初一刷题资料

./1．如图1,在△ABC中,∠B=90°,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E．〔1∠E=°；〔2分别作∠EAB与∠ECB的平分线,且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；〔3在〔2的条件下,射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC,设EC与AB的交点为H,射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC,射线HN与FM交于点P,若∠FAH,∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,请直接写出m,n的值．2．直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线OP上运动,点B在射线OM上运动．〔1如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化,请说明理由；若不发生变化,试求出其值；〔2如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F,则∠EAF=°；在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数．3．已知,在△ABC中,∠A=∠C,点F和E分别为射线CA和射线BC上一点,连接BF和FE,且∠BFE=∠FEB．〔1如图1,当点F在线段AC上时,若∠FBE=2∠ABF,则∠EFC与∠FBE的数量关系为．〔2如图2,当点F在CA延长线上时,探究∠EFC与∠FBA的数量关系,并说明理由．〔3如图3在〔2的条件下,过C作CH⊥AB于点H,CN平分∠BCH,CN交AB于N,由N作NM⊥NC交CF于M,若∠BFE=5∠FBA,MN∥FB时,求∠ABC的度数．4．〔Ⅰ〔1问题引入如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=〔用α表示；〔2拓展研究如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数〔用α表示〔3归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=〔用α表示．〔Ⅱ类比探索〔1特例思考如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数〔用α表示．〔2一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=〔用α表示．5．〔1如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系,并说明理由；〔2如果把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED外部点A′的位置,如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出．〔3如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置,如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系．6．已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线,BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线,如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线〔即∠A3BC=∠A1BC,∠A3CB=∠A1CB,如图②；依此画图,BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线〔即∠AnBC=∠A1BC,∠AnCB=∠A1CB,n≥2,且n为整数．〔1若∠A1=70°,求∠A2的度数；〔2设∠A1=α,请用α和n的代数式表示∠An的大小,并写出表示的过程；〔3当n≥3时,请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系．7．如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC,且∠ABC＞∠C．求证：∠DAE=〔∠ABC﹣∠C．8．如图,在△ABC中,AD,BD分别平分∠CAB和∠CBA,相交于点D．〔1如图1,过点D作DE∥AC,DF∥BC分别交AB于点E、F．①若∠EDF=80°,则∠C=；②若∠EDF=x°,证明：∠ADB=〔90+°．〔2如图2,若DE,BE分别平分∠ADB和∠ABD,且EF,BF分别平分∠BED和∠EBD,若∠BFE的度数是整数,求∠BFE至少是多少度？9．已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α．〔1当α=40°时,∠BPC=°,∠BQC=°；〔2当α=°时,BM∥CN；〔3如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数；〔4在α＞60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：．10．Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点．令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．