2021届“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题（甲卷）数学（理）试题【解析版】

2021届“超级全能生”高三全国卷地区3月联考试题(甲

卷)数学(理)试题【解析版】

一、单选题

1.已知集合4={也无2-7X-4W0},5=+旧<3},则AD8=()

A.(—2,3)B.(—2,3]C.卜g,2)D.―5[

【答案】D

【分析】先解不等式得到集合4、B,再利用集合的数轴表示求得4nB.

【详解】由2_?一7%—440，即(2了+1)(无一4)40,得一3«%44,集合4=-1,4

由凶<3得/<9,即—3<x<3,集合8=(-3,3),

由数轴表示可得，408=—；,3).

故选：D.

【点睛】一元二次不等式求解要注意不等号方向及解集端点验证，以避免出错；数集运

算借助数轴表示更为直观.

2.复数z满足z+限则|z|=（）

A.5B.2Gc.y/5D.2

【答案】D

【分析】利用复数的除法以及复数的乘方化简复数z,利用复数的模长公式可求得|z|.

一6+j_便+，（1+后）_G+4i+舟

则

•1-新一（1一"）0+血厂4

故选：D.

3.已知a=2喝2,0=2喝2,c=（；），则（）

A.a<b<cB.b<a<cC.c<h<aD.c<a<h

【答案】B

【分析】由换底公式以及对数函数与指数函数的单调性可判断大小关系.

【详解】根据换底公式10g32=：j—log52=-―因为k）g,5>log,3>l,

log23log,5''

所以0<logs2<log32<1,故i<2幅2<2幅2<2.

（1

又c=一=2''>2'=2.

所以Z?<a<c

故选：B.

4.二项式［五―a］的展开式中x的系数为（）

A.-15B.-3C.3D.15

【答案】A

【分析】先写二项展开式中第什1项的通项公式I”=（_3）'C"沫，再令士产=1解

出厂，代入通项公式求系数即可.

【详解】由题意知，二项展开式中第什1项的通项公式

5-3r

(-3)「&丁，r=0,1,2,3,4,5.

5—3r.

令A——=1得〃=1,

2

所以X的系数为(―3)LC；=-15.

故选：A.

0X_1

5.函数/（无）=（丁一3,.三11的图象大致是（）

【答案】A

【分析】先根据奇偶性的定义可判断出函数为偶函数，再利用/(2)>0即可得出.

【详解】由题知/(x)=(？-3。的定义域为(7,内).

x

因为f(-X)=(一万3+3龙).Je

7+1=/(工)»

所以/(x)是偶函数，函数图象关于y轴对称，排除选项B；

2.\

又/(2)=2乂e二一＞0,故排除选项C,D.

e+1

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置.

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

6.曲线y+1(x20)的一条切线的斜率为1,则该切线的方程为()

B.y=xC.y=x+lD.y=x+2

【答案】C

【分析】由给定函数求导，结合斜率值，求出切点坐标，写出切线方程.

,cosx•er-sinx•excosx-sinx

【详解】由题得)'=3>设切点为(毛,%)，

e

则y'lL=cos-%.%sin.%，而拓=l(x2o),则e演=cosx0-sinx0,

令/(x)=ex-cosx+sinx,贝!]f'(x)=ex+sinx+cosx=ex+41sin(x+—),

4

0<x<l时，f'(x)>0,而应1时，ex>e,sinx+cosx>-V2,f\x)>0,

Vx>0"'(x)>0,1x)在［0,e)上单调递增，则/(%)>/(0)=0,

所以方程"。=cos%—sin/只有一个实根X。=0,代入原函数得为=*+1=1，

e

故切点为(0,1)切线斜率为1,所以切线方程为y=x+l.

故选：C.

【点睛】求超越方程的零点，一般是构造函数，利用函数单调性，借助观察比对的思路

解决.

