2022年普通高等学校招生全国统一考试模拟数学试题（一）（含答案解析）

2022年普通高等学校招生全国（新高考）统一考试模拟数学

试题（一）

学校:姓名：班级：考号：

一、单选题

1.已知集合4=,回2/一5》47},B={y\y<2\,则（）

A.0B.{-1,0}C.{0,1,2}D.{-1,0,1,2）

2.命题“HrwR,凶―2021<2022x”的否定是（）

A.BxeR,|x|-2021>2022xB.VxeR,|x|-2021>2022x

C.Vxe/?,|x|-2021>2022%D.BxeR,|x|-2021>2022%

3.已知向量2,另满足3问咽=3,归-3q=廊，则九分夹角的余弦值为（）

2112

A.二B.—C.—D.—

3333

21

4.已知正实数x,y满足一+—=1,则4个-3工-6丁的最小值为（）

A.2B.4C.8D.12

5.记（17+办2）''的展开式中含/项的系数为了⑷（其中〃EH）,则函数y=/（。）的

最小值为（）

A.-45B.-15C.0D.15

22

6.已知双曲线C:/-*=ig>0力>0）的左、右顶点分别为A,4,点

网0,以+叼,点M在C的一条渐近线上，若四边形A8M4是平行四边形，则c的

离心率为（）

A2\/304厂

A.-----B.—C.-73D.3

33

7.设^e（0,7t）,且cosatan,=l+sina,则sin（a-/7）=（）

A.1B.-1C.—D.—显

22

8.如图是美丽的“勾股树”，将一个直角三角形分别以它的每一条边向外作正方形而得

到如图①的第1代“勾股树”，重复图①的作法，得到如图②的第2代“勾股树”，…，

以此类推，记第"代“勾股树”中所有正方形的个数为，数列{q,}的前〃项和为金，

若不等式5„>2022恒成立，则n的最小值为（）

A.7B.8C.9D.10

二、多选题

9.已知复数4=-l+2i,Z2满足忆-耳=1,且在复平面内4所对应的点为A,Z所对

应的点为民则下列结论正确的是()

A.Z1的虚部为2iB.点A在第二象限

C.点8的轨迹是圆D.点A与点B距离的最大值为0

10.将函数/(x)=sinx图象上的所有点的横坐标缩短到原来的g,纵坐标不变，再把所

得图象向右平移?个单位长度，得到函数g(x)的图象，则下列说法正确的是()

A.g(x)的最小正周期为6万B.g(x)=sin(3x-7)

C.g(x)=-cos(3x-?1D.g(x)的图象关于点对称

11.已知定义在R上的偶函数“X)的图像是连续的，/(x+6)+/(x)=〃3),/(x)

在区间［-6,0］上是增函数，则下列结论正确的是()

A.的一个周期为6B.在区间［12,18］上单调递减

C.“X)的图像关于直线x=12对称D.在区间［-2022,2022］上共有100

个零点

12.在三棱锥M-A3C中，底面ABC是等边三角形，MC=4,点”为△M8C的垂

心，且AH_L侧面MBC,则下列说法正确的是()

A.BC1AM

B.平面

C.MA,MB,MC互不相等

D.当三棱锥M-A8C的体积最大时，其外接球的体积为36信

三、填空题

13.已知曲线/(x)=x3-cosl在点处的切线与直线/:以-丫-3=0垂直，则实

数a的值为.

14.下图是2020年8月至2021年9月我国智能手机占比情况统计图，记这14个月的

统计数据占比的众数、中位数分别为a,b,则a-b=

91%8月‘9月‘10月'11月‘12月’1月’2月’3月‘4月’5月‘6月‘7月‘8月’9月

15.已知抛物线C：y2=8x的焦点为凡直线/过点F与C交于A,B两点,与C的准

线交于点尸，若衣=3即，贝I"的斜率为.

