专题7.1 等差数列及求和（解析版）备战2024年新高考数学一轮复习题型突破精练（新高考专用）

第第页专题7.1等差数列及求和题型一基本量的计算题型二等差中项及等差数列项的性质题型三等差数列的判定与证明题型四等差数列前项和的性质题型五求等差数列前项和的最值题型六根据等差数列前项和的最值求参数题型七含绝对值的等差数列的前项和题型八等差数列的简单应用题型一 基本量的计算例1．（2023·陕西安康·陕西省安康中学校考模拟预测）已知等差数列的前项和为，，，则的公差为__________.【答案】【分析】设的公差为，由已知可得出，求解即可得出答案.【详解】设的公差为，由题意得.则，所以.故答案为：.例2．（2023·青海海东·统考模拟预测）设等差数列的前n项和为，若，则（

）A．44 B．48 C．55 D．72【答案】A【分析】利用基本量法可得，故可求的值.【详解】设的公差为d，则，即，则，故选：A.练习1．（2023春·新疆伊犁·高三奎屯市第一高级中学校考期中）记为等差数列的前n项和．若，则_______．【答案】666【分析】根据条件列出方程组可求出公差和首项，进而可求结果.【详解】设等差数列的公差为，则由得，解得，又，所以，由可得，所以.故答案为：666.练习2．（2023春·广东珠海·高三珠海市斗门区第一中学校考期中）设为等差数列的前n项和，若，则（

）A． B． C．10 D．12【答案】B【分析】根据等差数列求和公式求解.【详解】由,解得，故选：B练习3．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知等差数列的前项和为，，则（

）A．54 B．71 C．80 D．81【答案】D【分析】设等差数列的公差为，根据题意求得，结合等差数列的求和公式，即可求解.【详解】设等差数列的公差为，因为，可得，解得，所以.故选：D.练习4．（2023·全国·校联考模拟预测）已知数列的前n项和为，且，，，则2023是数列的（

）A．第566项 B．第574项 C．第666项 D．第674项【答案】D【分析】由题意可证得数列是等差数列，再由等差数列的通项公式和前n项和公式代入求解即可求出的通项公式，令，解方程即可得出答案.【详解】由，得，即，所以数列是等差数列，设公差为d，则由和可得：，解得，所以．由，得n=674．故选：D．练习5．（2023·北京海淀·高三专题练习）设等差数列的前项和为，若，则公差__________；__________．【答案】【分析】根据，利用数列通项和前n项和的关系，求得即可.【详解】解：因为，所以，所以，所以，解得代入即得，故答案为：1，4题型二 等差中项及等差数列项的性质例3．（2023秋·甘肃天水·高二统考期末）已知等差数列中，，若，则_______．【答案】【分析】根据下标和性质求出、，即可求出公差，再根据计算可得.【详解】因为，又，所以，又，，所以，所以公差，所以，即，解得.故答案为：例4．（2023·广西南宁·南宁二中校考模拟预测）在等差数列中，若，则__________.【答案】24【分析】由等差中项的性质即可求解.【详解】因为在等差数列中，有，所以由，得，，又，所以.故答案为：24练习6．（2023春·高三课时练习）在等差数列中，是方程的根，则＝________.【答案】3【分析】先利用韦达定理，再利用等差数列的性质，即可得到结论.【详解】由是方程的根得＝3.又数列为等差数列，∴＝＝3.故答案为：3练习7．（2023春·高三课时练习）设项数为奇数的等差数列，奇数项之和为44，偶数项之和为33，则这个数列的中间项是________，项数是________．【答案】117【分析】根据奇数项和与偶数项和的关系即可求解.【详解】设等差数列的项数为，＝＝，＝＝，所以，解得，所以项数，，即为所求中间项．故答案为：①11；②7.练习8．（2023·全国·高三专题练习）设为正项等差数列的前项和．若，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由等差数列的求和公式和等差中项公式，求得且，化简，结合基本不等式，即可求解.【详解】由等差数列的前项和公式，可得，可得，又由且，所以，当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为.故选：D.练习9．（2023·广西玉林·统考模拟预测）“”是“数列为等差数列”的（

