2021年上海市中考数学复习-易错点03 函数（教师版）

易错点03函数

i.函数及其图像

2.一次函数的图像与性质

3.一次函数的实际应用

4.反比例函数

5.二次函数的图像性质与a、b、c的关系

6.函数解析式及与方程的关系

7.二次函数的实际应用

8.二次函数的综合应用

，错题01各个待定系数表示的意义。

1.(2020•上海中考真题)在平面直角坐标系xOy中，直线y=-；x+5与x轴、y轴分别交

于点4、8(如图).抛物线*ax2+bx(g0)经过点4.

(1)求线段4B的长；

(2)如果抛物线片ax2+bx经过线段A8上的另一点C,且8c=6，求这条抛物线的表达式；

(3)如果抛物线y=ax2+bx的顶点D位于△AOB内，求。的取值范围.

【答案】(1)5道；(2)y=--x2+-x；(3)--<a<0.

4210

【分析】(1)先求出A,B坐标，即可得出结论；

(2)设点C(m,-gm+5),则BC=^|m,进而求出点C(2,4),最后将点A,C代入抛

22

物线解析式中，即可得出结论；

(3)将点A坐标代入抛物线解析式中得出b=-10a,代入抛物线解析式中得出顶点D坐标为

(5,-25a),即可得出结论.

【详解】(1)针对于直线片-^-x+5,令x=0,y=5,/.8(0,5),

令y=O,则-gx+5=0,二X=10,二410,0),=48=疗1方=5不：

(2)设点C(m,-ym+5)./8(0,5),z.BC=^/n2+(-1w+5-5)2|m|.

•.・8C=V^,.,.好|m|=6,二m=±2.・.•点C在线段48上，=m=2,二C(2,4),

2

100a+10/?=0

将点A(10,0),C(2,4)代入抛物线y=ax2+bx("0)中，得〈，〜，

4a+2Z?=4

1

a——

415

U,•..抛物线y=--x2+-x；

b.=—542

2

(3),点A(10,0)在抛物线y="2+bx中，得100a+10b=0,b=-10a,

•••抛物线的解析式为y=ax2-10ax=a(x-5)2-25o,/.抛物线的顶点D坐标为(5,-25a),

将x=5代入y=-工x+5中，得片-,x5+5=—,...顶点。位于△AOB内，

222

51

0V-25。V—,--V。V0.

210

【点睛】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，抛物线的顶

点坐标的求法，求出点D的坐标是解本题的关键.

变式练习

2.(2020・上海松江区•九年级二模)如图，在平面直角坐标系内xOy中，某一次函数的图象

3

与反比例函数的丫=一的图象交于A(1,m)、B(n,-1)两点，与y轴交于C点.

x

(1)求该一次函数的解析式；

(2)求一的值.

BC

【答案】(1)y=x+2；(2)

【分析】(1)设一次函数解析式为y=kx+b(kxO),将A、B两点坐标代入反比例函数解析

式可求出m、n的值，再将A、B坐标代入一次函数解析式，即可求出一次函数解析式.

(2)己知A、B两点坐标，过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E,利用平行线分

线段成比例定理即可求解.

【详解】(1)设一次函数解析式为y=kx+b(kHO),

333

又,「A(l,m)、B(n,-1)在反比例函数y=一的图象上,,m=一,-1=一,

x1n

m=3,n=-3,A(l,3)、B(-3,-1),

k+b=3k=1

一次函数丫=1«<+13的图象过A(l,3)、B(-3,-1),

-2>k+b=-\b=2

二•所求一次函数的解析式是y=x+2；故答案为：y=x+2

（2）过点A、B分别作y轴垂线，垂足为分别D、E,过点B作BF垂直于AD的延长线于点

F,BF交y轴于点G

BCBGBG_3_3

y=x+2,令x=0,得y=2j0C=2则AFIIBE,

BG+GF~M~4

AC_1

~BC~3

【点睛】本题考查了反比例函数图象的性质，图象上的点的坐标满足函数解析式，利用待定

系数法可求得一次函数解析式，本题还考查了平行线分线段成比例定理的应用.

3.（2020•上海虹口区•九年级二模）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+3与x,y

YYI

轴分别交于点A、B,与双曲线丫=一交于点C（a,6）,己知AAOB的面积为3,求直线与双

X

曲线的表达式.

