东大考研信号与线性系统第一章

第一章信号与系统1.1绪言1.2信号1.3信号的基本运算1.4阶跃函数和冲激函数

1.5系统的描述1.6系统的特性和分析方法

阶跃函数

冲激函数是两个典型的奇异函数。阶跃序列和单位样值序列§1.4阶跃函数和冲激函数

函数本身有不连续点(跳变点)或其导数与积分有不连续点的一类函数统称为奇异信号或奇异函数。一、单位阶跃函数下面采用求函数序列极限的方法定义阶跃函数。选定一个函数序列γn(t)如图所示。1.定义

可代替电路中的开关，故又称为开关函数一、单位阶跃函数2.延迟单位阶跃信号3.阶跃函数的性质（1）可以方便地表示某些信号

f(t)=2ε(t)-3ε(t-1)+ε(t-2)（2）用阶跃函数表示信号的作用区间（3）积分

阶跃函数

冲激函数阶跃序列和单位样值序列§1.4阶跃函数和冲激函数二．单位冲激函数单位冲激函数是个奇异函数，它是对强度极大，作用时间极短一种物理量的理想化模型。

狄拉克(Dirac)定义函数序列定义δ(t)

冲激函数与阶跃函数关系广义函数定义冲激函数

冲激函数的性质1.狄拉克(Dirac)定义函数值只在t=0时不为零；

积分面积为1；

t=0时，，为无界函数。

二．单位冲激函数狄拉克(Dirac)定义

函数序列定义δ(t)

冲激函数与阶跃函数关系广义函数定义冲激函数

冲激函数的性质2.函数序列定义δ(t)对γn(t)求导得到如图所示的矩形脉冲pn(t)。

求导高度无穷大，宽度无穷小，面积为1的对称窄脉冲。二．单位冲激函数狄拉克(Dirac)定义函数序列定义δ(t)

冲激函数与阶跃函数关系广义函数定义冲激函数

冲激函数的性质3.δ(t)与ε(t)的关系求导n→∞求导引入冲激函数之后，间断点的导数也存在f(t)=2ε(t+1)-2ε(t-1)f′(t)=2δ(t+1)-2δ(t-1)求导二．单位冲激函数狄拉克(Dirac)定义函数序列定义δ(t)

冲激函数与阶跃函数关系

广义函数定义冲激函数

冲激函数的性质4.冲激函数的广义函数定义广义函数概念

普通函数，如y=f(x)是将一维实数空间的数x经过f所规定的运算映射为一维实数空间的数y。将普通函数概念推广，广义函数可以这样定义：选择一类性能良好的函数φ(t)，φ(t)称为检验函数（相当于自变量），一个广义函数g(t)对检验函数空间中的每个函数φ(t)赋予一个数值N的映射，该数与广义函数g(t)和检验函数φ(t)有关，记N[g(t),φ(t)]。广义函数可写为类型定义式自变量定义域函数值普通函数广义函数广义函数与普通函数的对应关系广义函数的性质相等若则相加若则广义函数的性质尺度变换微分性质冲激函数的广义函数定义[定义]按广义函数理论，冲激函数由下式确定即冲激函数作用于检验函数的效果是它赋值为

这常称为冲激函数的取样性质（或筛选性质）。简言之，能从检验函数中筛选出函数值的广义函数就成为冲激函数。实际上许多函数序列的广义极限都具有如上筛选性质，可以用它们来定义冲激函数。例如高斯（钟形）函数取样函数双边指数函数

以及deltafun.m二．单位冲激函数狄拉克(Dirac)定义函数序列定义δ(t)