）．A．充分不必要条件 B．充要条件C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要条件【答案】C【分析】举特例结合等差数列的性质，即可得出答案.【详解】设，则，，，所以，但数列不是等差数列；若数列为等差数列，根据等差数列的性质可知，成立.所以，“”是“数列为等差数列”的必要不充分条件.故选：C.练习10．（2023·全国·高二题练习）记为等差数列的前n项和，若，，则______．【答案】【分析】根据等差数列的性质和求和公式带入即可求解.【详解】由①，②，②①得，得，又，则，故．故答案为：题型三 等差数列的判定与证明例5．（2023·全国·模拟预测）已知正项数列满足，.(1)求证：数列为等差数列；(2)设，求数列的前n项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题，利用累乘法即可求解，进而可得，进而可证等差；（2）由（1）得，由裂项求和即可求解.【详解】（1）由题可得，所以当时，，易知满足，所以.所以，所以是首项为1，公差为1的等差数列.（2）由（1）可得，所以.所以.例6．（2023·全国·高二专题练习）在数列中4，，．求证：数列{}是等差数列；【答案】证明见解析【分析】根据等差数列的定义，即可证明.【详解】的两边同时除以，得2，∴数列{}是首项为4，公差为2的等差数列练习11．（2023春·广东佛山·高三佛山市荣山中学校考期中）已知数列满足，.(1)设，证明：是等差数列；(2)设数列的前项和为，求.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等差数列的定义即可证明；（2）由（1）可算得，用裂项相消法即可求解【详解】（1）因为

所以数列是以1为公差的等差数列（2）因为，所以

由得

故

所以，

练习12．（2023春·江西南昌·高三南昌市铁路第一中学校考阶段练习）已知等差数列前项和为，且.(1)若，求证：数列是等差数列.(2)求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由题得关于的方程，解出得到其通项，并计算出其前项的和，则得到的通项，利用定义计算的值即可.（2）分和讨论即可.【详解】（1）由题意，，解得，数列的通项公式为，，，数列是以为首项，1为公差的等差数列;（2）当时，，数列的前项和，当时，，数列的前项和，.练习13．（2023·江苏南通·高三校联考阶段练习）已知数列{an}满足.(1)证明：数列是等差数列，并求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项的积为Tn，证明：.【答案】(1)证明见解析，(2)证明见解析【分析】（1）设，变形得，利用等差数列的定义可得成等差数列，结合等差数列的通项公式即可求解；（2）由（1），得，进而，利用裂项相消求和法即可证明.【详解】（1）令，又，，等式两边同时乘以，得成等差数列，即成等差数列，且首项为，公差为1，.（2），..练习14．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）已知数列的前n项和为，.(1)若，证明：数列为等差数列.(2)若，，求的最小值.【答案】(1)证明见解析(2)33【分析】（1）用等差数列的定义进行证明；（2）利用第1问的结论求出的解析式，进而求得数列的通项公式，解不等式即可.【详解】（1）（1）由已知，，，，所以，故数列为公差为1等差数列（2）因为，不满足条件，此时，，由（1）知数列为首项为1公差为1等差数列，所以，故，当时，，由，故，即，因为，所以.故满足的n最小值为33.练习15．（2023·湖南衡阳·校考模拟预测）已知数列中，，且.(1)求证：数列是等差数列；(2)记数列，求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用等差数列的定义即可求解；（2）根据（1）的结论及等差数列的通项公式，利用裂项相消法即可求数列的前项和.【详解】（1）∵，∴，即，∴，.∴是首项为2，公差为1的等差数列.（2）由（1）知，是首项为2，公差为1的等差数列，所以，所以，，所以，.题型四 等差数列前项和的性质例7．（2023·辽宁·朝阳市第一高级中学校联考三模）（多选）已知数列的前n项和是，则下列说法正确的是（

）A．若，则是等差数列B．若，，则是等比数列C．若是等差数列，则，，成等差数列D．若是等比数列，则，，成等比数列【答案】ABC【分析】求出通项公式判断AB；利用数列前n项和的意义、结合等差数列推理判断C；举例说明判断D作答.【详解】对于A，，时，，解得，因此，，是等差数列，A正确；对于B，，，则，而，是等比数列，B正确；对于C，设等差数列的公差为，首项是，，，因此，则，成等差数列，C正确；对于D，若等比数列的公比，则不成等比数列，D错误.故选：ABC例8．（2023春·辽宁沈阳·高三沈阳二十中校考阶段练习）两个等差数列，的前n项和分别为和，已知，则______．【答案】【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质有即可得到结果.【详解】由题意可知，，所以.故答案为:.练习16．（2023春·广东梅州·高三丰顺县丰顺中学校联考期中）等差数列的前n项和记为，且，，则=（

