2023-2024学年江苏省苏州市常熟市昆承中学九年级（上）10月月考数学试卷（含解析）

第=page11页，共=sectionpages11页2023-2024学年江苏省苏州市常熟市昆承中学九年级（上）10月月考数学试卷一、选择题（本大题共8小题，共24.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.下列方程是一元二次方程的是(

)A.3x+y=2 B.x=2.若二次函数y=ax2的图象经过点P(4A.(4,-3) B.(3,-3.一元二次方程x2−4x+2A.(x+1)2=2 B.4.一元二次方程x2−4xA.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根

C.只有一个实数根 D.没有实数根5.如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xA.(45−2x)(25−x6.函数y=ax2+1和y=aA. B. C. D.7.若a是方程x2−x−1=0的一个根，则A.2021 B.−2023 C.2019 D.8.如图1，在平行四边形ABCD中，点P沿A→B→C方向从点A移动到点C，设点P移动路程为x，线段AP的长为y，图2是点P运动时y随xA.4.4 B.4.8 C.5 D.6二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）9.已知关于x的二次函数y=(a−1)10.已知x1,x2是方程2x2−11.把二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度，再向上平移4个单位长度，平移后二次函数的解析式为12.若关于x的一元二次方程a(x+m)2−2=0的两个实数根分别为x113.已知关于x的一元二次方程(m−1)x2+14.已知点(1,m),(2,n)在二次函数y=ax2+2ax+15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，现有动点P从点A出发，沿AC向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB也向点B方向运动，如果点P16.如图所示的抛物线是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，其对称轴为x=1，过(−2,0)，则下列结论：①三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）17.解方程：((((4四、解答题（本大题共8小题，共64.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）18.(本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程x2+(2k(1)求(2)若x1+19.(本小题8.0分)已知关于x的一元二次方程x(1)求证：不论(2)若方程的一个根是1，求m20.(本小题8.0分)某商场今年年初以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售128件，假设四、五两个月销售量的月平均增长率不变、售价不变的前提下，五月份的销量达到200件：(1(2)从六月起，商场采用降价促销方式回馈顾客，经调查发现，该商品每降1元，销售量增加5件，当商品降价多少元时，商场可获利225021.(本小题8.0分)已知二次函数y=(1(2)求出y随x的增大而减小时，x22.(本小题8.0分)如图，已知二次函数y=ax2+bx+c图象的顶点A坐标为((1(2)求点(3)直接写出不等式a23.(本小题8.0分)我们把抛物线上横、纵坐标之和为零的点叫做这条抛物线的“和谐点”(原点除外)．(1)已知抛物线y=-x2(2)平移抛物线y=-x2+24.(本小题8.0分)如图，已知抛物线的顶点为A(1,4)，抛物线与y轴交于点B(0,3)，与x轴交于(1(2)当PA+P(3)抛物线上是否存在一点Q(Q与B不重合)，使△CDQ的面积等于△

25.(本小题8.0分)如图，抛物线y=-12x2+mx+n与x轴交于A、B两点(A在B的左侧

(1(2)点D是第一象限抛物线上的一个动点，当点D在运动过程中，求△C(3)在第一象限的抛物线上是否存在点M，使得∠ACO答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】根据一元二次方程的定义逐项判断即可．【详解】A、含有两个未知数，不是一元二次方程，该选项不符合题意；B、未知数的最高次数为3，不是一元二次方程，该选项不符合题意；C、是一元二次方程，该选项符合题意；D、1x故选：C．【点睛】本题主要考查一元二次方程的识别，牢记一元二次方程的定义(等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程)2.【答案】C

【解析】【分析】求得二次函数y=ax【详解】解：∵-b∴二次函数y=ax∴P(4,3∴该图象必过点(−故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，熟练求得二次函数的对称轴是解题的关键．3.【答案】B

【解析】【分析】在方程的左右两边同时加上一次项系数的一半的平方，把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数，判断出配方结果正确的是哪个即可【详解】解：xx2x2(x故选：B．【点睛】本题考查了配方法在解一元二次方程中的应用，解题关键是熟练掌握配方法的基本步骤．4.【答案】D