四、双空题

16.已知一个袋子里有9个大小、形状、质地完全相同的球，其中4个红球、2个白

球、3个黑球，先从袋子中任取1个球，再从剩下的8个球中任取2个球，则这2个

球都是红球的概率为,先取出的球也是红球的概率为.

五、解答题

17.已知S“为等差数列｛4｝的前〃项和，4+%=22,S„=n(a„-2,1+2).

(1)求｛4｝的通项公式；

⑵设r=(T)”.,求数歹U｛〃｝的前2〃+1项和凡…

Unan+\

18.在AABC中，内角A,B,C的对边分别为“，b,c,且

(c+a-/?)(sinC-sinA+sinB)=3«sinB.

(1)求角C的大小；

(2)设机＞1,若“ABC的外接圆半径为4,且2a+〃力有最大值，求巾的取值范围.

19.如图，在三棱柱A8C-ABG中，侧面AA网是菱形，侧面B/CG是边长为2的

正方形，且侧面用BCR，侧面AABBI，。为的中点.

⑴求证：AB_L平面88；

(2)求二面角Q-CD-B的余弦值.

20.2022年是中国共产主义青年团成立100周年，某市团委决定举办一次共青团史知

识竞赛.该市4县团委为此举办了一场选拔赛，选拔赛分为初赛和决赛，初赛通过后

才能参加决赛，决赛通过后将代表A县参加市共青团史知识竞赛.已知A县甲、乙、

丙3位选手都参加了初赛且通过初赛的概率依次为g,通过初赛后再通过决

赛的概率均为假设他们之间通过与否互不影响.

(1)求这3人中至少有1人通过初赛的概率；

(2)求这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率；

(3)某品牌商赞助了A县的这次共青团史知识竞赛，给参加选拔赛的选手提供了两种奖

励方案：

方案一：参加了选拔赛的选手都可参与抽奖，每人抽奖1次，每次中奖的概率均为

且每次抽奖互不影响，中奖一次奖励1000元；

方案二：只参加了初赛的选手奖励300元，参加了决赛的选手奖励1000元.

若品牌商希望给予选手更多的奖励，试从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌

商选择哪种方案更好.

21.已知椭圆C:£+£=l(a>"0)的长半轴长是圆0：/+丁=/&>0)的直径的

ab

6倍，且过C的右焦点尸的直线与圆。相切于点

(1)求C的方程；

(2)P,Q,R均为C上的动点，且直线PR与x轴垂直，直线PQ恒过点4(3,0),求

AARQ面积的最大值.

22.已知函数/(x)=x(lnx-a)+8(aeR).

⑴求了(x)的极值；

(2)若a=l,记函数g(x)=j+g,求证：/(x)>g(x).

参考答案:

1.D

【解析】

【分析】

求出A={-1,0,1,2},从而求出交集.

【详解】

x&Z-i<x<^

由已知得人=={-1,0,1,2,3},所以Ac3={_1.0J2}.

故选：D.

2.B

【解析】

【分析】

根据存在量词命题的否定为全称量词命题进行求解即可.

【详解】

因为存在量词命题的否定为全称量词命题，结合题意可得命题“玉eR,|x|-2021<2022x”

的否定为VxeR,国―2021N2022X.

故选：B.

3.A

【解析】

【分析】

根据平面向量数量积的运算律及数量积的夹角公式即得.

【详解】

由|£一3/=痂，得7―6£石+砺2=70,

即1-6£石+81=70,

所以£4=2,

所以84/-引7-\=a丽b22

故选：A.

4.C

答案第1页，共16页

【解析】

【分析】

依题意可得个=x+2y,则4孙-3x-6y=x+2y,再由乘“1”法及基本不等式计算可得；

【详解】

21

解：由x>0,y>0且一+—=1,可得取=x+2y,

xy

所以4孙-3x-6y=4x+8y-3x-6y=x+2y

=(2+'](x+2y)=4+公+匹24+2,但±=8，当且仅当把=2，即x=4,y=2时取等

XyNXyxy

号.