）A．70 B．90 C．100 D．120【答案】D【分析】根据等差数列前n项和的性质可得成等差数列，即可求得的值.【详解】在等差数列中，成等差数列，所以，则，即.故选：D.练习17．（2023春·湖北咸宁·高三鄂南高中校考阶段练习）已知数列的前n项和为，且，则=（）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】由题意根据等差中项的性质判断数列为等差数列，利用等差数列前n项和片段和的性质即可求得答案.【详解】由可得，故数列为等差数列，又，故也成等差数列，即，故选：D练习18．（2023秋·河南商丘·高三校联考期末）已知等差数列的前项和为，若数列的前项和为，则______.【答案】135【分析】根据等差数列的性质：数列成等差数列，且公差为等差数列的公差的9倍，根据等差数列前项和公式与首项和公差的关系，分别求出等差数列的首项和公差，进而求解即可.【详解】设等差数列的公差为，首项为，由题意知：数列成等差数列，且公差，记数列为，其前项和为，则，又因为数列的前项和为，所以，解得：，所以，，解得：，所以.故答案为：.练习19．（2023春·全国·高三合肥市第六中学校联考开学考试）设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．18 B．36 C．40 D．42【答案】B【分析】确定为等差数列，得到，代入数据计算得到答案.【详解】，故为等差数列，故，故，解得.故选：B练习20．（2023春·高三课时练习）已知，分别是等差数列，的前n项和，且，则______．【答案】/【分析】利用等差数列的性质和前n项和公式即可求得.【详解】为等差数列，故，故.故答案为：题型五 求等差数列前项和的最值例9．（2023春·高三课时练习）在数列中，若，前项和，则的最大值为______．【答案】66【分析】根据得到，根据二次函数的性质计算最值即可.【详解】=21，解得，故，属于二次函数，对称轴为，故当或时取得最大值，，，，故的最大值为66.故答案为：66.例10．（2023春·云南·高三云南师大附中校考阶段练习）已知等差数列{}的前n项和为，满足，且，则当取得最小值时，n的值为（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式可得，根据前n项和的性质确定取最值情况即可.【详解】设等差数列{}的公差为，因为，即，所以，因为，解得，所以，则，这是关于的二次函数，开口向上，在处取得最小值，由于，最靠近的正整数为，所以当时，取得最小值.故选：D．练习21．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考二模）已知等差数列的前项和为，若，，则取最大值时的值为（

）A．10 B．11 C．12 D．13【答案】A【分析】利用等差数列的性质得出即可求解.【详解】等差数列，，，，，则取最大值时，.故选：A.练习22．（2023春·高三课时练习）在等差数列中，，则取最大值时n的值是________．【答案】7或8/8或7【分析】根据等差数列的通项公式和前项和公式求解.【详解】因为数列是等差数列，设公差为，所以．由可知，，且，即，所以，令，解得，且，所以当n的值是7或8时，取最大值.故答案为：7或8.练习23．（2023春·四川凉山·高三宁南中学校考阶段练习）记为等差数列的前n项和，已知，，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由已知求得公差，得等差数列前项和，结合二次函数知识得最小值．【详解】设公差为，则，，，所以时，取得最小值．故选：A．练习24．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆八中校考期中）已知等差数列的公差不等于0.其前n为项和为，若，，，则的最大值为（

）A．18 B．20 C．22 D．24【答案】A【分析】根据等差数列的下标性质，结合等差数列前n为项和公式进行求解即可.【详解】设等差数列的公差为d，则，，，因，即，显然，否则，矛盾，于是得，又，否则，公差，矛盾，因此，，解得，而，则公差，，由，，于是有等差数列是递减数列，其前4项都是非负的，从第5项起为负，当或时，，所以的最大值为18.故选：A【点睛】关键点睛：根据等差数列的单调性和下标性质是解题的关键.练习25．（2023·四川自贡·统考三模）等差数列的前n项和为，公差为d，若，，则下列四个命题正确个数为（

）①为的最小值

②

③，

④为的最小值A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质，即可得，，从而确定，即可逐项判断得答案.【详解】等差数列中，，则，故②正确；又，所以，故，则，故③正确；于是可得等差数列满足，其为递增数列，则，又，所以为的最小值，故①正确，④不正确；则四个命题正确个数为.故选：C.题型六 根据等差数列前项和的最值求参数例11．（2022秋·江苏泰州·高三泰州中学校考期末）（多选）已知等差数列的前项和为，当且仅当时取得最大值，则满足的最大的正整数可能为（

