2021年高考数学真题名师评析（新高考全国2卷带解析）

2021年高考数学真题名师评析（新高考全国2卷带解析）

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一、武卷段用地区

海南、辽宁、重庆

二、武卷是坪

2021年新高考数学全国2卷命题，坚持思想性与科学性的高度统一，发挥数学应用广泛、联系实际的学科特点,

命制具有教育意义的试题，试题运用我国社会主义建设和科技发展的重大成就作为情境，深入挖掘我国社会

经济建设和科技发展等方面的学科素材，引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与发展,增强民族自豪

感与自信心,增强国家认同，增强理想信念与爱国情怀.如本卷第4题以我国航天事业的重要成果北斗三号全

球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养；本

卷第21题取材于生命科学中的真实问题，考查数学抽象、直观想象、逻辑推理等数学核心素养，体现了基础

性、综合性、应用性、创新性的考查要求；本卷第6题，以某物理量的测量为背景，考查正态分布基本知识的

理解与应用，引导考生重视数学实验，重视数学的应用.《深化新时代教育评价改革总体方案》提出，构建引导

考生德智体美劳全面发展的考试内容体系，改变相对固化的试题形式，增强试题开放性，减少死记硬背和“机械

刷题''现象.2本卷命题积极贯彻《总体方案》要求，加大开放题的创新力度，利用开放题考查考生数学学科核

心素养和关键能力，发挥数学科的选拔功能.如本卷第14题的答案是开放的，给不同水平的考生提供充分发挥

数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到了很好的作用；本卷第18题基于课程标准，重点考查考生的

逻辑推理能力和运算求解题能力,在体现开放性的同时，也考查了考生思维的准确性与有序性；本卷第22题

第（2）问是一道“结构不良问题”，对考生的逻辑推理能力、数学抽象能力、直观想象能力等有很深入的考查,

体现了素养导向、能力为重的命题原则.总之,2021年高考数学全国卷试题很好地落实了立德树人、服务选才、

引导教学的高考核心功能，同时突出数学学科特色，发挥了高考数学科的选拔功能，对深化中学数学教学改革

发挥了积极的导向作用.

三、考点分布细目表

题号命题点模块（题目数）

1复数的除法运算复数（共1题）

2集合的交集与补集运算集合（共1题）

3抛物线的方程与几何性质解析几何（共4题）

4球的实际应用立体几何（共4题）

5棱台的体积立体几何（共4题）

6正态分布概率统计（共3题）

7对数式大小的比较函数（共4题）

8函数的奇偶性函数（共4题）

9样本的数字特征概率与统计（共3题）

10空间几何体中的线面位置关系立体几何（共4题）

11直线与圆解析几何（共4题）

12数列数列（共2题）

13双曲线的几何性质解析几何（共4题）

14函数与导数1.函数（共4题）

2.导数（共3题）

15平面向量的数量积平面向量（共3题）

16导数的几何意义导数（共3题）

17数列的通项与求和数列（共2题）

18解三角形三角函数与解三角形（共题）

19线面位置关系的证明及空间角的计算立体几何（共4题）

20圆与椭圆解析几何（共4题）

21概率的应用1.概率统计（共3题）

2.不等式（共2题）

22用导数研究函数单调性、不等式证明1.导数（共3题）

2.函数（共4题）

3.不等式（共2题）

四、武题深度解建

1.在复平面内，复数一二对应的点位于（）

1-3/

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【命题意图】本题考查复数的除法运算及复数的几何意义，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易

【答案】

1-i_(2-z)(l+3z)5+5/11./]i\

【解析】因为匚3=(1-3/)(1+30=—布—=5+5'，所以该复数在复平面内对应的点为1万,在第一

象限，故选A.

【点评】复数是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置匕考查热点一是复

数的概念与复数的几何意义，如复数的模、共聊复数、纯虚数、复数的几何意义等,二是复数的加减乘除运算.

【知识链接】

解复数运算问题的常见类型及解题策略

(1)复数的乘法.复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位i的看作一类同类项，不含i的看作

另一类同类项，分别合并即可.

