5.3诱导公式6题型分类

一、角的对称(1)角π＋α的终边与角α的终边关于原点对称，如图(a)；(2)角－α的终边与角α的终边关于x轴对称，如图(b)；(3)角π－α的终边与角α的终边关于y轴对称，如图(c)．二、诱导公式公式二sin(π＋α)＝－sinαcos(π＋α)＝－cosαtan(π＋α)＝tanα公式三sin(－α)＝－sinαcos(－α)＝cosαtan(－α)＝－tanα公式四sin(π－α)＝sinαcos(π－α)＝－cosαtan(π－α)＝－tanα(1)公式一、二、三、四都叫做诱导公式，它们可概括如下：①记忆方法：2kπ＋α(k∈Z)，－α，π±α的三角函数值，等于α的同名函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值的符号，可以简单地说成“函数名不变，符号看象限”．②解释：“函数名不变”是指等式两边的三角函数同名；“符号”是指等号右边是正号还是负号；“看象限”是指假设α是锐角，要看原三角函数是取正值还是负值，如sin(π＋α)，若把α看成锐角，则π＋α在第三象限，正弦在第三象限取负值，故sin(π＋α)＝－sinα.(2)利用诱导公式一和三，还可以得到如下公式：sin(2π－α)＝－sinα，cos(2π－α)＝cosα，tan(2π－α)＝－tanα.三、诱导公式五、六(1)公式五、六中的角α是任意角．(2)诱导公式一～六中的角可归纳为k·eq\f(π,2)±α的形式，可概括为“奇变偶不变，符号看象限”．①“变”与“不变”是针对互余关系的函数而言的．②“奇”“偶”是对诱导公式k·eq\f(π,2)±α中的整数k来讲的．③“象限”指k·eq\f(π,2)±α中，将α看成锐角时，k·eq\f(π,2)±α所在的象限，根据“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的符号规律确定原函数值的符号．(3)利用诱导公式五、六，结合诱导公式二，还可以推出如下公式：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－α))＝－sinα，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝－cosα，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))＝sinα.（一）给角求值利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤(1)“负化正”——用公式一或三来转化；(2)“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；(3)“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；(4)“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值．题型1：给角求值11．（23·24上·自贡·期中）（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式得到答案.【详解】.故选：A.12．（23·24上·江西·开学考试）（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式直接化简求解即可.【详解】.故选：D.13．（23·24上·商洛·期末）（

）A． B．0 C． D．【答案】A【分析】由诱导公式直接化简可得.【详解】故选：A14．（23·24·全国·专题练习）求值：=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据诱导公式将任意角转化为锐角，再计算可得结果.【详解】原式＝.故选：A15．（23·24上·武威·期中）已知【答案】1【分析】利用诱导公式及特殊角的三角函数值化简求值.【详解】.故答案为：116．（23·24·全国·专题练习）求下列各式的值．(1)；(2)；(3)．(4)；(5).【答案】(1)(2)(3)(4)；(5)【分析】利用诱导公式结合特殊角的三角函数即可得到答案.【详解】（1）（2）（3）（4）.（5）原式.17．（23·24上·抚州·期末）设，，，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三角函数的性质和诱导公式，分别求得，即可求解.【详解】由，可得，又由，，所以.故选：C.（二）给式(值)求值1、解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、解答此类题目的关键在于利用数学中化归的思想来探究两个角(或整体)之间的关系，当寻找到角与角之间的联系后，未知角这一整体的三角函数值可以通过已知角的三角函数值和有关的三角公式求得，这是三角函数解题技巧之一.题型2：给式(值)求值21．（23·24上·日照·开学考试）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式及对应角终边上的点求目标式的函数值即可.【详解】.故选：D22．（23·24上·朝阳·阶段练习）若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据给定条件，利用诱导公式、同角公式计算作答.