2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学（黑卷）试题（含答案解析）

2022年普通高等学校招生全国统一考试文科数学(黑卷)试

题

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合A={1,2,3,4},B={x|2x<5},则4口8=()

A.{1}B.{1,2}C.{1,2,3}D.{1,2,3,4)

2.设(2+i)z=l+3i,贝ijz=()

A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i

3.我国第七次人口普查的数据于2021年公布，将我国历次人口普查的调查数据整理

后得到如图所示的折线图，则下列说法错误的是()

历次人口普查全国人口的年均增长率

A.从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态

B.2000-2020年年均增长率都低于1.5%

C.历次人口普查的年均增长率逐年递减

D.第三次人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点

4.《几何原本》卷匚的几何代数法成了后世数学家处理数学问题的重要依据，通过这

一原理，很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明，这种

证明方式优雅而直观.观察图形可知，阴影直角三角形的短直角边为cos(a+〃)或

cosacos^-sinesin尸，所以该图直观地反映了公式

cos(a+/?)=cosccosP-sinasin尸.通过观察图中阴影直角三角形长直角边和长方形的

宽，可得公式()

cosacosp

A.cos（a-/）=cosacos尸+sinasinA

B.sin（a—尸）=sinacos/3-cosasinp

C.cos（a+尸）=cosacos/7一sinasin0

D.sin（a+4）=sinacos〃+cosasin/?

5.从3名男生和2名女生中随机选取3人参加书法展览会，则选取的3人中至少有2

名男生的概率为（）

3「7〃4n9

A.-B.—C.—D.—

510510

6.函数/"）=蛇二巧的图象大致为（）

v'3'_3'v

7.设a,夕为两个平面，/为一条直线，/uc且/a夕，则/〃尸的充分条件是

()

A.夕内有一条直线与a平行B.4内有无数条直线与a平行

C./,夕平行于同一平面D.a,4垂直于同一平面

r22

8.设1，8分别是双曲线C:=11/>0力>0)的左、右焦点，过「作C的一条

渐近线/的垂线交双曲线的右支于点尸，若丽.理=0,则C的离心率为()

A.y/5B.2C.此D.-

23

9.记S“为等比数列｛%｝的前“项和，若%+%=8(4+%)，”2+4+即>=1。，则几=

()

A.45B.75C.80D.90

10.已知函数/(x)=2sin(<yx+4®>0)的部分图象如图所示，且

11.已知定义在R上的奇函数/(月的图象关于直线x=l对称，且y=/(x)在［0』上

单调递增，若。=/(一3),b=-£|,c=〃2),则a,b,c的大小关系为()

A.c<h<aB.b<a<cC.b<c<aD.c<a<b

12.过抛物线C：V=4x焦点产的直线与抛物线交于A,8两点，若|AF|=g,则

|破=()

10r、-14.16

A.—B.2C.—D.—

333

二、填空题

13.已知向量2=(-3,2),U(x,l),若皿2£+可,则》=.

14.曲线y=V-mx在点(1,-1)处的切线方程为.

15.已知直四棱柱ABCO-AACR的所有顶点都在球。的球面上，AB=AD=6.

BD=BC=3,直四棱柱A2CO-A8C。的体积为66，则球。的半径为

三、双空题

16.记S“为等差数列｛q｝的前〃项和，若59=3(%+4+4)，贝心=

.(写出符合要求的一组答案即可)

四、解答题

17.为响应国家在《"十四五”工业绿色发展规划》中提出的“推动绿色发展，促进人与

自然和谐共生”理念，某企业计划生产一批太阳能电池板，现有甲、乙两种生产工艺可

供选择.为了解两种生产工艺所生产的电池板的质量情况，从中各随机抽取100件进行

O707580859095100综合得分。707580859095100综合得分

甲生产工艺乙生产工艺

并规定:

综合得分[70,85)[85,100]

质量等级二等品一等品

(1)从这100个甲工艺所生产的电池板中按质量等级分层抽样抽取4个，再从这4个中随

机抽取2个做进一步研究，求恰有1个质量等级为一等品电池板的概率；

(2)根据频率分布直方图完成下面的2x2列联表，并判断是否有99%的把握认为电池板

的质量等级与生产工艺有关？

一等品二等品

甲生产工艺

乙生产工艺

-be)"

(a+6)(c+”)(a+c)(6+d)

P(K2>k)0.0500.0100.010

k3.8416.63510.828

18.AABC的内角A,B,C的对边分别为。，b,c.已知/+/=/+4加抽<:，

a&=15cosC.