(2)复数的除法.除法的关键是分子分母同乘以分母的共轨复数，解题中要注意把i的幕写成最简形式.

(3)复数的运算与复数概念的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为。+加(“力GR)的形式，再结合相关

定义解答.

(4)复数的运算与复数几何意义的综合题.先利用复数的运算法则化简，一般化为“+历3为2阳的形式，再结合

复数的几何意义解答.

2.若全集°={1,2,3,4,5,6},集合4={1,3,6},3={2,3,4},则40必8=()

A.{3}C.{5,6}D.{1,3}

【命题意图】本题考查集合的交集与补集运算，考查数学运算与数学抽象的核心素养.难度：容易

【答案】B

【解析】因为0={1,2,3,4,5,6}.8={2,3,4},所以屯3={1,5,6},因为4={1,3,6}，所以ADgB={1.6},

故选B.

【点评】集合是高考每年必考知识点，一般以容易题面目呈现，位于选择题的前3题的位置上，考查热点一是集

合的并集、交集、补集运算,二是集合之间的关系，这种考查方式多年来保持稳定.本题所给两个集合，都是离

散的数集，无需化简，足见命题者有意降低试题难度，突出对交集与补集概念的考查.

【知识链接】求解集合的运算问题的三个步骤：

(I)看元素构成,集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的关键，即辨清是数

集、点集还是图形集等，如“仅=/。},3y=/(x)},{(x,y)仗=/(x)}三者是不同的.；

(2)对集合化简，有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了、易于解决；

(3)应用数形结合进行交、并、补等运算，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和韦恩图(Venn).

3.若抛物线y2=2px(p>0)焦点到直线y=x+l的距离为0,则〃=()

A.lB.2C.3D.4

【命题意图】本题考查抛物线的方程与几何性质及点到直线距离公式，考查数学运算的核心素养.难度：容易.

【答案】B

【解析】抛物线j2=2px(p>0)的焦点坐标(5,0卜直线>=x+1的距离［=2H=近，所以p=2.

V2

故选B.

【点评】解析几何中抛物线是必考知识点,或在客观题中,或在解答题中.

【知识链接】

⑴设AB是过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的弦，若)|),仇及向,则

①XIX2—p2-

②弦长|A8|=xi+x2+p=^^(a为弦AB的倾斜角).

③以弦AB为直径的圆与准线相切.

④通径：过焦点垂直于对称轴的弦,长等于2p,通径是过焦点最短的弦.

(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、

顶点、准线的问题更是如此.

4.卫星导航系统中，地球静止同步轨道卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨迹高度为36000k篦(轨道高度

指卫星到地球表面的最短距离)，把地球看成一个球心为O半径为64(X)Am的球,其上点A的纬度是指。4与

赤道所在平面所成角的度数，地球表面能直接观测到的一颗地球静止同步卫星的点的纬度的最大值记为。，

该卫星信号覆盖的地球表面面积5=2乃/(1-cosa),(单位：攵加2),则S占地球表面积的百分比为()

A.26%B.34%C.42%D.50%

【命题意图】本题考查与求有关的计算问题，考查直观想象与数学建模的核心素养.难度：容易

【答案】C

地球半径_6400_8

【解析】由题意可得cosa

地球半径+卫星高度-36000+6400―⑤

所以S占地球表面积的百分比为2个詈⑻=上詈=挑’42%,故选C.

【点评】本题以我国航天事业的重要成果北斗三号全球卫星导航系统为试题情境设计立体几何问题，考查考

生的空间想象能力和阅读理解、数学建模的素养，同时又能引导考生关注我国社会现实与经济、科技进步与

发展，增强民族自豪感与自信心，增强国家认同,增强理想信念与爱国情怀.

4

【知识素养】球的表面积与体积公式：S=4乃A?,V=-7VR3

5.正四棱台的上、下底面边长为2,4,侧棱长为2,则四棱台的体积为()

A.20+1273B.28忘C.竺店D.—

33

【命题意图】本题考查棱台的体积，考查直观想象与数学运算的核心素养.难度：容易.

