解：（1）∵3（2x﹣1）2＝12，∴（2x﹣1）2＝4，则2x﹣1＝2或2x﹣1＝﹣2，解得：x=32或x（2）∵2x2﹣4x＝7，∴x2﹣2x=7则x2﹣2x+1=92，即（x﹣1）2解得：x﹣1＝±32∴x＝1±32（3）∵a＝1、b＝1、c＝﹣1，∴△＝1﹣4×1×（﹣1）＝5＞0，则x=-1±（4）∵（x﹣10）（x+3）＝0，∴x﹣10＝0或x+3＝0，解得：x＝10或x＝﹣3．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键32．用指定方法解下列一元二次方程（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0（直接开平方法）（2）2x2﹣4x﹣7＝0（配方法）（3）x2+x﹣1＝0（公式法）（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0（因式分解法）【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义开方即可求出解；（2）方程利用配方法求出解即可；（3）方程利用公式法求出解即可；（4）方程利用因式分解法求出解即可．【解答】解：（1）3（2x﹣1）2﹣12＝0，移项，得3（2x﹣1）2＝12，两边都除以3，得（2x﹣1）2＝4，两边开平方，得2x﹣1＝±2，移项，得2x＝1±2，解得：x1=32，x2（2）2x2﹣4x﹣7＝0，两边都除以2，得x2﹣2x-72移项，得x2﹣2x=7配方，得x2﹣2x+1=92，即（x﹣1）2解得：x﹣1＝±32即x1＝1+322，x2＝（3）x2+x﹣1＝0，这里a＝1，b＝1，c＝﹣1，∵b2﹣4ac＝12﹣4×1×（﹣1）＝5，∴x=-1±解得：x1=-1+52，x（4）（2x﹣1）2﹣x2＝0，方程左边因式分解，得（2x﹣1+x）（2x﹣1﹣x）＝0，即（3x﹣1）（x﹣1）＝0，解得：x1=13，x2＝【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，公式法与直接开平方法，熟练掌握各种解法是解本题的关键．33．用指定方法解下列一元二次方程．（1）x2﹣36＝0（直接开平方法）（2）x2﹣4x＝2（配方法）（3）2x2﹣5x+1＝0（公式法）（4）（x+1）2+8（x+1）+16＝0（因式分解法）【分析】（1）直接开平方法求解；（2）配方法求解可得；（3）公式法求解即可；（4）因式分解法解之可得．【解答】解：（1）x2＝36，∴x＝±6，即x1＝﹣6，x2＝6；（2）x2﹣4x+4＝2+4，即（x﹣2）2＝6，∴x﹣2=±6∴x1＝2-6，x2＝2+（3）∵a＝2，b＝﹣5，c＝1，∴b2﹣4ac＝25﹣8＝17＞0，∴x=5±即x1=5-174，x（4）（x+1+4）2＝0，即（x+5）2＝0，∴x+5＝0，即x1＝x2＝﹣5．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，根据不同的方程选择合适的方法是解题的关键．题型六用适当方法解一元二次方程题型六用适当方法解一元二次方程34．（2022秋•息县月考）解一元二次方程：（1）（x﹣2）2＝9；（2）x2﹣3x+1＝0；（3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x）；（4）x2+4x﹣5＝0．【分析】（1）利用解一元一次方程﹣直接开平方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元一次方程﹣公式法，进行计算即可解答；（3）利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答；（4）利用解一元一次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．