⑴求△ABC的面积；

(2)若c=272,且avb,求A.

19.如图，四棱锥P—ABCD的底面是矩形，4AD=3AB,PD=BD=5,

PB=46，ZPAB=y.

(1)证明：BC_L平面上4B；

(2)求三棱锥P-BCD的体积.

20.已知函数f(x)=(ar2—x+a)e*.

⑴讨论〃x)的单调性;

(2)当0＜"＜；时，证明f(x)在R上有且仅有两个零点.

22

x"y

21.已知离心率为g的椭圆C:1(。＞人＞0)的顶点所构成的四边形的面积为

部+5

4石，过右焦点且斜率不为零的直线交C于M,N两点，A为椭圆左顶点.

(1)求C的方程；

(2)设AM,AN的斜率分别为勺，k2,证明：勺•与为定值.

X-n-

22.在直角坐标系》。)，中，直线/的参数方程为夜a为参数).以坐标原点

y-1+

12

。为极点，X轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为

p=-4sin^+—j.

(1)求。和/的直角坐标方程；

(2)设点。的直角坐标为(1,百)，P为C上的动点，求尸。中点R的轨迹的极坐标方程.

23.已知函数/(X)=|X+1］一|2X—44

⑴当“=1时，求不等式的解集；

⑵若〃x)+k+l|41,求。的取值范围.

参考答案:

1.B

【解析】

【分析】

求出集合B,根据集合的交集运算求得答案.

【详解】

因为8={x|2x<5}=’|x<|）,所以An8={l,2},

故选：B

2.A

【解析】

【分析】

直接对已知式子化简计算即可求出复数z

【详解】

因为（2+i）z=l+3i,

l+3i

所以z=

2+i

故选：A

3.C

【解析】

【分析】

根据折线统计图分析即可；

【详解】

解：由折线统计图可得，所有的增长率均为正数，

所以从人口普查结果来看，我国人口总量处于递增状态，故A正确；

2000-2020年年均增长率都低于1.5%,其中2000最高，增长率为1.07%,故B正确;

年均增长率在1964-1982是逐年递增，1982-2020是逐年递减，故C错误；

第三次（1982年）人口普查时，人口年均增长率达到历史最高点，故D正确；

故选：C

4.D

答案第1页，共16页

【解析】

【分析】

观察可知图中阴影直角三角形长直角边为sin（e+0,长方形的宽为

sinacosy0+cosasin/?,由二者相等可得结果.

【详解】

图中阴影直角三角形长直角边为sin（a+/?）,长方形的宽为sinacos尸+cosasin〃，

显然二者相等，所以有sin（a+/）=sinccos尸+cosasin/.

故选：D.

5.B

【解析】

【分析】

列出所有可能的基本事件，即可求出满足题意的概率.

【详解】

记3名男生分别为q,%,%,2名女生分别为自，b2,

从5人中随机选取3人，所有的可能结果为

（4，。2，。3），（4，4，女），（%,42也），（4,心，4），也），（42，%，4），（。2,4也），

（q,伪也），（“2,4也），3,4也），共10种，

“其中至少有2名男生”对应的结果有7种，故所求概率为由.

故选：B.

6.A

【解析】

【分析】

利用函数的奇偶性可排除B;比较A,C,D的图象可知，三者的差异在于函数的正负，结

合分母3,-3T>0在（0,1）上恒成立，故考虑结合对数函数的性质通过判断In（l-V）在（0,1）

上的正负进行判断，由此可判断A,C,D.

【详解】

答案第2页，共16页

函数=的定义域为(T,O)U(O,l),

因为/(_》)=_12gl=一/(可，即函数/(x)为奇函数，图象关于原点对称，

3'—3'

排除B；

当xe(O,l)时，ln(l-x2)<lnl=0,3A-3-x>0,故/(x)<0,排除C,D,

而对于A,=)为奇函数，函数值符合图象的变化规律，结合以上分析，A正

v'3X-3'A

确，

故选：A.

7.C

【解析】

【分析】

对于A,4内有一条直线与a平行，但不一定与直线/平行，由此判断A;对于B,无法确

定。〃?以及/〃〃，判断B;对于C,根据线面平行的性质，可判断；对于D,/与£可

能平行、垂直或相交，判断D.

