第五章定积分

第五章定积分1．如何理解定积分的定义？对于定积分的定义，应注意以下几点：（1）定义中强调的是对区间分割的任意性和点在上的取法的任意性，这也就是说对于一个在有限区间上有界的函数，对于的任意分割以及点在上的任意的取法，相应的和式的极限都存在，且都是同一个确定的常数，才能说明函数的定积分是存在的；也可以反过来理解，若能找出区间的两种不同的分割以及点的两种取法（可以相同，也可以不相同）或的同一分割以及的两种不同的取法，得到的两个不同的和式的极限存在，但是不相等，或者找到的某一分割以及点的某一种取法，相应的和式的极限不存在，由此就可以推出函数的定积分是不存在的。在定积分存在的条件下，定积分的值与区间的分割及点取法无关。（2）在定义中，分割的区间的个数与不是等价的，由可以推出，但由却推不出，正因如此，不能把改写为。（3）积分区间为有限区间与函数有界都是定积分存在的必要条件。首先，若把积分区间换为无限区间，根据定积分的定义，当把积分区间分割为个小区间后，必有一个小区间的长度为无穷大，从而使极限条件不可能成立，故定积分不存在；其次，即使积分区间是有限区间且被积函数为有界函数，定积分也未必存在，例如，考虑函数显然在有限闭区间上，，即被积函数是有界的。考虑的任意分割：，在每个小区间上取有理点时，有，于是，取，则有；在每个小区间上取无理点时，有，于是，取，则有。这样对于的同一分割，相应于在各个不同区间内的两种不同取法，得到的两个和式的极限存在，但不相等，由此推出定积分不存在。2．函数可积的充分条件有哪些？（1）若函数在闭区间上连续，则在上可积。（2）若函数在闭区间上有界且仅有有限个间断点，则在上可积。（3）若函数在闭区间上单调，则在上可积。3．定积分与不定积分有什么区别？有什么联系？函数的定积分，它是积分和式的极限，结果为一个确定的常数；而函数的不定积分则是的原函数的全体，它是一个集合，因此，这是两个截然不同的概念。由后面即将学到的牛顿—莱布尼茨公式可知，不定积分是定积分计算的基础。4．若函数在区间上有原函数，这函数在该区间上是否一定可积？反之，若函数在区间上可积，其是否存在原函数？不一定。例如，在上可导，且这说明在上存在原函数，但函数在上不可积，因为函数在上无界。反之，若函数在区间上可积，其原函数也不一定存在。例如，函数在区间上除点为第一类间断点外，在其余各点都是连续的，故存在。但是由于在上不存在原函数，因为是它的第一类间断点。5．如何利用定积分的几何意义求某些特殊的定积分？根据定积分的几何意义，表示的是介于轴、曲线及直线之间的各部分图形的面积的代数和，即在轴上方图形的面积与在轴下方图形的面积之差，只要把图形画出来，借助于几何方法即可把一些特殊的定积分计算出来。例如，表示的是由，轴和上半圆周围成的图形的面积，即圆的面积的一半，也就是。表示的是由，轴和圆的下半圆围成的图形的面积，即。6．积分中值定理与微分中值定理之间有怎样的联系？在教材中，积分中值定理结论中的，事实上完全可以改为，在有些情况下，利用开区间可能会更方便。积分中值定理与微分中值定理有着密切的联系：若是的一个原函数，在上连续，则存在，使得。7．在积分中值定理中，在上连续的条件是否可改为在上可积？不可以。例如，在处不连续（是第一类间断点），则等式不成立，事实上，当时，，，当时，，，所以。8．这三个表达式是否表示同一个函数？不是。对表达式，由于定积分与积分变量的记法无关，故有；对表达式，由于被积表达式中的变量与积分变量无关，可以提到积分号的外面，故有；因此。而表达式，如果将积分变量记作，则，故它与其他两个积分是不同的。9．对积分上限函数求导时应注意什么问题？（1）首先要弄清楚是对哪个变量求导，把积分上限的函数的自变量与积分变量区分开来。积分上限的函数的自变量是上限变量，因此对积分上限的函数求导，就是对上限变量求导，与积分变量没有关系。但是有时会遇到上限变量也含在被积函数表达式内的情况，这是应把上限变量从被积表达式内分离出来，并提到积分号外，然后再进行求导。例如，要求的导数，可先对进行变形，把上限变量从被积表达式内分离出来，即，故有。（2）对积分上限函数的导数的求法，还应熟练掌握以下公式：；；，其中的都是可导函数。10．牛顿—莱布尼茨公式的条件可以放宽吗？牛顿—莱布尼茨公式的条件可以适当放宽：设是在的一个原函数，在上可积，则，即在上连续可以改为“可积”。11．定积分的换元法与不定积分的换元法有何共同点与差别？共同点是：它们都是建立在找被积函数的原函数基础之上的积分方法，但它们又有各自的特点：（1）不定积分的换元法的主要目的是通过换元求出被积函数的原函数的一般表达式。有第一换元法和第二换元法两种。第一换元法也称“凑微分法”，它的特点是逐步将被积函数的原函数凑出来，而不必明显地将原积分换成新变量积分后，再求原函数；第二换元法的特点是必须把原积分换成新变量的积分，然后求出新变量的原函数，再在结果中将新变量换回到原来的变量，即令，则有，其中，是的反函数，故第二换元法必须要求换元函数的反函数存在，这是与第一换元法的差别。（2）定积分的换元法的目的在于求出积分值，这是它与不定积分的换元法不同之处。它在换元的同时，要相应地变换积分的上、下限，将原积分变换成一个积分值相等的新积分，因此积分经过变换后，不必再去关心原被积函数的原函数是什么，也没有必要再去关心变换函数是否存在反函数等问题。这是定积分换元法与不定积分换元法的最大区别。此外，还有其他一些差别。比如，通过换元法知，如果是在上的连续奇函数，那么，无需寻找的原函数，就能断定其积分值为零。对定积分还可以构造一些更巧妙的换元技巧，例如，对定积分，可令，则有，所以。故。因此，定积分的换元法能够使我们得到一些特殊的运算技巧。12．如何理解定积分换元法的条件？对于定积分换元法中的条件必须把握两点：（1）必须具有连续导数；（2）的值与必须充满原积分变量的积分区间。例如，对于定积分，若用变换，则有。由于被积函数在上恒大于零，故其定积分必为正，因此结果肯定是错误的。原因在于所用的变换不符合定积分换元公式成立的条件，由于在有间断点，易知其反函数在区间上也必有间断点，不满足定积分换元法的条件。正确做法如下：其中。值得注意的是，在求不定积分时，用换元却是允许的，即有，这又是不定积分与定积分的一个重要区别。再如，对于定积分，若作变换，则会导致错误的结果，因为的值域不可能充满区间，正确做法是：令则有。13．在计算反常积分时，有人认为被积函数是奇函数，而积分区间又是关于原点对称的，故该反常积分为零，这种