4.3.1对数的概念导学案

4.3.1对数的概念导学案【学习目标】1.理解对数的概念，掌握对数的性质，能进行简单的对数计算．(重点、难点)2.理解指数式与对数式的等价关系，会进行对数式与指数式的互化．(重点)3.理解常用对数、自然对数的概念及记法．【自主学习】一．对数(1)指数式与对数式的互化及有关概念：(2)底数a的范围是.【答案】a>0，且a≠1二.常用对数与自然对数1.常用对数：通常我们将以为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为.2.自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2.71828…为底数的对数，以为底的对数称为自然对数，并把logeN记作.【答案】10lg_Neln_N三.对数的基本性质1.负数和零对数.2.loga1＝(a>0，且a≠1).3.logaa＝(a>0，且a≠1).【答案】没有01四.对数恒等式1.aeq\s\up5(logaN)＝(a>0且a≠1，N>0).aab＝(a>0，且a≠1)．【答案】Nb【当堂达标基础练】一、单选题1．若a2＝M(a>0且a≠1)，则有()A．log2M＝a B．logaM＝2C．log22＝M D．log2a＝M【答案】B【解析】∵a2＝M，∴logaM＝2，故选B.2．若log3x＝3，则x＝()A．1 B．3C．9 D．27【答案】D【解析】∵log3x＝3，∴x＝33＝27.3．在b＝loga(5－a)中，实数a的取值范围是()A．a>5或a<0B．0<a<1或1<a<5C．0<a<1D．1<a<5【答案】B【解析】由对数的定义可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(5－a>0，,a>0，,a≠1，))解得0<a<5且a≠1，故选B.二、填空题4．ln1＝________，lg10＝________.【答案】01【解析】∵loga1＝0，∴ln1＝0，又logaa＝1，∴lg10＝1.三、解答题5.把下列的指数式化为对数式，对数式化为指数式：(1)54=625;(2)2-6=164(4)log1216=-4;(5)lg0.01=-2;解：(1)log5625=4;(2)log2

(4)(12)-4=16;6.求下列各式中x的值：(1)log64x=-23;(3)lg100=x;(4)-ln解：(1)∵log64x=-23(2)∵logx8=6,∴(3)∵lg100=x,∴10(4)∵-lne2=x,∴【当堂达标提升练】一、单选题1．已知f(ex)＝x，则f(3)＝()A．log3e B．ln3C．e3 D．3e【答案】B【解析】∵f(ex)＝x，∴由ex＝3得x＝ln3，即f(3)＝ln3，选B.2．方程2log3x＝eq\f(1,4)的解是()A．9 B.eq\f(\r(3),3)C.eq\r(3) D.eq\f(1,9)【答案】D【解析】∵2log3x＝eq\f(1,4)＝2－2，∴log3x＝－2，∴x＝3－2＝eq\f(1,9).3．log3eq\f(1,81)＝()A．4 B．－4C.eq\f(1,4) D．－eq\f(1,4)【答案】B【解析】令log3eq\f(1,81)＝t，则3t＝eq\f(1,81)＝3－4，∴t＝－4.4．log5(log3(log2x))＝0，则xeq\s\up15(－\f(1,2))等于()A.eq\f(\r(3),6) B.eq\f(\r(3),9)C.eq\f(\r(2),4) D.eq\f(2,3)【答案】C【解析】∵log5(log3(log2x))＝0，∴log3(log2x)＝1，∴log2x＝3，∴x＝23＝8，∴xeq\s\up15(－\f(1,2))＝8eq\s\up15(－\f(1,2))＝eq\f(1,\r(8))＝eq\f(1,2\r(2))＝eq\f(\r(2),4).5．下列各式：①lg(lg10)＝0；②lg(lne)＝0；③若10＝lgx，则x＝10；④若log25x＝eq\f(1,2)，则x＝±5.其中正确的个数有()A．1个 B．2个C．3个 D．4个【答案】B【解析】对于①，∵lg(lg10)＝lg1＝0，∴①对；对于②，∵lg(lne)＝lg1＝0，∴②对；对于③，∵10＝lgx，∴x＝1010，③错；对于④，∵log25x＝eq\f(1,2)，∴x＝25eq\f(1,2)＝5.所以只有①②正确．二、多选题6．下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ACD【分析】根据对数的概念，逐项判断，即可得到结果.【详解】由对数的概念可知：可转化为，故A正确；由对数的概念可知：可转化为，故B错误；由对数的概念可知：可转化为，故C正确；由对数的概念可知：可转化为，故D正确；故选：ACD.7.下列指数式与对数式的互化中正确的是（