312

【答案】y=--x+3,y=—-

2x

【分析】先利用一次函数解析式确定B点坐标，再利用三角形面积公式求出0A得到A点坐

3

标为(2,0),接着把A点坐标代入y=kx+3中求出k得到一次函数解析式为y=--x+3,

2

然后利用•次函数解析式确定C点坐标，最后利用待定系数法求反比例函数解析式.

【详解】当x=0时，y=kx+3=3,则B(0,3),二△AOB的面积为3,

••—x3xOA=3,解得OA=2,「.A点坐标为(2,0),

2

3

把A(2,0)代入y=kx+3得2k+3=0,解得k=-----,

2

33

•次函数解析式为y=----x+3,把C(a,6)代入得----a+3=6,解得a=-2,

22

YYI

C点坐标为(-2,6),把C(-2,6)代入y=一得m=-2x6=-12,

x

1?

・••反比例函数解析式为y=—-.

x

【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐

标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两

者无交点.也考查了待定系数法求函数解析式.

易错题02各种函数解析式的求法以及函数与几何图形的关

系应用。

1.(2021•上海徐汇区•九年级一模)已知抛物线ynf+bx+c与V轴交于点C(0,2),它的

顶点为M，对称轴是直线x=—1.

(1)求此抛物线的表达式及点M的坐标；

(2)将上述抛物线向下平移风，〃>0)个单位，所得新抛物线经过原点。，设新抛物线的顶

点为N,请判断/xMON的形状，并说明理由.

【答案】（1）y=x2+2x+2,（一1,1）；（2）△MON是等腰直角三角形.

【分析】（1）根据对称轴是直线％=-1，可求b,再代入点C,可求抛物线解析式，把％=-1,

代入解析式，可求M点坐标；

（2）由原抛物线与y轴交点可知，抛物线向下平移2个单位，可求新顶点坐标，再求出

MO、ON、MN的长，可判断三角形形状.

【详解】解：（1）.抛物线对称轴是直线X=-l,二-2=-1,解得b=2,

2x1

把C（0,2）代入丫=/+法+。得，2=c,.•・抛物线解析式为：y=x2+2x+2；

把x=-l代入y=x?+2x+2得，y-（-1）2+2x（-1）+2,y=l,

点M的坐标为：（一1,1）.

（2）抛物线y=*2+2x+2与y轴交点为C（0,2）,向下平移风机>0）个单位后经过原点，

m=2,新抛物线的顶点N的坐标为：（-

ON=Vl2+12=&,OM=+『=0>MN=2，

MN2=OM2+ON2AMON是等腰直角三角形.

【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式和函数的平移以及勾股定理逆定理，灵活

运用已知条件，准确把握函数图象平移特征，根据三边长判断三角形形状是解题关键.

变式练习

2.（2021・上海九年级一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线）=以2+反一4与x

轴交于点A（T,0）和点3（2,0）,与>轴交于点C.

（1）求该抛物线的表达式及点C的坐标：

（2）如果点。的坐标为（—8,0）,联结AC、DC,求NACD的正切值；

（3）在（2）的条件下，点P为抛物线上一点，当NOCD=NC4P时，求点。的坐标.

【答案】⑴抛物线为丁="2+》一4,C（0,-4）；（2）tanZACD=-；（3）P\

23\39,

【分析】（1）将两个点坐标代入解析式即可求出，令x为0,求得C点坐标；

（2）过。作CA延长线的垂线，通过证明EAD-Q4c求出。E和EC的长度，再求出正

切值；

（3）设P。,52+―4）通过tanNB4P=tanNACD可求出参数t,从而得出P点坐标.

【详解】解：（1）将（-4,0）,（2,0）代入抛物线y=o?+Ax—4,

解得：。=工功=1,.•.抛物线为y=Jd+x—4,令x=0,得y=4,故C（0,-4）.

22

（2）过。作OEJ_AC交C4延长线于E，

因为ZE40=NO4C，ZDEA=ZCOA,..EAD-OAC,

DEEADA4

.■AD^4,DE=AE,由勾股定理得，DE=AE=2母,CO-O4-C4-472

DE_2血_1

DE=2V2-EA=2V2>EC=6后，..tanZACD

EC-672-3

（3）设尸（f，5产+f-4）,连接DP、AP,

N0CD=4CAP，ZOCA+ZACD=ZCAB+ZBAP.