【解析】【分析】根据一元二次方程根的情况与判别式的关系：①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②【详解】解：∵一元二次方程x2∴Δ=(=16=-4∴一元二次方程x2故选：D．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况与判别式的关系，熟练掌握①Δ>0，方程有两个不相等的实数根；②5.【答案】D

【解析】【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为(45−2x)cm，宽为(25−2x)【详解】解：∵剪去小正方形的边长为xcm∴该无盖纸盒的底面长为(45−2x)cm，宽为(依题意得：(45−2x)故选：D．【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．6.【答案】D

【解析】【分析】由二次函数的解析式可得二次函数y=ax2+1的图象的顶点为(0,1)即可排除【详解】解：∵y∴二次函数y=ax2+1的图象的顶点为在y=ax+a中，当y∴一次函数y=ax+a故选：D．【点睛】本题考查了一次函数、二次函数图象的综合判断，熟练掌握一次函数和二次函数的图象与性质是解题的关键．7.【答案】A

【解析】【分析】先把a代入方程，变形得a2【详解】解：∵a是方程x∴a∴a∴=-a=-a=-a=-a=-(=-1=2021故选：A．【点睛】本题考查了一元二次方程的根和求代数式的值，把根代入方程和对代数式变形是解题的关键．8.【答案】C

【解析】【分析】根据平行四边形的性质，再结合运动时随P的变化的关系图象，通过勾股定理即可求解．【详解】解：如下图，

根据图2可知，当P到达B点时，AP当AP⊥B∴B∴A当P到达点C时，AP∴C∴B故选：C．【点睛】本题主要考查了函数图象、平行四边形的性质、勾股定理等知识，根据点P运动的规律，结合函数图象确定有用信息是解题的关键．9.【答案】−2【解析】【分析】根据二次函数的开口方向和二次函数的定义即可列方程组，求解即可得出答案．【详解】解：∵二次函数y=∴解得：a=-故答案为：−2【点睛】本题考查了二次函数图象，二次函数的定义，熟练掌握二次函数的相关知识是解题的关键．10.【答案】3

【解析】【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x【详解】解：∵x1+∴x故答案为：3．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键．11.【答案】y=【解析】【分析】根据二次函数的平移口诀：左加右减，上加下减，即可解答．【详解】解：二次函数y=2x2的图象向左平移3个单位长度，再向上平移故答案为：y=【点睛】本题考查了二次函数的平移，熟记平移口诀是解题的关键．12.【答案】(2【解析】【分析】根据题意，设抛物线y=a(x+m)2−2，可得a(【详解】解：设抛物线y=∵a(x+m∴抛物线y=a(x+∵抛物线y=a(x+∴抛物线y=a(x+故答案为：(2【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点坐标，二次函数的平移，熟练掌握上述性质是解题的关键．13.【答案】m≥−3【解析】【分析】由题意得根的判别式大于等于0，即可得到关于m的不等式，同时结合二次项不为0，即可得到结果．【详解】解：由题意，得：Δ=42解得：m≥−3故答案为：m≥−3【点睛】本题主要考查根的判别式．熟练掌握根的判别式与根的个数的关系，是解题的关键．14.【答案】>

【解析】【分析】根据二次函数的性质即可判定．【详解】解：∵二次函数的解析式为y=∴该抛物线对称轴为x=-∴a∴当x>-1时，y随∵1∴m故答案为：>．【点睛】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此题的关键．15.【答案】1或4/4或【解析】【分析】若运动的时间为ts，则CP=(20−4t)cm【详解】解：若运动的时间为ts，则CP=(20−4t)cm，依题意得：12(20−4整理得：t2−5t解得：t1答：当t=1或4s时，△CPQ的面积为故答案为：1或4．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．16.【答案】②③【解析】【分析】由函数图象可知a>0，对称轴为直线x=1，与y轴的交点在负半轴，即c<0，然后可判断①②，令y【详解】解：由图象可得：a>0，对称轴为直线x=1，与∴x∴b+2∴abc>0令y=0时，则有ax∵二次函数过(−∴它的另一个交点的横坐标为4，∴方程ax2+bx+c把x=-3代入函数解析式得：∴由函数图象可得：y=9a−3综上所述：符合题意的有②③故答案为：②③【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，二次函数与x轴的交点坐标，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．17.【答案】((((

