2023-2024学年江苏省无锡市惠山区十校九年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年江苏省无锡市惠山区十校九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列是一元二次方程的是

(

)A.x³−x−1=0 B.2x−1=5 C.x²−3x+1=0 D.x−2.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA的值

(

)A.放大5倍 B.缩小5倍 C.不能确定 D.不变3.下列各组的四条线段a，b，c，d是成比例线段的是

(

)A.a=4,b=3,c=5,d=3 B.a=1,b=2,c=3,d=4

C.a=4.如图，已知∠1=∠2，添加一个条件后，仍不能判定△ABC与△ADE相似的是

(

)

A.∠C=∠AED B.∠B=∠D C.ABAD=BC5.如图，四边形ABCD内接于⊙O，E为BC延长线上一点．若∠DCE=65°，则∠BOD的度数是

(

)

A.65° B.115° C.130° D.140°6.一个扇形的半径是4cm，圆心角是45°，则此扇形的弧长是

(

)A.πcm B.2πcm C.4πcm D.8πcm7.如图，点C为线段AB的黄金分割点，AC>BC，若AB=2，则AC的长为

(

)

A.5−1 B.5+1 C.8.如图，在平面直角坐标系中，已知点E(−3,2)，F(−1,−1)以原点O为位似中心，把△EFO扩大到原来的3倍，则点E的对应点E’的坐标为

(

)

A.(9,6) B.(9,6)或(−9,−6)

C.(−9,6)或(9,−6) D.(9,−6)9.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°且AB=2，点P为△ABC的内心，点O为AB边中点，将BO绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接DP，则DP长的最小值为

(

)

A.5−1 B.25−210.如图，AB=4，以点B为圆心，作半径为2的圆。点C在⊙B上，连接AC作等腰直角三角形，使∠ACD=90°，CA=CD，则△ABD的面积的最大值为

(

)

A.42+4 B.42+8二、填空题（本大题共8小题，共24分）11.已知4x=7y，则x−y12.已知a是方程x²+3x−1=0的一个实数根，则a²+3a+2023的值为

．13.已知⊙O的半径为6cm，点O到直线l的距离为7cm，则直线l与⊙O的位置关系是

．14.己知△ABC∽△DEF，ABDE=23，若EF=5，则BC=15.三角形的外心恰好在它的一条边上，则这个三角形一定是

．16.用一个半径为10cm半圆纸片围成一个圆锥的侧面(接缝忽略不计)，则该圆锥的底面圆半径为

．17.如图，边长为1的小正方形构成的网格中，半径为1的⊙O的圆心O在格点上，则cos∠BED=

．

18.如图，半圆O的直径AB=42，弦CD=4，弦CD在半圆上滑动，点C从点A开始滑动，到点D与点B重合时停止滑动，若M是CD的中点，则在整个滑动过程中线段BM扫过的面积为

．

三、计算题（本大题共1小题，共6分）19.解下列方程(1) x²−4x−2=0(2) 2(x−5)² +x−5=0四、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）20.(1)计算：4sin45(2)求锐角α的值：421.(本小题8.0分)如图，点C是△ABD边AD上一点，且满足BD²=CD×AD．

(1)证明：∠A=∠CBD；(2)若BC：AB=2：3，BD=3，求AC的长．22.(本小题8.0分)

已知关于x的一元二次方程x2(1)求证：不论m为什么实数，这个方程总有两个实数根；(2)若−2是方程的一个根，求这个方程的另一个根及m的值．23.(本小题8.0分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB上的一点，以BD为直径的半圆交BC于点F，且AC切⊙O于点E．

(1)求证：DE⌢(2)若∠A=30°，AB=6，求CF的长．24.(本小题8.0分)如图，某小区的地下停车场的截面图，旗杆AG正对着地下停车场的斜坡，车辆可以从地面AB经斜坡BC后进入地下停车场。某一时刻，旗杆AG的影子随着太行光的照射落在折线A−B−C−E处，还有一部分影子落在铅垂的墙面MN处。经测量地面AB与FK在同一水平线上，M、F、N、C在同一铅垂的直线上。斜坡BC的坡度为1：2，AB=5米，BC=55米，CE=5米，

(1)在图上画出一条太阳光的照射光线。(2)求出CN的长度。并写出高度为3.99米的车辆能否入地下停车场。(3)求出旗杆AG的高度。25.(1)如图1，在△AHN中，AB=BC=CD=DE=EF=FG=GH，过B、C、D、E、F、G分别做HN的平行线。若AN的长度为10，则AM的长度为

(2)如图所示，△ABC所在网格的每一格正方形的边长都是1，在边AC上找一点D，使得△ADB∽△ABC，则AD的长为___________。请仅利用一把无刻度的直尺，在图中画出点D的位置。(提示：先计算出AB、AC的长)

26.(本小题8.0分)如图1，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，将△COD绕点O逆时针旋转得到△EOF(旋转角为锐角)，连AE，BF，DF，则AE=BF．

(1)如图2，若(1)中的正方形为矩形，其他条件不变．

①探究AE与BF的数量关系，并证明你的结论；

②若BD=8，AE=5，求DF的长；(2)如图3，若(1)中的正方形为平行四边形，其他条件不变，且BD=8，AC=6，AE=5，请直接写出DF的长．27.(本小题8.0分)如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，动点P从点A开始以每秒2个单位长度沿AB向终点B运动，同时，动点Q从点C开始沿C→D→A以每秒3个单位长度向终点A运动，它们同时到达终点．设运动的时间为t秒．