450+ZACD=45°+ZBAP,AZACP=NBAP,

..tanN8AP=tanZACQ=g,..tanN3AP=(gf2+f_4)+«+4)=；

Q8型、

解得p

【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，相似三角形的证明和解直角三角形

等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型.

3.（2021•上海杨浦区•九年级一模）如图，已知在RzABC中，NACB=90°,AC=BC=4,

点D为边BC上一动点（与点B、C不重合），点E为边A6上一点，NEDB=ZADC,过

点E作垂足为点G,交射线AC于点F.

（1）如果点D为边的中点，求NZMB的正切值;

（2）当点F在边AC上时，设C£>=x,CF^y,求y关于x的函数解析式及定义域:

（3）联结。/如果CDF与AGE相似，求线段CO的长.

【答案】（1）tanZDAB=；；（2）y=-2x+4（0<xW2）；（3）4行-4、8-46或竽.

【分析】（1））过点D作。H_L43TH,在RfiCB中，利用勾股定理解得AD、AB的长，

再结合等积法，解得DH、AH的长即可解题；

（2）根据相似三角形对应边成比例的性质，表示E"=士匕再证明打4尸£BDE

x+4

4^_4>/2（4-X）

由牝=空即4-y=-----.v+4-得到与*的关系；

DBBE4-x4y/2（4-x）

x+4

（3）根据相似三角形对应边成比例的性质，结合（2）中y关于x的函数解析式联立方程组，

继而解得x、y的值即可解题.

【详解】（1）过点D作于H,

在RACS中，AD=JCD。+CD?=2底:.AB=1AC。+BC2=4五

：.SADB=\DB.AC=.,"

_______DH]

AH=^ADr-DH2=372,tanZDAB=——=-；

AH3

(2)过E作EH±CB于H

./EDB=ZADC，ZC=ZE//D=90°/.ACDEHD.

ACEH„„4EH4(4-x)

------Up———----------------EH

CDDHx4-x-EHx+4

EH±CB,ZAC3=90°，AC=BC=4

4血(4—x)40(4—x)

•-EB=yr/2EH=————1，AB=4r0.••AE=4夜r-----i-------L

x+4x+4

EFLAD,ZC=90°,­•ZAFG^ZADC..ZEDB=ZADC.ZAFG=/EDB.

ZFAE=ZB=45°--fAFEBDE.

4向4夜(4T)

二.竺=空即^12=-------"+,—.整理得，>=-2x+4(0<xW2)；

DBBE4-x4G(4-x)')

x+4

(3)在RtAMDB中,DB=4-x,所以MD=MB=XZ(4-X).

2

在R3ADM中，AM=AB-MB=4>/2-—(4-X)=—(4+X).

22

DM4-x

所以tanzDAB=——­=---按照点F的位置，分两种情况讨论小CDF与^AGE相似:

AM4+元

①点F在线段AC上，此时y=4-2x.如图,

y4-X

如果NFDC=ZDAB,由tanZFDC=tanZDAB,得二=----

X4+x

结合y=4-2x,整理，得x2+8x+16=0.解得x=4&-4或-4近-4（舍去）,

犬4—x

如果/CFD=ZDAB,由tanzCFD=tanZDAB,得一=-——

y4+x

结合y=4--2x,整理，得*2-3<+16=0.解得％=8-4>6或8+4由（舍去）

②点F在线段AC的延长线上，此时y=2x-4如图

F

y4—x

如果NFDC=NDAB,由土=----结合y=2x-4,整理，得3/-16=0.

X4+X

4J3x4-x

解得X=空归或4m-（舍去）如果NCFD=NDAB,-="——与y=2x-4

33y4+x

整理，得3d_8x+16=0.此方程无解.综上，CD的值为4拒-4、8-4百或手.

【点睛】本题考查勾股定理、相似三角形的性质，涉及解二元一次方程组等知识，解题关键

是根据题意利用相似三角形性质构造方程.

4.（2021•上海九年级专题练习）如图，已知对称轴为直线x=-l的抛物线了=。^+区+3

与X轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点A的坐标为（1,（））.

(1)求点B的坐标及抛物线的表达式;

(2)记抛物线的顶点为p,对称轴与线段3C的交点为。，将线段PQ绕点。，按顺时针

方向旋转120。，请判断旋转后点P的对应点P是否还在抛物线上，并说明理由；

(3)在x轴上是否存在点M，使△MOC与BCP相似？若不存在，请说明理由；若存

在请直接写出点M的坐标(不必书写求解过程).