【答案】C

【解析】如图，设上下底面的中心分别为，过四作8眼_L。8,垂足为M,则

Qg=0,=20,8W=0，所以该棱台的高力=8陷=J曰=&，所以该四棱台的体积为

((S上+S下+JS上S下)=¥(2:+42+,22>42)=^^,故选C.

【点评】往年立体几何在高考中一般有2道客观题,1道解答题，本题试卷除了第4题的实际应用，也恰好符合

这一规律，客观题中立体几何考查的热点是几何体中元素的位置关系与数量关系、几何体的表面积与体积、

球与几何体的切接等.

【知识链接】空间几何体的体积的计算方法

(1)计算柱、锥、台体的体积，关键是根据条件找出相应的底面面积和高，应注意充分利用多面体的截面,特别是

轴截面，将空间问题转化为平面问题求解.

(2)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、还台为锥法、等积变换法(如求三棱锥的体积可灵活变换

顶点与底面)等，它们是计算一些不规则几何体体积常用的方法，应熟练掌握.

(3)利用三棱锥的“等体积性”可以解决一些点到平面的距离问题，即将点到平面的距离视为一个三棱锥的高,

通过将其顶点和底面进行转化，借助体积的不变性解决问题.

6.某物理量的测量结果服从正态分布NQO,/),则下列结论中不正确的是()

A.cr越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.1)内的概率越大.

B.o越小,该物理量一次测量结果大于10的概率为0.5.

C.<7越小,该物理量一次测量结果大于1().()1的概率与小于9.99的概率相等.

D.o-越小,该物理量一次测量结果落在(9.9,10.2)内的概率与落在(10,10.3)内的概率相等.

【命题意图】本题考查正态分布，考生数学建模与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易

【答案】D

【解析】正态曲线的对称轴为x=10,B,C正确,越小,正态曲线越瘦高，总体分布也集中在对称轴附近,A正

确：(9.9,10.2)与(10,10.3)不关于对称轴时称,D错误，故选D.

【点评】注意本题是判断：“结论中不正确的是

【知识链接】

1.能熟练应用正态曲线的对称性解题，并注意以下几点：

(1)正态曲线与x轴之间的面积为1；

(2)正态曲线关于直线x=~对称，从而在关于x="对称的区间上概率相等；

(3)几个常用公式：

①尸(X<a)=1~P(X>a)x

②尸(X<〃-a)=P(玲u+a)(即第(2)条)；

③若A>0,贝ijP(X<n-b)—2~土.

2.无论是正态分布的正向或逆向的应用问题，关键都是先确定c,然后利用对称性，将所求概率转化到三个特

殊区间.

7.若a=logs2,〃=logg3,c=g,则()

A.c<b<aB.b<a<cC.a<c<bD.a<b<c

【命题意图】本题考查数式大小的比较，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中点偏易

【答案】C

【解析】

解法一：a=log52<log3亚=；,b=log83>logs芯=；，故选C.

解法二：a=log52<log42==log83>log93=；做选C.

【点评】指数式与对数式大小的比较高考热点，高考考查频率非常高.

【知识链接】

1.比较两个指数事的大小时，尽量化为同底或同指，肖底数相同，指数不同时，构造同一指数函

数,利用指数函数的单调性比较大小;当指数相同，底数不同时，常用作商法或利用函数图象比

较大小;当底数、指数均不同时，可以利用中间值0,1比较，同时注意结合图像及特殊值.对于

三个（或三个以上）数的大小比较，则应先根据值的大小对其分类，常将其分为三类：一

类是小于0的数，一类是大于0小于1的数，一类是大于1的数.

2.比较对数式大小的类型及相应的方法：①若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断：若

底数为同一字母,则需对底数进行分类讨论.②若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进

行比较.③若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较.