【详解】因，则，即，而，于是得，所以.故选：A23．（23·24上·玉溪·期末）已知，，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式以及同角三角函数的基本关系可求得的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得结果.【详解】因为，则，则且，所以，，故，因此，.故选：D.24．（23·24上·全国·课时练习）已知，则的值为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据题意得到，再结合诱导公式，准确运算，即可求解.【详解】由，可得，则.故选：D.25．（23·24上·伊犁·期末），那么（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意利用诱导公式运算求解.【详解】因为，所以.故选：D.（三）三角函数式的化简1、三角函数式化简的常用方法(1)依据所给式子合理选用诱导公式将所给角的三角函数转化为另一个角的三角函数．(2)切化弦：一般需将表达式中的切函数转化为弦函数．(3)注意“1”的应用：1＝sin2α＋cos2α＝taneq\f(π,4).(4)用诱导公式进行化简时，若遇到kπ±α的形式，需对k进行分类讨论，然后再运用诱导公式进行化简．2、三角函数式的化简注意:(1)利用诱导公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数;(2)常用“切化弦”法，即通常将表达式中的切函数化为弦函数;(3)注意“1”的变形应用.题型3：三角函数式的化简31．（23·24上·北京·期中）化简的结果为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】应用诱导公式化简即可得结果.【详解】.故选：D32．（23·24上·海淀·期中）化简（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用诱导公式化简可得结果.【详解】.故选：C.33．（23·24上·虹口·阶段练习）化简：．【答案】【分析】利用诱导公式进行化简即得.【详解】原式.故答案为：.34．（23·24上·红桥·期末）若，则化简=（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据诱导公式化简即可得答案.【详解】解：.故选：D35．（23·24上·济南·阶段练习）已知角终边上一点，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由任意角三角函数的定义求出，再由诱导公式化简代入即可得出答案.【详解】因为角终边上一点，所以.故选：B.36．（23·24上·全国·单元测试）已知是方程的根，α是第三象限角，则＝.【答案】【分析】解方程得到，从而求出，从而利用诱导公式化简求出答案.【详解】，解得或1，又α是第三象限角，∴，，故，∴，∴，∴.故答案为：37．（23·24·全国·专题练习）（1）化简：.（2）化简；（3）化简．（4）化简；（5）化简；（6）已知，求的值.【答案】（1）；（2）；（3）；（4）0；（5）；（6）【分析】利用诱导公式计算即可.【详解】（1）原式＝；（2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）由可得，.（四）由已知角求未知角的三角函数值①观察已知角与未知角之间的关系，运用诱导公式将会不同名的函数化为同名的函数，将不同的角化为相同的角是解决问题的关键;②对于有条件的三角函数求值题，求解的一般方法是从角的关系上寻求突破，找到所求角与已知角之间的关系，结合诱导公式，进而把待求式转化到已知式完成求值;③当所给的角是复合角时，不易看出已知角与所求角的联系，可将已知角看成一个整体，用这个整体去表示所求角，便可发现它们之间的关系.题型4：由已知角求未知角的三角函数值41．（23·24·全国·专题练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据及诱导公式即可求解.【详解】∵，∴.故选:D．42．（23·24上·北京·期中）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】找出与之间的关系，进行整体转换即可.【详解】.故选：C.43．（23·24上·南宁·期末）已知，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】整体代换法用诱导公式进行计算【详解】，故选：A.44．（23·24上·全国·期末）已知，，则cos()=（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据同角三角函数基本关系及诱导公式求解即可.【详解】，，，故选：A45．（23·24上·福州·期中）已知则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的诱导公式，化简得，代入即可求解，得到答案.【详解】由三角函数的诱导公式，可得，又，所以.故选：C.46．（23·24上·绵阳·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】以为整体，利用诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：D.47．