函数与导数问题进阶(学生版)自己总结和教师版一套

函数与导数问题进阶（学生版）常见题型及解法1.常见题型小题：函数的图象函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、对称性);分段函数求函数值；函数的定义域、值域（最值）；函数的零点；抽象函数；定积分运算（求面积）二、大题：1.求曲线在某点处的切线的方程；2.求函数的解析式3.讨论函数的单调性，求单调区间；4.求函数的极值点和极值；5.求函数的最值或值域；6.求参数的取值范围7.证明不等式；8.函数应用问题2.在解题中常用的有关结论（需要熟记）：(1)曲线在处的切线的斜率等于，且切线方程为。(2)若可导函数在处取得极值，则。反之，不成立。(3)对于可导函数，不等式的解集决定函数的递增（减）区间。(4)函数在区间I上递增（减）的充要条件是：恒成立（不恒为0）.(5)函数（非常量函数）在区间I上不单调等价于在区间I上有极值，则可等价转化为方程在区间I上有实根且为非二重根。（若为二次函数且I=R，则有）。(6)在区间I上无极值等价于在区间在上是单调函数，进而得到或在I上恒成立(7)若，恒成立，则;若，恒成立，则(8)若，使得，则；若，使得，则.(9)设与的定义域的交集为D，若D恒成立，则有.(10)若对、，恒成立，则.若对，，使得,则.若对，，使得，则.（11）已知在区间上的值域为A,，在区间上值域为B，若对,，使得=成立，则。(12)若三次函数f(x)有三个零点，则方程有两个不等实根，且极大值大于0，极小值小于0.(13)证题中常用的不等式:①②③④⑤⑥3.解题方法规律总结1.关于函数单调性的讨论：大多数函数的导函数都可以转化为一个二次函数，因此，讨论函数单调性的问题，又往往转化为二次函数在所给区间上的符号问题。要结合函数图象，考虑判别式、对称轴、区间端点函数值的符号等因素。2.已知函数（含参数）在某区间上单调，求参数的取值范围，有三种方法：①子区间法；②分离参数法；③构造函数法。3.注意分离参数法的运用：含参数的不等式恒成立问题，含参数的不等式在某区间上有解，含参数的方程在某区间上有实根（包括根的个数）等问题，都可以考虑用分离参数法，前者是求函数的最值，后者是求函数的值域。4.关于不等式的证明：通常是构造函数，考察函数的单调性和最值。有时要借助上一问的有关单调性或所求的最值的结论，对其中的参数或变量适当赋值就可得到所要证的不等式。对于含有正整数n的带省略号的不定式的证明，先观察通项，联想基本不定式（上述结论中的13），确定要证明的函数不定式（往往与所给的函数及上一问所得到的结论有关），再对自变量x赋值，令x分别等于1、2、…….、n,把这些不定式累加，可得要证的不定式。）5.关于方程的根的个数问题：一般是构造函数，有两种形式，一是参数含在函数式中，二是参数被分离，无论哪种形式，都需要研究函数在所给区间上的单调性、极值、最值以及区间端点的函数值，结合函数图象，确立所满足的条件，再求参数或其取值范围。小题讲解：【例1】（山东高考题）已知定义在R上的奇函数，满足，且在区间[0,2]上是增函数，若方程在区间上有四个不同的根，则【例2】若是方程的解，是的解，则的值为（）A．eq\f(3,2)B．C．3D．【例3】若函数有两个零点，则实数的取值范围是．【例4】已知偶函数在区间单调递增，则满足＜的x取值范围是（）（A）（，）(B)［，）(C)（，）(D)［，）解答题讲解一、（单调性，用到二阶导数的技巧） 例一、已知函数 ⑴若，求的极大值； ⑵若在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.HYPERLINK三、不等式证明作差证明不等式例四、（2010湖南，最值、作差构造函数）已知函数．

(1)求函数的单调递减区间；

(2)若，求证：≤≤x．例五（2007湖北20，转换变量，作差构造函数，较容易）已知定义在正实数集上的函数，，其中．设两曲线，有公共点，且在该点处的切线相同．⑴用表示，并求的最大值；⑵求证：当时，． 变形构造证明不等式例六、已知函数，（Ⅰ）求的极值（Ⅱ）若在上恒成立，求的取值范围（Ⅲ）已知，且，求证例七、（2010辽宁文21，构造变形，二次）已知函数.⑴讨论函数的单调性；⑵设，证明：对任意，.HYPERLINK四、不等式恒成立求字母范围恒成立之最值的直接应用例八、已知函数。⑴求的单调区间；⑵若对于任意的，都有≤，求的取值范围.例九、（2008天津理20倒数第3大题，最值的直接应用，第3问带有小的处理技巧）已知函数，其中.⑴若曲线在点处切线方程为,求函数的解析式；⑵讨论函数的单调性；⑶若对于任意的，不等式在上恒成立，求的取值范围.恒成立之分离常数例十、（2011长春一模，恒成立，分离常数，二阶导数）已知函数,（其中R,为自然对数的底数）.(1)当时,求曲线在处的切线方程；(2)当≥1时,若关于的不等式≥0恒成立,求实数的取值范围.（改x≥0时，≥0恒成立.≤1）例十一、已知函数．（Ⅰ）若函数在区间其中a>0，上存在极值，求实数a的取值范围；（Ⅱ）如果当时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；恒成立之讨论字母范围例十二、（2007全国I，利用均值，不常见）设函数．⑴证明：的导数；⑵若对所有都有，求的取值范围．三年新课标导数高考试题[2011]1、（2）下列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（A）(B)（C）(D)2、（9）由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（A）（B）4（C）（D）63（21）（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处的切线方程为。（Ⅰ）求、的值；（Ⅱ）如果当，且时，，求的取值范围。[2012]4、（12）设点P在曲线y=ex上，点Q在曲线y=ln(2x)上，则|pQ|最小值为（A）1-ln2（B）（C）1+ln2（D）5、（21）（本小题满分12分）已知函数f（x）满足（1）求f（x）的解析式及单调区间；（2）若求（a+1）b的最大值。【2013年】6、16、若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，