【详解】

对于A,夕内有一条直线与a平行，但不一定与直线/平行，结合线面平行的判定定理可

知/不一定平行万，故A错误；

对于B,夕内有无数条直线与a平行，由于不能确定有两条相交直线与a平行或一条直线

与/平行，故/不一定平行夕，故B错误；

对于C,当/,夕平行于同一个平面时，设该平面为7,因为/a夕，故一定有/〃"否则/

若和夕相交，那么/和/必相交，与/〃7矛盾，故C正确，

对于D,当a,夕垂直于同一平面时，/与夕可能平行、垂直或相交，故D错误；

故选：C

8.A

【解析】

【分析】

］根据在RSOMf；中，|M用=力，|0娟=c,结合双曲线中“，b,。间的关系求得10M.

答案第3页，共16页

【详解】

如图，

W

根据双曲线的对称性，过点片(-C，。)作渐近线y=的垂线，垂足为M,

a

则网=6,\OM\=a,

因为西•%=0,即「6，丹"结合

且。为居K的中点可知忸耳|=2网=2b，阀|=2\OM\=2a,

结合双曲线的定义可知2/>-2a=2a,即6=2«,

所以c=/a2+护=^a，则C的离心率为:=囱・

故选：A.

9.B

【解析】

【分析】

设等比数列｛为｝的公比为q,根据已知条件求出夕的值，利用等比数列的求和公式以及基

本性质可求得力的值.

【详解】

设等比数列｛%｝的公比为q,由%+4=8(4+。5)可知4/+火/=8(4+%)，所以

q=2,

S12=(4+%+%)+(%+%+%>)+(%+%+巧1)+(4+%+q2)

=%(。2+&+40)+(“2+。6+%<))+4(。2+ab+a\0)+Cl2(。2+4+”10)

2

=(a2+a6+al0)f—+l+<7+<7j=10xf^-+1+2+4j=75.

故选：B.

答案第4页，共16页

10.D

【解析】

【分析】

由函数图象的单调性和对称性可求出对称中心H，o),结合最大值点可求出函数的最小正

JT

周期，从而求出0；图象经过(二,2),可求出夕值，确定解析式即可求出函数值.

O

【详解】

由函数图象可知"X)在上单调，且/与|+/倍)=0,得“X)的一个对称中心

(乃+ITI、

为yz,。，即修，0〕，结合x=m为〃X)的最大值点可知所以

2\12)6412o4

\7

_2万

T=冗,由/=解得69=2,

所以/(x)=2sin(2x+*),

因为经过点G71，2)

6

所以2sin(2x]+夕)=2,即sin[?+夕)=1,

TTTT7T7T

所以+°=+2%乃，UGZ),解得夕二:+24乃，当女=0时，(p=-

3266

所以〃x)=2sin(2x+J所以/(总=2$皿2*方1)=百

故选：D

11.C

【解析】

【分析】

根据已知条件可得y=〃x)在上单调递增，«=/(-3)=-/(3)=-/(-1)=/(1),

c=/(2)=/(O)=O,从而可根据函数的单调性比较大小

【详解】

由函数/(x)的图象关于直线x=l对称可得/(3)=/(-1),结合奇函数的性质可知

a=)(—3)=—〃3)=-f(T)=/⑴,c=〃2)=/(0)=0.

答案第5页，共16页

由奇函数的性质结合y=在［0,1］上单调递增可得产/(x)在卜1,1］上单调递增,

所以/•1

所以匕<c<a.

故选：C

12.D

【解析】

【分析】

作辅助线，根据抛物线的定义判断相关线段长度间的关系，结合角度关系及抛物线的定义

求解忸口，进而可求出结果.

【详解】

如图，过A,B分别作抛物线准线的垂线，垂足为。，E,再过A,B分别作x轴的垂

线，垂足为G,H.根据抛物线的定义可知|AO|=|AF|=g,\BE\=\BF\.

结合焦点尸(1,0)到抛物线的准线x=-l的距离为2,

、4

在“G"中'cosZAFG=K=^£l=_3=l

3

在ABHF中，COSZBFH=cosZAFG=,

艮惴雷塔解得叩.

答案第6页，共16页

所以网+网=$4号.故|AB|号.

故选：D.

13.竺

3

【解析】

【分析】

根据平面向量的坐标运算求出2a+b,结合垂直向量的坐标表示计算即可.

【详解】

因为2=(-3,2),6=(x,l),

所以£+%=(-6+X,5),又£_L(2£+B),

贝「.凶+a=-3x(-6+x)+2x5=0,解得x=g.

故答案为：y.

14.y=x-2

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义，即可求解.

【详解】

由曲线y-的过点(>1)得_]=1_〃?，即帆=2,从而可知y=M-2x,求导可得

炉=3x2-2,所以曲线在点(1,-1)处的切线斜率为左=1,故切线方程为y-(-i)=x-1,即

y=x-2.