（23·24·遵义·模拟预测）若，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】以为整体，结合诱导公式运算求解.【详解】由题意可得：.故选：C.48．（23·24·全国·专题练习）已知，则的值等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据诱导公式求解即可.【详解】因为.故选：B.49．（23·24上·虹口·阶段练习）已知，求．【答案】【分析】分别求出和，即可求解.【详解】因为，所以，所以故答案为：（五）利用诱导公式证明恒等式解决条件求值问题的策略(1)解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．(2)可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．题型5：利用诱导公式证明恒等式51．（23·24上·全国·课时练习）（1）求证：；（2）设，求证.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）（2）应用诱导公式化简等式中结构复杂的一侧，即可证结论.【详解】（1）左边=

=右边，所以原等式成立.（2）方法1：左边=

===右边，所以原等式成立.方法2：由，得，所以，等式左边====右边，等式成立.52．（23·24·全国·专题练习）求证：．【答案】证明见解析.【分析】利用三角函数的诱导公式和同角三角函数基本关系式证明.【详解】左边==–tanα=右边，∴等式成立．53．（23·24·全国·课时练习）求证：.【答案】证明见解析【解析】直接利用诱导公式化简即可.【详解】证明：左边==右边所以原等式成立54．（23·24·全国·课时练习）求证：．【答案】证明见解析【分析】利用诱导公式化简即可证明；【详解】证明：左边=右边，所以原式成立．55．（23·24·全国·课时练习）求证：当或3时，.【答案】证明见解析【分析】根据题设，应用诱导公式化简等式左侧即可.【详解】当时，左边=；当时，左边=；综上，或有原等式恒成立.（六）诱导公式的综合应用诱导公式综合应用要“三看”一看角：①化大为小；②看角与角间的联系，可通过相加、相减分析两角的关系．二看函数名称：一般是弦切互化．三看式子结构：通过分析式子，选择合适的方法，如分式可对分子分母同乘一个式子变形．题型6：诱导公式的综合应用61．（23·24·全国·课时练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由三角函数诱导公式求得，将进行弦化切，可得，将代入计算可得答案.【详解】因为，所以，所以,故选:A.62．（23·24上·全国·课时练习）已知，且为第二象限角,，则的值为（

）A．－ B．－C． D．－【答案】C【分析】先根据同角三角函数关系求正弦，再弦化切应用，结合诱导公式代入求值即可.【详解】因为，且为第二象限角，所以，则故选:C.63．（23·24·全国·课堂例题）若，，则．【答案】/【分析】将已知条件转化为只含的形式，然后结合求得正确答案.【详解】因为，所以，所以，则．又，所以，化简得，所以．故答案为：64．（23·24上·西安·阶段练习）已知函数（且）的图像过定点，且角的始边与轴的正半轴重合，终边过点，则等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先化简所要求的式子，又由于，所以过定点，进一步结合题意可以求出与有关的三角函数值，最终代入求值即可.【详解】

又因为，，，故原式=;又过定点,所以，代入原式得原式=.故选：.65．（23·24上·铜梁·阶段练习）已知f（x）是定义在R上的偶函数，在[0，+∞）上是增函数，若a=f（sin），b=f（cos），c=f（tan），则（）A．a＞b＞c B．c＞a＞b C．b＞a＞c D．c＞b＞a【答案】B【详解】根据题意，sin=sin（2π﹣）=﹣sin，则a=f（sin）=f（﹣sin），cos=cos（π﹣）=﹣cos，b=f（﹣cos），又由函数f（x）是定义在R上的偶函数，则a=f（sin）=f（﹣sin）=f（sin），b=f（﹣cos）=f（cos），又由＜＜，则有0＜cos＜sin＜1＜tan，又由函数在[0，+∞）上是增函数，则有c＞a＞b；故选B．66．（23·24·全国·课时练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.(1)求的值；(2)求的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）易知函数的定点M的坐标为，利用三角函数的定义则可求出，则可求出答案；（2）利用诱导公式化简，再将，，代入，即可得出答案.【详解】（1）∵函数（且）的定点M的坐标为，∴角的终边经过点，∴（O为坐标原点），根据三角函数的定义可知，，∴.（2）.67．（23·24上·佛山·阶段练习）已知．(1)若，且，求a的值；(2)若，求的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）先利用诱导公式化简，然后解三角方程可得；（2）依题意可得，然后利用诱导公式和平方关系可得.【详解】（1），因为，所以，又，所以．（2）由（1）知，因为，所以，令，则，，所以68．