【答案】(1)8(-3,0),y=_f_2x+3；(2)P在抛物线上，理由见解析；(3)存在；

M(1,0)或(9,0)或(-4,0)或(一9,0)

【分析】(1)根据轴对称图形的性质，对应点到对称轴的距离相等，方向相反，可得点B

的坐标，用待定系数法求得函数解析式.

(2)求出直线BC的解析式，计算得出线段PQ的长度，过P'作产。平行于x轴，PO交

抛物线对称轴于点D,根据旋转角度解直角三角形，得出P'的坐标，将P的横坐标代入抛

物线的解析式，计算并判断即可得出答案.

(3)根据勾股定理可得出BCP是直角三角形，根据相似三角形的性质分类讨论，得出点

M的坐标.

【详解】解：(1)rA、B是关于直线X=T轴对称图形的两点，点A的坐标为(1,0)，

.・•点B的横坐标为一1一[1一(-1)]=-3,.•.点B的坐标为(—3,0)；

.f0="+0+3[a=—\

将A、B两点坐标值代入y=or?+法+3可列方程组：〈八解得,

0=9。-3b+3[b=-2

二抛物线的表达式为：y=-x2-2x+3.

(2)1•点P为抛物线顶点，直线x=—l为抛物线的对称轴，

二点P的横坐标为-1,纵坐标为y=-f—2x+3=—(—l)2—2x(—1)+3=4,

.・•点P的坐标为(一1,4),直线BC的解析式为y=fcr+b,将B、C的值代入可列方程:

f3=0+bk二i

八》，解得〈,BC与对称轴交于点Q,.,.当X=-1,y=x+3=-l+3=2,

0=—3k+bb=3

.・•点Q的坐标为(-1,2),PQ=4—2=2,p是点P绕点Q顺时针旋转120。得至I」的,

P'Q=PQ=2,过p作P0平行于x轴，PD交抛物线对称轴于点D,如图:

•.在放QZ5P'中，NP'QD=180°—120°=60°,P'Q=2,QD=l,DP'=6

•••点P横坐标为点D横坐标加即:-1+73，

点P'纵坐标为点Q纵坐标减。Q,即：2—1=1，

将尸'的横坐标值代入y=-Y-2》+3,y=—(-1尸一2x(―1)+3=1,

0'的坐标符合抛物线表达式，二P'在抛物线上.

(3)•，•BP2=[-3-(-1)]2+(0-4)2=20,PC2=(-1-0)2+(4-3)2=2,

BC2=(-3-0)2+(0-3)2=18，20=18+2,BP2=PC2+BC2>

8cp是直角三角形，ZBCP=90°,BC=3金,PC=72)

..M是x轴上一点，ZCOM=90°,若ZOCM=NCBP，则OCM^CBP，

CB_3y/2

PC=3.此时，点M坐标为（1,0）或（一1,0）,

~OM

PCCPV21

若NOCW=NCPB，则OCMsCPB，

此时，点M坐标为（9,0）或（一9,（））,

•••综上，点M存在，点”坐标为（1,0）或（9,0）或（—1,0）或（—9,0）.

【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、勾股定理及相似三角形的性质，运

用分类讨论的思想是解决第（3）小题的关键.

易错题03利用图像求不等式的解集和方程（组）的解，利用

图像性质确定增减性。

1.（2020・上海中考真题）如果函数丫=卜乂（七0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x

的值增大而.（填"增大"或"减小"）

【答案】减小

【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可.

【详解】解：函数y=kx（kw0）的图象经过第二、四象限，那么y的值随x的值增大而

减小，

故答案为：减小.

【点睛】此题考查的是判断正比例函数的增减性，掌握正比例函数的性质是解决此题的关键.

变式练习

2.（2021・上海长宁区•九年级一模）已知抛物线y=f_2x+C经过点A（-1,y,）和B（2,y2）,

比较为与力的大小：y%（选择""或"V"或"="填入空格）•

【答案】〉

【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得y与丫?的值，然后比

较它们的大小即可.

【详解】；抛物线y=-—2x+c经过点A（-l，x）和8（2,%），==3+c,y2=c,

%-%=3＞0，M＞必，故答案为：＞.

【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点关于对称轴对称，且都满

足函数关系式.

