2023年11月新乡市2024届高三第一次模拟（一模）数学试卷（含答案）

2023~2024学年新乡市高三第一次模拟考试数学注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数1+i³在复平面内对应的点所在的象限为A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.若集合A=x|x²-2A.(-2,1)B.(-1,2)C.(-3,2)D.(1,2)3.已知向量a=(1,-1),b=(m,2),若a∥b,则(a-2b)·b=A.4B.-2C.-8D.-204.若sinα-βA.34B.43C.325.在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字1开头的数字在各个领域中出现的频率似乎要高于其他数字.这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d(d=1，2,…,9)的概率为lg1+1d.以此判断，一个数的首位数字是(参考数据:lg2≈0.301,lg3≈0.477)A.2.9B.3.2C.3.8D.3.96.已知等比数列{an}的前n项积为Sn，若a3a6A.512B.256C.64D.167.已知正三棱锥P-ABC的侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=1,以P为球心的球与底面ABC相切，则该球的半径为A.36B.33【高三数学第1页(共4页)】

8.已知定义在R上的函数f(x)满足∀x,y∈R,fA.(1,+∞)B.(-1,+∞)C.(-∞,1)D.(-∞,-1)二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下图为某商家2023年1月至10月某商品的月销售量，则下列说法正确的是A.这10个月的月销售量的极差为15B.这10个月的月销售量的第65百分位数为33C.这10个月的月销售量的中位数为30D.前5个月的月销售量的方差大于后5个月的月销售量的方差10.若a>0,b>0,a+b=1,则下列不等式恒成立的是A.ab≥C.2a211.已知F是抛物线C:y²=8x的焦点,过F的直线与C交于A,B两点,点D(-2,1),且AD⊥A.直线AB的方程为4x-y-8=0B.直线AB的方程为2x-y-4=0C.|AB|=9D12.已知k>0,关于x的方程kx=sinx有n个不同的根,n∈N°,且m为最大的根,则A.n的值可能为100B.当n=1时,k≥1C.当k=25π时,n=7D.当n=5时,tan三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13.已知某圆锥的侧面展开图是一个半圆，若圆锥的体积为3π3,则该圆锥的表面积为14.已知O为坐标原点，点P在圆Cx²+y²-2ax+a²-4=0上,且|OP|=1,15.已知数列{an}共有10项,且aₙ∈{1,2,3},若a1≤a2≤a16.已知A，B分别是双曲线C:x2a2-y2b2=1a0,b>0)的左、右顶点，且|AB【高三数学第2页(共4页)】四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a(1)求角C;(2)若D为边AC上一点,且BD=BC=3318.(12分)某闯关游戏共设置4道题，参加比赛的选手从第1题开始答题，一旦答错则停止答题，否则继续，直到答完所有题目.设选手甲答对第1题的概率为23,甲答对题序为i的题目的概率p(1)若甲已经答对了前3题，求甲答对第4题的概率；(2)求甲停止答题时答对题目数量X的分布列与数学期望.19.(12分)如图，平面ACDE⊥平面ABC,四边形ACDE为矩形,△ABC为正三角形，AB=2AE=2,O为(1)当OP∥平面ABE时,求BP(2)在(1)的条件下，求OP与平面ABD所成角的正弦值.【高三数学第3页(共4页)】20.(12分)已知Sn是数列{an}的前n项和,S(1)若数列{an}为等差数列，求数列{an}的通项公式；(2)若a₁=0,求数列a2n-121.(12分)A，B分别是椭圆C:x2a2+(1)求椭圆C的标准方程.(2)过点P(4，0)，且与坐标轴不垂直的直线l交椭圆C于M，N两个不同的点.设直线AM，BN交于点K，证明：点K到y轴的距离为定值.22.(12分)已知函数f(1)当m≥12时,讨论f(x)在(2)已知x₁,x₂是f(x)的两个零点,证明:x【高三数学第4页(共4页)】2023~2024学年新乡市高三第一次模拟考试数学参考答案1.D1+i³=1-i,所以该复数对应的点为(1，-1)，该点在第四象限.2.BA={x|x²-2x-3<0}={x|-1<x<3},B={x||x|<2}={x|-2<x<2},故A∩B=(-1,2).3.D由a∥b,可得-m=2,即m=-2,所以(a4.A由sinα-β+sinα+β=5.C所求的比为lg6.C设等比数列{an}的公比为q,因为a3a627.B设球的半径为r，由题可知AB=2,SABC=38.A令x=y=0,得f(-1)=f(0)·f(0)+f(0)-3=-3.令y=0,得f(-1)=f(x)f(0)+f(0)+2x-3,解得f(x)=2x-1,则不等式f(x)>3-2ˣ转化为2x+2ˣ-4>0,因为y=2x+2x-4是增函数,且2×1+2¹-4=0,所以不等式f(x)>3-2ˣ的解集为(1,+∞).9.AB将样本数据从小到大排列为25,26,27,28,28,30,33,36,37,40,这10个月的月销售量的极差为15，根据百分位数的定义可知，这10个月的月销售量的第65百分位数为33.这10个月的月销售量的中位数为29，前5个月的月销售量的波动小于后5个月的月销售量的波动，所以前5个月的月销售量的方差小于后5个月的月销售量的方差，故选AB.10.BCDa>0,b>0,a+b≥2√ab,即ab≤a+b22=14,当且仅当a=b=12时，等号成立，所以A错误;1a+1b=1a+1b⋅a+b=2+ba+ab≥2+2ba⋅ab=4,当且仅当【高三数学·参考答案第1页(共5页)】11.AD设A(x₁,y₁),B(x₂,y₂),抛物线C:y²=8x的准线l：x=-2,|AB|=x₁+x₂+4,则以AB为直径的圆的半径r=x1+x22+2,线段AB的中点坐标为x1+x22y1+y22,则线段AB的中点到准线l的距离为x1+x22+2=r,所以以AB12.BC令f(x)=sinx,因为y=kx的图象与f(x)=sinx的图象都关于(0,0)对称,所以n不可能为偶数，故A错误；f'x=cosx,则f'0=1,,所以曲线f(x)=sinx在x=0处的切线方程为y=x，故B正确；当k=25π时,y=kx经过点(5π21,因为5π21是f(x)=sinx的极大值点,所以n=7,故C正确;当n=5时,可知y=kx与曲线f(x)=sinx相切,13.3π设圆锥的底面圆半径为r，母线长为l，则底面圆面积为πr²，周长为2πr，则πl=2πr,13π14.-3-1∪13x²+y²-2ax+a²-4=(可化为(x-a²+y²=4,,由|OP|=1,可知点15.66若an的值只有1种可能，则符合条件的不同数列有3个，若an的值有2种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有C32C91=27个，若an的值有3种可能，则利用隔板法可知，符合条件的不同数列有16.2设P(x₀,y₀),点P到x轴的距离为m,则kPA⋅kPB=y0x0+a⋅y0x017.解:(1)依题意,a-b2=ccosB,由正弦定理可得2sinA-sinB=2sinCcosB,⋯⋯⋯⋯1分所以2sin(B+C)-sinB=2sinCcosB,【高三数学·参考答案第2页(共5页)】

