专题18 抛物线中的参数及范围问题(解析版)2024年新高考数学之圆锥曲线专项重难点突破练（新高考专用）

第第页专题18抛物线中的参数及范围问题限时：120分钟满分：150分一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知为抛物线上一点，为焦点，过作的准线的垂线，垂足为，若的周长不小于30，则点的纵坐标的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】如图，设点的坐标为，准线与轴的交点为A，则，所以的周长为.得，令，则，有，即，解得(舍去)或，所以，由解得.故选：A.2．已知为抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若在轴负半轴上存在一点，使得为锐角，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【解析】由题意知，设直线的方程为，由，得．设，，则，，所以，．因为为锐角，所以恒成立，即，整理得，所以，而，所以对于任意恒成立，所以．由，解得，所以的取值范围为．故选:A．3．若抛物线上存在不同的两点关于直线对称，则实数p的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】设抛物线上存在不同的两点关于直线对称，设所在的直线方程为，联立方程组，整理得，其中，设，则，则，又因为的中点在直线，可得，即，将代入，可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：B.4．已知抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，斜率为的直线与的两个交点为，.若，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】双曲线的标准方程是，其右焦点是.所以，，抛物线是，设直线方程为，，由消去，化简整理得，因此，由得，，.因为，所以，即.，即，解得.代入得到，，或.故选：A．5．在平面直角坐标系中，若抛物线的准线与圆相切于点，直线与抛物线切于点，点在圆上，则的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】抛物线的准线方程为，

圆的圆心为，半径为，直线与圆相切，则，因为，解得，所以，抛物线的方程为，故抛物线的准线与圆相切于点，若直线与轴重合，则直线与抛物线不相切，不合乎题意，设直线的方程为，联立可得，则，解得，不妨设点在第一象限，则，则有，解得，此时，即点，所以，，因为点在圆上，设点，则，所以，.故选：C.6．已知抛物线的焦点为，过的直线交于点，分别在点处作的两条切线，两条切线交于点，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【解析】显然直线的斜率存在，因此设直线的方程为，，由得，因此，故.因为，所以过与相切的直线方程分别为：、，因此由得，即，所以.因为，所以，因此，所以的取值范围是.故选:C.7．已知点在抛物线上，且抛物线上存在不同的两点，，使得直线，的斜率，满足，若线段的中点为，为坐标原点，则直线的斜率的取值范围是（

）A． B．C． D．【解析】因为点在抛物线上，所以，所以，所以抛物线方程为．设，则，直线的方程为，结合抛物线的方程，得，由，得，设，，则，即，，同理可得，，，于是，因此．因为且，所以且，故且，所以直线的斜率的取值范围是．故选：C8．已如抛物线的焦点是，点是其准线上一个动点，其中．过点且斜率为的直线与抛物线交于A，两点，过点的直线交抛物线于，两点．若，则直线的斜率的取值范围为（

）A． B．C． D．【解析】由点在准线上知，，，所以抛物线的方程为．依题意可设直线的方程为，设直线的方程为，斜率，，．由消去，得，所以由知，判别式，，，则．由，消去，得，所以判别式，，，所以因为，所以，结合点A，在抛物线上，则，作差得，点，两点在抛物线上，则，作差得，所以，即，得，即，所以，即，因为，即，所以，即，所以或.故选：二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.9．已知点，抛物线的焦点为F，过F的直线l交C于P，Q两点，则（

）A．的最大值为B．的面积最小值为2C．当取到最大值时，直线AP与C相切D．当取到最大值时，【解析】抛物线的焦点，准线方程为，设，显然直线不垂直于轴，设直线的方程为：，由消去x得：，则，

对于A，显然，，当且仅当时取等号，A正确；对于B，的面积，当且仅当时取等号，B错误；对于C，由选项A知，当最大时，点，此时直线方程为，由消去x得：，，直线AP与C相切，C正确；对于D，由选项C知，当最大时，轴，显然，即，，D错误.故选：AC10．已知是抛物线内一动点，直线过点且与抛物线相交于两点，则下列说法正确的是（

）A．时，的最小值为B．的取值范围是C．当点是弦的中点时，直线的斜率为D．当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有【解析】抛物线的焦点，准线方程为，对于A，当时，点与重合，设直线的方程为，，由消去x并整理得，则，，当且仅当时取等号，所以当时，的最小值为，A正确；

对于B，显然点在直线上，由选项A知，当时，可得，由点在抛物线内，知，所以的取值范围是，B正确；对于C，当点是弦的中点时，设，，若，直线的斜率不存在，若，则直线的斜率，C错误；对于D，由选项C知，当时，线段的中垂线斜率为，方程为，即，此直线过定点，当时，线段的中垂线为，过点，所以线段的中垂线恒过定点，即当点是弦的中点时，轴上存在一定点，都有，D正确.故选：ABD11．已知抛物线C：的焦点为F，P，Q为C上两点，则下列说法正确的是（

）A．若，则的最小值为4B．若，记，则C．过点与C只有一个公共点的直线有且仅有两条D．以PQ为直径的圆与C的准线相切，则直线PQ过F【解析】

如图所示，设PQ的中点为B，过P、Q、B分别作的垂线，垂足为D、E、A，对于A，由题意可知，抛物线C：的焦点为，准线为.在抛物线上方，，即最小值为M到准线的距离4，当M，P，A三点共线时等号成立，故A正确；对于B，由，设过N与抛物线相切的直线与抛物线切于点，则，此时切线斜率为，即抛物线上任一点P，都有，故，所以B正确；对于C,由于点在C的下方，设过与抛物线相切的直线切于点，由上可得或，又知当时该直线与抛物线只一个交点，故过点与C只有一个公共点的直线有三条，所以C不正确；对于D，由梯形中位线性质及抛物线定义知，所以直线PQ过F，故D正确.故选：ABD.12．设是抛物线：上的两点，是坐标原点，下列结论成立的是（

