同构式在高中数学中的应用

同构式在高中数学中的应用【类型1】同构式在不等式中的应用如果不等式的两侧呈现同构特征，则可将相同的结构构造成一个函数，进而利用函数的单调性，可以比较大小或解不等式。为增函数⑵为减函数。含有地位同等的两个变量或等不等式，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单调性（需要预先设定两个变量的大小）【例1】设，满足，则【思路分析】本题研究对象并非，而是，进而可变形为，观察上下两个式子左边结构相同，进而可将相同结构视为一个函数，而等式右边两个结果互为相反数，可联想到函数的奇偶性，从而利用函数性质求解。【解析】，设，易知是奇函数，由题可知，，，。【例2】不等式的解集为【解析】不等式可以变形为，，令，，显然在上单调递增，，故不等式的解集为【例3】如果，那么的取值范围是【思路分析】本题很难去直接解不等式，观察式子特点可发现若将关于的项分居在不等号两侧，则左右呈现同构的特点，将相同的结构设为函数。【解析】，设，易知是奇函数且单调递增，故等价于，结合正弦函数图像与余弦函数图像，易得。【例4】若，则（）【思路分析】本题从选项出发可发现，每个选项通过不等式变形将分居在不等式两侧后都具备同构的特点，所以考虑将相同的形式构造为函数，从而只需判断函数在上的单调性即可。【解析】选项：，设，，，而，，，在上单调递减，在上单调递增，所以在不单调，不等式不会恒成立;选项：，设，易知在单调递增，所以，故错误;选项：，设，，则在恒成立，所以在单调递减，故成立;选项：由选项分析过程易知选项错误综上所述，答案选。【例5】若函数在区间上的值域为，则实数的取值范围为【思路分析】注意到是增函数，从而得到，即，发现两个式子为的同构式，进而将同构式视为一个方程，而为该方程的两个根，的取值只需要保证方程有两根即可。【解析】是增函数，，即，为方程在上的两根，即有两个不同的根。令，得，所以方程变形为，结合图像可得。【例6】设，则“”是“”的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也不必要条件【思路分析】观察可发现其同构的特点，所以将这种结构设为函数，分析其单调性。【解析】设，结合图像可知，函数为增函数，所以，即“”是“”的充要条件。【例7】已知函数，若对任意两个不相等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围为【解析】法一：易知函数定义域为，，对任意两个不相等的正实数，都有恒成立，故在上恒成立，即，故实数的取值范围为。法二：易知函数定义域为，对任意两个不相等的正实数，都有恒成立，不妨设，则有，即，令，则在上单调递增，在上恒成立，故在上恒成立，即，故实数的取值范围为。【例8】已知，其中是自然对数的底数，则的大小关系是（

）【解析】对两边都取自然对数得，令得，设得，在单调递减，，，在单调递减，又，。【例9】若对于任意的都有，则实数的最大值为（）【解析】，两边同时除以，得，即，构造函数，则。令得，故实数的最大值为。【例10】已知函数是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，且对任意实数都有，则的值为（）【解析】观察条件可变为，从而得到等式左右的结构均为的形式，且括号内的数间隔为，，是定义在实数集上的不恒为零的偶函数，故，进而。【例11】已知函数，是正常数，若，且对任意都有，求实数的取值范围。【思路分析】观察到已知不等式为轮换对称式，所以考虑定序以便于化简，令，则不等式变形为，将相同变量放在一侧，可发现左右具备同构特点，所以将相同结构视为函数，从而由且可知，只需为增函数即可，只需不等式即可，从而求出实数的范围。【解析】由题可知，，，不妨设，则，即。设，，恒成立，则在上单调递增，即在恒成立。，则，即恒成立，所以只需要。令，，在单调递减，在单调递增，，实数的取值范围为。【类型2】指对跨阶同构★指对跨阶同构的基础⑴;⑵;⑶;⑷;⑸;⑹;⑺★对跨阶同构三种基本模式：⑴积型：如：;【注意】在对”积型“进行同构时，取对数时最快捷的，同构出的函数，其单调性一看便知。⑵商型：⑶和差型：如：从以上三种模型可以看出，对于指对跨阶型同构，主要抓住一点:★同构变形技巧：，后面的转化为积型结构;⑵，后面的转化为积型结构【注意】由于两边互为反函数，所以还可以这样化为对于某些不等式，两边互为反函数是比较隐蔽的，若能发现，则难者亦易矣。如：，左右两边互为反函数，所以只需，即，所以可得。★常见的一些同构变形:①可以构造函数来进行研究;②,可以构造来进行研究;③,可以构造来进行研究④，可以构造来进行研究⑤，可以构造来进行研究【例12】设实数，若对任意的，关于的不等式恒成立，则的最小值为【解析】，令，显然在上单调递增，。令，当时，在区间单调递减，，故的最小值为【例13】设，若对任意的，不等式恒成立，则的最小值为（） 【解析】法1：与互为反函数，，只需要即可，即，则，设，，令，得，令，得，故，，则的最小值为。法2：由，即，令，则，显然在上单调递增，。令，，令可得，令可得，故。【例14】已知实数满足，其中为自然对数的底数，则【解析】由已知可得，设，则，当然在上单调递增，，得又【例15】已知，不等式对任意的实数恒成立，则实数的最小值为【分析】，构造函数显然，在上单调递增，故，易得，故实数的最小值为。【例16】已知函数，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为【解析】法一：恒成立，，，，令，易得在上单调递增，，，，，实数的取值范围为。法二：，即，，构造函数，，显然在上单调递增，，设，，令可得，令可得，故，实数的取值范围为。【例17】已知不等式对恒成立，则实数的最小值为（）【解析】，构造函数，，，易得在上单调递增，在上单调递减。当时，与的大小不定，但当实数最小时，只需考虑其为负数的情况，此时;当时，单调递减，故，两边取对数，，令，则，在上单调递增，在单调递减，，故的最小值是。【例18】若函数没有零点，则实数的最大值为【解析】注意到时，，要使函数没有零点，只需在上恒成立，而，令得，且上面不等式取等时，记其零点为，当时，，显然不合题意，综上所述，，故实数的最大值为。【例19】已知对任意给定的，存在使得成立，则实数的取值范围为【解析】①当，即时，，显然成立;②当，即时，构造函数，显然在上单调递增。设，令在上单调递增，在单调递减，，故实数的取值范围为。【说明】本题逻辑关联词较多，首先处理逻辑关联词我们遵循就近原则优先处理，即优先处理离较近的逻辑关联词，按照逻辑关联词出现的相反顺序进行处理，比如本题，我们要先处理存在一方