8.设函数“X）的定义域为R,且/（x+2）是偶函数,〃2x+l）为奇函数，则（）

AJ，£|=0B.〃T）=OCJ⑵=0D.〃4）=0

【命题意图】本题考查函数的奇偶性，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养.难度：中等

【答案】B

【解析】

解法一：由〃2x+l）为奇函数，可得/（—2x+l）=—〃2x+l）,取x=I得1）=—〃5）,由〃x+2）是

偶函数得了（—x+2）=/（x+2），取尤=3得/（-1）=/（5），所以/（5）=—/（5）,/（5）=0，所以

〃-1）=0,故选B.

解法二：构造一个符号条件的函数：/（x）=COS2X，可以验证只有/（-l）=0,故选C.

【点评】注意/（X+2）是偶函数，可得/（一%+2）=/（》+2）,而不是/（一%-2）=/（%+2）.

【知识链接】本题的背景涉及函数的奇偶性、对称性与周期性的关系,下面给出几个结论：

⑴若函数/（x）的图象既关于直线x=a对称，又关于直线x=Z?对称（aob）,则“X）是周期函数，且

是它的个周期.

⑵若函数“X）的图象既关于点（a,0）对称，又关于点（。,0）对称（a"）.则"X）是周期函数，且2伍-a）

是它的一个周期.

⑶若函数/（x）的图象既关于直线x=a对称，又关于点他,0）对称（aw》），则/（x）是周期函数，且

4（力一。）是它的一个周期.

9.下列统计量可用于度量样本玉,马，…天离散程度的有（）

A.%,9,…的标准差B.x”/,…X”的中位数

C.X],%,…的极差D.x”/,…％的平均数

【命题意图】本题考查样本的数字特征，考查数学抽象的核心素养.难度：容易

【答案】AC

【解析】标准差是方差的算术平方根.它反映一个数据集的离散程度.极差是最大值与最小值的差，可反应数据

的离散程度，中位数是通过排序得到的，它不受最大、最小两个极端数值的影响，不可用于度量样本玉,々，…天

离散程度，平均数反应数据的平均水平,它是反映数据集中趋势的一项指标，不可用于度量样本国,乙，…%离

散程度，故选AC.

【点评】求解本题的关键是利用标准差、中位数、平均数、极差的概念逐个进行判断.

【知识链接】

1.标准差、方差描述了一组数据围绕平均数波动的大小.标准差、方差越大，数据的离散程度越大；标准差、

方差越小，数据的离散程度越小.因为方差与原始数据的单位不同，且平方后可能夸大了偏差的程度，所以虽然

方差与标准差都是测量样本数据离散程度的工具，但在解决实际问题时,一般多采用标准差.

2.有关平均数、方差的一些结论

若数据X1,X2,…,X”的平均数为x，方差为s2.

22

则axi,ax2,...,axn的平均数为ax，方差为as.

数据mxi+a,mx2+a,...,mxn+a的平均数为机x+a，方差为m2s2.

10.如图，下列各正方体中，。为下底的中点,为顶点，尸为所在棱的中点，则满足MN，的是（）

【命题意图】本题考查线线垂直的判断，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易.

【答案】BC

【解析】对于A,如图，肱V〃EF,但EF与OP不垂宜，所以A不符合条件

对于B,如图，点Q是所在棱的中点,可得MN1平面OPQ,所以肠VLQP,所以B符合条件;

对于C,图中的MN与B图中PQ平行，所以C符合条件；

对于D,易得MN与0P不垂直，故选BC.

【点评】要说明一个命题正确，要给出证明，不能想当然.

【知识链接】判断线性垂直一是利用平面几何知识判断，如等腰三角形底边中线与底边垂直等,二是利用线面

垂直的性质定理来判断.

11.已知直线/：办+刀一尸=。与圆+/=，，点人包力）,则下列说法正确的是（）

A.若点A在圆C上,则直线/与圆。相切B.若点A在圆C内,则直线/与圆C相离

C.若点A在圆C外，则直线/与圆C相离D.若点A在直线/上，则直线/与圆C相切

【命题意图】本题考查直线与圆的位置关系，考查逻辑推理与直观想象的核心素养.难度：中等.