7.某省今年开始实行新高考改革跟以往高考最大的不同就是取消了文理分科，除了语

文、数学、外语三门科目必选外，再从物理、化学、生物、政治、地理、历史这6个科

目中任选3门作为选考科目，甲和乙分别从6科中任选3科，若他俩所选科目都有物

理.其余2科均不同，则甲不选历史，且乙不选化学的概率是()

33279

A.------B.-----C.------D.-----

200100400100

【答案】B

【分析】古典概型，利用P='求概率，利用组合分别计算出〃、，小即可求解.

n

【详解】从6科中任选3科共C：=2()种不同的方案，两人分别从6科中任选3科，共

有C；xC；=400种不同的方案.

因为他们都选了物理，其余2科又不同，所以对甲是否选化学分成两类讨论：

第1类甲选化学，甲只需再从生物、地理、政治3门中选1门，有C；=3种方法，乙从

剩余3门中选2门，有=3种方法，所以一共有9种选法；

第2类甲不选化学，甲又不选历史，所以他只能从生物、政治、地理3门中选2门，有

2=3种方法，乙只能选剩下的2门，有1种方法，此时一共有3种选法.

123

综上所知，满足要求的选法共有12种，所以所求事件的概率尸=——.

400100

故选：B.

【点睛】利用古典概型的概率公式尸=,m求概率时，其中的〃、“可以用列举出来，也

n

可以利用排列组合、计数原理求出来.

8.如图所示的程序输出的结果为——，则判断框中应填（）

1023

A.z>10?B.z<10?C.z>9?D.Z>11?

【答案】A

【分析】按照程序框图运行程序，利用裂项相消法求和，可得第〃次循环

5=1-上^，再代入解方程即可判断;

2向一1

22

【详解】解：输入，=1，5=0,则第1次循环S=0+——=—,i=l+l=2,继续

1x33

循环;

第2次循环5=心-+/-=1一1+1一,=9,,=2+1=3,继续循环；

1x33x73377

*、-生丑0248,1111114.c,“，皿

第3次循环S=----1-----1-----=1---1------1------=—,i=3+1=4,继

1x33x77x1533771515

续循环,

由此推出第〃次循环S=l-」+!-4+-一+一一

3372"-1

1J022

令1一一-；—=——，解得〃=9,此时i=9+l=l(),满足条件，退出循环，所以判

2"+i_i1023

断框中应填“i210?”,

故选：A.

9.已知数列｛4｝的前〃项和S”满足2S,,一叫,=3〃(“eN)且S3=15,贝！|九=

()

A.10()B.110C.120D.13()

【答案】C

【分析】利用4=5“一S,I判断出｛可｝为等差数列，求出公差和首项，直接求出

【详解】对于2S„-nan=3«(neN*)：

当〃=1时，2S]-q=3,解得4=3；

2s“一〃。"=3〃①.又当〃22时，2sI—(〃一l)a,I=3(〃一l)②，所以①一②得

(〃一l)anT-(〃-2)a.=3③，当〃N3时,(n-2)an_2-(n-3)an_,=3

所以④一③得(«-1)。,一一(〃-2)a“=(〃-2)a„_2-(n-3)(z„_l,

可得2a,i=4+a“_2,所以数列｛凡｝为等差数列，设其公差为因为

S3=3%+3d=9+3d=15,解得d=2.又6=3,且易得出=5,%=7，所以

an=2n+l,故50=10x3+，"二x2=120.

故选：C.

【点睛】(1)证明等差(比)数列的方法：定义法和等差(比)中项法；

(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法.