【解答】解：（1）（x﹣2）2＝9，x﹣2＝±3，x﹣2＝3或x﹣2＝﹣3，x1＝5，x2＝﹣1，（2）x2﹣3x+1＝0，∵Δ＝（﹣3）2﹣4×1×1＝5＞0，∴x=3±∴x1=3+（3）3x（x﹣2）＝2（2﹣x），3x（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x+2）＝0，x﹣2＝0或3x+2＝0，x1＝2，x2（4）x2+4x﹣5＝0，（x+5）（x﹣1）＝0，x+5＝0或x﹣1＝0，x1＝﹣5，x2＝1．【点评】本题考查了解一元一次方程﹣因式分解法，直接开平方法，公式法，熟练掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．35．（2023•蕉岭县校级开学）用适当的方法解下列方程：（1）（2x﹣1）2﹣16＝0；（2）6x2﹣5x﹣1＝0；（3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2；（4）2y（y﹣1）+3＝（y+1）2．【分析】（1）先利用因式分解法把方程转化为2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0，然后解两个一次方程即可；（2）先利用因式分解法把方程转化为6x+1＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；（3）先把两边开方得到5（x+1）＝±3（x﹣2），然后解两个一次方程即可；（4）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解．【解答】解：（1）（2x﹣1﹣4）（2x﹣1+4）＝0，2x﹣1﹣4＝0或2x﹣1+4＝0，所以x1=52，x（2）（6x+1）（x﹣1）＝0，6x+1＝0或x﹣1＝0，所以x1=-16，x2＝（3）25（x+1）2＝9（x﹣2）2，5（x+1）＝±3（x﹣2），所以x1=-112，x2（4）方程化为一般式为y2﹣4y+2＝0，∴a＝1，b＝﹣4，c＝2．∴b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×2＝8＞0．∴y=-b±b2所以y1＝2+2，y2＝2-【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．36．（2022春•让胡路区校级期末）用适当的方法解下列方程：（1）x2﹣20＝0；（2）x2﹣5x﹣6＝0；（3）3x2+5（2x+1）＝0；（4）（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0．【分析】（1）利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法把原方程转化为x﹣6＝0或x+1＝0，然后解两个一次方程即可；（3）先把方程化为一般式，然后利用求根公式解方程；（4）利用因式分解法把原方程转化为x+2﹣3＝0或x+2+1＝0，然后解两个一次方程即可．【解答】解：（1）x2﹣20＝0，x2＝20，x＝±25，所以x1＝25，x2＝﹣25；（2）x2﹣5x﹣6＝0，（x﹣6）（x+1）＝0，x﹣6＝0或x+1＝0，所以x1＝6，x2＝﹣1；（3）3x2+5（2x+1）＝0，3x2+10x+5＝0，Δ＝102﹣4×3×5＝40，x=-b±所以x1=-5+103，x（4）（x+2）2﹣2（x+2）﹣3＝0，（x+2﹣3）（x+2+1）＝0，x+2﹣3＝0或x+2+1＝0，所以x1＝1，x2＝﹣3．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法和公式法解一元二次方程．37．用适当的方法解下列方程：（1）（x+4）2＝5（x+4）；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2；（3）4（x﹣3）2﹣25＝0；（4）2y2+4y＝y+2．【分析】（1）方程移项后用因式分解法解方程即可；（2）方程整理后运用公式法求解即可．