冲激函数与阶跃函数关系广义函数定义冲激函数

冲激函数的性质5．

冲激函数的性质取样性冲激偶尺度变换复合函数形式的冲激函数1.取样性(筛选性)对于平移情况：如果f(t)在t=0处连续，且处处有界，则有

2.冲激偶τ↓冲激偶的性质

①证明②证明δ(n)(t)的定义：δ’(t)的平移：③例冲激偶取样性证明冲激偶积分证明利用分部积分运算3.对

(t)的尺度变换证明推论:(1)(2)当a=–1时所以，,为偶函数，

,为奇函数分析：用两边与f(t)的乘积的积分值相等证明，分a>0、a<0两种情况

两边相等(1)冲激信号尺度变换的证明(2)冲激信号尺度变换的证明

两边相等冲激信号尺度变换的证明从定义看：

p(t)面积为1，强度为1

p(at)面积为，强度为举例已知f(t)，画出g(t)=f’(t)和g(2t)求导，得g(t)压缩，得g(2t)表达式？解：（1）时移以而求得－2t，即f(5-2t)左移代替，由f（5－2t)f(－2t)时移例：已知f(5-2t)的波形如图所示，试画出f(t)的波形。tt（2）反转：f(-2t)中以-t代替t，可求得f(2t),表明f(-2t)的波形以t＝0的纵轴为中心线对褶，注意是偶数，故由f(－2t)f(2t)反褶

01t

f(2t)由f(2t)f(t)比例－1012t（3）比例：以代替f(2t)中的t，所得的f(t)波形将是f(2t)波形在时间轴上扩展两倍。4.复合函数形式的冲激函数实际中有时会遇到形如δ[f(t)]的冲激函数，其中f(t)是普通函数。并且f(t)=0有n个互不相等的实根ti

(i=1，2，…，n)ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)ε[f(t)]图示说明：例f(t)=t2–4一般地，这表明，δ[f(t)]是位于各ti处，强度为的n个冲激函数构成的冲激函数序列。注意：如果f(t)=0有重根，δ[f(t)]无意义。ε(t2–4)=1–ε(t+2)+ε(t–2)冲激函数的性质总结（1）取样性（2）奇偶性（3）比例性（4）微积分性质（5）冲激偶阶跃函数

冲激函数

阶跃序列和单位样值序列§1.4阶跃函数和冲激函数序列δ(k)和ε(k)这两个序列是普通序列。1.单位(样值)序列δ(k)取样性质：f(k)δ(k)=f(0)δ(k)f(k)δ(k–k0)=f(k0)δ(k–k0)例定义2.单位阶跃序列ε(k)定义ε(k)与δ(k)的关系δ(k)=ε(k)–ε(k–1)或ε(k)=δ(k)+δ(k–1)+…定义

实际上，这两种系统常组合运用，称为混合系统2、即时系统和动态系统（按照系统内是否含有记忆元件）3、无源系统和有源系统（按系统内是否含源）4、集中参数系统和分布参数系统（按系统的参数是集中的或分布的）5、线性系统和非线性系统（按其特性分）6、时不变系统与时变系统（按其参数是否随t而变）本课程主要研究：集中参数的、线性非时变的连续时间和离散时间系统。以后简称线性系统。1、连续时间系统与离散时间系统输入、输出都是连续时间信号，其数学模型是微分方程输入、输出都是离散时间信号，其数学模型是差分方程§1.5系统的描述和分析方法连续系统离散系统§1.5系统的描述和分析方法连续时间系统连续时间系统的描述

系统的数学模型：系统物理特性的数学抽象。系统的框图描述：形象地表示其功能。系统分析方法概述1.连续系统的数学模型由数学表达式表示的系统模型，称为系统的数学模型由理想电路元件符号表示的系统模型i(t)LR

+e(t)-例如日光灯电路的电路模型什么是系统模型？系统模型——是系统物理特性的数学抽象，以数学表达式或具有理想特性的符号组合图形来表示系统特性。系统模型说明电感器的低频等效电路电感器的高频等效电路LRLRC1、建模是有条件的，同一物理系统，在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。严格地说，只能得到近似的模型。

关于系统模型的建立有几个方面须说明：系统模型说明2、不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。CRS(t=0)RC电路的零输入响应：（1－1）Mu(t)（速度）Bu(t)(摩擦力）（1－2）物体的减速运动：（1－1）与（1－2)是形式上完全相同的数学模型系统模型说明