〔1若点P在线段AB上,如图〔1所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=°；〔2若点P在边AB上运动,如图〔2所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系？〔3若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动〔CE＜CD,则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．11．〔1如图①,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=40°,∠ABC=30°,求∠AEC的大小；〔2如图②,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=m°,∠ABC=n°,求∠AEC的大小；〔3如图③,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在,请写出你得结论,并给出证明；若不存在,请说明理由．12．〔1如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点,点C为x轴上的一个动点〔与点O,A不重合,分别作∠OBC和∠ACB的角平分线,两角平分线所在直线交于点E,直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．〔2如图2,在平面直角坐标系xOy中,△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上,射线FO平分∠GFH,过点H的直线MN交x轴于点M,满足∠MHF=∠GHN,过点H作HP⊥MN交x轴于点P,请探究∠MPH与∠G的数量关系,并写出简要证明思路．13．在△ABC中,点D为△ABC的三条内角平分线的交点,BE⊥AD于点E,〔1当∠BAC=80°,∠ACB=60°时,∠BDC=．∠DBE=．〔2当∠BAC=α,∠ACB=β时,用含有α的代数式表示∠BDC的度数,用含有β的代数式表示∠DBE的度数．〔3如图2,若AD平分∠BAC,CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BE⊥AD于点E,〔2中的两个结论是否发生变化？14．如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=60°〔1求∠DAE的度数；〔2如图②,若把"AE⊥BC"变成"点F在DA的延长线上,FE⊥BC",其他条件不变,求∠DFE的度数；〔3如图③,若把"AE⊥BC"变成"AE平分∠BEC",其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由．15．如图,AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,求证：∠AFD=〔∠H+∠BGC．16．如图,已知CD是△ABC的角平分线,E是BC上的点,∠B=60°,∠ACE=∠CAE=20°．求∠CDE的度数．17．如图,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,CE与BD交于F,连接AF并延长交BC于H,过F作FG⊥BC于G．〔1若∠ABC=45°,∠ACB=65°,求∠HFG的度数；〔2根据〔1中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；〔3试探究∠BFH与∠CFG的大小关系,并说明理由．18．如图1,在△ABC中,∠A=60°,∠CBM,∠BCN是△ABC的外角,∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D．〔1求∠BDC的度数；〔2在图1中,过点D作DE⊥BD,垂足为点D,过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F〔如图2,求证：BF是∠ABC的平分线．19．老师给了小胖同学这样一个问题：如图1,△ABC中,BE是∠ABC的平分线,点D是BC延长线上一点,2∠D=∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BED小胖通过探究发现,过点C作CM∥AD〔如图2,交BE于点M,将∠BED转移至∠BMC处,结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线,在△ABC中求出∠BMC,从而得出∠BED．〔1请按照小胖的分析,完成此题的解答：〔2参考小胖同学思考问题的方法,解决下面问题：如图3,在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G,若∠A=m°,求∠G的度数〔用含m的式子表示20．△ABC的三条角平分线相交于点I,过点I作DI⊥IC,交AC于点D．〔1如图1,求证：∠AIB=∠ADI；〔2如图2,延长BI,交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系,并说明理由；②若∠BAC=70°,求∠F的度数．21．如图1,已知△ABC,射线CM∥AB,点D是射线CM上的动点,连接AD．〔1如图2,若∠ACB=∠ABC,∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°,AD∥BC,则∠AEC的度数为；②在点D运动的过程中,探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；〔2若∠ACB=n∠ABC,∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E,∠CAE=n∠EAD,那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为．