10.筒车是我们古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在《农政全书》中用

图画描绘了筒车的工作原理，如图所示，已知筒车的半径为4m,筒车转轮的中心。到

水面的距离为2m,筒车沿逆时针方向以角速度转动，规定：盛水筒/对应

的点尸从水中浮现(即凡时的位置)时开始计算时间，且以水轮的圆心。为坐标原点,

过点。的水平直线为x轴建立平面直角坐标系xOy,设盛水筒M从点外运动到点P

时经过的时间为f(单位：s),且此时点p距离水面的高度为〃(单位：米)，筒车经

过6s第一次到达最高点，则下列叙述正确的是（）

A.当£=16s时，点P与点匕重合

B.当fe[51,65]时,〃一直在增大

C.当fw（O,5O）时，盛水筒有5次经过水平面

D.当[=50时，点P在最低点

【答案】c

【分析】由题意，设N《Qx=e（一易知sine=-3,从而求得。，由“

TT

从点兄运动到点P时经过的时间为，（单位：S）,得到NxOP=a--,再由经过6s

6

TTTT

第一次到达最高点，令6。--二一求得函数解析式再逐项判断.

62

【详解】设/43=9（一、<0<0）,依题意sin°=-；.又—擞<夕<0,所以

jrjr（兀、

（p=一—.又AxOP=cot一一,圆。的半径为4,所以P点满足y=4sin初一二,

6616J

TTTTJT\7171\

当，=6时，6G---=—,解得G=—,所以y=4sin不，一二，故

629\96）

（兀乃、27r=1Q

/z=4sin--Z--+2.该函数最小正周期为兀~,所以当，=18s时，点P与点

196J-

4重合，选项A错误；

TTTTTTTC

令2k兀一±-t-士&2k兀+以也eZ）,解得18Z—3W/W18k+6/eZ）,当

2962

%=3时，51<r<60,又因为[51,65]0[51,60],所以选项B错误；

令〃=45皿仔”一看）+2=0,即sinK"-?｝一g,所以

TTTTTTTTTT/TT

一t一一=2k7T一一（ZEZ）或一•/一一二2攵»+——（keZ）,解得％=184或

966966

f=18Z+12（ZeZ）.又te（O,5O）,所以f可以取的值为12,18,30,36,48,

此时盛水筒有5次经过水平面，选项C正确；

（jr冗\977r

当才=50时:/2=4sin-x50--+2=4sin--+2^-2,所以选项D错误，

196）18

故选：C.

【点睛】方法点睛：1.讨论三角函数性质，应先把函数式化成y=Asin@x+p）3＞0）的

形式.

2TC

2.函数丁=4$亩（0）X+9）和y=Acos（①x+p）的最小正周期为/二］一F,y=lan（G%+9）的

最小正周期为丁=时.

3.对于函数的性质（定义域、值域、单调性、对称性、最值等）可以通过换元的方法令r

=cox+（p,将其转化为研究y=sinI的性质.

22

11.已知点月、乃是椭圆与+*=1（。＞。＞。）的左、右焦点，点/，是椭圆上位于第

一象限内的一点，经过点P与△P66的内切圆圆心/的直线交x轴于点。，且

可=2匝，则该椭圆的离心率为（）

【答案】A

S4PF\Q_四=固

【分析】由题意可知PQ为/6尸工的角平分线，推导出可

S*Q|P可同

得出\P品I\=|能P用‘品\PI\|「居|'利用比例关系可得出\P局I\二a

再结合可=2匝可

求得椭圆的离心率的值.

【详解】如图，连接阴、IF2,/是百用的内心，可得阴、分别是NP6E和

NPF再的角平分线,

由于经过点P与的内切圆圆心/的直线交X轴于点。,

则PQ为6的角平分线，则。到直线P6、尸鸟的距离相等，

SAPF'Q=四=固后怅可/P"」P用\PI\JP^\

同理可得同一厢T同一西'

SgQ归周\QF2\

由比例关系性质可知回=但生闿=皿四一2=

由比例关M可知阁m+代0闺同

2cc

一一c|/Q|1

又因为尸/=2/。，所以椭圆的离心率0=—=焉=7，

上a\PI\2

故选：A.