3、对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式。高阶微分方程--------------称为输入/输出方程状态方程---------------适合于多输入多输出系统分析（一阶微分方程组）例：若选作为输出，则系统的状态方程为：一阶微分方程组

+e(t)-系统模型说明同一物理系统，在不同的条件下，可以得到不同形式的数学模型。不同的物理系统，经过抽象和近似，有可能得到形式上完全相同的数学模型。对于较复杂的系统，同一系统模型可有多种不同的数学表现形式连续时间系统连续时间系统的描述系统的数学模型：系统物理特性的数学抽象。

系统的框图描述：形象地表示其功能。系统分析方法概述二．系统的框图描述

连续系统的基本单元系统模拟上述方程从数学角度来说代表了某些运算关系：相乘、微分（差分）、相加运算。将这些基本运算用一些基本单元符号表示出来并相互联接表征上述方程的运算关系，这样画出的图称为模拟框图，简称框图。1.连续系统的基本单元延时器加法器积分器数乘器乘法器2.系统模拟实际系统→方程→模拟框图→实验室实现（模拟系统）→指导实际系统设计方程←→框图用变换域方法和梅森公式简单，后面讨论。例1由微分方程画框图例1：已知y”(t)+ay’(t)+by(t)=f(t)，画框图。解：将方程写为y”(t)=f(t)–ay’(t)–by(t)例2由微分方程画框图例2请画出如下微分方程所代表的系统的系统框图。解：解法二解2：该方程含f(t)的导数，可引入辅助函数画出框图。设辅助函数x(t)满足x”(t)+3x’(t)+2x(t)=f(t)可推导出y(t)=x’(t)+x(t)，它满足原方程。例3由框图写微分方程例3：已知框图，写出系统的微分方程。设辅助变量x(t)如图x(t)x’(t)x”(t)x”(t)=f(t)–2x’(t)–3x(t),即x”(t)+2x’(t)+3x(t)=f(t)y(t)=4x’(t)+3x(t)根据前面，逆过程，得y”(t)+2y’(t)+3y(t)=4f’(t)+3f(t)将上述结论推广应用于n阶连续系统。设n阶系统输入输出方程为图1.5-7n阶系统框图表示n阶系统离散时间系统系统的数学模型：系统物理特性的数学抽象。系统的框图描述：形象地表示其功能。系统分析方法概述离散系统的解析描述——差分方程例：某人每月初在银行存入一定数量的款，月息为β元/月，求第k个月初存折上的款数。设第k个月初的款数为y(k),这个月初的存款为f(k),上个月初的款数为y(k-1)，利息为βy(k-1),则

y(k)=y(k-1)+βy(k-1)+f(k)即y(k)-(1+β)y(k-1)=f(k)若设开始存款月为k=0，则有y(0)=f(0)。上述方程就称为y(k)与f(k)之间所满足的差分方程。所谓差分方程是指由未知输出序列项与输入序列项构成的方程。未知序列项变量最高序号与最低序号的差数，称为差分方程的阶数。上述为一阶差分方程。由n阶差分方程描述的系统称为n阶系统。2.离散系统的基本单元加法器迟延单元数乘器例4由框图写差分方程例4：已知框图，写出系统的差分方程。解：设辅助变量x(k)如图x(k)x(k-1)x(k-2)即x(k)+2x(k-1)+3x(k-2)=f(k)y(k)=4x(k-1)+5x(k-2)消去x(k)，得

y(k)+2y(k-1)+3y(k-2)=4f(k-1)+5f(k-2)x(k)=f(k)–2x(k-1)–3x(k-2)

线性系统与非线性系统时不变系统与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统§1.6系统的特性与分类连续或离散的动态系统，按其基本特性可分为1.线性系统与非线性系统