【解析】【分析】(1(2(3(4【详解】(1)解：x2∴x(2)解：3x(x可得x−2=∴x(3)解：(x可得x−2=∴x(4)解：由2x∴x∴x【点睛】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法快速解出方程是解题的关键．18.【答案】((

【解析】【分析】(1(2)根据根与系数的关系得到x1【详解】(1)解：∵关于x的一元二次方程∴Δ∴4∴k(2)解：∵关于x的一元二次方程x2+(∴x∵x∴−∴2解得k=1或k=【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a19.【答案】(1(2)

【解析】【分析】(1)证明(2)先把x=1代入原方程求解【详解】(1)证明：∵a=1∴Δ∴不论m为何值，该方程总有两个实数根；(2)解：将x=∴m∴原方程为x2x1∵2∴方程的另一个根为2．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，配方法的应用，熟练运用一元二次方程根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．20.【答案】((

【解析】【分析】(1)设四、五两个月销售量的月平均增长率为x，利用五月份的销售量=三月份的销售量×(1+(2)设商品降价y元，则每件的销售利润为(40−y−25)元，月销售量为(200+5【详解】(1)设四、五两个月销售量的月平均增长率为依题意得：128(解得：x1=0.25=25答：四、五两个月销售量的月平均增长率为25%(2)设商品降价y元，则每件的销售利润为(40−y−25依题意得：(40−y−25整理得：y2解得：y1=5，y答：当商品降价5元时，商场可获利2250元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用题，根据题意分析找出等量关系是本题的关键．21.【答案】((

【解析】【分析】(1(2【详解】(1)解：∴顶点坐标为(2(2)解：∴对称轴为x=又∵∴二次函数的图象开口向上，∴当x≤2时，y随故y随x的增大而减小时，x的取值范围是x≤【点睛】本题考查了二次函数的解析式，二次函数的性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．22.【答案】(1)((

【解析】【分析】(1)已知顶点可设顶点式y=(2(3)由函数图像可知抛物线小于一次函数在O、【详解】(1)解：∵顶点坐标为∴二次函数的顶点式为y=∵二次函数过(0∴0解得a=∴二次函数的解析式为y=((2)∵B点在直线把B(a,解得a1=0∵a≠0∴(3)不等式可以转化为二次函数小于一次函数，由图可知在O、B之间满足条件，∴0【点睛】本题考查二次函数的解析式，二次函数图像与不等式的性质，掌握函数、方程和不等式之间的关联是解题的关键．23.【答案】(1)A(1,1)【解析】【分析】(1)根据配方可求出点(2)设D(m,-m)【详解】解：(∴抛物线的顶点坐标为A(设“和谐点”B∴又B在y=-联立①②得解得，x∴(2)设D将(3,-得m1=∴平移后抛物线的解析式y=-x2【点睛】本题考查二次函数的性质；熟练掌握二次函数的图象及性质，数形结合解题是关键．24.【答案】(1)抛物线的解析式为y=−(x−1)2+4；(2)当PA+【解析】【分析】(1)设抛物线顶点式解析式y=a(x−1)2+4，然后把点B的坐标代入求出a的值，即可得解；(2)先求出点B关于x轴的对称点B′的坐标，连接AB′与x【详解】解：(1)∵∴设抛物线的解析式y=把点B(0,解得a=∴抛物线的解析式为y=(2)点B关于x轴的对称点B′由轴对称确定最短路线问题，连接AB′与x轴的交点即为点设直线AB′的解析式为则{解得{∴直线AB′的解析式为令y=0，则解得x=所以，当PA+PB的值最小