【答案】ABD

2

【解析】对于A,若点A在圆C匕则小+廿二’,则圆心到直线/距离d====所以直.线/与圆C

y]a2+b2

相切,A正确；

2

对于B,若点A在圆内，则4+。2</,则圆心到宜线/r距离心所以直线/与圆C相交,B正确；

yja2+b2

对于C,若点A在圆外厕+从>3,则圆心到直线/距离d=,>口所以直线/叮圆C相离,C错误：

>Ja2+b2

对于D,若点A在直线I上，则a2+b2=/，直线/与圆C相切,D正确，故选ABD.

【点评】判断宜线与圆的位置关系，常通过圆心到直线距离与半径大小进行判断.

【知识链接】在处理直线与曲线的位置关系时，一般用二者联立所得方程组的解的情况进行判断（即代数方法）,

但若曲线是圆，则属例外情形,此时我们一般不讨论△>0,A=0,A<0,而用圆心到直线的距离d与圆的半径，•之

间的关系，即•，心",分别确定相交、相切、相离.

12.设正整数〃=4,2°+qH---+4.2/其中4G{0,1},记<y（〃）=4+马：-------------则（）

A.3（2〃）=M〃）Bq（2〃+3）=3（〃）+1

C0（8〃+5）=3（4〃+3）D.<y（2"-1）=〃

【命题意图】本题考查数的转化及等比数列，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：难

【答案】ACD

【解析】对于A,因为〃=4-2°+a「2i+…+%_/21+%-24，所以

1

2n=0-2°+tz0-2+q•2?4---Fak_{-2*+4•2*’,所以<y（2"）=0+4+q-\---1-ak-a）（〃）；

对于B,取〃=2,则2〃+3=7=1乂2°+1乂21+1'22,所以0（5）=1+1+1=3,而少（2）=1,所以B不一定

成立；

34M2

对于C,8n+5=a0-2+a1-2+.■•+«,•2+lx2°+0x2'+lx2=。（〃）+2，同理，

4/?+3=4,2~+q•2,+…+%•~+1x20+1x21=&>（〃）+2，所以C正确；

对于D.2"—1=1x20+1x2I+…+1x2"T,所以①（2"-1）=".D正确，故选ABD.

【点评】本题的背景是十进制与二进制的转化.

【知识链接】本题中是把一个十进制数转化为二进制后各位数字之和，确定小，%，…,%所用的方法是

除2取余法.

22

13.已知双曲线C:之一今=1S>°力>0），离心率e=2,则双曲线C的渐近线方程为_______

ab

【命题意图】本题考查双曲线的几何性质，考查数学运算的核心素养.难度：容易

【答案】y=±\/3x

I解析】因为e=£=b+gj=2.所以，=百，所以双曲线c的渐近线方程为y=土瓜.

【点评】双曲线是高考必考问题,一般作为客观题考查，若单独考查双曲线的定义与几何性质，一般为基础题，

若与其他知识交汇考查，可能会出现难度较大的客观题.

【知识链接】

双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率，在双曲线摄一W=1(“>0力>0)中,离心率e与双曲线的渐近线

的斜率4=±，满足关系式e2=1+F

14.写出一个同时具有下列性质①②③的函数/(X)

①/(%1%2)=/(5)/(%2)；②当XG(0,+OO)时;③/,(X)是奇函数.

【命题意图】本题考查黑函数的运算法则及奇偶性、单调性.难度：容易.

【答案】y=V(答案不唯一)

【解析】幕函数满足①，满足②,/(x)在(0,”)是增函数，满足③,/(x)是偶函数，所以符合条件的一个函

数是y=V(答案不唯一).

【点评】本题答案是开放的,给不同水平的考生提供充分发挥数学能力的空间，在考查思维的灵活性方面起到

了很好的作用.

【知识链接】若〃x),g(x)M(x)分别是基函数、指数函数、对数函数，则：

/(m)=/■([)/(〃),g(a+〃)=g(a)g("),/z(")=/i(a)+/z(").