故答案为：y=x-2

15.亚

【解析】

【分析】

首先利用余弦定理求出ZSAD,从而得到N8CD,即可求出底面四边形ABCO的面积，再

根据柱体的体积公式求出直四棱柱的高，再求出底面四边形外接圆的半径『，最后根据外

计算可得;

2

答案第7页，共16页

【详解】

解：如图，因为AB=AO=石，BD=3,由余弦定理可得

AB2+AD2-BD2]_

cosZBAD=

2ABAD2

因为乃），所以=由于A,B,C,。四点共圆，所以

71

4BCD="/BAD=—

3

又3。=3C=3可知4BCD为等边三角形，

+127r171r~

则S四边形ABCO=S«BDS^cl)=-ABADsm—+-BCCD-sin3=3丛.

故直四棱柱的高/?=上=吧=2&.

而直四棱柱4B8-A4GR的体积为6n,

S3下）

又四边形AB8外接圆半径，=磊36

故球。的半径为/?="+%=J（可+（&丫=5

故答案为：加

16.111

【解析】

【分析】

由等差数列的通项公式和前〃项和求解即可.

【详解】

答案第8页，共16页

设等差数列的公差为d,S9=3(%+q+q)可得

QQ

9qH—x厂d=3[q+2d+4+(%-1"+q+(/-1”],解得A+/=12,故可填入％=1,/=11

或％=2,/=10(满足Z+/=12,%,/eN*即可).

故答案为：k=\,/=11或k=2,/=10(满足氏+/=12,幺/eN*即可).

17.(1)!

(2)有99%的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关，理由见解析

【解析】

【分析】

(1)分析可知这4个中质量等级为一等品的个数为3,分别记为A、B、C,质量等级为

二等品的个数为1,记为“，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件，

利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；

(2)完善2x2列联表，计算出K?的观测值，结合临界值表可得出结论.

(1)

解：从这100个甲工艺所生产的电池板中，二等品的个数为100x0.05x1。=25个，

一等品的个数为100x0.15x5=75个，

从这100个甲工艺所生产的电池板中按质量等级分层抽样抽取4个

这4个中质量等级为一等品的个数为4x^=3,分别记为A、B、C,

质量等级为二等品的个数为1,记为“，

从这这4个中随机抽取2个，所有的基本事件为：A8、AC,Aa,BC、Ba、Ca,共6

种，

其中，事件”所抽取的2个中恰有1个质量等级为一等品电池板”所包含的基本事件为：

Aa■.Ba、Ca,共3种，

31

故所求概率为尸=三=不

62

(2)

解：2x2列联表如下表所示:

一等品二等品

甲生产工艺7525

答案第9页，共16页

乙生产工艺4555

所以'”4■荔我f,

所以，有99%的把握认为电池板的质量等级与生产工艺有关.

18.(1)3

呜

【解析】

【分析】

(1)首先由余弦定理得到sinC=2ssC,再根据同角三角函数的基本关系求出sinC、

cosC,即可求出必，从而求出三角形的面积；

(2)由(1)及余弦定理求出。，再由正弦定理求出sinA,即可得解；

(1)

解:因为/+加=/+aAsinC,即c?=标+，—成sinC,Xc2=a2+b2-2abcosC>

245.「2V5

rsinc=---sinC=-----

所以sinC=2cosC,又sir?C+cos2c=1,解得，［，或<5

「石

cosC=——cosC=----

55

sinC=----

因为Ce(O,))，所以，；,

cosC=

由ab=15cosC,所以〃/?=15x——=3小,

所以SAftc=—absinC=—X3A/5X^^-=3

M225

⑵

解：由(1)知cosC=—ab=3加,所以〃

5b

因为avb,所以/<36，

由余弦定理=a2+〃-a〃sinC,所以8=a?+与-2x3逐x好，

a5

即4—14/+45=0,)W得“2=5或〃=9(舍去)

答案第10页，共16页

R2j5_

所以a=石，由正弦定理二=三，所以4人asinC0,

sinAsinCsinA=-----=----度—=--

c2V22

因为。<人所以A为锐角，所以4=f：

4

19.(1)证明见解析

⑵46

【解析】

【分析】

(1)由已知，可得AO=3,AB=4,又由余弦定理可得以=4,进而可得上又

ADYAB,可得A£>J_平面由A£>〃BC,从而即可证明；

=

(2)由Vp-BCD^P-ABD~%-PA3=§5dABXAD即uj求解•

(1)