故选：C

5.A

【解析】

【分析】

根据二项式展开式求得含/项的系数/(。)，利用配方法求解函数的最小值.

【详解】

由二项式展开式得：含X4项的系数为C：•(-1)4+C3(-1)2ca+C"=15+60“+15«2,

BP/(«)=15«2+60«+15=15(a+2)2-45>-45.

故选：A.

6.A

【解析】

【分析】

根据已知图形可得代入渐近线方程即可得离心率/=3〃，进而确定离

心率.

【详解】

由四边是平行四边形，得点M(2a,V7寿)，

代入直线y=2x中，得2b=用手，

a

答案第2页，共16页

故选：A.

7.B

【解析】

【分析】

弦化切得到tan4=tan+结合角的范围和y=tanx的单调性得到与+1,从而

2142J242

得到＜2-夕=_'|,sin(«-/?)=-l.

【详解】

2

.aa.aaai

sin—+cos—sin——+cos—tan—+1

由题得tan2=H^227

22_-------—=tan

2cosa、a.->aa.a

cos------sin--cos-----sin—1-tan—a

22222

因为^e(O,7t),所以(呜)

又函数y=tanx在区间(0弓)内单调递增，所以§=：+言，即［一夕=4,

所以sin（Q_/?）=-l.

故选：B.

8.C

【解析】

【分析】

根据第1代“勾股树”，第2代“勾股树”中，正方形的个数，以此类推，得到第〃代“勾股

树”中所有正方形的个数，即4,从而得到5“求解.

【详解】

解：第1代“勾股树”中，正方形的个数为3=2中-1,第2代“勾股树”中，正方形的个数为

7=22”-1..........

以此类推，第〃代“勾股树”中所有正方形的个数为2'用-1，即4,=2"”-1,

所以塔上…一…,

答案第3页，共16页

因为凡>。所以数列｛S.｝为递增数列,

又$8=1012<2022,Sg=2035>2022,

所以n的最小值为9.

故选：C.

9.BC

【解析】

【分析】

A.利用复数的相关概念判断；B.利用复数的几何意义判断；C.利用复数模的模的几何意义

判断；D.利用点与圆的位置关系判断.

【详解】

4=-l+2i的虚部为2,故A项错误;

点A的坐标为(-1,2),所以点A在第二象限，B项正确；

由忆-i|=l,可知点B的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，故C项正确；

|=|+1=^(-1-0)2+(2-1)2+1=0+1,故D项错误.

故选：BC.

10.CD

【解析】

【分析】

利用三角函数图象变换求出函数g(x)的解析式，可判断B选项；利用正弦型函数的周期公

式可判断A选项；利用诱导公式可判断C选项；利用正弦型函数的对称性可判断D选项.

【详解】

将〃x)=sinx图象上的所有点的横坐标缩短到原来的：，纵坐标不变，

得到函数》=5出33的图象，

再把所得图象向右平移?个单位长度，得到g(x)=sin(3x-牛)的图象，

函数g(x)最小正周期T=g,AB选项错误；

g(x)=sin(3x-?-4)=-cos(3x-2),C项正确；

答案第4页，共16页

g］£|=o,故g(x)的图象关于点(?,o)对称，D项正确.

故选：CD.

II.BC

【解析】

【分析】

由条件结合周期函数的定义证明函数/(%)为周期函数，再根据奇偶性，周期性，单调性判

断B,C,并由零点的定义判断D.

【详解】

因为〃x+6)+/(x)=〃3),取x=—3,得〃3)+/(—3)=〃3),故3)=0,又是

偶函数，所以〃3)=〃-3)=0,所以f(x+6)+〃x)=0,

故/(x+12)=-/(x+6)=/(x),即/(x)的一个周期为12,故A项错误；

又“X)在区间［-6,0］上是增函数，所以f(x)在区间［0,6］上为减函数，由周期性可知，

f(x)在区间［12,18］上单调递减，故B项正确;

因为“X)是偶函数，所以〃x)的图像关于y轴对称，由周期性可知"X)的图像关于直线

x=12对称，故C项正确；

因为“X)在区间［-6,0］上是增函数，所以f(x)在区间6］上为减函数，

/(3)=/(-3)=0,由周期性可知,在区间［0,12］上,/(3)=/(9)=0,而区间［0,2016］上

有168个周期,故f(x)在区间［0,2016］上有336个零点，又“2019)=〃3)=0,所以

f(x)在区间［0,2022］上有337个零点，由f(x)为偶函数，可知在区间［-2022,2022］

上有674个零点，故D项错误.