易错题04利用函数模型解实际问题。

L（2021•上海黄浦区•）如图，一个管道的截面图，其内径（即内圆半径）为10分米，管

壁厚为x分米，假设该管道的截面（阴影）面积为y平方分米，那么y关于x的函数解析式

是.（不必写定义域）

【答案】y-KX1+20^x

【分析】根据阴影部分的面积等于大圆面积减去小圆面积即可求出结论.

【详解】解：由题意可得:丫=乃（1（）+x）2—1。2万=乃12+2（）%X,故答案为：）=万尤2+20万X.

【点睛】此题考查的是求函数关系式，掌握环形面积=大圆面积一小圆面积是解题关键.

2.（2020•上海虹口区•九年级二模）某公司市场营销部的个人月收入y（元）与其每月的销

售量x（件）成一次函数关系，其图象如图所示，根据图中给出的信息可知，当营销人员的

月销售量为0件时，他的月收入是元.

【答案】3000

【分析】根据函数图象中的数据，可以求得y与x的函数关系式，然后令x=0,求出相应

的y的值，即可解答本题.

\0Qk+b=S000

【详解】解：设丫与x的函数关系式为丫;10^^《200女+0_13000

k=50

解得：1,1即y与X的函数关系式为y=50x+3000,

b=3000

当*=0时-，y=3000,即当营销人员的月销售量为0件时.，他的月收入是3000元，

故答案为：3000.

【点睛】此题考查一次函数图像的实际应用，难度一般，属于常考题型.

变式练习

3.（2021・上海九年级专题练习）某同学计划购买一双运动鞋，在网站上浏览时发现如表所

示的男鞋尺码对照表.

中码CHN220225230250255260

美码USA4.555.57.588.5

如果美码（y）与中码（x）之间满足一次函数关系，那么y关于x的函数关系式为

【答案】y=O.lx-17.5

【分析】设y关于x的函数关系式为：y=kx+b,利用待定系数法求解析式.

【详解】解：设y关于x的函数关系式为：y=kx+b.

’5225k+bZ=0.1

由题意可得:<，解得:

8255k+b%=-17.5

•.y关于x的函数关系式为y=O.lx-17.5,故答案为:y=O.lx-17.5.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，利用待定系数法求解析式，理解题意是本题的关键.

4.（2021・上海九年级专题练习）某文具店店主到批发中心选购甲、乙两种品牌的文具盒，

预计购进乙品牌文具盒的数量》（个）与甲品牌文具盒的数量X（个）之间的函数关系如图

所示.

（1）求y关于x的函数解析式（不必写出自变量x的取值范围）；

（2）该店主用3000元选购了甲品牌的文具盒，用同样的钱选购乙品牌的文具盒.乙品牌文

具盒的单价比甲品牌的单价贵15元，求所选购的甲、乙文具盒的数量.

【答案】（1）y=-x+300；（2）甲乙文具盒的数量分别为200个，100个.

【分析】（1）设丫=[«<+1）,然后根据题意利用待定系数法解答即可;

（2）根据"单价=总钱数+数量”以及两种品牌的文具盒的单价的差列分式方程求解即可.

【详解】解：（1）设丫=1^+13,由函数图象经过点（50,250）,（200,100）,

「50%+人=250[k=-\

，所以y关于X的函数解析式为y=-x+300：

20（U+b=100/?=300

（2）设甲品牌文具盒的数量X个，

,力30003000

由题屈在」-----------------15,解得Xi=200,X2=-300,

-x+300x

经检验Xi=200是原分式方程的解，X2-300不符题意舍去

则购买乙品牌的文具盒为-200+300=100个.答：选购的甲、乙文具盒分别为200个、100个.

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式以及分式方程的应用，掌握运用待定系数求一次

函数解析式是解答本题的关键.

5.（2021•上海九年级专题练习）如图，是某型号新能源纯电动汽车充满电后，蓄电池剩余

电量y（千瓦时）关于已行驶路程x（千米）的函数图象.

（1）根据函数图象，蓄电池剩余电量为35千瓦时汽车已经行驶的路程为一千米.当

0VXV150时，消耗1千瓦时的电量，汽车能行驶的路程为千米.

（2）当1504x00时，求y关于X的函数表达式，并计算当汽车已行驶160千米时，蓄

电池的剩余电量.

y（千瓦时）

150200x（千米）

【答案】（1）150,6；（2）y=-gx+lio,30

【分析】（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米，据此即

可求出1千瓦时的电量汽车能行驶的路程：

（2）运用待定系数法求出了关于X的函数表达式，再把x=160代入即可求出当汽车已行驶

160T米时，蓄电池的剩余电量.