（23·24上·辽宁·期中）已知函数.（1）化简；（2）若，且，求的值；（3）若，求的值.【答案】（1）（2）（3）【详解】试题分析：（1）利用诱导公式可化简；（2）代入已知，从而得，结合平方关系可求得值；（3）同样由诱导公式化已知为，代入平方关系可求得，也即得的值．试题解析：（1）.(2)，因为，所以，可得，结合，，所以.（3）由（2）得即为，联立，解得，所以.点睛：诱导公式：公式一：，公式二：，公式三：，公式四：，公式五：，公式六：，这六公式可统一写成：，，可归纳为：奇变偶不变，符号看象限．一、单选题1．（23·24上·塔城·期末）的值是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用诱导公式进行求解.【详解】.故选：A.2．（23·24上·青岛·阶段练习）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】结合，根据诱导公式求解即可.【详解】解：因为，，所以故选：D3．（23·24上·马鞍山·期末）如图，在平面直角坐标系内，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，若线段绕点逆时针旋转得（，），则点的纵坐标为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据三角函数的定义求出，，设点为角的终边与单位圆的交点，依题意可得，利用诱导公式求出的值，即可得解.【详解】因为角的终边与单位圆交于点，所以，，设点为角的终边与单位圆的交点，则，所以，所以点的纵坐标为.故选：B4．（23·24上·河北·阶段练习）2002年国际数学家大会在北京召开，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计.弦图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形(如图)如果小正方形的边长为1，大正方形的边长为5，直角三角形中较小的锐角为，则A． B． C． D．【答案】B【详解】分析：根据大正方形的面积求得直角三角形的斜边，根据大正方形减去小正方形的面积即四个直角三角形的面积和，求得两条直角边的乘积，再根据勾股定理知直角三角形的两条直角边的平方和等于25，联立解方程组可得两条直角边，则可求得的值，进而即可化简求值得解.详解：根据题意，大正方形的边长为5，小正方形的边长为1，可得三角形的面积为，设三角形的两直角边为，则有，又，联立解得或，所以，从而可以求得，故选B.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，在解题的过程中，需要对对应的图形认真观察，得到对应的量之间的关系，列出相应的等量关系式，求解即可.5．（23·24上·焦作·期中）已知，（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数的诱导公式化简可得答案.【详解】由题意，．故选：C.6．（23·24上·深圳·期末）已知，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角三角函数的基本关系求出，再由诱导公式计算可得；【详解】解：因为，，所以，所以；故选：A7．（23·24上·河北·阶段练习）第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬季奥运会，是由中国举办的国际性奥林匹克赛事．北京时间2月8日，中国选手谷爱凌摘得冬奥会自由式滑雪大跳台金牌．谷爱凌夺冠的动作叫“向左偏转偏轴转体”，即空中旋转，则（

）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】利用三角函数的诱导公式和三角函数的特殊角求解即可.【详解】，所以．故选：B8．（23·24·全国·专题练习）点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】根据诱导公式结合正余弦函数的范围求解分析的正负即可.【详解】.同理，，所以点P位于第一象限．故选：A．9．（23·24上·省直辖县级单位·阶段练习）点在直角坐标平面上位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】利用诱导公式化简的坐标并判断横纵坐标的符号，即可确定所在象限.【详解】，，所以在第二象限.故选：B10．（23·24上·北京·开学考试）在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由三角函数诱导公式并结合正弦函数的定义即可得解.【详解】依题意得,又因为，所以有.故选：.11．（23·24上·芜湖·期中）已知，且，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用诱导公式，再结合同角三角函数基本关系式，即可求解.【详解】因为，所以，又，所以故选：D12．（23·24上·眉山·阶段练习）若=，则等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】和互余，所以.【详解】故选：D.13．（23·24上·江苏·三模）已知，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用题目条件结合诱导公式即可得出答案.