22．如图,在△ABC中,点D为∠ABC的平分线BD上一点,连接AD,过点D作EF∥BC交AB于点E,交AC于点F．〔1如图1,若AD⊥BD于点D,∠BEF=130°,求∠BAD的度数；〔2如图2,若∠ABC=α,∠BDA=β,求∠FAD+∠C的度数〔用含α和β的代数式表示．23．如图,直线m与直线n互相垂直,垂足为O,A、B两点同时从点O出发,点A沿直线m向左运动,点B沿直线n向上运动．〔1若∠BAO和∠ABO的平分线相交于点P,在点A、B的运动过程中,∠APB的大小是否会发生变化？若不发生变化,请求出其值；若发生变化,请说明理由；〔2若△ABO的两个外角的平分线AQ、BQ相交于点Q,AP的延长线交QB的延长线于点C,在点A、B的运动过程中,∠Q和∠C的大小是否会发生变化？若不发生变化,请求出∠Q和∠C的度数；若发生变化,请说明理由．24．如图1,在△ABC中,∠ABC的平分线与∠ACB的平分线交于点D．我们可以得到一个一般性的结论∠BDC=90°+∠A．请应用这一结论,解决下面的问题．〔1如图2,过点D任意作直线MN,分别交AB和AC于点M和N,求∠MDB+∠NDC的度数〔用含∠A的代数式表示．〔2如图3,当过点D直线MN与AB的交点仍在线段AB上,而与AC的交点在AC的延长线上时,∠MDB、∠NDC、∠A三者之间存在怎样的数量关系？说明你的理由．〔3如图4,当过点D直线MN与AB的交点在线段AB的延长线上,而与AC的交点在线段AC上时,〔2问中∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系是否仍然成立？若成立,请说明你的理由；若不成立,请给出∠MDB、∠NDC、∠A三者之间的数量关系,并说明你的理由．25．△ABC中,三个内角的平分线交于点O,过点O作OD⊥OB,交边BC于点D．〔1如图1,猜想∠AOC与∠ODC的关系,并说明你的理由；〔2如图2,作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．①求证：BF∥OD；②若∠F=35°,求∠BAC的度数．一．解答题〔共25小题1．如图1,在△ABC中,∠B=90°,分别作其内角∠ACB与外角∠DAC的平分线,且两条角平分线所在的直线交于点E．〔1∠E=45°；〔2分别作∠EAB与∠ECB的平分线,且两条角平分线交于点F．①依题意在图1中补全图形；②求∠AFC的度数；〔3在〔2的条件下,射线FM在∠AFC的内部且∠AFM=∠AFC,设EC与AB的交点为H,射线HN在∠AHC的内部且∠AHN=∠AHC,射线HN与FM交于点P,若∠FAH,∠FPH和∠FCH满足的数量关系为∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,请直接写出m,n的值．[解答]解：〔1如图1,∵EA平分∠DAC,EC平分∠ACB,∴∠CAF=∠DAC,∠ACE=∠ACB,设∠CAF=x,∠ACE=y,∵∠B=90°,∴∠ACB+∠BAC=90°,∴2y+180﹣2x=90,x﹣y=45,∵∠CAF=∠E+∠ACE,∴∠E=∠CAF﹣∠ACE=x﹣y=45°,故答案为：45；〔2①如图2所示,②如图2,∵CF平分∠ECB,∴∠ECF=y,∵∠E+∠EAF=∠F+∠ECF,∴45°+∠EAF=∠F+y①,同理可得：∠E+∠EAB=∠B+∠ECB,∴45°+2∠EAF=90°+y,∴∠EAF=②,把②代入①得：45°+=∠F+y,∴∠F=67.5°,即∠AFC=67.5°；〔3如图3,设∠FAH=α,∵AF平分∠EAB,∴∠FAH=∠EAF=α,∵∠AFM=∠AFC=×67.5°=22.5°,∵∠E+∠EAF=∠AFC+∠FCH,∴45+α=67.4+∠FCH,∴∠FCH=α﹣22.5①,∵∠AHN=∠AHC=〔∠B+∠BCH=〔90+2∠FCH=30+∠FCH,∵∠FAH+∠AFM=∠AHN+∠FPH,∴α+22.5=30+∠FCH+∠FPH,②把①代入②得：∠FPH=,∵∠FCH=m∠FAH+n∠FPH,α﹣22.5=mα+n,解得：m=2,n=﹣3．2．直线MN与直线PQ垂直相交于O,点A在射线OP上运动,点B在射线OM上运动．〔1如图1,已知AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,点A、B在运动的过程中,∠AEB的大小是否会发生变化？若发生变化,请说明理由；若不发生变化,试求出其值；〔2如图2,延长BA至G,已知∠BAO、∠OAG的角平分线与∠BOQ的角平分线及其延长线相交于E、F,则∠EAF=90°；在△AEF中,如果有一个角是另一个角的3倍,试求∠ABO的度数．[解答]解：〔1∠AEB的大小不变,∵直线MN与直线PQ垂直相交于O,∴∠AOB=90°,∴∠OAB+∠OBA=90°,∵AE、BE分别是∠BAO和∠ABO角的平分线,∴∠BAE=∠OAB,∠ABE=∠ABO,∴∠BAE+∠ABE=〔∠OAB+∠ABO=×90°=45°,∴∠AEB=135°；〔2∵AE、AF分别是∠BAO和∠OAG的角平分线,∴∠EAO=∠BAO,∠FAO=∠GAO,∴∠EAF=〔∠BAO+∠GAO=×180°=90°．故答案为：90；∵∠BAO与∠BOQ的角平分线相交于E,∴∠EAO=∠BAO,∠EOQ=∠BOQ,∴∠E=∠EOQ﹣∠EAO=〔∠BOQ﹣∠BAO=∠ABO,即∠ABO=2∠E,在△AEF中,∵有一个角是另一个角的3倍,故分四种情况讨论：①∠EAF=3∠E,∠E=30°,则∠ABO=60°；②∠EAF=3∠F,∠E=60°,∠ABO=120°〔舍去；③∠F=3∠E,∠E=22.5°,∠ABO=45°；④∠E=3∠F,∠E=67.5°,∠ABO=135°〔舍去．