线性系统：指满足线性性质的系统。线性性质：齐次性和可加性可加性：齐次性：f(·)→y(·)

y(·)=T[f(·)]f(·)→y(·)

af(·)→a

y(·)

f1(·)→y1(·)

f2(·)→y2(·)

f1(·)+f2(·)→y1(·)+y2(·)

af1(·)+bf2(·)→ay1(·)+by2(·)

综合，线性性质：线性系统的数学模型是线性微分方程式或线性差分方程式。例1：若T[e(t)]=ae(t)+b=r(t)，问该系统是否为线性系统？解：而显然故系统为非线性系统。判断线性系统举例例2：若

，问该系统是否为线性系统？判断线性系统举例解：满足均匀特性和叠加特性，该系统为线性系统。注：微积分运算是线性运算。设动态系统响应动态系统不仅与激励{f

(·)}有关，而且与系统的初始状态{x(0)}有关。初始状态也称“内部激励”。

y

(·)=T[{f

(·)},{x(0)}]零状态响应：yzs(·)=T[{f

(·)},{0}]，零输入响应：

yzi(·)=T[{0}，{x(0)}]

任意线性系统的输出响应都可分解为零输入响应与零状态响应两部分之和,即动态系统是线性系统的条件①可分解性：y

(·)

=yzs(·)+yzi(·)②零状态线性：

T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1

(·)},{0}]+bT[{f2

(·)},{0}]③零输入线性：T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}]因此，判断一个动态系统是否为线性系统，应从三个方面来判断：判断线性系统举例例1：判断下列系统是否为线性系统？（1）y

(t)=3x(0)+2f

(t)+x(0)f

(t)+1

（2）y

(t)=2x(0)+|f

(t)|

（3）y

(t)=x2(0)+2f

(t)解：（1）

yzs(t)=2f

(t)+1，yzi(t)=3x(0)+1显然，y

(t)≠yzs(t)＋yzi(t)不满足可分解性，故为非线性（2）

yzs(t)=|f

(t)|，yzi(t)=2x(0)

y

(t)=yzs(t)+yzi(t)满足可分解性；由于T[{af

(t)},{0}]=|af

(t)|≠ayzs(t)不满足零状态线性。故为非线性系统。（3）

yzi(t)=x2(0)，T[{0},{ax(0)}]=[ax(0)]2≠ayzi(t)不满足零输入线性。故为非线性系统。例2：判断下列系统是否为线性系统？解：y

(t)=yzs(t)+yzi(t)，满足可分解性；T[{af1(t)+bf2(t)},{0}]=aT[{f1(t)},{0}]+bT[{f2(t)},{0}]，满足零状态线性；T[{0},{ax1(0)+bx2(0)}]=e-t[ax1(0)+bx2(0)]=ae-tx1(0)+be-tx2(0)=aT[{0},{x1(0)}]+bT[{0},{x2(0)}],满足零输入线性；所以，该系统为线性系统。1．在判断可分解性时，应考察系统的完全响应y(t)是否可以表示为两部分之和，其中一部分只与系统的初始状态有关，而另一部分只与系统的输入激励有关。2．在判断系统的零输入响应yzi(t)是否具有线性时，应以系统的初始状态为自变量（如上述例题中x(0))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。3．在判断系统的零状态响应yzs(t)是否具有线性时，应以系统的输入激励为自变量(如上述例题中f(t))，而不能以其它的变量（如t等）作为自变量。判断系统是否线性注意问题

线性系统与非线性系统

时不变系统与时变系统因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统§1.6系统的特性与分类连续或离散的动态系统，按其基本特性可分为2.时不变系统与时变系统时不变系统：指满足时不变性质的系统。时不变性（或移位不变性）：

f(t)→yzs(t)

f(t-

td)→yzs(t-

td)线性时不变系统可由定常系数的线性微分方程式或差分方程式描述。判断时不变系统举例例：判断下列系统是否为时不变系统？（1）yzs(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yzs(t)=tf

(t)

（3）yzs(t)=f

(–t)分析:判断一个系统是否为时不变系统，只需判断当输入激励x(t)变为x(t-t0)时，相应的输出响应y(t)是否也变为y(t-t0)。由于系统的时不变特性只考虑系统的零状态响应，因此在判断系统的时不变特性时，不涉及系统的初始状态。判断时不变系统举例解(1)令g