15.已知向量a+B+c=6，W==|c|=2,贝+否-c+c-a=

【命题意图】本题考查平面向量的数量积，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏易

9

【答案】---

2

【解析】

解法一：因为Q+B+C==1,|^|=卜|=2,所以+B+C)=+B~+C-+2(々.行+尻(:+<:•〃)=

。/a)=0,所以£/+/2+£.£=-Q.

解法二：因为Z+B+"=。,同=烟=忖=2,所以（£+,=7+2£%+片=5+279=0,所以

73=所以/入0+。）•八一|一7二一，

【点评】平面向量是高考数学必考知识点，一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向量的

数量积，可以是容易题，也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查.

［知识链接】平面向量数量积求解问题的策略

①求两向量的夹角：85。=瑞方要注意6»任［0,利.

②两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：。_1_从=»力=0/—b|=|a+D|.

③求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有：42=""=|<1|2或|4|=/^；|4±旬=苗42±24协+内2；若a

=（*,），）,则同=、/+）己

16.已知函数/（力=卜'一1|,西<0,%>0,函数/（X）的图像在点4（5,〃5））和点3（工2，/（々））的两条

切线互相垂直，且分别交y轴于M,N两点，则的取值范围是

【命题意图】本题考查导数几何意义的应用，考查直观想象与逻辑推理的核心素养.难度：中等偏难.

【答案】（0,1）

【解析】当》>（）时”x）=e'-lj'（x）=，，所以MN=*，同理可得心“=一泊,因为两条切线互相垂

直'所—听以微=符e因为"”所

1\AM\

以0<—<1,即■；j-的取值范围是（0,1）.

游\BN\

【点评】导数的几何意义是高考热点，考查方式主要有：求曲线在某点处的切线方程，确定曲线的条数,求公切

线，根据曲线满足条件求参数范围.

【知识链接】

（1）导数的几何意义是研究曲线的切线的基石，函数y=/（x）在点沏处的导数的几何意义，就是曲线y=/（x）在点

。（如穴⑹）处的切线的斜率.也就是说，曲线尸危）在点尸（xo/0））处的切线的斜率是/'（x0）.求以曲线上的点

（x（VU）））为切点的切线方程的求解步骤：①求出函数次x）的导数/（x）：

②求切线的斜率了（助）；③写出切线方程y—/（xo）=/（xo）（x—xo）,并化简.

（2）研究曲线的公切线，一般是分别设出两切点，写出两切线方程，然后再使这两个方程表示同一条直线.

(3)求曲线切线的条数一般是设出切点化/(。).由己知条件整理出关于f的方程，把切线条数问题转化为关

于r的方程的实根个数问题.

17.记5“是公差不为0的等差数列[a,,｝的前〃项和，若%=S5,a2•4=S4.

(1)求数列｛q｝的通项公式环：

(2)求S“〉成立的〃的最小值.

【命题意图】本题考查等差数列的通项与求和，考查数学运算与逻辑推理的核心素养，试题难度：中等偏易.

【解析】(1)设等差数歹£4｝的公差为d(dKO)，由%=55，。2/4=54得

4+2d=5a,+1Od

z万/2八/解得q=T“=2,

(H+d)(a1+3d)=4a]+6d

所以=4+(〃-l)d=-4+2(〃-1)=2〃-6.

(2)解法一：由(1)知例=2〃-6,S〃=-4几+—^--x2=-5n.

2

所以山Sn>an得n-5n>2n-6，解得〃>6,所以〃的最小值为7.

解法二：由S,>a“得S,I>0(〃22)，即(4+—1)>0,

所以q+a,i=2〃-12>0,解得〃>6,所以〃的最小值为7.

【点评】数列解答题是新高考必考题.通常考查数列的通项与求和，难度一般为中等偏易或中等.

【知识链接】等差数列运算问题的一般求法是设出首项m和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为

方程(组)求解.②等差数列的通项公式及前”项和公式,共涉及五个量知其中三个就能求另外两个,

体现了用方程的思想解决问题.

