2022年高考数学真题（全国甲卷文科、含答案）

2022年普通高等学校招生全国统一考试（全国甲卷）

数学（文科）

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号

填写在答题卡上，并认真核准条形码上的准考证号、姓名、考场号、座位号及

科目，在规定的位置贴好条形码。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，

将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选

项中，只有一项是符合题目要求的。

1.设集合）={-2,-1,0,1,2},3=卜0,,%<|卜则AD8=（）

A.{0,1,2}B.{-2,-1,0}C.{0,1}D.{1,2}

2.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识.为了解讲座效果，随机抽取10

位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在

讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：

讲座前

讲座后

则（）

A.讲座前问卷答题的正确率的中位数小于70%

B.讲座后问卷答题的正确率的平均数大于85%

C.讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差

D.讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

3.若z=l+i.则|iz+35|=()

A.475B.4A/2C.275D.272

4.如图，网格纸上绘制的是一个多面体的三视图，网格小正方形的边长为1,则该多面体

的体积为()

5.将函数/(x)=sin(ox+方)(3>0)的图像向左平移■!■个单位长度后得到曲线C,若C

关于y轴对称，则。的最小值是()

1111

A.-B.-C.-D.一

6432

6,从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上

的数字之积是4的倍数的概率为()

7.函数/(x)=(3'_37)cosx在区间一号力的图像大致为()

b

8.当x=l时，函数，(x)=olnx+—取得最大值一2,则八2)=()

x

A.-1B.----C.-D.1

22

9.在长方体ABC。—AAG。中，己知与。与平面48CD和平面所成的角均为

30°,则()

A.AB=2ADB.A3与平面ABC。所成的角为30°

C.AC=CBtD.耳。与平面BBC。所成的角为45°

10.甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为2兀，侧面积分别为S甲和S乙,

体积分别为％和力.若萨=2,则%=（）

S乙Y乙

A.V5B.2\/2C.V10D.双。

4

22।

11.已知椭圆。：［+2=1（。>}>0）的离心率为•!•，A，4分别为C的左、右顶点，B

ah3

为C的上顶点.若底跖=—1,则C的方程为（）

12.已知9"'=10,。=10'”—11,。=8"'—9,则O

A.a>0>bB.a>b>0c.b>a>QD.b>0>a

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知向量a=(机,3),Z>=(1,6+1).若a_L),则

14.设点M在直线2x+y—1=0上，点（3,0）和（0,1）均在0M上，则0M的方程为

15.记双曲线。:「一当=13>0/>0）的离心率为e,写出满足条件“直线y=2x与C

a'h~

无公共点”的e的一个值.

AQ

16.已知△ABC中，点。在边BC上，ZADB=120°,AD=2,CD^2BD.当——取得

AB

最小值时，BD=.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21

题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求

作答。

（一）必考题：共60分。

17.（12分）

甲、乙两城之间的长途客车均由A和8两家公司运营，为了解这两家公司长途客车的运行

情况，随机调查了甲、乙两城之间的500个班次，得到下面列联表:

准点班次数未准点班次数

A24020

B21030

（1）根据上表，分别估计这两家公司甲、乙两城之间的长途客车准点的概率；

（2）能否有90%的把握认为甲、乙两城之间的长途客车是否准点与客车所属公司有关?

n(ad-bc')2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P(K2..k)0.1000.0500.010

k2.7063.8416.635

18.（12分）

记Sn为数列｛a,,｝的前〃项和.已知二Z+〃=2an+1.

（1）证明：｛4｝是等差数列；

（2）若a，%，4成等比数列，求S“的最小值.

19.（12分）

小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面A8CZ）是

边长为8（单位：cm）的正方形，AEAB,△FBC,AGCD,AHDA均为正三角形,且它

们所在的平面都与平面A8CO垂直.

（1）证明：石户〃平面A3CD；

（2）求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）.

20.（12分）

已知函数f（x）=x3-x,g（x）=x2+a,曲线y=/（x）在点））处的切线也是曲线

y=g（x）的切线.

（1）若玉二-1,求。:

（2）求。的取值范围.

21.（12分）

设抛物线。：：/=2"¥（0>0）的焦点为£点。（，0）,过户的直线交C于M,N两点.当

直线用O垂直于x轴时，目=3.

（1）求C的方程：

（2）设直线M3NZ）与C的另一个交点分别为4,B,记直线MN,A8的倾斜角分别为

a,/3.当a-力取得最大值时，求直线A8的方程.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，

则按所做的第一题计分。

22.［选修4-4：坐标系与参数方程］（10分）

'2+（

X-

在直角坐标系xQy中，曲线G的参数方程为J6（f为参数），曲线C2的参数方程为

2+5

X-------

<6（s为参数）.

）=一贝

（1）写出G的普通方程；

（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线G的极坐标方程为

2cos。-sin6=0,求C3与G交点的直角坐标，及G与G交点的直角坐标.

23.［选修4-5：不等式选讲］（10分）

已知a,"C均为正数，且储+〃+402=3,证明：

（1）4+Z?+2G,3

（2）若b=2c,则工+工.3.

ac

参考答案

1.A2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.B9.D10.C11.B12.A

3

13.—##—0.75

4

14.(x-l)2+(y+l)2=5

15.2(满足1<eV巧皆可)

16.百一1##一1+百

127

17.(1)4B两家公司长途客车准点的概率分别为一，-

138

(2)有

18.(1)证明见解析；

(2)-78.

分别取AB,8c的中点M,N,连接MN,因为为全等的正三角形，所以

EM±AB,FNA.BC,EM=FN,又平面£48_L平面ABC。，平面平面

ABCD=AB,平面后钻，所以七M_L平面ABC。，同理可得RV_L平面ABC。，

根据线面垂直的性质定理可知EM//RV,而EM=FN,所以四边形为平行四边

形，所以EF//MN,又瓦'Z平面ABC。，M?Vu平面ABC。，所以防//