【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：

(1)定义法：通过已知条件列出方程组，求得a、C的值，根据离心率的定义求解离

心率e的值；

(2)齐次式法：由已知条件得出关于。、。的齐次方程，然后转化为关于e的方程求解;

(3)特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.

ex

"一e(x'D是定义在R上的单调递增函数,

12.已知函数/(x)=〈

ax2+8x-6(x<1)

g(x)=xi(alnx+l)+x'-e,当xNl时，/(x)Ng(x)恒成立，则。的取值范围是

()

A.[—4,0)B.[-4,-2]C.[-4,—c]D.[―e,—2]

【答案】C

【分析】根据函数/(X)是定义在R上的单调递增函数，则每一段都为增函数，且％=1

的右侧的函数值不小于左侧函数值求得“的范围，再根据xNl时，/(x)Ng(x)恒成

立，转化为4111%4/<1-一%—1恒成立求解.

【详解】令2a)=C-e,则/(x)=e'(x「)20,所以z(x)在[1,+8)上递增,

因为函数/(*)=｛三一式*'1)是定义在R上的单调递增函数，

ax2+8x-6(x<l)

a<Q

4

所以｛---21,

a

a+2<0

解得T<a<—2.

又当时，/(x)Ng。)恒成立，

即----e>xe~}(6zlnx+l)4-x'-e,即〃111%〈1一2"—%—1，

x

当x=l时，e-2N0,显然成立；

x，/x][,一・"x]e-—X]

当尢>1时，化简可得

InxInxInx

令〃(尤)=ex-x+1,则"(x)=e"-1,当x>0时，/(%)>0,当xv0时，/(%)v0,

所以当x=0时，/i(x)取得最小值0,所以〃(x)=e-x+l>。，即e一％+1，

x-\nx——1x—e[nx+]—x—1

x

所以£------->=-e,当且仅当x—elnx=0,

InxInx

即x=e时等号成立，所以。4―e.

综上可知TWa«-e.

故选：C.

【点睛】方法点睛：恒(能)成立问题的解法：

若/(龙)在区间D上有最值，则

(1)恒成立：Vxe£),/(%)>0=/(%)“而>0；Vxe£),/(x)<0o/(x)ma'<0；

⑵能成立：3xeD,/(x)>0<=>/(x)mix>0；3xeD,/(x)<0«>/(-^)min<0.

若能分离常数，即将问题转化为：a>/(x)(或a</(x)),则

(1)恒成立：a>/(x)oa>/(x)皿；a<f(x)^a<f(x\y.n；

(2)能成立：a>/(x)<=>iz>/(x)m.n；a</(x)oa</(x)1rax.

二、填空题

13.已知向量1=(1,1),5=则|2三+3匕=.

【答案】V26

【分析】直接利用坐标运算求出21+3日，再求模.

【详解】•••5=(1/)，瓦=(一1,1),

2G+35=(2,2)+(-3,3)=(-1,5),

.•.忸+3同=后.

故答案为：V26.

14.已知等比数列｛4｝的公比4=2,前〃项积为T.，若7；=白，则与=.

【答案】1

【分析】根据［=+，结合等比数列的性质求得出，进而求得处，然后由求

解

【详解】因为“=%•%•/=W=，

解得%=1.

由等比数列的通项公式得%=4/=：x23=1,

O

所以《=%a203a4a5a6070noi)=(ala9)•(a2a8)•••(%4)•%=a；=1.

故答案为：1

22

15.已知的，工分别是双曲线C：I—与=1(a>0,Z?>0)的左、右焦点，过4

a2b~

的直线/与双曲线的右支交于第一象限内的一点P,若为耳的重心，

则该双曲线的离心率为.

1+小

【答案】

2

【分析】先由为△耳P6的重心，求出P("a),代入得到关于abc的齐次式,

求出离心率.

b_m+c-c

aa

【详解】设p(〃〃)，6(-c,o),£(c,o),则由重心坐标公式可得:〃+：+0解

3:-3-

m=b

得4

n=a

.,.点尸的坐标为伍,a).

