11.18投影和直观图（沈丽红）

1.1.3投影和直观图

一.中心投影和平行投影1.投影的概念

在不透明物体后面的屏幕上留下影子的现象叫做投影．其中，光线叫做投影线，留下物体影子的屏幕叫做投影面．

投射线可自一点发出，也可是一束与投影面成一定角度的平行线，这样就使投影法分为中心投影和平行投影

2.中心投影

光由一点向外散射形成的投影，叫做中心投影．其投影线交于一点(投影中心)．特点：在中心投影中，如果改变物体与投射中心或投影面之间的距离、位置，则其投影的大小也随之改变．

中心投影后的图形与原图形相比，虽然改变很多，但直观性强，看起来与人的视觉效果一致，最象原来的物体．所以在绘画时，经常使用这种方法，但在立体几何中很少用中心投影原理来画图．3.平行投影

如果将投影中心移到无穷远处，则所有的投影线都相互平行，这种投影线为平行线时的投影称为平行投影．斜投影：投射线倾斜于投影面正投影：投射线垂直于投影面特点：在平行投影下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与这个平面图形的形状和大小是完全相同的.

正投影能正确的表达物体的真实形状和大小，作图比较方便，在作图中应用最广泛．斜投影在实际中用的比较少，其特点是直观性强，但作图比较麻烦，也不能反映物体的真实形状，在作图中只是作为一种辅助图样．S投影方向投影方向三角板在中心投影和不同方向的平行投影下的投影效果

物体上某一点与其投影面上的投影点的连线是平行的，则为平行投影，如果聚于一点，则为中心投影．1．已知△ABC，选定的投影面与△ABC所在平面平行，则经过中心投影后所得的三角形与△ABC(

)

A．全等 B．相似C．不相似 D．以上都不对B2．一条直线在平面上的平行投影是(

)A．直线 B．点

C．线段 D．直线或点D知识识记

中心投影与平行投影的应用回顾：前面我们学习了哪些几何体？问题：这些几何体都是直观图，你知道它们是怎样画出来的吗？探究1:水平放置的平面图形的直观图画法问题：阅读教材16页的例1，回答下列问题：（1）原图中与直观图的坐标系有何区别？（2）原图中与x轴平行或重合的线段在直观图中是否依然和平行或重合？（3）原图中与y轴平行或重合的线段的长度在直观图中是否改变？与y轴平行或重合的线段，长度减半ABODCEFMN二、直观图的画法——斜二测画法平行性和重合性不改变与x轴平行或重合的线段，长度不变斜二测画法用斜二测画法画边长为2cm的正三角形的直观图练习：A'B'C'关于水平放置的圆的直观图的画法，常用正等测画法．在实际画水平放置的圆的直观图时，通常使用椭圆模版．说明：小结：平面图形的斜二测画法（1）建两个坐标系，注意斜坐标系夹角为450或1350；（3）水平线段等长，竖直线段减半；（2）与坐标轴平行或重合的线段保持平行或重合；简言之：“横不变，竖折半，平行性和重合性不改变。（4）整理.步骤：问题：如何画出长,宽,高分别是4cm,3cm,2cm的长方体的直观图？探究2:空间几何体的直观图画法（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，三轴交于一点O，使，。xzyO（2）画底面：以O为中心，在x轴上取线段MN，使MN=4cm；在y轴上取线段PQ，使PQ=(3/2)cm。分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是长方体的底面。OMNxyzPQABCD（3）画侧棱：过A,B,C,D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2cm长的线段AA'，BB'，CC'，DD'。OMNxyzPQABCDA’B’C’D’（4）成图：顺次连接A'，B'，C'，D'，并去掉辅助线和坐标系，将被遮挡的部分改为虚线，即得到长方体的直观图。OMNxyzPQABCDA’B’C’D’ABCDA’C’D’（4）成图：顺次连接A'，B'，C'，D'，并去掉辅助线和坐标系，将被遮挡的部分改为虚线，即得到长方体的直观图。小结：画空间几何体直观图的步骤：（1）画轴：画x轴、y轴、z轴，使∠xoy=450，∠xoz=900，把xoy所在平面视为水平面，xoz平面和yoz平面都是竖直面；（3）画侧棱：过下底面多变的顶点分别作z轴的平行线段，长度与几何体中的相应线段长度一样；（2）画底面：在xoy平面上用斜二测画法作出几何体的下底面；（4）成图：连接侧棱的上端点，去掉辅助线和坐标系，并把遮挡的部分改为虚线。简言之：先轴，后底，再侧棱，横竖不变，纵折半，平行、重合不改变。练习:1.画出棱长为2cm的正方体的直观图。ABDCA'B'D'C'y'x'O'A'C'（1）已知某图形的直观图如图,B'A'=B'C'=2,请画出原图，并计算原图的面积。B'2.直观图中的计算问题（2）如图，一个平面图形的水平放置的斜二测直观图是一个等腰梯形，它的底角为45°，两腰和上底边长均为1，求这个平面图形的面积.ABCDABCD发现：斜二测画法中，原图形面积S与其直观图S’的关系：课堂小结投影中心投影（投射线交于一点