（3）移项后直接开平方，进而解方程即可；（4）先提公因式，再移项后用因式分解法解方程即可．【解答】解：（1）（x+4）2＝5（x+4），（x+4）2﹣5（x+4）＝0，（x+4）（x﹣1）＝0，x+4＝0，x﹣1＝0，解得x1＝﹣4，x2＝1；（2）（3x﹣11）（x﹣2）＝2，整理得，3x2﹣17x+20＝0，∵Δ＝b2﹣4ac＝49＞0，∴x=17±解得x1＝4，x2=5（3）4（x﹣3）2﹣25＝0，4（x﹣3）2＝25，2（x﹣3）＝±5，解得x1=112，x2（4）2y2+4y＝y+2，2y（y+2）＝（y+2），2y（y+2）﹣（y+2）＝0，（2y﹣1）（y+2）＝0，解得y1＝﹣2，y2=1【点评】此题主要考查了因式分解法以及公式法、直接开平方法解方程，正确掌握解方程的方法是解题关键．38．（2022秋•昭阳区校级月考）用合适的方法解下列一元二次方程：（1）（x+2）2﹣16＝0；（2）（x+1）2＝3（x+1）；（3）x2﹣3x﹣28＝0；（4）2x2﹣3x+2＝0．【分析】（1）先把方程变形为（x+2）2＝16，然后利用直接开平方法解方程；（2）先移项得到（x+1）2﹣3（x+1）＝0，然后利用因式分解法解方程；（3）利用因式分解法把方程转化为x﹣7＝0或x+4＝0，然后解一次方程即可；（4）计算根的判别式的值得到Δ＜0，然后根据根的判别式的意义判断方程没有实数解．【解答】解：（1）（x+2）2＝16，x+2＝±4，所以x1＝﹣2，x2＝﹣6；（2）（x+1）2＝3（x+1），（x+1）2﹣3（x+1）＝0，（x+1）（x+1﹣3）＝0，x+1＝0或x+1﹣3＝0，所以x1＝﹣1，x2＝2；（3）x2﹣3x﹣28＝0，（x﹣7）（x+4）＝0，x﹣7＝0或x+4＝0，所以x1＝7，x2＝﹣4；（4）2x2﹣3x+2＝0．Δ＝（﹣3）2﹣4×2×2＝﹣7＜0，所以方程没有实数解．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了直接开平方法解一元二次方程．39．（2022秋•祁东县校级期中）用适当的方法解方程：（1）（3x﹣1）2﹣4＝0；（2）x2+2x﹣3＝0；（3）3x2+5（2x+1）＝0；（4）3（x﹣2）2＝x2﹣4．【分析】（1）先把方程变形为（3x﹣1）2＝4，然后利用直接开平方法解方程；（2）利用因式分解法把方程转化为x+3＝0或x﹣1＝0，然后解两个一次方程即可；（3）先把方程化为一般式，再计算出根的判别式的值，然后利用求根公式得到方程的解；（4））先把方程变形为3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，然后利用因式分解法解方程．【解答】解：（1）（3x﹣1）2﹣4＝0，（3x﹣1）2＝4，3x﹣1＝±2，所以x1＝1，x2=-1（2）x2+2x﹣3＝0，（x+3）（x﹣1）＝0，x+3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝﹣3，x2＝1；（3）3x2+5（2x+1）＝0，3x2+10x+5＝0；a＝3，b＝10，c＝5，Δ＝102﹣4×3×5＝40＞0，x=-b±所以x1=-5-103，x（4）3（x﹣2）2＝x2﹣4，3（x﹣2）2﹣（x+2）（x﹣2）＝0，（x﹣2）（3x﹣6﹣x﹣2）＝0，x﹣2＝0或3x﹣6﹣x﹣2＝0，所以x1＝2，x2＝4．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．40．（2022秋•玄武区月考）解方程：（1）（x+3）2﹣5＝0；（2）x2﹣10x+9＝0；（3）2（x﹣3）＝3x（3﹣x）；（4）（x+3）（2x﹣1）＝x2+1．【分析】（1）利用直接开平方法求解即可；（2）利用十字相乘法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（3）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可；（4）整理为一般式，再利用公式法求解即可．