）A．100＝1与lg1＝0 B．＝与log27＝－3C．log39＝2与32＝9 D．log55＝1与51＝5【答案】ACD【分析】根据指数运算和对数运算的法则，相互转化逐项判断即可.【详解】B选项中，＝⇔log27＝－.故选：ACD8.下列指数式与对数式互化正确的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】ACD【分析】根据指数式、对数式的概念进行相互转化.【详解】对于选项A，指数式化为对数式为，故A正确；对于选项B，指数式化为对数式为，故B错误；对于选项C，指数式化为对数式为，故C正确；对于选项D，指数式化为对数式为，故D正确.故选：ACD.三、填空题9．log33＋3log32＝________.【答案】3【解析】log33＋3log32＝1＋2＝3.10．已知logeq\s\up4(\f(1,2))x＝3，则xeq\s\up5(\f(1,3))＝________.【答案】eq\f(1,2)【解析】∵logeq\s\up4(\f(1,2))x＝3，∴x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3，∴xeq\f(1,3)＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))3))eq\f(1,3)＝eq\f(1,2).11．使log(x－1)(x＋2)有意义的x的取值范围是________．【答案】(1,2)∪(2，＋∞)【解析】要使log(x－1)(x＋2)有意义，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－1>0，,x－1≠1，,x＋2>0，))∴x>1且x≠2.四、解答题12．求值：(1)9eq\s\up15(eq\f(1,2)log34)；(2)51＋log52.[解](1)9eq\s\up15(eq\f(1,2)log34)＝(32)eq\s\up15(eq\f(1,2)log34)＝3eq\s\up15(log34)＝4.(2)5eq\s\up15(1＋log52)＝5×5eq\s\up15(log52)＝5×2＝10.13．若logeq\s\up4(\f(1,2))x＝m，logeq\s\up4(\f(1,4))y＝m＋2，求eq\f(x2,y)的值．[解]∵logeq\s\up4(\f(1,2))x＝m，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))m＝x，x2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m.∵logeq\s\up4(\f(1,4))y＝m＋2，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))m＋2＝y，y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋4，∴eq\f(x2,y)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m＋4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2m－(2m＋4)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－4＝16.【当堂达标素养练】一、单选题1．3log34－27eq\s\up5(\f(2,3))－lg0.01＋lne3等于()A．14 B．0C．1 D．6【答案】B【解析】3log34－27eq\s\up5(\f(2,3))－lg0.01＋lne3＝4－eq\r(3,272)－lgeq\f(1,100)＋3＝4－32－(－2)＋3＝0.选B.2．已知x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则logx(yx)的值是()A．1 B．0C．x D．y【答案】B【解析】由x2＋y2－4x－2y＋5＝0，则(x－2)2＋(y－1)2＝0，∴x＝2，y＝1，∴logx(yx)＝log2(12)＝0.二、多选题3.若，，则（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用指对数的运算性质及其关系求出、、，结合对数函数的单调性判断各选项的正误.【详解】由题设，，即，A正确；，即，B错误，D正确；由，则，C正确；故选：ACD三、填空题4．若a>0，a2＝eq\f(4,9)，则logeq\s\up1(\f(2,3))a＝________.【答案】1【解析】∵a2＝eq\f(4,9)且a>0，∴a＝eq\f(2,3)，∴logeq\s\up1(\f(2,3))eq\f(2,3)＝1.5．计算23＋log23＋32－log39＝________.【答案】25【解析】23＋log23＋32－log39＝23×2log23＋eq\f(32,3log39)＝8×3＋eq\f(9,9)＝25.6．已知log2(log3(log4x))＝0，且log4(log2y)＝1，求eq\r(x)·yeq\s\up5(\f(3,4))的值．[解]∵log2(log3(log4x))＝0，∴log3(log4x)＝1，∴log4x＝3，∴x＝43＝64.由log4(log2y)＝1，知log2y＝4，∴y＝24＝16.因此eq\r(x)·yeq\s\up5(\f(3,4))＝eq\r(64)×16eq\s\up5(\f(3,4))＝8×8＝64.7．已知且.(1)求的解析式；(2)解关于x的不等式：.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据已知条件联立方程组求出，进而求出函数的解析式；（2）根据已知条件求出，进而得出不等式，利用换元法及一元二次不等式得出的范围，再根据指数与对数互化解指数不等式即可.(1)由，得，解得.所以的解析式为.(2)由（2）知，，所以，由，得，即，令，则，解得或所以，即，解得.所以不等式的解集为.8．已知，求的值．【答案】1【分析】根据指数式和对数式的互化，表示出,利用对数的运算法则计算，即可求得答案.【详解】由可得：，故.9．我们知道当时，对一切恒成立，学生小贤在进一步研究指数幂运算时，发现有这么一个等式，带着好奇，他进一步对进行深入研究.（1）当时，求的值（2）当时，求证：是不存在的；（3）求证：只有一