）A．若直线过抛物线的焦点，则的最小值为1B．有且只有两条直线过点且与抛物线只有一个公共点C．若，则为定值D．若，则【解析】根据题意，抛物线的焦点坐标为，设.A：若直线经过点，显然其斜率存在，故设直线为：，联立抛物线方程可得：，则，则故，当且仅当时取得最小值，故A正确.B：当直线的斜率不存在时，即时，显然与抛物线交于一点；当直线的斜率存在时，不妨设其方程为，联立抛物线方程可得：，令，可得或，即直线，也与抛物线只有一个交点.综上所述，满足过点且与抛物线交于一点的直线有条，故B错误；C：若，显然为定值，故C正确；D：若，则，即，又即，又两点与点不能重合，即，则.，当且仅当，且时取得最小值，故D正确.综上所述，正确的选项是：ACD.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．已知是抛物线上一点，是抛物线的焦点，若点满足，则的取值范围是．【解析】由题可知，抛物线的焦点坐标，且，由于是抛物线上一点，则，，，，且，解得：，所以的取值范围是.14．已知斜率为的直线与抛物线交于轴上方不同的两点、，记直线、的斜率分别为、，则的取值范围是.【解析】设点、，由题意可知，且，所以，，则，所以，，因此，的取值范围是.15．已知抛物线方程为，为其焦点，过点的直线与抛物线交于、两点，且抛物线在、两点处的切线分别交轴于、两点，则的取值范围为．【解析】若直线轴，则直线为轴，此时直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意.所以，直线的斜率存在，易知点，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，对函数求导得，所以，直线的方程为，即，令，可得，即点，同理可得点，，同理可得，因此，，当且仅当时，等号成立，故的取值范围是.16．如图，已知抛物线，点为抛物线上一动点，以C为圆心的圆过定点，且与x轴交于M，N两点（M点在N点的左侧），则的取值范围是．【解析】由题意，的方程．把和代入整理得，即．设、的横坐标分别为、，则，．所以，令，则因为，所以，当时，所以，所以四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知抛物线的顶点在原点，焦点在直线上．(1)求抛物线的标准方程；(2)过点的直线m与焦点在x轴上的抛物线交于A，B两点，若原点O在以线段AB为直径的圆外，求实数a的取值范围．【解析】（1）当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向下，顶点在原点，则抛物线方程为；当时，，此时焦点为，即此时抛物线焦点在轴，开口向右，顶点在原点，则抛物线方程为；（2）设过点直线m的方程为，设直线m与抛物线的交点分别为联立方程消去得，即，；AB的中点为；；则以线段AB为直径的圆的方程为若原点O在以线段AB为直径的圆外，则化简得，即或.18．已知抛物线焦点为F，点在抛物线上，.(1)求抛物线方程；(2)过焦点F直线l与抛物线交于MN两点，若MN最小值为4，且是钝角，求直线斜率范围.【解析】（1）由题意可得：，解得或，故抛物线方程为或.（2）抛物线的焦点，设，联立方程，消去x得，则，可得，解得，此时，则，若直线过点，则，解得，若是钝角，则，且三点不共线，∵，则，解得或，注意到，故直线斜率范围为.19．设点在抛物线上，的焦点为．、为过的两条倾斜角互补的直线，且、与的另一交点分别为、．已知直线的斜率为．(1)求直线的斜率；(2)记、与轴的交点分别为、．设和分别为和的面积，当时，求的取值范围．【解析】（1）设点、、，则，，同理可得，，因为直线、的倾斜角互补，则，所以，，因为，则，所以，，所以，，即点，易知点，所以，直线的斜率为.（2）设直线的方程为，联立可得，则且，可得且，由韦达定理可得，可得，整理可得，解得，所以，，此时，，同理可得，所以，.20．已知点和点之间的距离为2，抛物线经过点N，过点M的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，点E，F分别在直线，上，且，（O为坐标原点）.(1)求直线l的倾斜角的取值范围；(2)求的值.【解析】（1），，，，将代入，解得，抛物线C的方程为，直线l过点，且与抛物线C有两个不同的交点，直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为，由得，，且，即，且，，，，，点E，F均在y轴上，，均与y轴相交，直线l不过点，，k的取值范围为且且，直线l的倾斜角的取值范围为；（2）设，M，A，B三点共线，，，，，，，由（1）知，，且，直线的方程为，令得，同理可得，，.21．已知是抛物线的焦点，过点的直线交抛物线于、两点，且．(1)求抛物线的方程；(2)若为坐标原点，过点作轴的垂线交直线于点，过点作直线的垂线与抛物线的另一交点为，的中点为，求的取值范围．【解析】（1）抛物线的焦点为，若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个公共点，不合乎题意，设直线的方程为，设点、，联立可得，，由韦达定理可得，，，解得，所以，抛物线的方程为.（2）设点、，则，由（1）可得，，又因为直线的方程为，

将代入直线的方程可得，可得，即点，所以，，因为，则，所以，直线的方程为，联立可得，则，故，则，由的中点为，可得，故、、三点共线，则．又由，知，故.故的取值范围为．22．已知抛物线的焦点为F，点M是抛物线的准线上的动点．(1)求p的值和抛物线的焦点坐标；(2)设直线l与抛物线相交于A、B两点，且，求直线l在x轴上截