冯锡兰版工程力学课件11、弯曲内力 2

一.关于弯曲的概念

1.受力特点：杆件在包含其轴线的纵向平面内，承受垂直于轴线的横向外力或外力偶作用。

2.变形特点：直杆的轴线在变形后变为曲线。

3.梁的概念——以弯曲为主要变形的杆件称为梁。11-1弯曲的概念和实例纵向对称面

对称弯曲——外力作用于梁的纵向对称面内，因而变形后梁的轴线(挠曲线)是在该纵对称面内的平面曲线。

非对称弯曲——梁不具有纵对称面(例如Z形截面梁)，因而挠曲线无与它对称的纵向平面；或梁虽有纵对称面但外力并不作用在纵对称面内，从而挠曲线不与梁的纵对称面一致。

梁弯曲后，它的轴线变成了曲线。如果弯曲变形发生在外力作用平面内（形成平面曲线），则这种弯曲称为平面弯曲。本章只讨论：外力在同一平面内，变形也在此平面内的情况，也就是说只讨论平面弯曲问题。（平面弯曲是工程中最常见的情况）一.支座的几种基本形式1.固定端——实例如图a，计算简图如图b,c。11-2受弯杆件的简化(b)(c)MRFRxFRy(a)

2.固定铰支座——实例如图中左边的支座，计算简图如图b，e。

3.活动铰支座——实例如图a中右边的支座，计算简图如图c，f。二.载荷的简化载荷的类型q0均布载q(x)三角载qmax任意载q(x)abdx1.分布载荷q(x)――连续作用在一段长度的载荷。例如：自重、惯性力、液压等，单位：kg/cm，N/m。因为每个小微段（dx）可以看成一个小的集中力[q(x)dx]，根据理力平行力系求合力：合力着力点：――在载荷图的面积形心上q(x)abdx当分布载荷分布区段很小，在一个dx段上时，往往简化成集中力。（真正的集中力在工程中是不存在的）dx3．集中力矩M――往往是梁上安装附属构件所引起的。2．集中力P悬臂梁三.静定梁的基本形式简支梁外伸梁1.基本形式

在竖直荷载作用下，图a，b，c所示梁的约束力均可由平面力系的三个独立的平衡方程求出，称为静定梁。2.静定梁和超静定梁

图d，e所示梁及其约束力不能单独利用平衡方程确定，称为超静定梁。

图a所示跨度为l的简支梁其约束力为

梁的左段内任一横截面m－m上的内力，由m－m左边分离体(图b)的平衡条件可知：仍采用截面法确定梁上某截面的内力分量例11-1确定悬臂梁m-m处的内力11-3剪力和弯矩一.概念[1]求出A处的约束力取m-m截面右侧分析剪力弯矩若取截面的左侧分析由此可知，取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，方向相反。二.剪力和弯矩的正负号约定凡剪力对所取梁内任一点的力矩顺时针转向的为正，反之为负；凡弯矩使所取梁段产生上凹下凸变形的为正，反之为负。

上面的约定形式上比较繁琐，在实际求解问题中，可按照以下方法由外力直接判断内力的正负：左上右下，剪力为正；左顺右逆，弯矩为正。取截面左右两侧的部分构件计算，所得到的内力大小相等，符号相同。横截面上的剪力在数值上等于截面左侧（或右侧）梁上外力的代数和。横截面上的弯矩在树枝上等于截面左侧（或右侧）梁上外力对截面形心的力矩的代数和。例13-1求梁AB截面I-III-II的剪力和弯矩。[1]计算梁的约束力[2]选择I-I截面左侧为研究对象计算弯矩剪力[3]选择II-II截面右侧为研究对象计算弯矩剪力c求解梁指定截面的剪力和弯矩的一般步骤：1、求约束力（很重要）；2、选择被截下部分的梁作为研究对象，画出受力分析图；3、按照静力学平衡方程求出截面上的剪力和弯矩的具体数值。11-4剪力方程与弯矩方程剪力图与弯矩图一、剪力方程和弯矩方程

一般情况下，梁横截面上的剪力和弯矩随截面位置而变化，若以横座标x表示横截面在梁轴线上的位置，则各横截面上的剪力和弯矩都可以表示为x的函数。剪力方程弯矩方程

依照剪力方程和弯矩方程绘制的内力曲线图(x轴-横截面位置，y轴-剪力弯矩)称为剪力图和弯矩图。从前面的研究可以发现，弯曲变形时的内力图要比轴向拉压和扭转要复杂的多，这主要是由于引起弯曲内力的改变的外载的种类较多（垂直于轴线的载荷，力偶）。例11-3作以下悬臂梁的剪力和弯矩图[1]以A为原点建立x轴AB段中任取一个横截面m-m取截面左侧作为研究对象剪力方程:弯矩方程:[2]画出剪力弯矩图弯矩的极值发生在固定端处，绝对值的大小为:A右侧至B左侧梁段上并没有外加力（集中力/分布载）的作用，则A右侧至B左侧的剪力图表现为一条平行于x轴的直线，不发生突变。例11-4作以下简支梁的剪力和弯矩图1）计算约束力由于C点存在集中力，因此AC和CB段的剪力方程、弯矩方程并不一定相同。2）取AC段中某截面左侧部分进行受力分析：3）取CB段中某截面右侧部分进行受力分析：由此可知本例中的剪力方程和弯矩方程都是分段函数。剪力方程：弯矩方程：C处存在集中力F剪力图上发生突变突变的大小为