）A． B． C． D．【答案】BC【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的符号即可求解．【详解】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，．所以，，，故时，．当时，，则满足的最大的正整数为；当时，，则满足的最大的正整数为，故满足的最大的正整数可能为与．故选：BC．例12．（2023春·浙江杭州·高三浙江大学附属中学校考期中）已知等差数列的前n项和为，，则的取值范围为___________.【答案】【分析】根据等差数列的性质可得公差，由可得，从而可得，再根据等差数列的通项公式与分式变形，结合函数思想即可求得的取值范围.【详解】设等差数列的公差为，所以，由于，所以，且，即，则，由得，故，即的取值范围为.故答案为：.练习26．（2023·内蒙古阿拉善盟·统考一模）已知是等差数列，是的前n项和，则“对任意的且，”是“”的（

）A．既不充分也不必要条件 B．充分不必要条件C．必要不充分条件 D．充要条件【答案】B【分析】根据充分必要的定义判断．【详解】因为对任意的且，，当n＝2时，，当n＝4时，，所以成立；充分性成立当成立时，可推出等差数列的公差大于零，但“对任意的且，”未必恒成立，练习如，，当n＝1时，不成立，必要性不成立．故选：B．练习27．（2023春·广西钦州·高三钦州一中校考期中）已知数列为等差数列，若，，且数列的前项和有最大值，那么取得最小正值时为（

）A．11 B．12 C．7 D．6【答案】A【分析】根据已知条件，判断出，的符号，再根据等差数列前项和的计算公式，即可求得.【详解】因为等差数列的前项和有最大值，故可得，因为，故可得，即，所以，可得，又因为，故可得，所以数列的前6项和有最大值，且，又因为，，故取得最小正值时n等于.故选：A.练习28．（2023秋·江苏南通·高三统考期末）（多选）已知等差数列的前n项和为，当且仅当时，取得最大值，则满足的最大的正整数k一定不等于（

）A．12 B．13 C．14 D．15【答案】AD【分析】由题意可得，公差，且，，分别求出，讨论的符号即可求解．【详解】因为当且仅当时，取得最大值，所以，公差，且，．所以，所以，则满足的最大的正整数k一定不等于12.，，故时，．当时，，则满足的最大的正整数为；当时，，则满足的最大的正整数为，故满足的最大的正整数可能为与，一定不等于12与15.故选：AD．练习29．（2023·全国·高三专题练习）记为等差数列的前n项和，且满足：①；②对，．写出一个同时满足上述两个条件的数列的通项公式______．【答案】（答案不唯一，满足，且公差即可）【分析】由条件①得出，由条件②得出当n＝8时，取得最小值，得出只需数列的前8项均为负数，第9项及之后均为正数，则满足，且公差即可．【详解】由，得，即公差，所以数列单调递增，又对，，即当n＝8时，取得最小值，故只需数列的前8项均为负数，第9项及之后均为正数即可，结合可知，满足条件的一个数列的通项公式可以为（答案不唯一，满足，且公差即可），故答案为：（答案不唯一，满足，且公差即可）．练习30．（2023·全国·高三专题练习）记数列的前n项和为，对任意，有．(1)证明：是等差数列；(2)若当且仅当时，取得最大值，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）利用数列，结合等差数列的定义，即可证明；（2）由条件转化为，再转化为关于首项的不等式，即可求解.【详解】（1）因为①，则②①－②可得，故为等差数列．（2）若当且仅当时，取得最大值，则有,得则，，故的取值范围为．题型七 含绝对值的等差数列的前项和例13．（2023·湖南·校联考二模）记为等差数列的前项和，，．(1)求数列的通项公式；(2)求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，依题意得到方程组，解得、，即可得解；（2）由（1）可得，根据等差数列求和公式计算可得.【详解】（1）设等差数列的首项和公差分别为、，由题意可知，化简得，解得，所以．（2）由（1）知：当时，；当时，，所以．例14．（2023春·广东佛山·高三佛山一中校考阶段练习）已知数列的通项公式为，则_________．【答案】【分析】分析数列的取值规律，结合等差数列求和公式求解.【详解】因为，所以当时，，当时，，所以当时，，所以，当时，，所以，所以，故答案为：练习31．（2023春·贵州黔东南·高二校考阶段练习）已知在等差数列中，，.(1)求数列的通项公式；(2)设是数列的前项和，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）设等差数列的公差为，由已知条件可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可求出数列的通项公式；（2）化简数列的表达式，利用等差数列的求和公式可求得的值.【详解】（1）解：设等差数列的公差为，则，解得，所以，.（2）解：.因此，.练习32．（2022秋·北京·高三北京市广渠门中学校考阶段练习）已知等差数列的公差为，数列的前项和为，且.(1)求数列的通项公式；(2)求数列的前项和；(3)请直接写出的结果.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用等差数列的性质，列方程求出基本量，即可求解；（2）利用等差数列和等比数列的前项和公式，分组求和即可得到答案；（3）根据绝对值和等差数列前项和的性质，对进行分段，即可求得答案（1）为等差数列，，得到公差，进而得到，（2），所以，（3）令，得，又，，整理得，练习33．（2023·全国·高三专题练习）数列中，，，且满足(1)求数列的通项公式；(2)设，求．【答案】(1)(2)【分析】（1）由等差数列的通项公式求解，（2）分类讨论后由等差数列前n项和公式求解【详解】（1）由题意，，是等差数列且，，．（2），令，得．当时，；当时，；当时，．当时，，当时，．．练习34．（2023秋·河北沧州·高三统考期末）在等差数列中，，，为数列的前n项和，，则的最小值为__________．【答案】【分析】根据题意先求出等差数列的通项公式，再分类求，最后根据函数的单调性求得最小值.【详解】由已知得，即，∴，当时，，当时，，当时，，当时，．当时，，设．∵在上单调递减，上单调递增，又，∴当时，只需比较和，，，∵，∴．故答案为：.练习35．（2023·辽宁大连·大连二十四中校考模拟预测）已知等差数列的前n项和为，其中，．(1)求数列的通项；(2)求数列的前n项和为．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用等差数列的通项公式以及等比数列的性质列方程求出的公差即可求解；（2）由等差数列的求和公式求出，讨论当时，，；当时，，，写成分段的形式即可.【详解】（1）设的公差为，则，解得，所以；（2）因为，所以，当时，，此时，，当时，，此时，，综上所述：.题型八 等差数列的简单应用例15．（2023春·北京昌平·高三北京市昌平区前锋学校校考期中）从冬至日起，小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长度依次成等差数列，冬至、立春、春分这三个节气的日影长度之和为尺，前九个节气日影长度之和为尺，则谷雨这一天的日影长度为（

