专题01解三角形（解答题10种考法）（精讲）

专题01解三角形（解答题）考法一公式的直接运用【例1】（2023·天津·统考高考真题）在中，角所对的边分别是．已知．(1)求的值；(2)求的值；(3)求．【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）由正弦定理可得，，即，解得：；（2）由余弦定理可得，，即，解得：或（舍去）．（3）由正弦定理可得，，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，，．【变式】1．（2022·天津·统考高考真题）在中，角A、B、C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求的值；(2)求的值；(3)求的值.【答案】(1)(2)(3)【解析】（1）因为，即，而，代入得，解得：．（2）由（1）可求出，而，所以，又，所以．（3）因为，所以，故，又，所以，，而，所以，故．2．（2022·浙江·统考高考真题）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知．(1)求的值；(2)若，求的面积．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）由于，，则．因为，由正弦定理知，则．（2）因为，由余弦定理，得，即，解得，而，，所以的面积．3．（2023·天津北辰·校考模拟预测）已知，，分别为锐角三角形三个内角的对边，且．(1)求；(2)若，，求；(3)若，求的值．【答案】(1)(2)3(3)【解析】（1）由于，所以，由根据正弦定理可得，所以，且三角形为锐角三角形，即所以.（2）在中，由余弦定理知，即，解得或（舍），故.（3）由，可得，所以，，即考法二三角形的面积【例21】（2023·福建·校联考模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知，，且.(1)求；(2)求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）由及，得，由正弦定理得所以，，所以，又因为，所以.（2）由结合正弦定理得，即所以或.又因为，所以.所以，因为，所以，所以，即的面积为.【例22】（2023·湖南永州·统考一模）在中，设所对的边分别为，且满足．(1)求角；(2)若的内切圆半径，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由得，即,故，由于，故，而，故.（2）由可得，而，故，则，由的内切圆半径，可得，即，即，故，解得，故的面积.【变式】1．（2023·海南海口·校考模拟预测）在中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足.(1)求的值；(2)若，求的面积.【答案】(1)2(2)12【解析】（1）由可得，，因为，所以可得，解得.（2）由（1）知，所以，又因为，所以，所以，即，又，所以，由正弦定理可得，，所以，所以，所以的面积.2．（2023·江苏无锡·校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的最小正周期和单调递增区间；(2)在中，内角所对的边分别是，且，若，求的面积.【答案】(1)最小正周期为，单调递增区间为.(2)【解析】（1），所以函数的最小正周期为.令，得，故函数的单调递增区间为.（2）由，得，由得，所以，得.由余弦定理得，即，因为，所以，从而有，得，则3．（2023·河南开封·统考三模）在中，设A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．(1)求角B；(2)若，的内切圆半径，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，由余弦定理得，即，所以．又，所以（2）由余弦定理得：，则，由三角形面积公式，，即，则，所以，解得，所以.考法三角形的周长【例31】（2023·山东菏泽）在中，角所对的边分别为已知，面积，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.（1）;（2）.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】【解析】由三角形的面积公式可知，，，整理得由正弦定理得:因为，，若选择条件（1）由：得，则，又为三角形的内角，，由正弦定理得代入解得，三角形的周长为若选择条件（2），则由，得又，又为三角形的内角，.由正弦定理得:，代入解得，三角形的周长为【例32】（2023·重庆南岸）设，（1）求的单调递增区间；（2）在中，角为锐角，角，，的对边分别为，，，若，，，求三角形的周长.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知，令，则，的单调递增区间为；（2）由（1）得，又角为锐角，，得，，得，所以三角形的周长为.【变式】1．（2022·北京·统考高考真题）在中，．(1)求；(2)若，且的面积为，求的周长．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：因为，则，由已知可得，可得，因此，.（2）解：由三角形的面积公式可得，解得.由余弦定理可得，，所以，的周长为.2．（2023·河南·校联考二模）记的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知.(1)求A；(2)设的中点为D，若，且的周长为，求a，b.【答案】(1)(2)，.【解析】（1）由条件及正弦定理可得，因为，所以，所以，整理得，又因为，所以，所以，解得.