若梁上某点作用一向下（上）的集中力，则在剪力图上该点的极左侧截面到极右侧截面发生向下（上）的突变，剪力突变的大小等于该集中力的大小。课堂练习作以下简支梁的剪力弯矩图，并找出剪力弯矩图中的相关规律（时间3分钟）例11-5

作以下简支梁的剪力和弯矩图，并找出剪力图或弯矩图的规律整个梁段上存在均布载荷q剪力图上发生线性渐变渐变总的值为:等于均布载荷载整个梁段上的作用力的大小。

若梁上某段作用一向下（上）的均布载荷，则在剪力图上该段的左侧截面到右侧截面发生向下（上）的线性渐变，渐变总的值等于该均布载荷在此梁段上的总的作用力。例11-6

建立以下外伸梁的剪力方程和弯矩方程，并画出剪力图和弯矩图（已知均布载荷q=3kN/m,集中力偶M=3kNm）[1]求约束力

在CAADDB三段中，剪力和弯矩都不能用同一个方程式来表示，所以应分为三段建立剪力方程和弯矩方程。[2]取CA段中任意截面的左侧部分加以分析:[3]取AD段中任意截面的左侧部分加以分析:[4]取DB段中任意截面的右侧部分加以分析可以利用已经学的剪力图的相关规律来快速绘出剪力图去除约束代之以反力（集中力）C点的剪力为0，从C到A截面左侧作用均布载荷，总的大小为6kN,则在剪力图上表现为向下的直线，变化的总剪力为6kNA点此时有集中力14.5kN向上作用，因此在剪力图上发生向上的突变，变化值为14.5则-6+14.5=8.5从A到D是均布载荷，类似CA段处理斜线达到8.5-3×4=-3.5集中力偶不影响剪力图，不予考虑DB段上无力（分布载）的作用，因此，剪力图上表现为平行x轴的直线B点集中力向上3.5kN,剪力图向上突变3.5，最后达到0。8.5KN-6KN-3.5KN2.83m6.04KNm7KNm-6KNm课堂练习:请快速画出以下外伸梁的剪力图（时间3分钟）你画对了吗？11-5载荷集度、剪力和弯矩之间的关系由于载荷的不同，梁的剪力和弯矩图也不同。左图中FQ=0的截面上，弯矩有极值，其他的例子中也总结了一些规律，这都说明载荷、剪力、弯矩之间存在着一定的关系；找到这些关系，对我们方便快速地画出剪力弯矩图具有很大的益处。一、基本原理如图所示简支梁受到载荷的作用：建立坐标系取其中一微段dxq(x)为连续函数，规定向上为正将该微段取出，加以受力分析由（1）式可得:（2）式中略去高阶微量载荷集度q、剪力FQ、弯矩M之间存在着微分关系:剪力图上某点的斜率等于载荷集度的数值弯矩图上某点的斜率等于剪力的数值若q(x)为常数，则可根据这些关系得到如下表格二、具体应用通过这两式，也可验证:

若在梁上的某截面上FQ(x)=0,则在该截面上的弯矩具有一极值（极大或极小）。

弯矩的极值发生在剪力为0的截面上。讨论:下面的剪力弯矩图错在什么地方？（时间3分钟）（计算数值是否正确不考虑）11-受到集中力，在剪力图上应发生突变。2数值为正斜率为负2-剪力的数值为正，但弯矩图上相应的斜率为负。3剪力=0弯矩无极值3-剪力为0的截面上弯矩图上并未有极值。44-CB段上剪力线性变小，弯矩图的斜率应逐步变小，而非图示变大。不列剪力弯矩方程，画剪力弯矩图的基本步骤1、正确计算出约束力；2、按照剪力图的相关规则快速绘出剪力图；3、按照载荷集度、剪力、弯矩的微分关系绘出弯矩图的大致样式；4、计算弯矩在各段的极值。例11-7不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面外伸梁的剪力和弯矩图。计算约束力：画出剪力图根据微分关系列表如下哪个是对的？例11-8不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面外伸梁的剪力和弯矩图。约束力计算略，可得A和B处的约束力的大小。直接画出剪力图根据微分关系列表例11-9不列剪力方程和弯矩方程，绘出下面悬臂梁的剪力和弯矩图。计算约束力：画出剪力图画出弯矩图课堂练习:画出下面组合梁的剪力图和弯矩图（时间:5分钟）提示:B处为一个铰，AB和BC并不是一个构件注意B点:为什么B点的弯矩等于0？比较以下两个图:此类铰接，铰处无法承受弯矩，因此M=0此类铰接，M不一定为0三、曲杆、刚架的内力和内力图*

某些构件，如活塞环、链环、拱等一般也都有一纵向对称面，其轴线是一平面曲线，当载荷作用于纵向对称面内时，曲杆将发生弯曲变形。这时横截面上的内力一般有剪力FQ、弯矩M和轴力FN。如果载荷不是作用于纵向对称面内，其横截面上可能还有扭矩Mx。下面以四分之一圆周的曲杆为例来说明内力的计算。m-m

截面上有哪些内力分量？轴力剪力弯矩对于曲杆的内力符号约定:·引起拉伸变形的轴力FN为正；·使轴线曲率增加的弯矩M