:点P在曲线C上，

二M■一勺=1，b4-a4~a2b2■

a2b2

*•*€——(e>1),I.c=ea,

a

CT+h2=c2=e2a2，

：.b2=(e2-l)a2,

A(e2-l)2-l=e2-l,

.­./-3e2+l=0.解得e?=过二5或e2=三正(舍),

22

.1+V5

・・e=-------.

2

故答案为：上芭

2

【点睛】求椭圆(双曲线)离心率的一般思路：根据题目的条件，找到a、氏c•的关系,

消去6,构造离心率e的方程或(不等式)即可求出离心率.

16.如图圆锥内的球。与圆锥的侧面与底面都相切，且球的半径为1,则圆锥侧面积的

最小值为.

A

【答案】(3+2扬万

【分析】设圆锥的底面圆半径为X,SO=y,根据题意得到一=工二，而圆锥的侧

y-1

M+(y+l)2转化为4郎+篝，最后利用换元

面积S-7T-X-SA-7TX

y-i

法求解最小值即可.

【详解】设圆锥的底面圆半径为x,SO=y,

设球与侧面相切于点C,在用A5co中，SC=[y2T

COsc

因为AS»AS。小则.=的

即LJ)J,所以

xy+iy-i

在MASAO]中，SA=7x2+(y+l)2=y+i

+(y+i)一，

故圆锥的侧面积S=万•x•SA=万/吐+(y+1)?

\y-i

3

y+iy+ly+l,,(y+l)2](y+1)

=»•」/+(y+l)2=71J~7~r+(y+l)2—71

(y—1)2

令》一1=，，/〉o,则y+l=/+2,

(£+2)2](/+2)3j+34(3+2扬万

故S=/

271/+

2

当且仅当「=—,即「=夜，y=0+l时，取等号，所以圆锥侧面积S的最小值为

(3+2扬乃.

【一题多解】

解法一：设NASQ|=e,在MA5co中,

so=-^~,sc=—.

sin0tan8

因为ASCO〜ASO|A,

1

COSC1mnf)

则=即777=*,

01ASO、0]A1।]

sin。

ci八“sinO+1CAsinO+1

所以«A=---------,SA=-----------------

cos。sin夕cos。

于是圆锥的侧面积

sin6+1sinO+1(sin6+1)?sin6+1

S=;rQ]A.SA=万・----------------=7T-------------------=71------------------------

cos。sincos。sin^-cos~0sin^-(1-sin0)

令sin6+l=/,则sin6=/-l(l<fv2),则

S=7T=(3+2扬万

(1)(2T)

2

当且仅当f=：,即「=夜时取等号，所以圆锥侧面积S的最小值为(3+2&)乃.

解法二：设S0=〃，AC\=BOi=r.

ASOC~ASAO,,且OC=OQ=1,

.PCAO,

"~SO~~SA

1_r

即片1+(用)2，

：〃

/.h,r=Jgr2-+---(h--+--l-)72，广2=--+1-，

Yn-1

圆锥的侧面积

S=分力/+(/z+l)2-Tir-hr-兀户h=7ih•:士；=〃[万一1++3j>%(20+3)

当且仅当h=6+l时等号成立，故圆锥侧面积S的最小值为(3+28)万.

【点睛】本题考查圆锥的内切球、圆锥中相关量的计算，考查运算求解能力、空间想象

能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查数学运算直观想象核心素养.

三、解答题

17.已知等腰AABC中，角A,8,C的对边分别为a,b,c,b=c,。是AC的

中点.

(1)若cosNBDC=也,sin/A5O=巫，CO=1,求AABC的面积S；

48

(2)若AABC的面积S等于2,求BO的最小值.

【答案】(1)—；(2)6

2

【分析】(1)利用NA=N6OC—NA8O和三角恒等变换，求得sinA,再利用三角

形的面积公式即可求解：

(2)利用三角形的面积公式建立AB与sinA的关系，再利用余弦定理表示出BD，最

后利用辅助角公式即可求解.