（2）在中，由余弦定理得.而，，所以.①在中，由余弦定理得.②由①②两式相减，得，所以，将代入②，得，则.因为的周长为，所以，解得，所以，.3．（2023·黑龙江大庆·大庆中学校考模拟预测）在①；②，这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．已知的内角、、所对的边分别为、、，____________．(1)求的值；(2)若的面积为，，求的周长．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：若选①，由已知得，所以，由正弦定理得，又，所以，所以，又，由，，解得；若选②，由已知及正弦定理得，所以，所以，所以，又，所以，所以，又，由，，解得．（2）解：由的面积为，得，所以，由（1）可得，由余弦定理得，所以，所以，所以的周长为．考法四爪型三角形【例41】（2023·全国·统考高考真题）已知在中，．(1)求；(2)设，求边上的高．【答案】(1)(2)6【解析】（1），，即，又，，，，即，所以，.（2）由（1）知，，由，由正弦定理，，可得，，.【例42】（2023·湖北）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.(1)求B.(2)若，，___________，求.在①D为AC的中点，②BD为∠ABC的角平分线这两个条件中任选一个，补充在横线上.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）由正弦定理得，.因为，所以，所以，即.又，则，所以.（2）选择条件①：因为，所以，，.选择条件②：因为BD为∠ABC的角平分线，所以，则，解得.【例43】（2023·福建泉州·统考模拟预测）的内角所对的边分别为，且满足.(1)求；(2)若平分，且，，求的面积.【答案】(1)(2)【解析】（1）解法一：因为，所以由正弦定理可得，即，，所以，又，所以，因为，所以.解法二：在中，由余弦定理得，，又因为，所以，即，所以，因为，所以.（2）解法一：因为，所以，两边平方得，即①，又因为平分，所以，即②，由①②，解得，，所以.解法二：在中，，所以，又因为平分，所以，即①，在中，由余弦定理，得，即②，在中，由余弦定理，得，即③，由①②③解得，，所以.解法三：过点作交于点，因为，且平分，所以，所以为等边三角形，所以，又因为，所以，，所以.【变式】1.（2023·福建宁德·校考二模）已知的内角，，的对边分别为，，，且．(1)求；(2)若，，为中点，求的长．【答案】(1)(2)【解析】（1），即，化简得，解得，因为，所以．（2）由余弦定理得，即，解得，因为，故的长度为．2.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．【答案】(1)(2)2【解析】（1）解:由题知,则有:①,在中,由余弦定理可得:,代入①式可得:,即,由辅助角公式可得:,所以或,即或,因为,所以;（2）由(1)知,因为平分,所以,且有,即:,将边和角代入可得:,化简可得:,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.3．（2023·河南·模拟预测）在中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，的面积记为S，已知，．(1)求A；(2)若BC边上的中线长为1，AD为角A的角平分线，求CD的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，所以，即，由正弦定理可得，即所以．因为，所以．（2）设AE为BC边上的中线，可得，如下图所示：则，所以，解得．因为，所以，所以；由可得，利用余弦定理可得，所以．考法五多边多角【例51】（2023秋·陕西商洛·高三陕西省山阳中学校联考阶段练习）如图，在平面四边形ABCD中，，，，.(1)求；(2)若，求BC.【答案】(1)(2)【解析】（1）在中，由正弦定理得，即，所以.由题设知，所以.（2）由题设及（1）知，，在中，由余弦定理得，所以.【例52】（2023秋·四川绵阳·高三四川省绵阳江油中学校考阶段练习）如图，在平面四边形中，，，，，．(1)求的值；(2)求的长．【答案】(1)(2)【解析】（1）解：在中，，，，由余弦定理可得，整理可得，，解得，则，故为等腰三角形，故.（2）解：由（1）知，，又因为，则，因为，则为锐角，且，所以，，在中，由正弦定理，可得.【变式】1．（2023春·广东湛江）如图，四边形ABCD的内角，，，，且．(1)求角B；(2)若点是线段上的一点，，求的值．【答案】(1)(2)【解析】（1）设，在中由余弦定理得，即①，又在中由余弦定理得，即②，因为，则，联立①②可得（负值舍去），，因为，所以．（2）在中，由正弦定理知，，所以，又，故，在直角三角形中，由勾股定理知，，此时．2．（2023春·浙江金华）如图，四边形是由与正拼接而成，设，.(1)当时，设，求，的值；(2)当时，求线段的长.【答案】(1)，(2)【解析】（1）在中，由，可知.由于，，，，，，.（2）在中，，所以，，.3（2023广东）在三角形ABC中，，，，，．(1)求BD的长；(2)若AC与BD交于点O，求的面积．【答案】(1)(2)【解析】（1）由题意，在中，，，，由余弦定理得，，所以，在中，，所以，所以，在中，由余弦定理可知，所以．（2）由（1）可知，又因为，所以为等边三角形，所以，，在中，，所以，在中，，故，所以，所以，在中，由正弦定理可知，即，解得，所以．考法六最值【例61】（2023·云南·校联考模拟预测）的内角的对边分别为，且.