∴∠ABO为60°或45°．3．已知,在△ABC中,∠A=∠C,点F和E分别为射线CA和射线BC上一点,连接BF和FE,且∠BFE=∠FEB．〔1如图1,当点F在线段AC上时,若∠FBE=2∠ABF,则∠EFC与∠FBE的数量关系为∠ABF=2∠EFC．〔2如图2,当点F在CA延长线上时,探究∠EFC与∠FBA的数量关系,并说明理由．〔3如图3在〔2的条件下,过C作CH⊥AB于点H,CN平分∠BCH,CN交AB于N,由N作NM⊥NC交CF于M,若∠BFE=5∠FBA,MN∥FB时,求∠ABC的度数．[解答]解：〔1如图1中,设∠EFC=z,∠ABF=x,∠A=∠C=y,∵BE=BF,∵∠BEF=∠BFE,∠BEF=y+z,∴∠BFE=y+z,∵∠BFC=∠A+∠ABF,∴y+z+z=x+y,∴x=2z,∴∠ABF=2∠EFC．故答案为∠ABF=2∠EFC．〔2结论：∠ABF=2∠EFC．理由；如图2中,设∠EFC=z,∠ABF=x,∠BAC=∠BCA=y,∵∠BAC=∠ABF+∠BFA,∠ACB=∠EFC+∠E,∴∠BFA=y﹣x,∠E=y﹣z,∵∠E=∠BFE,∴y﹣x+z=y﹣z,∴x=2z,∴∠ABF=2∠EFC．〔3如图3中,设∠EFC=x,则∠ABF=2x,∵∠BFE=5∠ABF,∴∠E=∠BFE=10x,∵MN∥BF,∴∠MNA=∠ABF=2x,∵∠ANM+∠ANC=90°,∠ANC+∠NCH=90°,∴∠HCN=∠ANM=∠BCN=2x,∴∠BCH=4x,∠CBH=90°﹣4x,在△BEF中,∵∠EBF+∠E+∠BFE=180°,∴2x+90°﹣4x+10x+10x=180°,∴x=5,∴∠ABC=90°﹣4x=70°．4．〔Ⅰ〔1问题引入如图①,在△ABC中,点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,若∠A=α,则∠BOC=90°+∠α〔用α表示；〔2拓展研究如图②,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,试求∠BOC的度数120°+∠α〔用α表示〔3归纳猜想若BO、CO分别是△ABC的∠ABC、∠ACB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,则∠BOC=〔用α表示．〔Ⅱ类比探索〔1特例思考如图③,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,求∠BOC的度数〔用α表示．〔2一般猜想若BO、CO分别是△ABC的外角∠DBC、∠ECB的n等分线,它们交于点O,∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,请猜想∠BOC=〔用α表示．[解答]解：〔Ⅰ〔1如图①,∵点O是∠ABC和∠ACB平分线的交点,∴∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,而∠A=α,∴∠BOC=180°﹣〔∠ABC+∠ACB=180°﹣〔180°﹣∠A=180°﹣〔180°﹣∠α=180°﹣90°+∠α=90°+∠α,故答案为：90°+∠α；〔2如图②,∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,∴∠BOC=180°﹣〔∠ABC+∠ACB=180°﹣〔180°﹣∠A=180°﹣〔180°﹣∠α=180°﹣60°+∠α=120°+∠α,故答案为：120°+∠α；〔3∵∠CBO=∠ABC,∠BCO=∠ACB,∠A=α,∴∠BOC=180°﹣〔∠ABC+∠ACB=180°﹣〔180°﹣∠A=180°﹣〔180°﹣∠α=180°﹣×180°+∠α=,故答案为：；〔Ⅱ〔1如图③,∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,∴∠BOC=180°﹣〔∠DBC+∠ECB=180°﹣[360°﹣〔∠ABC+∠ACB]=180°﹣[360°﹣〔180°﹣∠A]=180°﹣〔180°+∠α=180°﹣60°﹣∠α=120°﹣∠α；〔2∵∠CBO=∠DBC,∠BCO=∠ECB,∠A=α,∴∠BOC=180°﹣〔∠DBC+∠ECB=180°﹣[360°﹣〔∠ABC+∠ACB]=180°﹣[360°﹣〔180°﹣∠A]=180°﹣〔180°+∠α=,故答案为：．5．〔1如图①,把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED内部点A′的位置．试写出∠A与∠1+∠2之间的关系,并说明理由；〔2如果把△ABC纸片沿DE折叠,使点A落在四边形BCED外部点A′的位置,如图②所示．此时∠A与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出2∠A=∠1﹣∠2．〔3如果把四边形ABCD沿EF折叠,使点A、D分别落在四边形BCFE内部点A′、D′的位置,如图③所示．直接写出∠A′、∠D′、∠1与∠2之间的关系2〔∠A'+∠D'=∠1+∠2+360°．[解答]解：〔1如图,根据翻折的性质,∠3=〔180﹣∠1,∠4=〔180﹣∠2,∵∠A+∠3+∠4=180°,∴∠A+〔180﹣∠1+〔180﹣∠2=180°,整理得,2∠A=∠1+∠2；〔2根据翻折的性质,∠3=〔180﹣∠1,∠4=〔180+∠2,∵∠A+∠3+∠4=180°,∴∠A+〔180﹣∠1+〔180+∠2=180°,整理得,2∠A=∠1﹣∠2；〔3根据翻折的性质,∠3=〔180﹣∠1,∠4=〔180﹣∠2,∵∠A+∠D+∠3+∠4=360°,∴∠A+∠D+〔180﹣∠1+〔180﹣∠2=360°,整理得,2〔∠A+∠D=∠1+∠2+360°,即2〔∠A'+∠D'=∠1+∠2+360°．