【详解】解：（1）由图象可知，蓄电池剩余电量为35千瓦时时汽车已行驶了150千米.

1千瓦时的电量汽车能行驶的路程为：J"=6（千米），故答案为：150；6.

60-35

（2）设当15（）＜xW200时，y与X之间的函数关系式为：y=kx+b（kxO）,

由图可知,函数图象过点（150,35）,（200,10）,

150)+b=35k---1

得，解得2,,y=--x+110,当x=160时，y=-80+110=30

200k+8=10b=1102

【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键：（1）熟练运用待定系数法就解析式；（2）

找出剩余油量相同时行驶的距离.本题属于基础题，难度不大，解决该类问题应结合图形，

理解图形中点的坐标代表的意义.

6.（2019•上海市上外民办劲松中学）《中华人民共和国个人所得税》规定，公民月工资、

薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款

按下表累进计算：

全月应税所得额税率

不超过500元的部分5%

超过500元至2000元的部分10%

超过2000元至5000元的部分15%

（纳税款=应纳税所得额X对应税率）

（1）设某甲的月工资、薪金所得为X元（1300<xV2800）,需缴交的所得税款为y元，试

写出y与x的函数关系式；

（2）若某乙一月份应缴所得税款95元，那么他一月份的工资、薪金是多少元？

【答案】（l）y与x的函数关系式为：y=0.lxT05；

（2）他一月份的工资、薪金是2000元.

【分析】（1）由题意，甲得到的月工资、薪金所得为x元（1300〈水2800）,则对应的纳税区

间为：1300-800=500；2800-800=2000,即对应的纳税款区间为：超过500元至2000元的部

分，即可得出y与x的函数关系式；

（2）将税款95元代入（1）中的函数关系式中即可得出一月份的工资、薪金.

【详解】解：由题意

（1）•••甲得到的月工资、薪金所得为1300〜2800元，则对应的纳税范围为：1300-800=

500；2800-800=2000,即对应的纳税款区间为：超过500元至2000元的部分

Ay=500X5%+（x-800-500）X10%=0.lx-105

故y与x的函数关系式为：y=0.lx-105

（2）某乙一月份应缴所得税款95元，由（1）关系式可知，令y=95.得95=0.lx-105,

解得x=2000,满足所对应的纳税区间.

即他一月份的工资、薪金是2000元.

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，需能够根据实际关系列出表达式.

7.（2018•上海金山区•九年级二模）九年级学生到距离学校6千米的百花公园去春游，一

部分学生步行前往，20分钟后另一部分学生骑自行车前往，设》(分钟)为步行前往的学

生离开学校所走的时间，步行学生走的路程为y千米，骑自行车学生骑行的路程为为千米，

X、%关于X的函数图象如图所示.

(1)求为关于X的函数解析式；

(2)步行的学生和骑自行车的学生谁先到达百花公园，先到了几分钟？

【答案】%=0.2片4：(2)骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.

【分析】

(1)根据函数图象中的数据可以求得为关于%的函数解析式；

(2)根据函数图象中的数据和题意可以分别求得步行学生和骑自行车学生到达百花公园的

时间，从而可以解答本题.

【详解】

解：(1)设为关于*的函数解析式是%=履+力，

]20%+。=0伙=0.2

<，得《，

[40%+0=4[b=-4

即为关于%的函数解析式是y2=0.2x-4；

(2)由图象可知,

步行的学生的速度为：4+40=0.1千米/分钟，

二步行同学到达百花公园的时间为：6+0.1=60（分钟），

当为=8时，6=0.2x-4，得第=50,

60-50=10,

答：骑自行车的学生先到达百花公园，先到了10分钟.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答.

8.（2018•上海奉贤区•九年级二模）某学校要印刷一批艺术节的宣传资料，在需要支付制

版费100元和每份资料0.3元印刷费的前提下，甲、乙两个印刷厂分别提出了不同的优惠条

件.甲印刷厂提出：所有资料的印刷费可按9折收费；乙印刷厂提出：凡印刷数量超过200

份的，超过部分的印刷费可按8折收费.