(1)求角；(2)若，求周长的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）因为，可得，所以由正弦定理可得，又为三角形内角，，所以，因为，所以，可得，所以.（2）由（1）知，又，由正弦定理得，则，，【例62】．（2023秋·江苏·高三统考期末）已知△ABC为锐角三角形，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosB＋bcosA＝2ccosC．(1)求角C；(2)若c＝2，求△ABC的周长的取值范围．【答案】(1)(2)【解析】（1）由正弦定理，得，即，即，又，所以，所以，故．（2）由正弦定理，得，所以的周长由为锐角三角形可知，，得，所以，所以．所以的周长的取值范围为．【例63】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．(1)若，求B；(2)求的最小值．【答案】(1)；(2)．【解析】（1）因为，即，而，所以；（2）由（1）知，，所以，而，所以，即有，所以所以．当且仅当时取等号，所以的最小值为．【变式】1．（2023·江西·校联考模拟预测）已知中内角，，所对边分别为，，，．(1)求；(2)若边上一点，满足且，求的面积最大值．【答案】(1)(2)．【解析】（1）由题意，，由正弦定理得，因为三角形内角，，则，即，，，，故，，（2），已知，，由（1）知，，由题意得由，（如图）已知，且由（1）知，两边平方得，则，解得，.故.当且仅当，即时，等号成立.所以，的最大值为．2．（2023·江西九江·统考一模）中，内角所对的边分别是，已知，．(1)求角的值；(2)求边上高的最大值．【答案】(1)(2)【解析】（1）由，得由正弦定理，得又，即，（2）解法一：设边上高为，由余弦定理，得即，，即，当且仅当时，等号成立又，，边上高的最大值为解法二：设边上高为，由正弦定理得，，因为，，，，，又，，边上高的最大值为.3．（2023·江苏南京·南京航空航天大学附属高级中学校考模拟预测）在中，以，，分别为内角，，的对边，且(1)求；(2)若，，求边上中线长.【答案】(1)(2)或【解析】（1）由得，由正弦定理可得，由余弦定理可得，因为，所以.（2）因，由正弦定理可得，即，因为，所以，则，所以或，即或，当时，为等边三角形，即，如图所示，所以边上中线长为；当时，则，所以为直角三角形，如图所示，又，所以由正弦定理，即，所以，，所以边上中线长为；综上可得边上中线长为或.4.（2022秋·江苏南京·高三校考期末）已知a,b,c分别是三个内角A,B,C的对边,面积为S,且．(1)求A;(2)若a＝2,且角A的角平分线交BC于点D,AD＝,求b．【答案】(1)(2)2【解析】（1）解:由题知,则有:①,在中,由余弦定理可得:,代入①式可得:,即,由辅助角公式可得:,所以或,即或,因为,所以;（2）由(1)知,因为平分,所以,且有,即:,将边和角代入可得:,化简可得:,在中,由余弦定理可得:,即,即,解得:(舍)或,即,解得.考法七三角形的四心【例7】（2023春·浙江温州）已知的内角、、的对边分别为、、，且，角B为钝角．(1)求；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题．若，，为的___________，求的面积．【答案】(1)；(2)若选①，；若选②，；若选③，【解析】（1）由正弦定理可得，因为，所以.因为，所以.（2）若选①，连接并延长交边于点，因为为的重心，所以为的中点，且，所以点到的距离等于点到的距离的，所以，；

若选②，由余弦定理可得，若为的内心，设的内切圆的半径为，则，则，因此，；若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，由余弦定理可得，则，在优弧上任取一点，则，则，因此，．【变式】1．（2022·安徽·芜湖一中校联考一模）已知ΔABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanC=(1)求的值；(2)设M和N分别是ΔABC的重心和内心，若MN//BC且c=2，求a的值．【答案】(1)2(2)【解析】（1）由已知得，，即sinAcosC=2sinCcosAsinC得sin(A+C)=2sinC即sinB=2sinC由正弦定理得，所以；（2）由(1)知，因为，所以设△ABC的内切圆半径为r，则内心N到BC边的距离为r，因为MN∥BC，所以重心M到BC边的距离为r，根据重心的性质，顶点A到BC边的距离为3r，根据面积关系得即，所以2．（2022秋·四川内江·高三威远中学校校考期中）的内角A，B，C所对的边分别为．(1)求A的大小；(2)M为内一点，的延长线交于点D，___________，求的面积．请在下面三个条件中选择一个作为已知条件补充在横线上，使存在，并解决问题．①M为的重心，；②M为的内心，；③M为的外心，．【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）∵，∴，即由正弦定理得，，即，∵，∴，∴，又，∴，∴（2）设外接圆半径为，则根据正弦定理得，，若选①：∵M为该三角形的重心，则D为线段的中点且，又，∴，即，又由余弦定理得，即，解得，∴；若选②：∵M为的内心，∴，由得，∵，∴，即，由余弦定理可得，即，∴，即，∵，∴，∴．若选③：M为的外心，则为外接圆半径，，与所给条件矛盾，故不能选③.3．（2022秋·广东广州·高三广州市第五中学校考阶段练习）已知的内角、、的对边分别为、、，且.(1)求；(2)在①重心，②内心，③外心这三个条件中选择一个补充在下面问题中，并解决问题.若，，为的___________，求的面积.注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分.【答案】(1)(2)答案见解析【解析】（1）解：，，则，即，，则，，即有，可得，，则，，解得.