6．已知BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线,BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线,如图①；BA3、CA3分别是∠A1BC和∠A1CB的三等分线〔即∠A3BC=∠A1BC,∠A3CB=∠A1CB,如图②；依此画图,BAn、CAn分别是∠A1BC和∠A1CB的n等分线〔即∠AnBC=∠A1BC,∠AnCB=∠A1CB,n≥2,且n为整数．〔1若∠A1=70°,求∠A2的度数；〔2设∠A1=α,请用α和n的代数式表示∠An的大小,并写出表示的过程；〔3当n≥3时,请直接写出∠MBAn+∠NCAn与∠An的数量关系．[解答]解：〔1∵∠A1=70°,∴∠A1BC+∠A1CB=180°﹣70°=110°,∵BA2、CA2分别是∠A1BC和∠A1CB的角平分线,∴∠A2BC+∠A2CB=×110°=55°,∴∠A2=180°﹣55°=125°．〔2在△A1BC中,∠A1BC+∠A1CB=180°﹣α,∵∠AnBC=∠A1BC,∠AnCB=∠A1CB,∴∠AnBC+∠AnCB=〔∠A1BC+∠A1CB=〔180°﹣α,∴∠An=180°﹣〔∠AnBC+∠AnCB=180°﹣〔180°﹣α；〔32〔∠MBAn+∠NCAn+〔n﹣2∠An=180°n．理由：如图②,∵BM、CN分别是△A1BC的两个外角的角平分线,∴∠MBE=∠A1BE=〔180°﹣∠A1BC,∠NCF=∠A1CF=〔180°﹣∠A1CB,∴∠MBAn+∠NCAn=360°﹣〔∠MBE+∠NCF﹣〔∠AnBC+∠AnCB=360°﹣〔180°﹣∠A1BC﹣〔180°﹣∠A1CB﹣〔180°﹣∠An=〔∠A1BC+∠A1CB+∠An=〔180°﹣∠A1+∠An由〔2可得,∠An=180°﹣〔180°﹣∠A1,∴∠A1=n∠An﹣180°n+180°,∴∠MBAn+∠NCAn=〔180°﹣n∠An+180°n﹣180°+∠An=90°n﹣∠An∴2〔∠MBAn+∠NCAn+〔n﹣2∠An=180°n．7．如图,在△ABC中,AD⊥BC,垂足为D,AE平分∠BAC,且∠ABC＞∠C．求证：∠DAE=〔∠ABC﹣∠C．[解答]证明：∵AD⊥BC,∴∠D=90°,∵∠ABC是△ABD的外角,∴∠DAB=∠ABC﹣∠D=∠ABC﹣90°,∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠BAC,在△ABC中,∠BAC=180°﹣∠ABC﹣∠C,∴∠BAE=90°﹣∠ABC﹣∠C,∵∠DAE=∠DAB+∠BAE,∴∠DAE=∠ABC﹣90°+90°﹣∠ABC﹣∠C=∠ABC﹣∠C,即：∠DAE=〔∠ABC﹣∠C．8．如图,在△ABC中,AD,BD分别平分∠CAB和∠CBA,相交于点D．〔1如图1,过点D作DE∥AC,DF∥BC分别交AB于点E、F．①若∠EDF=80°,则∠C=80°；②若∠EDF=x°,证明：∠ADB=〔90+°．〔2如图2,若DE,BE分别平分∠ADB和∠ABD,且EF,BF分别平分∠BED和∠EBD,若∠BFE的度数是整数,求∠BFE至少是多少度？[解答]解：〔1∵∠EDF=80°,∴∠DEF+∠EDF=180°﹣80°=100°,∵DE∥AC,∴∠BED=∠BAC,同理得：∠EFD=∠ABC,∴∠ABC+∠BAC=∠DEF+∠EDF=100°,∴∠C=80°故答案为：80°；②∵∠EDF=x°,∴∠DEF+∠EFD=180°﹣x°,∵DE∥AC,∴∠BED=∠BAC,∵AD平分∠BAC,∴∠BAC=2∠BAD,∴∠DEF=2∠BAD,同理得：∠EFD=2∠ABD,∴∠BAD+∠ABD=,∴∠ADB=180°﹣∠ABD﹣∠BAD=180°﹣=90°+=〔90+°；〔2∵∠BED+∠EBD=180°﹣∠BDE,∵EF,BF分别平分∠BED和∠EBD,∴∠BEF=∠BED,∠EBF=∠EBD,∴∠BEF+∠EBF=〔∠BED+∠EBD=〔180°﹣∠BDE,∴〔180°﹣∠BDE=180°﹣∠BFE,∠BFE=90°+∠BDE①,同理得：∠ADB=90°+∠C,∵DE平分∠ADB,∴∠BDE=∠ADB=45°+∠C②,把②代入①得：∠BFE=90°+∠BDE=90°+〔45°+∠C,=112.5°+,∵∠BFE的度数是整数,当∠C=4°时,∠BFE=113°．答：∠BFE至少是113度．9．已知如图①,BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α．〔1当α=40°时,∠BPC=70°,∠BQC=125°；〔2当α=60°时,BM∥CN；〔3如图②,当α=120°时,BM、CN所在直线交于点O,求∠BOC的度数；〔4在α＞60°的条件下,直接写出∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．[解答]解：〔1∵∠DBC=∠A+∠ACB,∠BCE=∠A+∠ABC,∴∠DBC+∠BCE=180°+∠A=220°,∵BP、CP分别是△ABC的外角∠CBD、∠BCE的角平分线,∴∠CBP+∠BCP=〔∠DBC+∠BCE=110°,∴∠BPC=180°﹣110°=70°,∵BQ、CQ分别是∠PBC、∠PCB的角平分线,∴∠QBC=∠PBC,∠QCB=∠PCB,∴∠QBC+∠QCB=55°,∴∠BQC=180°﹣55°=125°；〔2∵BM∥CN,∴∠MBC+∠NCB=180°,∵BM、CN分别是∠PBD、∠PCE的角平分线,∠BAC=α,∴〔∠DBC+∠BCE=180°,即〔180°+α=180°,解得α=60°；〔3∵α=120°,∴∠MBC+∠NCB=〔∠DBC+∠BCE=〔180°+α=225°,∴∠BOC=225°﹣180°=45°；〔4∵α＞60°,∠BPC=90°﹣α、∠BQC=135°﹣α、∠BOC=α﹣45°．