(k)=f(k–kd)T[g

(k)]=g(k)g

(k–1)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)而yzs(k–kd)=f

(k–kd)f

(k–kd–1)显然T[f(k–kd)]=yzs(k–kd)故该系统是时不变的。(2)

令g

(t)=f(t–td)，T[g

(t)]=tg

(t)=tf

(t–td)而yzs(t–td)=(t–td)f

(t–td)显然T[f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。（1）yzs(k)=f

(k)f

(k–1)

（2）yzs(t)=tf

(t)判断时不变系统举例(3)

令g

(t)=f(t–td),T[g

(t)]=g

(–t)=f(–t–td)而yzs(t–td)=f

[–(t–td)]，显然

T[f(t–td)]≠yzs(t–td)故该系统为时变系统。直观判断方法：

若f

(·)前出现变系数，或有反转、展缩变换，则系统为时变系统。

（3）y

zs(t)=f(–t)LTI连续系统的微分特性和积分特性本课程重点讨论线性时不变系统(LinearTime-Invariant)，简称LTI系统。①微分特性：若f(t)→yzs(t)，则f’(t)→y’

zs(t)

②积分特性：若f(t)→yzs(t)，则证明LTI系统微分特性证明

f(t)→yzs(t)

f(t-△t)→yzs(t-△t)根据时不变性质，有利用线性性质得对零状态系统△t→0得

线性系统与非线性系统时不变系统与时变系统

因果系统与非因果系统稳定系统与不稳定系统§1.6系统的特性与分类连续或离散的动态系统，按其基本特性可分为3.因果系统与非因果系统

因果系统：指零状态响应不会出现在激励之前的系统。即对因果系统，当t<t0

，f(t)=0时，有t<t0

，yzs(t)=0。输出不超前于输入。判断方法：举例综合举例因果系统判断举例如下列系统均为因果系统：yzs(t)=3f(t–1)而下列系统为非因果系统：(1)yzs(t)=2f(t+1)(2)yzs(t)=f(2t)因为，令t=1时，有yzs(1)=2f(2)因为，若f(t)=0，t<t0

，有yzs(t)=f(2t)=0,t<0.5t0

。实际的物理可实现系统均为因果系统非因果系统的概念与特性也有实际的意义，如信号的压缩、扩展，语音信号处理等。若信号的自变量不是时间，如位移、距离、亮度等为变量的物理系统中研究因果性显得不很重要。因果信号可表示为：t=0接入系统的信号称为因果信号。综合举例例

某LTI因果连续系统，起始状态为x(0–)。已知，当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，全响应

y1(t)=e–t

+cos(πt)，t>0；当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，全响应

y2(t)=–2e–t

+3cos(πt)，t>0；求输入f3(t)=+2f1(t-1)时，系统的零状态响应y3f(t)。解

设当x(0–)=1，输入因果信号f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y1zi(t)、y1zs(t)。当x(0-)=2，输入信号f2(t)=3f1(t)时，系统的零输入响应和零状态响应分别为y2zi(t)、y2zs(t)。

由题中条件，有y1(t)=y1zi(t)+y1zs(t)=e–t+cos(πt)，t>0（1）y2(t)=y2zi(t)+y2zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（2）根据线性系统的齐次性，y2zi(t)=2y1zi(t)，y2zs(t)=3y1zs(t)，代入式（2）得

y2(t)=2y1zi(t)+3y1zs(t)=–2e–t+3cos(πt)，t>0（3）式(3)–2×式(1)，得

y1zs(t)=–4e-t+cos(πt)，t>0由于y1zs(t)是因果系统对因果输入信号f1(t)的零状态响应，故当t<0，y1zs(t)=0；因此y1zs(t)可改写成

y1zs(t)=[–4e-t+cos(πt)]ε(t)(4)f1(t)→y