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福州市八县市一中20232024学年第一学期期中考联考高中三年数学试卷第Ⅰ卷一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.命题“”的否定为()A.B.C.D.2.已知集合,则()A.B.C.D.3.已知复数满足,则在复平面内对应的点在()A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、三象限D.第三、四象限4.以下四个选项中的函数,其函数图象最适合如图的是()A.B. C.D.5.己知是不重合的三条直线,是不重合的三个平面,则(
)A.若,,则 B.若,,,则C.若,,,则 D.若,,,,则6.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽,名为“潮涌”,主体图形由扇面、钱塘江、钱江潮头、赛道、互联网符号及象征亚奥理事会的太阳图形六个元素组成,集古典美和现代美于一体,富有东方神韵和时代气息。其中扇面的圆心角为,从里到外半径以1递增,若这些扇形的弧长之和为(扇形视为连续弧长,中间没有断开),则最小扇形的半径为()A.6 B.8 C.9 D.127.若函数满足对任意的,都有成立,则实数a的取值范围是(
)A. B. C. D.8.已知,,当时,,则的取值范围为()A. B. C. D.二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.已知向量,则下列说法正确的是()A.若,则B.若,则C.“”是“与的夹角为锐角”的充要条件D.若,则在上的投影向量的坐标为10.设,若,,,下列说法正确的是()A.B.无极值点C.的对称中心是D.11.如图,已知圆台的上底面半径为1,下底面半径为2,母线长为2,,分别为上、下底面的直径,,为圆台的母线,为弧的中点,则()A.圆台的体积为B.直线与下底面所成的角的大小为C.异面直线和所成的角的大小为D.圆台外接球的表面积为12.已知实数满足:且,下列说法正确的是() A.若,则B.若,则C.D.第Ⅱ卷三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.不等式的解集.14.关于的方程其最小14个正实数解之和为.15.设是数列的前项和,写出同时满足下列条件数列的一个通项公式:.①数列是等差数列;②,;③,16.已知函数,直线、是的两条切线,,相交于点,若,则点横坐标的取值范围是________.四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.17.(本题满分10分)已知函数.(1)求函数的单调区间;(2)求在上的最值.18.(本题满分12分)已知函数.(1)若在上有且仅有2个极值点,求的取值范围;(2)将的图象向右平移个单位长度后,再将所得图象各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数的图象,若的最小正周期为,求的单调递减区间.19.(本题满分12分)如图,在四棱锥中,底面是菱形,,平面,,且点分别为和中点.(1)求证:直线平面;(2)求平面与平面所成角的余弦值.20.(本题满分12分)已知中,内角所对的边分别为,且满足.(1)若,求;(2)求的取值范围.21.(本题满分12分)已知数列的前项和为,,且.(1)求数列的通项公式;(2)设数列满足,记数列的前项和为,若对任意恒成立,求实数的取值范围.22.(本题满分12分)已知函数,.(1)讨论的单调性;(2)若有两个极值点,,证明:.高三年级(数学)评分细则选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.答案12345678题号DDBBCCAB二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.题号9101112答案ACDBCDBCBCD三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.(0,4)14.15.形如:,其中,均可,比如16.(0,1)四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。17.(1).……1分当或时,;当,……3分故函数递增区间为和,递减区间为.……5分(2)由(1)可得函数在上单调递减,在上单调递增,……6分且,,……8分则在上的最大值,……9分最小值.……10分18.解:(1),……1分因为,所以当时,,……2分依题意可得,函数在上有且只有2个极值点,则,……4分解得,故的取值范围是.……5分(2)依题意可得,,……6分因为的最小正周期为,所以,即,……7分所以,……8分令,,……10分则,,故的单调递减区间为.……12分19.(1)证明:取的中点,连接,……1分在中,因为分别为的中点,可得且,又因为为的中点,所以且,……2分所以且,所以四边形为平行四边形,所以,因为平面,平面,所以平面.……5分(2)解:因为底面是菱形,且,连接,可得为等边三角形,又因为为的中点,所以,则,又由平面,以为坐标原点,以所在的直线分别为和轴建立空间直角坐标系,如图所示,……6分因为底面是菱形,且,,可得,则……8分设平面的法向量为,则,取,可得,所以,……10分易得平面的法向量为,设求平面与平面所成角为,则,……11分所以平面与平面所成角的余弦值为. …12分
20.(1)解法一:由正弦定理得,则,即,①………1分又,由余弦定理得,即,②…………2分由①②得,则有,所以,……4分由余弦定理逆定理得,……5分又,所以……6分解法二:由正弦定理得,……1分即……2分又,有,故,……………3分即,得,即,……4分因为,所以,……5分所以,所以.……6分(2)由(1)得,,,……7分,……8分由三角形三边关系可得,代入化简可得,……9分令,,,……10分,……11分,的取值范围是.……12分21.解:(1)解:∵,∴当时,,两式相减得,.……1分∵,,所以,∴,……2分∵,∴,……3分∴数列是以首项,公比为的等比数列.……4分∴……5分(2)∵,∴,……6分∴,∴,∴∴,……9分∵对任意恒成立,∴,∴,……10分∴恒成立,……11分∵,∴,∴的取值范围是.……12分22.解:(1)由题得,其中,……1分令,,其中对称轴为,.①若,则,此时,则,所以在上单调递增;……2分②若,则,此时在上有两个根,,且,所以当时,,则,单调递增;当,时,,则,单调递减;当,时,,则,单调递增,……4分综上,当时,在上单调递增;当时,在上单调递增,在,上单调递减,在,上单调递增.……5分由(1)知,当时,有两个极值点,,且,,
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