）A．尺 B．尺 C．尺 D．尺【答案】A【分析】根据题意，分别设十二个节气为，再运用等差中项求解.【详解】设冬至，小寒，大寒，立春，雨水，惊蛰，春分，清明，谷雨，立夏，小满，芒种这十二个节气为：，且其公差为，依题意有：，，，公差，则，所以谷雨这一天的日影长度为尺，故选：A例16．（2023春·重庆沙坪坝·高三重庆一中校考阶段练习）林业部门规定：树龄500年以上的古树为一级，树龄300~500年之间的古树为二级，树龄100~299年的古树为三级，树龄低于100年不称为古树．林业工作者为研究树木年龄，多用年轮推测法，先用树木测量生长锥在树干上打孔，抽取一段树干计算年轮个数，由经验知树干截面近似圆形，年轮宽度依次构成等差数列．现为了评估某棵大树的级别，特测量数据如下：树干周长为3.14米，靠近树芯的第5个年轮宽度为0.4cm，靠近树皮的第5个年轮宽度为0.2cm，则估计该大树属于（

）A．一级 B．二级 C．三级 D．不是古树【答案】C【分析】由条件抽象出等差数列的基本量，再结合等差数列的前项和，求.【详解】设树干的截面圆的半径为，树干周长，，从内向外数：，，，∴年，所以为三级.故选:C练习36．（2023·黑龙江齐齐哈尔·统考一模）基站建设是众多“新基建”的工程之一，截至年月底，地区已经累计开通基站个，未来将进一步完善基础网络体系，加快推进网络建设．已知年月该地区计划新建个基站，以后每个月比上一个月多建个，则地区到年月底累计开通基站的个数为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析可知年月及之后该地区每个月建设的基站数量为等差数列，且公差为，利用等差数列的求和公式可求得结果.【详解】由题意得，年月及之后该地区每个月建设的基站数量为等差数列，且公差为，则到年月底要经过个月，预计地区到年月底累计可开通个基站．故选：D．练习37．（2023·江西上饶·校联考模拟预测）2022年10月16日上午10时，举世瞩目的中国共产党第二十次全国代表大会在北京人民大会堂隆重开幕，某单位组织全体人员在报告厅集体收看，已知该报告厅共有16排座位，共有432个座位数，并且从第二排起，每排比前一排多2个座位数，则最后一排的座位数为（

）A．12 B．26 C．42 D．50【答案】C【分析】根据