（2）解：若选①，连接并延长交边于点，因为为的重心，所以，为的中点，且，所以点到的距离等于点到的距离的，所以，；若选②，由余弦定理可得，若为的内心，设的内切圆的半径为，则，则，因此，；若选③，若为的外心，设的外接圆半径为，由余弦定理可得，则，在优弧上任取一点，则，则，因此，.考法八解三角形与三角函数性质的综合【例8】（2023·广东）设函数，其中向量，.(1)求的最小值；(2)在△中，，，分别是角，，所对的边，已知，，△的面积为，求的值.【答案】(1)；(2).【解析】（1）由题设，，所以，当时的最小值为.（2）由，得：，则，又，所以，故，则.由，可得：.在△中，由余弦定理得：，所以.由，则.【例82】（2023·北京）已知函数，将的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，且在区间内的最大值为.（1）求的值；（2）在锐角中，若，求的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）将函数的图象横坐标变为原来的，纵坐标不变，再向左平移个单位后得到的图象，则，，，当，即时，最大值，所以，；（2），，则，所以，，所以，，，是锐角三角形，由，解得，所以，，，则.【变式】1．（2023春·山西晋城）已知函数.(1)求函数的定义域和值域；(2)已知锐角的三个内角分别为A，B，C，若，求的最大值.【答案】(1)；(2)2【解析】（1），所以要使有意义，只需，即，所以，解得所以函数的定义域为，由于，所以，所以函数的值域为；（2）由于，所以，因为，所以，所以即，由锐角可得，所以，由正弦定理可得，因为，所以所以，所以的最大值为2.2．（2023·上海浦东新·华师大二附中校考模拟预测）已知函数.(1)求函数的单调递减区间；(2)在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足，求的取值范围.【答案】(1)(2)【解析】（1）令，则所以，单调减区间是.（2）由得：，即，由于，所以.在中，，，于是，则，，，所以.3．（2023春·云南）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；（2）在锐角中，角，，所对的边分别为，，，若，，且的面积为，求．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）据图象可得，故，由得：．由得：．由知，，，解得，；（2），，，，，，由题意得的面积为，解得，由余弦定理得，解得：.考法九证明题【例9】（2022·全国·统考高考真题）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c﹐已知．(1)若，求C；(2)证明：【答案】(1)；(2)证明见解析．【解析】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，显然，所以，，而，，所以．（2）由可得，，再由正弦定理可得，，然后根据余弦定理可知，，化简得：，故原等式成立．【变式】1．（2023·四川成都·校联考模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．(1)求证：，，是等差数列；(2)求的最大值．【答案】(1)证明见解析(2)．【解析】（1）证明：因为，所以，由正弦定理，得，又由余弦定理，得，则，即，所以，，是等差数列．（2）解：由（1）得，又（当且仅当时取等号），因为，所以，则的最大值为，则的最大值为．2．（2023·山东泰安·校考模拟预测）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且．(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【解析】（1）由题意得，即．所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得．又为锐角三角形，则，，，所以，因此．（2）在中，由正弦定理得，所以．所以．因为为锐角三角形，且，所以，解得．故，所以．因此线段长度的取值范围.3．（2023·河南·校联考模拟预测）已知的外心为，点分别在线段上，且恰为的中点．(1)若，求面积的最大值；(2)证明：．【答案】(1)(2)证明见解析【解析】（1）解：由正弦定理，得，所以，又，所以或，当时，由余弦定理，得，所以，的面积，当且仅当时，取等号；当时，同理可得，的面积，当且仅当时，取等号．综上，面积的最大值为；（2）证明：设，由余弦定理知，，因为，所以，化简整理得，而，因此，又因为是外心，故，同理可知，因为恰为的中点，因此，所以．考法十存在性与唯一性【例101】（2021·全国·统考高考真题）在中，角、、所对的边长分别为、、，，.．（1）若，求的面积；（2）是否存在正整数，使得为钝角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由．【答案】（1）；（2）存在，且.【解析】（1）因为，则，则，故，，，所以，为锐角，则，因此，；（2）显然，若为钝角三角形，则为钝角，由余弦定理可得，解得，则，由三角形三边关系可得，可得，，故.【例102】．（2021·北京·统考高考真题）在中，，．（1）求；（2）再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求边上中线的长．条件①：；条件②：的周长为；条件③：的面积为；【答案】（1）；（2）答案不唯一，具体见解析．【解析】（1），则由正弦定理可得，，，，，，解得；（2）若选择①：由正弦定理结合（1）可得，与矛盾，故这样的不存在；若选择②：由