【详解】解：(1)在AABO中，ZA=ABDC-ZABD.

由cosNBOC="sinZABD=-

48

得sin/8OC=巫，cosNABO=述,

48

所以sinA=sin(ZBDC-/ABD)

=sinNBDC,cosZABD-cosZBDCsinZABD

71457272714币

---x---------x----=---

48484

因为A6=2£>C=2,所以三角形ABC的面积

S=-/1B^CsinA=-x2x2x—=—

2242

11,

(2)S=-AB-AC-sinA=-sinA=

22

,4

所以G=——，

sinA

所以4O2=(_LAB]=_1_

(2JsinA

在AABD中,

由余弦定理得

BD1=AB-+AD2-2AB-40cosA=+———4c°sA5-4cosA

sinAsinAsinAsinA

4

即BD2sinA+4cosA=\JBD4+\6sin(A+0)=5、其中tan夕=

又sin(A+(p)=/:<1,

yJBD4+i6

即JB£>4+1625,

解得B。2，所以B£＞的最小值为乖）.

【点睛】本题考查余弦定理及三角形的面积公式、三角恒等变换，考查运算求解能力,

考查数学运算核心素养.

18.如图，在四棱锥七一ABC。中，ADYBE,AD//BC,BC^2AD,EA=AB,

BC=2,AC=2叵,ZACB=45°.

（1）证明；平面BCE_L平面ABE；

（2）若E4LCZ）,点F在EC上,且即△反,求二面角A——。的大小.

2

【答案】（1）证明见解析；（2）

【分析】（1）利用已知条件及勾股定理的逆定理证得BC_L平面A3E,再利用面面垂直

的判定定理即可得证；

（2）由（1）易得平面ABCO,建立合适的空间直角坐标系，并分别求得平面ABF

和平面BDF的一个法向量即可利用向量法求解二面角的大小.

【详解】(1)因为AD//BC,所以BC工BE,

在AA6c中，由余弦定理得：

AB=y/AC2+BC2-2AC-BC-cosZACB

=J(2扬2+22—2x275x2x等=2，

因为AB2+BC2=AC2,所以BC_LAB,

又ABCBE=B,所以3CJ_平面ABE,

又6Cu平面BCE,所以平面BCEJ•平面43E；

(2)由(1)可知E4J_BC,

又EA上CD,BCcCD=C,

所以EAL平面A8QD,

故以A为坐标原点，AD，ABAE所在直线分别为x，＞，z轴，建立如图所示的

空间直角坐标系，

则40,0,0),8(0,2,0),0(1,0,0),C(2,2,0),E(0,0,2),

AB=(0,2,0),DB=(-1,2,0),EC=(2,2,-2),

因为方=■!■或，

2

所以点F(LU),而=(1,一1,1),

设平面ABF的法向量为机=(x,y,z),

m-AB=02y=0

则《即《

m-BF=0x-y+z=0

令z=l,则x=—1,故加=(一1,0,1)，

同理，设平面BD尸的法向量为］=(x',y',z'),

易得1=(2,1,-1),

m-n

所以cos〈加,〃〉=

|/n|-|n|V2xy/62，

易知二面角A—3下一D为锐角,

7T

所以二面角A—斯一。的大小为三.

6

【点睛】方法点睛：利用向量法求二面角的步骤：

1.建立适当的空间直角坐标系，分别设出两个平面的法向量，，=（X，M，zj,

々=（々，乂，Z2）:

2.求出平面内线段所在直线的向量式（每个平面求出两个向量）；

3.利用法向量垂直平面，即垂直平面内所有直线，建立方程组求解可得法向量，然后根

据向量夹角公式计算二面角的余弦值即可.

19.已知抛物线。：>2=2内（〃>0）的焦点为F，点A（2,l）是抛物线内一点，若

该抛物线上存在点£,使得+有最小值3.