∠BPC、∠BQC、∠BOC三角之间的数量关系：∠BPC+∠BQC+∠BOC=〔90°﹣α+〔135°﹣α+〔α﹣45°=180°．故答案为：70,125；60；∠BPC+∠BQC+∠BOC=180°．10．Rt△ABC中,∠C=90°,点D、E分别是△ABC边AC、BC上的点,点P是一动点．令∠PDA=∠1,∠PEB=∠2,∠DPE=∠α．〔1若点P在线段AB上,如图〔1所示,且∠α=50°,则∠1+∠2=140°；〔2若点P在边AB上运动,如图〔2所示,则∠α、∠1、∠2之间有何关系？〔3若点P在Rt△ABC斜边BA的延长线上运动〔CE＜CD,则∠α、∠1、∠2之间有何关系？猜想并说明理由．[解答]解：〔1如图,连接PC,由三角形的外角性质,∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,∵∠DPE=∠α=50°,∠C=90°,∴∠1+∠2=50°+90°=140°,故答案为：140°；〔2连接PC,由三角形的外角性质,∠1=∠PCD+∠CPD,∠2=∠PCE+∠CPE,∴∠1+∠2=∠PCD+∠CPD+∠PCE+∠CPE=∠DPE+∠C,∵∠C=90°,∠DPE=∠α,∴∠1+∠2=90°+∠α；〔3如图1,由三角形的外角性质,∠2=∠C+∠1+∠α,∴∠2﹣∠1=90°+∠α；如图2,∠α=0°,∠2=∠1+90°；如图3,∠2=∠1﹣∠α+∠C,∴∠1﹣∠2=∠α﹣90°．11．〔1如图①,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,AB∥CD,∠ADC=40°,∠ABC=30°,求∠AEC的大小；〔2如图②,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,∠ADC=m°,∠ABC=n°,求∠AEC的大小；〔3如图③,∠BAD的平分线AE与∠BCD的平分线CE交于点E,则∠AEC与∠ADC、∠ABC之间是否仍存在某种等量关系？若存在,请写出你得结论,并给出证明；若不存在,请说明理由．[解答]解：〔1∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E,∴∠E=〔∠D+∠B,∵∠ADC=40°,∠ABC=30°,∴∠AEC=×〔40°+30°=35°；〔2∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,∵∠D+∠ECD=∠E+∠EAD,∠B+∠EAB=∠E+∠ECB,∴∠D+∠ECD+∠B+∠EAB=∠E+∠EAD+∠E+∠ECB∴∠D+∠B=2∠E,∴∠E=〔∠D+∠B,∵∠ADC=m°,∠ABC=n°,∴∠AEC=；〔3延长BC交AD于点F,∵∠BFD=∠B+∠BAD,∴∠BCD=∠BFD+∠D=∠B+∠BAD+∠D,∵CE平分∠BCD,AE平分∠BAD∴∠ECD=∠ECB=∠BCD,∠EAD=∠EAB=∠BAD,∵∠E+∠ECB=∠B+∠EAB,∴∠E=∠B+∠EAB﹣∠ECB=∠B+∠BAE﹣∠BCD=∠B+∠BAE﹣〔∠B+∠BAD+∠D=〔∠B﹣∠D,即∠AEC=．12．〔1如图1,在平面直角坐标系xOy中,点A、B分别为x轴正半轴和y轴正半轴上的两个定点,点C为x轴上的一个动点〔与点O,A不重合,分别作∠OBC和∠ACB的角平分线,两角平分线所在直线交于点E,直接问答∠BEC的度数及点C所在的相应位置．〔2如图2,在平面直角坐标系xOy中,△FGH的一个顶点F在y轴的负半轴上,射线FO平分∠GFH,过点H的直线MN交x轴于点M,满足∠MHF=∠GHN,过点H作HP⊥MN交x轴于点P,请探究∠MPH与∠G的数量关系,并写出简要证明思路．[解答]解：〔1分三种情况：①如图①,当点C在x轴负半轴上时,由题意可知：∠1+∠2+∠3+∠4=90°,∵BE、CE分别平分∠OBC与∠ACB,∴∠2∠1+2∠3=90°,∴∠1+∠3=45°,∴∠BEC=135°,即当点C在x轴负半轴上时,∠BEC=135°；②如图②所示,当点C在OA的延长线上时,与情况〔1同法可得：∠BEC=135°；③如图③所示,当点C在线段OA上〔且与点O,A不重合时,∵∠1+∠2=∠3+∠4+90°,∴2∠1=2∠4+90°,∴∠1=∠4+45°,∠1﹣∠4=45°,即∠BEC=45°,故当点C在线段OA上〔且与点O,A不重合时,∠BEC=45°；〔2∠MPH与∠G的数量关系为：∠MPH=∠G．如图2,∵∠MHF=∠GHN,HP⊥MN,∴∠FHE=∠GHE,即EH平分∠GHF,又∵FE平分∠GFH,∴△FEH中,∠FEF=180°﹣∠EHF﹣∠EFH=180°﹣〔∠GHF﹣∠GFH=180°﹣〔180°﹣∠G=90°+∠G,∵∠FEH是△EOP的外角,∴∠FEH=∠EOP+∠MPH=90°+∠MPH,∴90°+∠G=90°+∠MPH,即∠MPH=∠G．13．在△ABC中,点D为△ABC的三条内角平分线的交点,BE⊥AD于点E,〔1当∠BAC=80°,∠ACB=60°时,∠BDC=130°．∠DBE=30°．〔2当∠BAC=α,∠ACB=β时,用含有α的代数式表示∠BDC的度数,用含有β的代数式表示∠DBE的度数．〔3如图2,若AD平分∠BAC,CD和BD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BE⊥AD于点E,〔2中的两个结论是否发生变化？