【解答】解：（1）∵（x+3）2﹣5＝0，∴（x+3）2＝5，则x+3＝±5，∴x1＝﹣3+5，x2＝﹣3-（2）∵x2﹣10x+9＝0，∴（x﹣1）（x﹣9）＝0，则x﹣1＝0或x﹣9＝0，解得x1＝1，x2＝9；（3）∵2（x﹣3）＝3x（3﹣x），∴2（x﹣3）+3x（x﹣3）＝0，∴（x﹣3）（3x+2）＝0，则x﹣3＝0或3x+2＝0，解得x1＝3，x2=-2（4）整理为一般式，得：x2+5x﹣4＝0，∵a＝1，b＝5，c＝﹣4，∴Δ＝52﹣4×1×（﹣4）＝41＞0，则x=-5±412，即x1=-5+41【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．题型七用十字相乘法解一元二次方程题型七用十字相乘法解一元二次方程41．用十字相乘法解下列一元二次方程．（1）x2﹣5x﹣6＝0（2）6x2+19x﹣36＝0．【分析】（1）利用十字相乘即可得出（x﹣6）（x+1）＝0，进而求出答案；（2）利用十字相乘即可得出（2x+9）（3x﹣4）＝0，进而求出答案．【解答】解：（1）x2﹣5x﹣6＝0，（x﹣6）（x+1）＝0，解得：x1＝﹣1，x2＝6；（2）6x2+19x﹣36＝0，（2x+9）（3x﹣4）＝0，解得：x1=-92，x2【点评】本题主要考查了一元二次方程的计算方法，只有当方程的一边能够分解成两个一次因式，而另一边是0的时候，才能应用因式分解法解一元二次方程，难度适中．42.十字相乘法解下列方程：（1）x2﹣4x﹣5＝0；（2）x2﹣4x+3＝0；（3）x（x﹣4）﹣5＝0.【分析】（1）利用十字相乘法进行因式分解解方程；（2）利用十字相乘法进行因式分解解方程；（3）先整理成一般式，再利用十字相乘法进行因式分解解方程.【解答】解：（1）（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，∴x1＝5，x2＝﹣1；（2）解：x2﹣4x+3＝0，（x﹣3）（x﹣1）＝0，x﹣3＝0或x﹣1＝0，所以x1＝3，x2＝1；（3）解：x（x﹣4）﹣5＝0x2﹣4x﹣5＝0，（x﹣5）（x+1）＝0，x﹣5＝0或x+1＝0，所以x1＝5，x2＝﹣1．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法．也考查了公式法．43．用十字相乘法解下列方程：（1）3a2﹣8a+4＝0；（2）5x2+7x﹣6＝0；（3）6y2﹣11y﹣10＝0；（4）2x2﹣35x+5＝0．【分析】（1）利用十字相乘法分解3a2﹣8a+4，得（3a﹣2）（a﹣2）；（2）利用十字相乘法分解5x2+7x﹣6，得（5x﹣3）（x+2）；（3）利用十字相乘法分解6y2﹣11y﹣10，得（2y﹣5）（3y+2）；（4）利用十字相乘法分解2x2﹣35x+5，得（2x-5）（x-【解答】解：（1）运用十字相乘法，原方程化为（3a﹣2）（a﹣2）＝0，则3a﹣2＝0，a﹣2＝0，得a1=23，a2＝（2）运用十字相乘法，原方程化为（5x﹣3）（x+2）＝0，则5x﹣3＝0，x+2＝0，解得x1=35，x2＝﹣（3）运用十字相乘法，原方程化为（2y﹣5）（3y+2）＝0，则2y﹣5＝0，3y+2＝0，解得y1=52，y2（4）运用十字相乘法，原方程化为（2x-5）（x-5）＝则2x-5=0，x-解得x1=52，x2【点评】本题考查因式分解法，灵活运用十字相乘法是解题的关键．44．由多项式乘法：（x+a）（x+b）＝x2+（a+b）x+ab，将该式从右到左使用，即可得到用“十字相乘法”进行因式分解的公式：x2+（a+b）x+ab＝（x+a）（x+b）．示例：分解因式：x2+5x+6＝x2+（2+3）x+2×3＝（x+2）（x+3）．（1）尝试：分解因式：x2+2x﹣8＝（）（）．（2）应用：请用上述方法解方程：x2﹣5x﹣24＝0．【分析】（1）类比题干因式分解方法求解可得；（2）利用十字相乘法将左边因式分解后求解可得．