【详解】故选：B.14．（23·24上·哈尔滨·二模）黑洞原指非常奇怪的天体，它体积小，密度大，吸引力强，任何物体到了它那里都别想再出来，数字中也有类似的“黑洞”，任意取一个数字串，长度不限，依次写出该数字串中偶数的个数、奇数的个数以及总的数字个数，把这三个数从左到右写成一个新数字串；重复以上工作，最后会得到一个反复出现的数字，我们称它为“数字黑洞”，如果把这个数字设为a，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意可得数字黑洞为123，然后利用诱导公式即得.【详解】根据“数字黑洞”的定义，任取数字2021，经过一步之后为314，经过第二步之后为123，再变为123，再变为123，所以数字黑洞为123，即，∴.故选：D.15．（23·24上·金华·阶段练习）已知角的终边经过点，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先应用诱导公式化简，再弦化切代入计算即可.【详解】由三角函数的定义可得，则.故选：D二、多选题16．（23·24上·潍坊·阶段练习）下列化简正确的是A． B．C． D．【答案】AB【解析】利用诱导公式，及，依次分析即得解【详解】利用诱导公式，及A选项：，故A正确；B选项：，故B正确；C选项：，故C不正确；D选项：，故D不正确故选：AB【点睛】本题考查了诱导公式和同角三角函数关系的应用，考查了学生概念理解，转化划归，数学运算能力，属于基础题.17．（23·24上·九龙坡·阶段练习）已知，则下列式子恒成立的是（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】根据三角函数的诱导公式，逐项判定，即可求解.【详解】由，所以A正确；由，所以B不正确；由，所以C正确；由，所以D不正确.故选：AC.18．（23·24上·日照·阶段练习）下列各式中值为的是（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】利用诱导公式化简所给的三角函数式，可得结果.【详解】对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C正确；对于D，，故D错误；故选：BC19．（23·24上·新疆·期末）已知角的终边经过点，则（

）A． B．C． D．【答案】AB【分析】根据三角函数的定义求得，结合诱导公式确定正确答案.【详解】角的终边经过点，，，，，，，故AB正确、CD错误，故选：AB20．（23·24上·无锡·阶段练习）下列结论正确的有（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】本题可通过诱导公式将转化为，A正确，然后通过诱导公式将转化为，B正确，最后根据以及同角三角函数关系判断出C错误以及D正确.【详解】A项：，A正确；B项：因为，所以，B正确；C项：因为，所以，C错误；D项：，D正确，故选：ABD.【点睛】关键点点睛：本题考查诱导公式以及同角三角函数关系的应用，考查的公式有、、、等，考查化归与转化思想，是中档题.三、填空题21．（23·24上·沈阳·阶段练习）已知，且，则的值为.【答案】【分析】利用换元法令，则结合诱导公式可得，求的值注意符号的判断．【详解】令，则∵，则故答案为：．22．（23·24·全国·单元测试）当时，若，则的值为．【答案】/【分析】先由已知条件求出，然后利用诱导公式可求得结果.【详解】∵，∴，∴，∴．故答案为：23．（23·24上·闵行·开学考试）已知，则的值为.【答案】【分析】由题意可知，，利用诱导公式可求解.【详解】依题意，.故答案为：24．（23·24上·枣庄·三模）已知为锐角，且，则的值为．【答案】【分析】利用同角三角函数的基本关系结合诱导公式可求得结果.【详解】因为为锐角，且，则，因此，.故答案为：.25．（23·24上·武清·阶段练习）已知是第四象限角，且，则.【答案】【分析】利用同角三角函数关系可得，再由诱导公式化简目标式求值即可.【详解】由题设，，.故答案为：26．（23·24·全国·课时练习）计算：.【答案】0【分析】根据三角函数的诱导公式，即可求解.【详解】故答案为：027．（23·24上·株洲·开学考试）已知，，则.【答案】/【分析】根据诱导公式，结合同角的三角函数关系式进行求解即可.【详解】因为，，所以，又因为，所以，故答案为:28．（23·24上·深圳·阶段练习）若，，则．【答案】【分析】根据诱导公式及同角三角函数关系求解即可.【详解】因为，则，，又，则，因为，所以，即，所以（负舍），，则.故答案为：.29．（23·24上·遂宁·阶段练习）已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴非负半轴重合，终边经过函数（且）的定点M.则【答案】/【分析】求出定点M的坐标，利用三角函数定义求出，再利用诱导公式计算作答.【详解】由，得，，即点，，因此，所以.故答案为：30．（23·24上·嘉定·期中）已知，则的值为；【答案】【分析】利用诱导公式求出和的值,再求得的值,即可得到的值.【详解】，，，，.故答案为：.31．（23·24·全国·课堂例题）（1）已知，则；（2）已知，则．【答案】/【分析】（1）、（2）利用诱导公式求得正确答案.【详解】（1）∵，∴．（2）∵，∴．故答案为：；32．（23·24上·省直辖县级单位·