[解答]解：〔1∵∠BAC=80°,∠ACB=60°,∴∠ABC=40°,∵点D为△ABC的三条内角平分线的交点,∴∠ABD=20°,∠BAD=∠CAD=40°,∠ACD=30°,∴∠BDC=∠BDE+∠CDE=〔∠ABD+∠BAD+〔∠ACD+∠CAD=〔20°+40°+〔30°+40°=130°,∵∠BDE=60°,BE⊥AD,∴∠DBE=90°﹣60°=30°；故答案为：130°,30°；〔2∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°,∠BAC=α∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α∵DB平分∠ABC,DC平分∠ACB,∴∠DBC+∠DCB=〔∠CBA+∠ACB=〔180°﹣α,∴△BCD中,∠BDC=180°﹣〔∠DBC+∠DCB=180°﹣〔180°﹣α=90°+α；∵∠BAC=α,∠ACB=β,∴∠ABC=180°﹣α﹣β,∵DB平分∠ABC,AD平分∠BAC,∴∠ABD=∠ABC=〔180°﹣α﹣β,∠BAD=α,∵∠BDE是△ABD的外角,∴∠BDE=∠ABD+∠BAD=〔180°﹣α﹣β+α=90°﹣β,∵BE⊥AD,∴∠DBE=90°﹣∠BDE=90°﹣〔90°﹣β=β；〔3若AD平分∠BAC,CD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,BE⊥AD于点E,则〔2中的两个结论发生变化．理由：∵∠BAC+∠CBA+∠ACB=180°,∠BAC=α,∴∠CBA+∠ACB=180°﹣∠BAC=180°﹣α,∵∠MBC+∠ABC=180°,∠NCB+∠ACB=180°,∴∠MBC+∠NGB=360°﹣∠ABC﹣∠ACB=360°﹣〔180°﹣α=180°+α,∵BD,CD分别平分△ABC的外角∠CBM和∠BCN,∴∠DBC=∠MBC,∠DCB=∠NCB,∴∠DBC+∠DCB=∠MBC+∠NCB=〔180°+α=90°+α,∵∠BDC+∠DBC+∠DCB=180°,∴∠BDC=180°﹣〔∠DBC+∠DCB=180°﹣〔90°+α=90°﹣α,∵∠BAC=α,∠ACB=β,∵∠MBC是△ABC的外角,∴∠MBC=α+β,∵BD平分∠MBC,∴∠MBD=∠MBC=〔α+β,∵∠MBD是△ABD的外角,AD平分∠BAC,∴∠BAD=α,∠MBD=∠BAD+∠ADB,∵BE⊥AD,∴Rt△BDE中,∠DBE=90°﹣∠ADB=90°﹣〔∠MBD﹣∠BAD=90°﹣∠MBD+∠BAD=90°﹣〔α+β+α=90°﹣β．故结论发生变化．14．如图①,AD平分∠BAC,AE⊥BC,∠B=40°,∠C=60°〔1求∠DAE的度数；〔2如图②,若把"AE⊥BC"变成"点F在DA的延长线上,FE⊥BC",其他条件不变,求∠DFE的度数；〔3如图③,若把"AE⊥BC"变成"AE平分∠BEC",其他条件不变,∠DAE的大小是否变化,并请说明理由．[解答]解：〔1∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=40°,∴∠ADE=∠B+∠BAD=80°,∵AE⊥BC,∴∠AEB=90°,∴∠DAE=90°﹣∠ADE=10°；〔2∵∠B=40°,∠C=60°,∴∠BAC=80°,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD=40°,∴∠ADE=∠B+∠BAD=80°,∵FE⊥BC,∴∠FEB=90°,∴∠DFE=90°﹣∠ADE=10°；〔3结论：∠DAE的度数大小不变．理由：∵AE平分∠BEC,∴∠AEB=∠AEC,∴∠C+∠CAE=∠B+∠BAE,∵∠CAE=∠CAD﹣∠DAE,∠BAE=∠BAD+∠DAE,∴∠C+∠CAD﹣∠DAE=∠B+∠BAD+∠DAE,∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD,∴2∠DAE=∠C﹣∠B=20°,∴∠DAE=10°．15．如图,AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,求证：∠AFD=〔∠H+∠BGC．[解答]证明：延长AF交DH于E点．由三角形外角定理得：∠AFD=∠FDE+∠FED=∠FDE+∠H+∠HAE,∵AF平分∠BAC,DF平分∠BDC,∴∠AFD=∠BDC+∠BAC+∠H,∵∠BGC=∠BDC+∠ACD=∠BDC+∠BAC+∠H,∴〔∠BGC+∠H=〔∠BDC+∠BAC+∠H+∠H=∠BDC+∠BAC+∠H=∠AFD．16．如图,已知CD是△ABC的角平分线,E是BC上的点,∠B=60°,∠ACE=∠CAE=20°．求∠CDE的度数．[解答]解：∵∠B=60°,∠ACE=∠CAE=20°,∴∠BAC=100°,∠BAE=80°,AE=CE,设为1,在△ABE中,由正弦定理得BE=,∵CD是△ABC的角平分线,∴====,∴DE∥AC,∴∠CDE=∠ACD=10°．17．如图,△ABC中,BD平分∠ABC交AC于D,CE平分∠ACB交AB于E,CE与BD交于F,连接AF并延长交BC于H,过F作FG⊥BC于G．〔1若∠ABC=45°,∠ACB=65°,求∠HFG的度数；〔2根据〔1中的规律探索∠ABC、∠ACB与∠HFG之间的关系；〔3试探究∠BFH与∠CFG的大小关系,并说明理由．[解答]解：〔1∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴AH平分∠BAC,∵∠ABC=45°,∠ACB=65°,∴∠BAC=180°﹣45°﹣65°=70°,∠BAH=∠BAC=35°,∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=45°+35°=80°,∵FG⊥BC,∴∠FGH=90°,∴∠HFG=90°﹣80°=10°；〔2∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴AH平分∠BAC,∵∠BAC=180°﹣〔∠ABC+∠ACB,∠BAH=∠BAC=90°﹣〔∠ABC+∠ACB,∴∠AHG=∠ABC+∠BAH=∠ABC+90°﹣〔∠ABC+∠ACB=90°+〔∠ABC﹣∠ACB,∵FG⊥BC,∴∠FGH=90°,∴∠HFG=90°﹣[90°+〔∠ABC﹣∠ACB]=∠ACB﹣∠ABC；〔3∠BFH=∠CFG,理由是：∵∠BFH=∠BAC+∠ABC=〔180°﹣∠ABC﹣∠ACB+∠ABC=90°﹣∠ACB；∠CFG=180°﹣90°﹣∠ACB=90°﹣∠ACB,∴∠BFH=∠CFG18．