【解答】解：（1）x2+2x﹣8＝x2+（4﹣2）x+（﹣2）×4＝（x+4）（x﹣2），故答案为：x+4，x﹣2；（2）∵x2﹣5x﹣24＝0，x2+（﹣8+3）x+（﹣8）×3＝0，∴（x﹣8）（x+3）＝0，则x+3＝0或x﹣8＝0，解得：x＝﹣3或x＝8．【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键．45．阅读材料：根据多项式乘多项式法则，我们很容易计算：（x+2）（x+3）＝x2+5x+6；（x﹣1）（x+3）＝x2+2x﹣3．而因式分解是与整式乘法方向相反的变形，利用这种关系可得：x2+5x+6＝（x+2）（x+3）；x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．通过这样的关系我们可以将某些二次项系数是1的二次三项式分解因式．如将式子x2+2x﹣3分解因式．这个式子的二次项系数是1＝1×1，常数项﹣3＝（﹣1）×3，一次项系数2＝（﹣1）+3，可以用下图十字相乘的形式表示为：先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘，求和，使其等于一次项系数，然后横向书写．这样，我们就可以得到：x2+2x﹣3＝（x﹣1）（x+3）．利用这种方法，将下列多项式分解因式：（1）x2+7x+10＝；（2）x2﹣2x﹣3＝；（3）y2﹣7y+12＝；（4）x2+7x﹣18＝．【分析】（1）把10分解成2×5；（2）把﹣3分解成﹣3×1；（3）把12分解成（﹣3）×（﹣4）；（4）把﹣18分解成（﹣2）×9；【解答】（1）x2+7x+10＝（x+2）（x+5）；（2）x2﹣2x﹣3＝（x﹣3）（x+1）；（3）y2﹣7y+12＝（y﹣3）（y﹣4）；（4）x2+7x﹣18＝（x+9）（x﹣2）．故答案为：（1）（x+2）（x+5），（2）（x﹣3）（x+1），（3）（y﹣3）（y﹣4），（4）（x+9）（x﹣2）．【点评】本题主要考查了因式分解﹣十字相乘法，熟练掌握十字相乘法分解因式的方法，根据题意可知a、b是相互独立的，利用多项式相乘法则计算，再根据对应系数相等即可求出a、b的值，是解题关键．题型八用换元法解一元二次方程题型八用换元法解一元二次方程46．请阅读下列材料：问题：解方程（x2﹣1）2﹣5（x2﹣1）+4＝0，小明的做法是将x2﹣1视为一个整体，然后设x2﹣1＝y，则（x2﹣1）2＝y2，原方程可化为y2﹣5y+4＝0，解得y1＝1，y2＝4．当y＝1时，x2﹣1＝1，解得x＝±2；当y＝4时，x2﹣1＝4，解得x＝±5．综合，可得原方程的解为x1=2，x2=-2，x3=5，x请你参考小明的思路，解下列方程：x4﹣4x2﹣5＝0．【分析】设x2＝t，原方程变形后，求出t的值，再由x2＝t，求出x的值即可．【解答】解：设x2＝t，x4﹣4x2﹣5＝0可化为t2﹣4t﹣5＝0，则（t+1）（t﹣5）＝0，解得t1＝﹣1，t2＝5，当t＝﹣1时，方程x2＝﹣1无解；当t＝5时，x2＝5，解得x=±5综合，可得原方程的解为x1=5【点评】此题主要考查了换元法解高次方程、一元二次方程的解法等知识，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键．47．（2022秋•渝中区期末）阅读材料，解答问题．解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0．解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，则原方程可化为y2﹣10y+24＝0．解得y1＝6，y2＝4．∴4x﹣1＝6或4x﹣1＝4．∴x1以上方法就叫换元法，达到简化或降次的目的，体现了转化的思想．请仿照材料解下列方程：（1）（3x﹣5）2+4（3x﹣5）+3＝0；（2）x4﹣x2﹣6＝0．【分析】（1）设3x﹣5＝y，则原方程可化为y2+4y+3＝0．然后利用因式分解法解该方程，进而求得y的值；然后再利用直接开平方法求得x的值；