专题09 与圆有关的综合压轴题（原卷版）

专题9与圆有关的综合压轴题题型一：圆与三角函数相似的结合【例1】如图，AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，D是弧BC的中点，BC与AD、OD分别交于点E、F．（1）求证：DO∥AC；（2）求证：DE•DA＝DC2；（3）若tan∠CAD=12，求sin∠【例2】已知，在中，，平分交于点，点为上一点，经过点，的分别交，于点，，连接，连接交于点．求证：为的切线．（2）求证：（3）若，，求的长度．【例3】如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，点E在圆外，OE⊥AC于D，BE交⊙O于点F，连接BD，BC，CF，∠BFC＝∠AED．求证：AE是⊙O的切线；（2）求证：△BOD∽△EOB；（3）设△BOD的面积为S1，△BCF的面积为S2，若tan∠ODB=53，求题型二：圆与三角形、四边形的综合【例1】如图，内接于中，弦BC交AD于点E，连接CD，交CD的延长线于点G，BG交于点H，．(1)如图1，求证：DB平分；(2)如图2，于点N，CN＝CG，求证：AN＝HG；(3)如图3．在（2）的条件下，点F在AE上，连接BF、CF，且，，BC＝5．求AE的长．【例2】如图，在△ABC中，，D为边BC上一点，于点E，以DE为直径的⊙O分别交线段BD，AD于点F，G，连结EF，EG．(1)求证：．(2)若，当DG与四边形DGEF其它三边中的一边相等时，求所有满足条件的BD的长．(3)当时，连结OC交AD于点H，记△DOH的面积为，△ACH的面积为，若，则的值为．（在横线上直接写出答案）【例3】．在△ABC中，点D在边BC上，连接AD．(1)如图1，已知AB⊥AC，点D为BC中点，CE⊥AD于点E．若AD＝7，CE＝4，求AE的长度：(2)如图2，当∠B＝45°，AC＝AD时，过点C作CE⊥AD交AD于点E，交AB于点F，连接DF，求证：DC＝．(3)如图3，当∠B＝45°，AC＝12，点D是边BC中点时，过点D作DN⊥AC交AC于点N，当线段DN取最大值时，请直接写出的值．【例4】(1)发现：如图1，在平面内，已知⊙A的半径为r，B为⊙A外一点，且AB＝a，P为⊙A上一动点，连接PA，PB，易得PB的最大值为，最小值为；（用含a，r的代数式表示）(2)应用：①如图2，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，E为AD边中点，F为AB边上一动点，在平面内沿EF将△AEF翻折得到△PEF，连接PB，则PB的最小值为；②如图3，点P为线段AB外一动点，分别以PA、PB为直角边，P为直角顶点，作等腰Rt△APC和等腰Rt△BPD，连接BC、AD．若AP＝3，AB＝7，求AD的最大值；(3)拓展：如图4，已知以AB为直径的半圆O，C为弧AB上一点，∠ABC＝60°，P为弧BC上任意一点，CD⊥CP交AP于D，连接BD，若AB＝6，则BD的最小值为．题型三：瓜豆原理【例1】如图，在平面直角坐标系中，C（0，4），A（3，0），⊙A半径为2，P为⊙A上任意一点，E是PC的中点，则OE的最小值是（）A．1 B．32 C．2 D．【例2】如图，等边△ABC中，AB＝2，点D是以A为圆心，半径为1的圆上一动点，连接CD，取CD的中点E，连接BE，则线段BE的最大值与最小值之和为．【例3】如图，直线y=34x+3与坐标轴交于A、B两点，⊙O的半径为2，点P是⊙O上动点，△ABP面积的最大值为cm【例4】如图，在直角坐标系中，⊙A的半径为2，圆心坐标为（4，0），y轴上有点B（0，3），点C是⊙A上的动点，点P是BC的中点，则OP的范围是．【例5】如图，∠BAD＝90°，AB＝AD＝4，点C为平面内一动点，且BC＝2，点M为线段CD中点，则线段AM的取值范围为．课后作业:1、如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接DE，P是DE上一点，∠BPC＝90°，延长CP交AD于点F．⊙O经过P、D、F，交CD于点G．（1）求证DF＝DP；（2）若AB＝12，BC＝10，求DG的长；（3）连接BF，若BF是⊙O的切线，直接写出ABBC2、（2021•泰安中考）如图1，O为半圆的圆心，C、D为半圆上的两点，且＝．连接AC并延长，与BD的延长线相交于点E．（1）求证：CD＝ED；（2）AD与OC，BC分别交于点F，H．①若CF＝CH，如图2，求证：CF•AF＝FO•AH；②若圆的半径为2，BD＝1，如图3，求AC的值．3、（2021•宁波中考）如图1，四边形ABCD内接于⊙O，BD为直径，上存在点E，满足＝，连结BE并延长交CD的延长线于点F，BE与AD交于点G．（1）若∠DBC＝α，请用含α的代数式表示∠AGB．（2）如图2，连结CE，CE＝BG．求证：EF＝DG．（3）如图3，在（2）的条件下，连结CG，AD＝2．①若tan∠ADB＝，求△FGD的周长．②求CG的最小值．4．如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．(1)∠APE＝°；(2)若⊙O与AD相切，①判断⊙O与CD的位置关系；②求的长；(3)如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；(4)若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．5．为了解决一些较为复杂的数学问题，我们常常采用从特殊到一般的思想，先从特殊的情形入手，从中找到解决问题的方法．已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，对角线AC与BD相交于点E．【特殊情形】(1)如图①，，过圆心O作，垂足为F．当BD是圆O的直径时，求证：．【一般情形】(2)如图②，，过圆心O作，垂足为F．当BD不是圆O的直径时，求证