故选：BC项.

12.AB

【解析】

【分析】

对于A,延长M/Z交于点。，连接AO,由线面垂直的性质可判断；对于B,连接

并延长交MC于点E,连接4E,由线面垂直的判定可判断；对于C,过M作MOJ.AD,

答案第5页，共16页

垂足为0,则MO_L平面A3C,延长CO交A8于点F,连接MF,可得M4=MB=MC,

由此可判断：对于D,由三棱锥V-AfiC为正三棱锥，得时，△MBC的面积最

大，M4L平面MBC时，三棱锥"-ABC的体积最大，将三棱锥A-M8C补成正方体

AEFG-MBDC,求得三棱锥的外接球半径R,由球体的体积公式计算可判断.

【详解】

解：对于A,如图，延长交8C于点。，连接AD,

因为“为2\知8。的垂心，则BC_LM£),

又AH_L平面M8C,BCu平面M8C,所以BCJLA”,

又AHcMD=H,所以8C_L平面MAC,

又AMu平面MA。，所以8CJ_4W,A项正确；

对于B,因为BCLA。，又AABC为等边三角形，所以。为BC的中点，

连接8H并延长交MC于点E,连接AE,则8ELMC,

因为A"_L平面MBC,MCu平面MBC,所以AH_LMC,

又AHCBE=H,所以MC_L平面ABH,B项正确；

对于C,因为A3i平面A8E,所以43人MC,过M作MO_LA£),垂足为O,则MO_L平

面ABC,

又ABI平面ABC,所以延长CO交AB于点尸，连接

因为M0c/C=M,所以AB_L平面MCF,因为MF,C尸u平面MCF,则

CF1AB,得M4=Affi,

所以M4=M3=MC,C项错误；

对于D,因为三棱锥M-ABC为正三棱锥，当MB1MC时，△MBC的面积最大，

当平面MBC时，三棱锥M-ABC的体积最大，将三棱锥A-"5c补成正方体

答案第6页，共16页

AEFG-MBDC,

此时正方体AEFG-MBDC的体对角线长即为三棱锥A-MBC的外接球的直径，

设三棱锥A-A73c的外接球直径为2K,则2R=《MA2+MB?+MC，=46，即/?=2行,

因此三棱锥M-ABC的外接球的体积V=殍=与x（2厨=32岳，D项错误.

故选：AB.

13.--

3

【解析】

【分析】

利用导数的几何意义求出曲线在点（1,/。））处的切线的斜率，再由条件列方程求a的值.

【详解】

由题得/'（另=3幺，所以得⑴=3,

所以曲线〃力=^-851在点处的切线斜率为3,

又曲线在点（1J。））处的切线与直线/：以-丫-3=0垂直，

所以小3=-1,解得“=

故答案为：

14.1%##0.01

【解析】

【分析】

利用众数、中位数的概念进行求解即可.

答案第7页，共16页

【详解】

众数是指出现次数最多的数据，而98%出现的次数最多，故众数a=98%,

将这14个月的数据从小到大依次排列为94%,94%,95%,95%,95%,96%,97%,

97%,98%,98%,98%,98%,98%,99%,中间两个数据为97%,97%,故中位数

b=97%,

所以a-6=l%.

故答案为：1%.

15.±百

【解析】

【分析】

分点A在第一象限和第四象限考虑，由而=3而结合抛物线定义求得|钻|=4加，

\BF\=2m,由勾股定理求得忸'“=#〃?，由tan/B'BP即可求出斜率.