18.在AABC中，角A,B,C所对的边长为a,b,c,b=a+l,c=a+2.

(1)若2sinC=3sinA,求AABC的面积；

(2)是否存在正整数a,使得AA3C为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由.

【命题意图】本题考查三角形面积公式、正弦定理及余弦定理的应用，考查数学运算与逻辑推理的核心素养.

难度：中等偏易.

【解析】山2sinC=3sinA及正弦定理得2c=3a,

由b=〃+1,c=Q+2.可得2(a+2)=3Q,

所以q=4,/?=5,c=6,

1等

25+36—162C

--COS=

所以8sA8

2hc2x5x6

所以△ABC的面积S=—absinC='x4x5x^~^="1

2284

（2）由,b=a+l,c=a+2可得所有C>3>A,

若AABC为钝角三角形，则cosC="』"+"（：’也<0,

2a（a+l）

整理得。2一24-3<0,解得0<a<3.

又a+a+l>a+2,所以a>l,

因为。为正整数，所以a=2.

所以a=2使得AABC为钝角三角形.

【点评】解三角形是高考必考题，今年的解三角形题难度比较小，只相当于课本习题难度,属于得分题.

【知识链接】正、余弦定理是应用极为广泛的两个定理，它将三角形的边和角有机地联系起来,从而使三角与

几何产生联系，为求与三角形有关的量（如面积、外接圆与内切圆半径和面积等）提供了理论依据，也是判断三

角形形状、证明三角形中有关等式的重要依据.其主要方法有：化角法，化边法,面积法，运用初等儿何法.注

意体会其中蕴涵的函数与方程思想、等价转化思想及分类与整合思想.

19.在四棱锥。一ABC。中，底面ABC。是正方形，若A。=2,。。==逐,。。=3.

（1）求证：平面Q4D1平面A3CD；

（2）求二面角3—。。一A的平面角的余弦值.

【命题意图】本题考查线面位置关系的证明及二面角的计算，考查直观想象及逻辑推理的核心素养

【解析】⑴因为QO=6,CO=2,QC=3,

所以所以Q)，Q。

因为底面A3CO是正方形，所以CD±AD.

因为49口。。=。,所以CDJ•平面QAO,

因为CDu平面ABC。,所以平面24。1平面ABCD.

(2)解法一：山8,平面QA。及底面AB8是正方形,

可得BA±平面QAQ.

作AM1DQ,垂足为M,连接BM,

则就是二面角B-QD-A的平面角，

5+5-434

illQA-QD-V5,AD=2,可得cosAAQD——~-j=~,sinZAQD=—

AM=AQsinZAQD=^=.BM=ylAB2+AM2=*,

所以二面角5—QD—A的平面角的余弦值为鬻=|.

解法二：以AD中点E为原点，建立如图所示的空间直角坐标系上一孙z.则

3(2,-1,0),Q(0,0,2),。(0,1,0)质=(-2,l,2),0D=(O,l,-2)

平面QDA的一个法向量五=(1,0,0),

设平面BQD的一个法向量〃=(x,y,z).

n-BQ=O-2x+y+z=0

则｛_____.，即｛，取z=1得n=（2,2,1）,

n.OQ=0y-2z=0

m-n2

所以二面角5—Q3—A的平面角的余弦值为正耐二

3,

【点评】立体几何解答题在高考中难度一般低于解析几何题，属于得分题，第1问一般为线面位置关系的证明,

书写时要注意步骤的规范，第2问一般用空间向量求空间角，运算失误是失分主要原因.

【知识链接】

1.证明线面位置关系应注意的问题

(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的

判定定理和性质定理；

(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础.证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的

中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.

2.利用向量法计算二面角大小的常用方法

(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二

面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小.

(2)找马棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这

两个向量的夹角的大小就是二面角的大小.

20.已知椭圆C的方程为，•+£=1(。>0,0>0),右焦点为尸(0,0卜且离心率为彳.