(1)当点Q在线段CD上时，求证：CEAE(2)当点Q在线段CD上时△CEQ是直角三角形，求出此时t的值？(3)当点Q在线段DA上时△AEQ是等腰三角形，写出此时t的值？28.(本小题8.0分)如图1，在矩形ABCD中，AB=4cm，BC=8cm，点P从点B出发，沿BA边向终点A以每秒1cm的速度运动，同时点Q从点C出发沿C→B→A向终点A以每秒4cm的速度运动，P、Q其中一点到达终点时，另一点随之停止运动．设运动时间为t秒．解答下列问题：

(1)若Q在BC上运动，当t=

秒时，BQ=2BP？(2)如图2，以P为圆心，PQ长为半径作⊙P，在整个过程中，是否存在这样的t的值，使⊙P正好与△ABD的一边(或所在的直线)相切？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由．

答案和解析1.【答案】C

【解析】略2.【答案】D

【解析】略3.【答案】D

【解析】略4.【答案】C

【解析】【分析】

此题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．

根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案．

【解答】

解：∵∠1=∠2，

∴∠DAE=∠BAC，

A.∠C=∠AED，由“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”可得，△ABC∽△ADE，故不选A；

B.∠B=∠D，由“如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似”可得，△ABC∽△ADE，故不选B；

C．ABAD=BCDE，不是夹这两个角的边，所以不相似，故选5.【答案】C

【解析】略6.【答案】A

【解析】略7.【答案】A

【解析】略8.【答案】C

【解析】略9.【答案】C

【解析】略10.【答案】B

【解析】略11.【答案】−3【解析】略12.【答案】2024

【解析】略13.【答案】相离

【解析】略14.【答案】103【解析】略15.【答案】

直角三角形

【解析】略16.【答案】5cm

【解析】略17.【答案】25【解析】略18.【答案】π

【解析】略19.【答案】【小题1】解：x2∴x2即x−22=6∴x−2=±解得：x1=2+【小题2】解：2x−5∴x−52x−10+1∴x−5∴x−5=0或2x−9=0，解得：x1

【解析】1.

见答案

2.

见答案20.【答案】【小题1】4=2=【小题2】44cosα+10即：cosα+∴α+10则有：α=35∘

【解析】1.

见答案．

2.

见答案．21.【答案】【小题1】证明：∵BD∴BDCD∵∠BDC=∠ADB，∴△BCD∽△ABD，

∴∠A=∠CBD；

【小题2】解：∵▵BCD∽▵ABD，BC:AB=2:3,BD=3，∴CDBD∴CDBD∴CD=2，

∴BDAD∴AC=5

【解析】1.

见答案．

2.

见答案．22.【答案】【小题1】证明：∵Δ=m∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；

【小题2】解：设方程的另一个根为t，根据根与系数的关系得−2+t=−m①，−2×t=m−1②，②+①得−2+t−2t=−1，解得t=−1，

把t=−1代入②得2=m−1，解得：m=3，所以m的值为3，方程的另一个根为−1.

【解析】1.

见答案．

2.

见答案．23.【答案】【小题1】证明：连接OE、OF，∵AC切⊙O于点E，∴OE⊥AC，即∠OEA=90∵∠ACB=90∴OE//BC，∴∠EOA=∠CBA，∠EOF=∠OFB，

∵OB=OF，∴∠OFB=∠CBA，∴∠EOD=∠EOF，∴DE⌢【小题2】解：连接DE，

∵∠A=30∘，∴∠OBF=∠EOD=60∵OE=OD=OF=OB，∴▵DOE、▵BOF都为等边三角形，∠EDO=60∴∠DEA=30∴AD=DE=DO=OB=BF=2，

∵∠A=30∘，∠ACB=90∴BC=1∴CF=BC−BF=1.

【解析】1.

见答案

2.

见答案．24.【答案】【小题1】图略，GM或者NE就是所要求做的太阳光的照射光线。【小题2】解题过程略。CN的长度是4米。

不能进入地下停车场。

【小题3】解题过程略。AG的高度是13米

【解析】1.

略

2.

略

3.

略25.【答案】【小题1】407【小题2】AD的长为2。图略。

【解析】1.

略

2.

略26.【答案】【小题1】①AE=BF，理由如下：证明：∵ABCD为矩形，∴AC=BD，OA=OB=OC=OD，∵△COD绕点O旋转得△EOF，∴OC=OE，OD=OF，∠COE=∠DOF，∵∠BOD=∠AOC=180°，∴∠BOD−∠DOF=∠AOC−∠COE，即∠BOF=∠AOE，∴△BOF≌△AOE(SAS)，

∴BF=AE

；

②∵OB=OD=OF，∴∠BFD=90°∴△BFD为直角三角形，

∴BF∵BF=AE，∴DF=∵BD=8，AE=5，∴DF=39

【小题2】∵四边形ABCD是平行四边形，∴OC=OA=12AC=3∵将△COD绕点O按逆时针方向旋转得到△EOF，

∴OC=OE，OD=OF，∠EOC=∠FOD，∴OA=OE，OB=OF，∠EOA=∠FOB，∴OAOB∴△AOE∽△BOF，

∴AEBF∵AE=5,

∴BF=20

∵OB=OF=OD∴△BDF是直角三角形，∴B∴DF=

【解析】1.

见答案

2.

见答案27.【答案】【小题1】当点Q在线段CD上时，由题意可得：AB/​/CD，CQ=3t，AP=2t，∴▵CQE∽▵APE，∴CE【小题2】t=0.8秒或1秒

【小题3】t=32或43

【解析】1.

见答案．

2.

见答案．

3.

见答案．28.【答案】【小题1】43【小题2】①若与BD相切，过P作PK⊥BD于K，如图所示：则∠PKB=90°，PK=PQ=PB−BQ=t−(4t−8)=8−3t，∴△PBK∽△DBA，∴PKAD=PBBD②若与AD相切，Q在BC上，PQ=PA，