【详解】

如图，当点A在第一象限时，过A,3两点分别作准线的垂线，垂足分别为A,B'.设

\BS\=m,则由丽=3而,

可得|AA'|=3m,从而同耳=痴，所以忸"=2〃?，则忸例=，忸尸/-1BBT=后〃,所以

网

答案第8页，共16页

故直线/的斜率为同理，当点A在第四象限时，可求得直线/的斜率为-6.综上,

直线/的斜率为±6.

故答案为：±G.

16.12

67

【解析】

【分析】

利用全概率公式及条件概率公式即得.

【详解】

设事件A表示从剩下的8个球中任取2个球都是红球，事件用，星，鸟分别表示先取的1

个球是红球、白球、黑球，

由全概率公式得P（A）4P（B）P（A闻春卷+永言+声］=1,

4C；

P(B,)P(A|B,)_9X42.

P⑻A)=

P(A)「(A)

12

故答案为：—;-.

67

17.（1）〃〃=4“一1

—8〃+10

（2）-------------

24〃+21

【解析】

【分析】

（1）设等差数列｛%｝的公差为乩由《+%=22,得到的，再由S“=〃（可—2〃+2）,令

〃=2求解；

（2）由（1）得到"=（-1）"（7二+7二），再利用裂项相消法求解.

14〃-14〃+3J

（1）

解：设等差数列｛4｝的公差为”.

由q+%=22,得名=11,

答案第9页，共16页

由S“二〃(4—2〃+2),得§2=2(%—2),

又§2=4+。2=2%-d,解得d=4,

所以4=6Z3+(H-3)J=4M-1.

⑵

./1”8〃+2

由(I)得"二(T)--------

64+1

8〃+2

(4〃-1)(4〃+3)'

=(-ir

4〃-14^+3J

所以7Li+i=a+4+么+…+处+麴+1，

11

~_3-8n+7

8n+10

~~24n+21

21

18.(1)C~T

(2)(1,4)

【解析】

【分析】

(1)根据己知条件，利用正弦定理及余弦定理即可求解.

(2)由题意及正弦定理可知々；=」二=8,利用正弦定理及正弦函数两角和公式将

sinBsinA

为+7汕化为/(x)=Asin(s+如型函数进行求解.

⑴

解：由已知及正弦定理得(c+a—6)(。一。+3=3而，^a2+h2-c2=-ah,

由余弦定理得cosC=-工,

2ah2

因为0<C〈万，所以c=§27r.

(2)

由正弦定理得——=―-—=8,所以2a+，“6=8(2sinA+，wsinB)=8wsinB+16sin|--B

sinBsinA13

答案第10页，共16页

#cosB-^sinB=（8加一8）sin8+8GcosB=8ylm?-2m+4sin（8+，），

=8"?sin5+16

其中tane=在，e.o，M，

又所以8+

77n.l7cA7C

若2〃+/汕存在最大值，贝ij8+。=万有解,则二+。>彳，即以

32

m>1,

所以正正解得1<〃1<4,

jn-\3

即机的取值范围是(1,4).

19.(1)证明见解析

2国

（2）-

19

【解析】

【分析】

(1)利用面面垂直的性质定理可得出BC_L平面AABg,可得出AB_LBC,再证明

ABVBD,利用线面垂直的判定定理可证得结论成立；

(2)以B为坐标原点，丽、丽、院的方向分别为X、y、z轴的正方向建立空间直角

坐标系，利用空间向量法可求得二面角G-CO-B的余弦值.

(1)

证明：连接A8,因为侧面448片是菱形，且NBAA=g,所以AABB1是等边三角形.

又因为。为4蜴的中点，所以

因为AA〃B片且9=阴，故四边形4AB避为平行四边形，所以，AB//A\B\,所以

ABA.BD.

因为侧面B,BCCi是边长为2的正方形，所以8C，8g.