(1)求椭圆C的方程;

(2)设点M,N是椭圆C上的两点，直线MN与曲线f+相切.证明：M,N,产三点共线的

充要条件是=

【命题立意】本题考查椭圆的方程直线与圆锥曲线的位置关系，考查数学运算与逻辑推理的核心素养

【解析】（1）设c=G二由右焦点为/（血,0卜得c=J5,

山离心率为包得£=X5,所以a==J7=7=1，

3a3

2

所以椭圆C的方程为三+y2=]

3

（2）先证明必要性.若",N,F三点共线,则直线MN的斜率不为零，可设直线MN的方程为x=my+y/2.

因为直线MN与曲线/+；/=〃（尤>o）相切,

所以圆心到直线MN的距离d=JJ2,=1，所以加2=i，

\l+m2

由椭圆与曲线/+y2=02（X>0）相切都关于X轴对称，不妨假设机=1

x—my+V2

由，,得4y2+—1=0,

设Af（%,乂）,7^（%2，%），则%+%=一^^，必当=一；，

所以|仞7|=夜|必-%|=右而注+1=G-

再证明充分性.若\MN\=y[3，设直线MN的方程为X=殁+〃（〃>0）,

因为直线MN与曲线炉+产=尸（%>0）相切,

所以圆心到宜线MN的距离1四1,所以〃2-m2=1,

1+/〃2

x=+n

2

由，x2得(>+3)V+2mny+-3=0,

=1

2mnn2-3

设M(X],yJ,N(X2，y2)，则M+%=

22

所以|MN|=yjl+mM_y2\=J1+疗+必『-4yly2=V1+mJf-iW-3)

I根2+3

=|MN|=71+m21^,-刃=J1+^J(x+)j-4x)，2=&+*J'：R)+，+；)=

2

+>・2y[3\/n—m2+3_屹俎)rr

---------------/-------------二，角牛Rtrr=1,H=v2,

Vm2+3

所以直线MN过点(、历,0),即M,N,尸三点共线.

【点评】解析几何解答题是每年必考题，该题一般分2问，第1问•般考查曲线的方程，第2问一般考查弦长、

三角形面积、定点、定值及最值问题.

【知识链接】本题第2问实质是证明直线过定点立下面给出圆锥曲线中定点问题的两种解法

(1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到

定点.

(2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.

21.一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代,经过一次繁殖后为第1代,

再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个

微生物个体繁殖下一代的个数,P(X=i)=Pi(z=0,1,2,3).

(1)已知=0.4,P]=0.3,p2=0.2,P3=0.1,求E(X)；

(2)设p表示该微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率,p是关于x的方程：

23

Po+p{x+p2x+p3x=x的一个最小正实根,求证:当E(X)W1时,〃=1,当七(X)>1时,p<1；

(3)根据你的理解说明(2)问结论的实际含义.

【命题意图】本题考查随机变量的分布列及不等式证明，考查数学建模及逻辑推理的核心素养.难度：难

【解析】⑴因为Po=0.4,P]=0.3,p2=0.2,py=0.1,

所以E(X)=0pq+lp]+2p2+3p3=0x0.4+1x0.3+2x0.2+3x0.1=1.

⑵E(X)=P|+2p2+3p3,

23

设f(x)=p0+PR+p2x+P3X-x(0<xW1),则/'(x)=P]+2“2》+3Ps■-1在(0,1]上是增函数,

且/⑴=E(X)-1,

若£(X)<1,则/'(x)<f⑴40J(x)在(0,1］上是减函数，且〃1)=0,所以p=l.

若E(X)>1,则/(1)>0,且r(°)=A-l<0(若Pi=1,则E(X)=1与£(X)>1矛盾，所以

0<Pi<1),

所以存在唯一71G(0,l)使得了'(々))=0.且xe(0,/)时/(x)<0./(%)递减,xe(x0,l)时r(x)>0,

/(x)递增，所以/(毛)</。)=0,

因为/(O)=Po>O,所以“X)在(°，/)上有唯一零点/，所以<1.

/()在(0,1