证明：因为四棱锥P—A5c。的底面是矩形，4AD=3AB,BD=5,

所以比>2=+4)2,解得A〃=3,A8=4,

因为PB=46，NPAB爸,

所以由余弦定理可得BD2=PA2+AB--2PAxABxcosNPAB,即

(4>/3)2=PA2+42-2PAx4xf-11解得%=4,

又P£>=5,所以PT)?=452+刈2,

所以姑_LAO,又AD_L49,PA[}AB=A,

所以ADL平面R4S,

因为40〃BC,

所以BC_L平面E4B；

(2)

解：三棱锥P-8co的体积

Vp-B8=^P-ABD=^D-PAB=§$/八/A。=4x/x4x4xsin—x3=46.

20.(1)答案见解析

(2)证明见解析

【解析】

【分析】

答案第11页，共16页

(1)求得/'(x)=(or+a—l)(x+l)e‘，分"=0、”<0、〃>0三种情况讨论，分析导数的

符号变化，由此可得出函数/(x)的增区间和减区间；

⑵由/(x)=0可得出加-x+〃=0,由0<”；结合判别式可判断出方程依2-x+a=O

的根的个数，由此可证得结论成立.

(1)

解：函数的定义域为R,f\x)=^ax2+(2«-l)x+«-l]e'=(ar+a-l)(x+I)ev.

当。=0时,则/'(x)=—(x+l)e',由r(x)<0可得x>-l,由f'(x)>0可得x<-l,

此时函数/(x)的单调递增区间为(e,-1),单调递减区间为

当4H0时，由1(x)=o可得x=1_l或X=T.

口当a<0时，——1<—1,由/'(x)<0可得x<1或x>—1,由/'(x)>0可得

1,,

——1<x<-l,

a

此时函数〃X)的单调递减区间为(-8,(-1,行)，单调递增区间为(：T,T

□当a>0时，—1>—1,由尸(x)<0可得—1<x<1,由/'(x)>0可得x<—1或

X>1-1,

此时函数/(X)的单调递增区间为(9,-1)、(!一1，"°)，单调递减区间为11，：T]

综上所述，当。<0时，函数f(x)的单调递减区间为1]、(-1,田)，单调递增区间

为m

当a=0时，函数f(x)的单调递增区间为(7,-1),单调递减区间为(-1,田)；

当"0时,函数f(x)的单调递增区间为(口,一1)、-L+S单调递减区间为

⑵

解：由〃x)=0可得加_x+a=0,因为0<a<g,则A=1-4/=(l_2a)(l+2a)>0,

即关于x的方程以2-x+a=0有两个不等的实根，

答案第12页，共16页

所以，当0＜。＜3时，/（X）在R上有且仅有两个零点.

【点睛】

思路点睛：讨论含参函数的单调性，通常注意以下几个方面：

（1）求导后看最高次项系数是否为0,须需分类讨论；

（2）若最高次项系数不为0,通常是二次函数，若二次函数开口方向确定时，再根据判别

式讨论无根或两根相等的情况；

（3）再根据判别式讨论两根不等时，注意两根大小比较，或与定义域比较.

22

21.（1）—X+^y-=1

43

（2）证明见解析

【解析】

【分析】

（1）由题意列出关于“力解的方程，解得答案；

（2）讨论直线斜率是否存在，然后设直线方程，并联立椭圆方程，得到根与系数的关系

式，进而表示出的表达式，化简，即可证明结论.

(1)

由题意得：-=-,2ab=4yf3,a2=b2+c2,

a2

BP=—,«/?=2>/3,

a-4

故解得/=4,从=3,

22

则椭圆方程为三+匕=1;

43

(2)

证明:由⑴可知,4(—2,0),右焦点为(1,0),

当直线MN的斜率不存在时，方程为x=l,

3333

此时不妨取则=2XI1=_1

12~i3-4

当当直线MN的斜率存在时，设方程为y=&（x-l）,

y=&(x-l)

联立Vy2,可得(3+4炉》2-8公工+4&2-12=0,A=16x9(it2+l)>0,

——+2=1

43

答案第13页，共16页

设加（为，乂）,"（占，丫2）,则X+左=8.,,占.X,=4：

-3+4r-3+4产

♦-9k2

故％•〉2=/（X-DUT）=T—77T

3+4k

而K'

芭+2x2+2

故人化=1—=_一=虫-1）心-1）

~%14-2x2+2（Xj+2）（X2+2）+2xix2x+4

-942一％2

=_______3+4—=3+4"=_