如图1,在△ABC中,∠A=60°,∠CBM,∠BCN是△ABC的外角,∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D．〔1求∠BDC的度数；〔2在图1中,过点D作DE⊥BD,垂足为点D,过点B作BF∥DE交DC的延长线于点F〔如图2,求证：BF是∠ABC的平分线．[解答]解：〔1∵△ABC中,∠A=60°,∴∠ABC+∠ACB=120°,又∵∠ABM=∠ACN=180°,∴∠CBM+∠BCN=360°﹣120°=240°,又∵∠CBM,∠BCN的平分线BD,CD交于点D,∴∠CBD=∠CBM,∠BCD=∠BCN,∴△BCD中,∠DBC+∠BCD=〔∠CBM+∠BCN=×240°=120°,∴∠D=180°﹣120°=60°；〔2如图2,∵DE⊥BD,BF∥DE,∴∠DBF=180°﹣90°=90°,即∠2+∠3=90°,∴∠1+∠4=90°,又∵∠3=∠4,∴∠1=∠2,∴BF是∠ABC的平分线．19．老师给了小胖同学这样一个问题：如图1,△ABC中,BE是∠ABC的平分线,点D是BC延长线上一点,2∠D=∠ACB,若∠BAC=60°,求∠BED小胖通过探究发现,过点C作CM∥AD〔如图2,交BE于点M,将∠BED转移至∠BMC处,结合题目已知条件进而得到CM为∠ACB的平分线,在△ABC中求出∠BMC,从而得出∠BED．〔1请按照小胖的分析,完成此题的解答：〔2参考小胖同学思考问题的方法,解决下面问题：如图3,在△ABC中,点D是AC延长线上的一点,过点D作DE∥BC,DG平分∠ADE,BG平分∠ABC,DG与BG交于点G,若∠A=m°,求∠G的度数〔用含m的式子表示[解答]〔1证明：如图1,过点C作CM∥AD,交BE于点M,∴∠BED=∠BMC,∠DAC=∠ACM,∠BCM=∠D,∵∠ACB=2∠D,∴∠BCM=∠ACM=∠ACB∵BE是∠ABC的平分线∴∠MBC=∠ABC∴∠BED=∠BMC=180°﹣〔∠MBC+∠MCB=180°﹣〔∠ABC+∠ACB=180°﹣〔180°﹣∠BAC=180°﹣×〔180°﹣60=120°；〔2如图2,延长BC交DG于点M∵BG平分∠ABC,DG平分∠ADE∴∠GBM=∠ABC,∠GDE=∠ADE∵DE∥BC∴∠ACM=∠ADE∠BMD=∠GDE=∠ADE=∠ACM=〔∠A+∠ABC=∠A+∠GBM在△BGM中,∠G=∠BMD﹣∠GBM=∠A+∠GBM﹣∠GBM=∠A=m．20．△ABC的三条角平分线相交于点I,过点I作DI⊥IC,交AC于点D．〔1如图1,求证：∠AIB=∠ADI；〔2如图2,延长BI,交外角∠ACE的平分线于点F．①判断DI与CF的位置关系,并说明理由；②若∠BAC=70°,求∠F的度数．[解答]〔1证明：∵AI、BI分别平分∠BAC,∠ABC,∴∠BAI=∠BAC,∠ABI=∠ABC,∴∠BAI+∠ABI=〔∠BAC+∠ABC=〔180°﹣∠ACB=90°﹣∠ACB,∴在△ABI中,∠AIB=180°﹣〔∠BAI+∠ABI=180°﹣〔90°﹣∠ACB=90°+∠ACB,∵CI平分∠ACB,∴∠DCI=∠ACB,∵DI⊥IC,∴∠DIC=90°,∴∠ADI=∠DIC+∠DCI=90°+∠ACB,∴∠AIB=∠ADI．〔2①解：结论：DI∥CF．理由：∵∠IDC=90°﹣∠DCI=90°﹣∠ACB,∵CF平分∠ACE,∴∠ACF=∠ACE=〔180°﹣∠ACB=90°﹣∠ACB,∴∠IDC=∠ACF,∴DI∥CF．②解：∵∠ACE=∠ABC+∠BAC,∴∠ACE﹣∠ABC=∠BAC=70°,∵∠FCE=∠FBC+∠F,∴∠F=∠FCE﹣∠FBC,∵∠FCE=∠ACE,∠FBC=∠ABC,∴∠F=∠ACE﹣∠ABC=〔∠ACE﹣∠ABC=35°21．如图1,已知△ABC,射线CM∥AB,点D是射线CM上的动点,连接AD．〔1如图2,若∠ACB=∠ABC,∠CAD的平分线与BC的延长线交于点E．①若∠BAC=40°,AD∥BC,则∠AEC的度数为35°；②在点D运动的过程中,探索∠AEC和∠ADC之间的数量关系；〔2若∠ACB=n∠ABC,∠CAD内部的射线AE与BC的延长线交于点E,∠CAE=n∠EAD,那么∠AEC和∠ADC之间的数量关系为∠AEC=∠ADC．[解答]解：〔1①如图2,∵∠BAC=40°,∴∠ACB+∠ABC=180°﹣40°=140°,∵∠ACB=∠ABC,∴∠ACB=70°,∵AD∥BC,∴∠DAC=∠ACB=70°,∵AE平分∠DAC,∴∠DAE=∠DAC=×70°=35°,∵AD∥BC,∴∠AEC=∠DAE=35°,故答案为：35°；②∠ADC=2∠AEC,理由是：设∠CAE=x,∠BAC=y,则∠EAD=x,∠ABC=,∵AB∥CM,∴∠ACM=∠BAC=y,∴∠ADC=180﹣2x﹣y,△ABE中,∠AEC=180﹣x﹣y﹣=90﹣x﹣,∴∠ADC=2∠AEC；〔2∠AEC=∠ADC,理由是：如图3,设∠ABC=x,∠EAD=y,则∠ACB=nx,∠CAE=ny,△ACE中,∠AEC=nx﹣ny=n〔x﹣y,∴x﹣y=,△ABC中,∠BAC=180﹣nx﹣x,∵AB∥CM,∴∠ACD=∠BAC=180﹣nx﹣x,△ADC中,∠ADC=180﹣ny﹣y﹣〔180﹣nx﹣x