则2sinBcosC=sinB,因为B∈(0,π),所以sinB≠0,⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分化简得cosC=12,因为C∈(0,π),所以(2)不妨设BC=1,则.AB因为BD=BC,C=π3,所以△由余弦定理得cos∠ADB=解得AD=1(负值舍去)，所以CDAD=1.18.解：(1)因为选手甲答对第1题的概率为23，所以k=23,即所以若甲已经答对了前3题，则甲答对第4题的概率为16.…………………4(2)由题意得pX可取0,1,2,3,4,则PPX=3=所以分布列如下：X01234P1481102432243……10分所以EX=0×19.解:(1)当P为BD的中点时,OP∥平面ABE.⋯1分证明如下:取BE的中点Q,连接PQ,AQ.在△BDE中,PQ为中位线,所以PQ∥DE且PQ=1因为OA∥DE且OA=12DE,所以所以四边形AOPQ为平行四边形,所以OP∥AQ.⋯3分因为OP⊄平面ABE,AQ平面ABE,所以OP∥平面ABE,此时BPPD=1.⋯(2)取DE的中点F,连接OF,则OF⊥AC,⋯6分因为平面ACDE⊥平面ABC,平面ACDE交平面ABC于AC,所以OF⊥平面ABC.……7分因为△ABC为正三角形,所以OB⊥AC.⋯8分【高三数学·参考答案第3页(共5页)】如图，以O为坐标原点，OA，OB，OF所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则A(1,0,0),B(0,3,0),C(-1,0,0),D(-1,0,1),P-123所以(DP=-12设平面ABD的法向量为n=(x,y,z),则n⋅AB=-x+3y=0,n⋅设OP与平面ABD所成的角为θ，则sin所以OP与平面ABD所成角的正弦值为1510.20.解:(1)当n=1时,S₁+S₂=4,即2因为Sₙ+Sₙ₊₁=n+1两式相减得aₙ+所以aₙ₊₁+aₙ₊₂=2因为数列{an}为等差数列，所以数列{an}的公差d=1，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4分又2a₁+a₂=4,所以则an=1+(n-1)×1=n,即数列{an}的通项公式为aₙ=(2)因为a₁=0,所以a₂=4,由(1)可知aₙ₊₂-aₙ=2n≥2a2n-Tn=21.(1)解:由题可知2a=4,ca解得a=2,b=2【高三数学·参考答案第4页(共5页)】∴椭圆C的标准方程为x24(2)证明:设直线l的方程为y=k(x-4),联立C的方程，消去y得(2设Mx₁y₁,N∴x1x又A(-2,0),B(2,0),∴直线AM的方程为y=y1x1+2x+2,直线BN联立得y∴xK=又∴即点K到y轴的距离为定值1.⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12分22.(1)解:f'(x)=lnx+1-2mx≤lnx+1-x,…………………2分令g(x)=lnx