（I）求抛物线。的方程；

（II）设直线/：2x—y+4=0,点3是/与）'轴的交点，过点A作与/平行的真线4，

过点A的动直线12与抛物线C相交于P,Q两盘，直线PB,QB分别交直线《于点M,

N,证明：|AM|=|4V|.

【答案】（I）y2=4x；（II）证明见解析.

【分析】（I）利用抛物线定义得|瓦1=|叫，其中点。为点E在准线上的射影，再

根据抛物线定义得出|AE|+|E£>|的最小值的表达式，从而求出。的值，即可求解；

（II）由已知条件可求出直线4的方程，再设出直线4的方程并代入抛物线。中化简求

出P,。两点横坐标之间的关系，从而设出直线依，并与直线4联立求出XM，同理

可得XN，从而可得山+%的表达式，化简可得XM+XN=2XA,即可得证\AM\=|AN|.

【详解】（I）如图，过点E作抛物线C准线的垂线，垂足为点。.

根据抛物线定义得|石月=|£力，

于是|隹|+|£目=|因+|即，

显然当A,E，。三点共线时，|AE|+|即有最小值2+日，

所以2+3=3,解得〃=2,

2

所以抛物线。的方程为V=4x.

(H)证明：直线/:2x—y+4=0,令x=0,得y=4,

所以点3(0,4).

因为直线4平行于直线/：2x-y+4=0,

且过点4(2,1),

所以直线4：2x_y_3=0.

设直线12：工一2=1y-1)并代入抛物线。的方程消去》得产一旬，+4，-8=0,

△=16(*一/+2)>0.

设点P&,y),Q(X2，y2),

由韦达定理得X+%=今，yt-y2=4/-8,

V.—4

易得直线=—X+4,

玉

v.—4

直线。=---x+4.

无2

y—4

y=———x+4,

联立J玉

2x-y-3=0,

7®+2T）

解得与

2%1—y+4（2,-l）y+8—2t

7（/y2+2-r）

同理可得XR

（21）%+8-21

7（＜y|+2-?）।7（/y,+2-/）

所以与+4

（2—）y+8—2f（2r-l）^2+8-2z

2f⑵-1万「必+［（8-2f）f+⑵-1）（2—）］（必+%）+2（2-f）（8-2。x7

⑵-I）?y•%+（2fT）（8-2f）（）1+%）+（8-2f）~

4/一4r+8，

----------=4.

r-r+2

因为x.=2,

所以X“+XN=2尤.，即A是MN的中点,

所以|AM|=|4V|.

【点睛】(1)直线与抛物线的位置关

系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系;

(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点,

可直接使用公式|AB|=x+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

20.甲、乙、丙三人参加学校“元旦嘉年华”竞答游戏，活动的规则为：甲、乙、丙三人

先分别坐在圆桌的A,B,C三点，第一轮从甲开始通过掷骰子决定甲的竞答对手,

如果点数是奇数，则按逆时针选择乙，如果是偶数，则按顺时针选丙，下一轮由上一轮

掷骰子选中的对手继续通过掷骰子决定竟答对手，如果点数是奇数按逆时针选对手，点

2

数是偶数按顺时针选对手，已知每场竞答甲对乙、甲对丙、乙对丙获胜的概率分别为1,

二且甲、乙、丙之间竞答互不影响，各轮游戏亦互不影响，比赛中某选手累计获

32

胜场数达到2场，游戏结束，该选手为晋级选手.

（1）求比赛进行了3场且甲晋级的概率;

（2）当比赛进行了3场后结束，记甲获胜的场数为X,求X的分布列与数学期望.

【答案】（1）（2）分布列见解析；期望为住.

6144

【分析】（1）根据题意分别求出每一类情况的概率，再利用互斥事件概率加法公式即可

求解；（2）由题意可知X的所有可能取值为0,1，2,利用独立事件与互斥事件的概

率公式求出对应的概率即可求出分布列与数学期望.