又侧面g8CC1，侧面AA84,侧面与8CGc侧面AAB4=BB、,BCu侧面gBCq,

所以BCL侧面AA84，

又因为ABi侧面AA8g,所以ABJ.BC.

答案第11页，共16页

又BDcBC=B,所以A3,平面38.

⑵

解：平面A88M，AB1.BD,

以B为坐标原点，或、而、而的方向分别为x、z轴的正方向建立如图所示的空间

则*0,0,0)、4(2,0,0),。(0,6,0)、C(0,0,2)、A。，百，。)、B,(-1,75,0),

CJ-I.A/3,2),

所以西=(T,O,2),cq=(-i,^,o),

设平面CG。的法向量为〃=(x,y,z),

nDC=-x+2z=0

]令y=2,则石=(2厩2,6),

万•CC|=—x+>/3y=0

由(1)知平面88的一个法向量为丽=(2,0,0),

,,\BA-n\4百2百

设二面角G-CO-B的平面角为，，则cose=f^=^^=*,

网.同2xJ1919

由图可知二面角G-CO-B为钝二面角，所以二面角C-CQ-B的余弦值为一也.

19

7

20.(1)-；

23

⑵一；

48

(3)品牌商选择方案二更好.

【解析】

【分析】

答案第12页，共16页

（1）根据给定条件，求出3人都没通过初赛的概率，再利用对立事件的概率公式计算作

答.

（2）求出甲、乙、丙都通过决赛的概率，再借助对立事件的概率公式计算作答.

（3）利用二项分布及期望的性质求出方案一奖金总额的期望，对方案二，列出奖金总额为

随机变量的分布列，求出其期望，比较大小作答.

（1）

1112

3人都没通过初赛的概率为4,

7

所以这三人中至少有1人通过初赛的概率£=1-4=§.

（2）

设事件8表示“甲参加市共青团史知识竞赛”，事件C表示“乙参加市共青团史知识竞赛”，

事件。表示“丙参加市共青团史知识竞赛”，

则尸（8）=尸（C）=；xg=\,P（D）=|x|=i,3人都不能参加市共青团史知识竞赛的事

件为石心万，

所以这3人中至少有1人参加市共青团史知识竞赛的概率

ft=l-P（fiCD）=l-P（B）P（C）P（D）=l-（l-l）2x（l-l）=^1.

（3）

方案一：设三人中奖人数为x,所获奖金总额为丫元，则y=iooox,且x~B（3,g）,

所以E（y）=10（X）£（X）=1000x3x3=1500元，

方案二：记甲、乙、丙三人获得奖金之和为Z元，则Z的所有可能取值为900,1600,

2300,3000,

7?1?711??14

P（Z=900）=-x-x-=-,P（Z=1600）=2x-x-x-+-x-x-=-,

,73329173323329

P（Z=2300）=-x-x-J-+2x-x-xl=—,P（Z=3000）=,

'733233218'733218

所以Z的分布列为：

Z900160023003000

2451

P

991818

答案第13页，共16页

则E(Z)=900X£+1600*3+2300XK+3000X^=^^

因为E（Z）＞E（Y）,所以从三人奖金总额的数学期望的角度分析，品牌商选择方案二更

好.

21.(1)—+^-=1

2420

“、5病

o----

4

【解析】

【分析】

（1）由题意可得产=1，则。="乂2/，设点尸的坐标为（c,0）,则由府可求

出c=2,再由+可求出从而可得椭圆的方程,

（2）由题意可知直线PQ不垂直于坐标轴，设直线尸。的方程为》=%+3（加=0）,

户（为,乂），。（9，力），将直线方程代入椭圆方程中，消去x，利用根与系数的关系，再表

示出Sj”，Sb.，则S^KQ=S&l,QK-S^AI,K,化简后利用基本不等式可得结果

(1)

由条件知，=（；

所以a=布x2r=2G,

_走一0

设点尸的坐标为（c,o）,则由已知得心”•怎=-&y—=T，

——C