（1）设该学校需要印刷艺术节的宣传资料x份，支付甲印刷厂的费用为y元，写出y关于

x的函数关系式，并写出它的定义域；

（2）如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择哪家印刷厂比较优惠？

【答案】（1）y甲=0.27x+100（x>0）；（2）选择乙印刷厂比较优惠.

【分析】（1）根据题意直接写出两厂印刷厂的收费y甲（元）关于印刷数量x（份）之间的

函数关系式：

（2）分别将两厂的印刷费用等于2000元，分别解得两厂印刷的份数即可.

【详解】（D根据题意可知：

甲印刷厂的收费y甲=0.3xX0.9+100=0.27A+100,y关于x的函数关系式是y甲=0.27^-100（%

>0）；

（2）由题意可得：该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，在甲印刷厂需要花费：

027X600+100=262（元）,在乙印刷厂需要花费：100+200X0.3+0.3X0.8X（600-200）

=256（元）.

；256<262,...如果该学校需要印刷艺术节的宣传资料600份，那么应该选择乙印刷厂比较

优惠.

【点睛】本题考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取

值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题.

9.(2018•上海静安区•九年级二模)今年本市蜜桔大丰收，某水果商销售一种蜜桔，成本

价为10元/千克，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于18

元/千克，市场调查发现，该产品每天的销售量丁(千克)与销售价X(元/千克)之间的函

数关系如图所示：

(1)求V与％之间的函数关系式；

(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为多少？

【答案】(1)y=-2x+60(10<%<18)；(2)该经销商想要每天获得150元的销售利润,

销售价应定为15元.

【分析】(1)观察函数图象找出点的坐标，再利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关

系式；

(2)根据总利润=每千克的销售利润X销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之

取符合题意值即可得出结论.

【详解】(1)设y与X之间的函数关系式y=Ax+b(%H0),

10左+。=40%=—2

把(10,40),(18,24)代入得：＜解得:

18%+8=246=60

，y与x之间的函数关系式＞=-2x+60（10WxW18）；

（2）根据题意得：（x-10）（-2x+60）=150,

整理得：%2-40^+375=0-

解得：玉=15,々=25（不合题意，舍去）.

答：该经销商想要每天获得150元的销售利润，销售价应定为15元.

【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准点

的坐标，利用待定系数法求出函数关系式；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程.

易错题05数形结合思想方法的运用，还应注意结合图像性质

解题。函数图象与图形结合学会从复杂图形分解为简单图形的方法,

图形为图像提供数据或者图像为图形提供数据。

1.（2021・上海徐汇区•九年级一模）已知二次函数;；=必2_2办+。+4（。＜0）的大致图像

如图所示，这个函数图像的顶点为点D.

（1）求该函数图像的开口方向、对称轴及点。的坐标：

（2）设该函数图像与y轴正半轴交于点C,与X轴正半轴交于点8,图像的对称轴与X轴

交于点A，如果DC±BC,tanZDBC=^,求该二次函数的解析式；

（3）在（2）的条件下，设点M在第一象限该函数的图像上，且点M的横坐标为

25

如果AACM的面积是一，求点”的坐标.

【答案】(1)抛物线开口向下，对称轴为直线X=l,顶点0(1,4)；(2)y=-x2+2x+3-.

(3)点M的坐标为

【分析】(1)根据二次函数图象与系数之间的关系即可判断开口方向，对称轴以及顶点坐标；

(2)过点D作DE_Ly轴，即可判断出△CDE-△BC。，然后结合tanZDBC=',可推出

CD1

—从而通过相似三角形的性质列式求解。，即可得出解析式；

BC3

(3)首先根据M的坐标求出直线CM的解析式，从而得到直线CM与对称轴的交点P的坐

标，进而利用割补法建立关于AACM面积的等式，求解出t的值即可.

—2Q

【详解】(1)VavO,••.抛物线开口向下，根据对称轴公式可得：x=-=1,

-2a

当x=1时，y=4,则顶点0(1,4)抛物线开口向下，对称轴为直线％=1,顶点D(l,4)；

(2)如图所示，作DE_Ly轴，由(1)可知顶点0(1,4),则OA=ED=1,DC_LBC,

ZDCE+ZBCO=90°,又ZDCE+ZCDE=90°,ZCDE=ZBCO,：.目CDE-△BCO,

EDCDCD

,tanZDBC=-,

OCBC3BC一3

当x=0时，y=a+4,即点c的坐标为(0,。+4);0C=a+4,则：-

a+43

解得：。=一