【详解】解：（1）甲赢两场，分下面三种情况

①第一场甲胜，第二场无甲，第三场甲胜

.右.12111111121

概率为：—X—X—X—X—+—X—X—X—X—=—

232232322318

②第一场甲输，二三场均胜

1112(1211)121—121111

概率为:

2323(2323J2323(2323)18

③第一场甲胜，第二场输，第三场胜

1211(1211)1112(1211)1

概率为:

2323(2323J2323(2323J18

由互斥事件的概率加法公式可知：比赛进行了3场且甲晋级的概率为:

（2）依题意X的所有可能取值为0，1,2

由（1）知P（X=2）=:,

当比赛进行了3场后结束，甲获胜的场数为X=0时,

分两种情况:

3场比赛中甲参加/1场，输了，概率为：-X—x—x—x—F—x—x—x—x—=—

232222322216

3场比赛中甲参加了2场，都输了，概率为：

1111121211111

—X—X—X—X—X——F—X—X—X—X—X—=——

23222323222336

3场比赛甲都参加且都输掉是不可能的，否则两场比赛打不到3场.

1113

、1636144'

131_107

故P(X=1)=1—P(X=O)—P(X=2)=1---

1446-L44'

故X的分布列为

X012

13107

P

1441446

=0x旦+1」07.1155

则E(X)_i_7XZ—

1441446144

【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列与数学期望，考查数据处理能力、运算求解

能力，考查数学运算、数据分析、数学抽象核心素养.

21.已知函数/（x）=（l+x）ln（l+x）-or2__（2a+l）x,aeR.

（1）若/（x）在定义域内是减函数，求”的最小值；

（2）若/（X）有两个极值点分别是不，x2,证明：X[+x2＞——2.

【答案】（1），-;（2）证明见解析.

2e

【分析】（1）利用函数“力在定义域内是减函数等价于r（x）wo在（t+8）上恒成

立，参变分离后，即可求。的最小值；

（2）令妆无）=口（尤）,利用导数可求得〃（x）的单调性；令

〃2（》）=;/（彳）-〃（工一2一8）卜〉[--1）,可求得加（x）＞0,得到加（x）单调递增，

可得力（工2）＞"[2—x2,置换为〃（X1）〉。（一一？一4），由〃（x）在—lj

上的单调性可得自变量的大小关系，从而证得结论.

【详解】⑴/（力定义域为（-1,+8），/'（x）=ln（l+x）—2a（x+l）,

•.•/（6在定义域内是减函数，，/'（月40在（-1,+0））上恒成立，

即ln(l+x)-2a(x+l)〈O,:.2a2"(1+:,

1+x

令g(x)JMl+x),则g，(x)=l：n(l『,令g，(»=(),解得：x=e-l,

.1当xe(-l,e-l)时，g<x)>0；当xe(e-l,+oo)时，g'(x)<0；

.•依(同在(-1,6-1)上单调递增，在(e-l,+o>)上单调递减，

・••g(x)a=g(eT)=：，，2aZg(x)a=j解得：a>j~,

••a的最小值为—.

⑵由(1)知：若有两个极值点，则。<4-；

令/z(x)=/"(%)=In(l+x)-2a(x+l),则2〃=-

令"(x)=0,解得：x=—-1,

.,.当1,^----“时，/Z'(X)>O;当XG[----1,+8)时，

・・・/l(X)在1―1,《一”上单调递增，在上单调递减,

不妨设为<赴，则一1<%<-----1<x；

2a2

令=/1(%)-/2(--2-x

-1

加(x)在上单调递增，/.m(x)>wfy——1J=0,

z?z(x2)=/z(x2)-|-2-x2|>0,Bp/z(x2)>/?|—-2-X2

又〃(X)=〃(9)=0，*,*^(-^i)>/if--2-x2j,

1।111।

x)>-------,/.-1<—1-x<------1，

2a-Ia92a

又玉£（一1'^—j1人（£）在（一—1）上单调递增,

%|>—2—