2022届新高考物理冲刺精准复习：动态平衡问题 平衡中的临界、极值问题

2022届新高考物理冲刺精准复习

动态平衡问题平衡中的临界、极值问题

学习目标

1.学会用图解法、解析法等解决动态平衡问题.

2.会分析平衡中的临界与极值问题.

一、课前检测

1.如图所示，固定在竖直平面内的光滑圆环的最高点有一个光滑的小孔。质量为，〃的小

球套在圆环上，一根细线的下端系着小球，上端穿过小孔用手拉住。现拉动细线，使小球沿

圆环缓慢上移，在移动过程中，手对细线的拉力尸和圆环对小球的弹力FN的大小变化情况

是（）

A.尸不变，FN增大B.尸不变，FN减小

C.尸减小，八不变D.尸增大，FN减小

2.甲、乙两人用两绳“0和60通过装在尸楼和。楼楼顶的定滑轮，将质量为机的物块

由。点沿直线缓慢向上提升，如图所示.则在物块由O点沿直线。。缓慢上升过程中，

以下判断正确的是（）

A.aO绳和bO绳中的弹力都逐渐减小

B.绳和绳中的弹力都逐渐增大

C.绳中的弹力先减小后增大，方。绳中的弹力一直在增大

D.“0绳中的弹力一直在增大，60绳中的弹力先减小后增大

3.课堂上，老师准备了“L”形光滑木板和三个完全相同、外表面光滑的匀质圆柱形积木,

要将三个积木按图13所示（截面图）方式堆放在木板上，则木板与水平面夹角0的最大值为

)

e

A.30°B.45°C.60°D.90°

二、考点梳理

1.动态平衡

动态平衡就是通过控制某一物理量，使物体的状态发生缓慢的变化，但变化过程中的

每一个状态均可视为平衡状态，所以叫动态平衡.

2.常用方法

(1)平行四边形定则法：但也要根据实际情况采用不同的方法，若出现直角三角形，常

用三角函数表示合力与分力的关系.

(2)图解法：图解法分析物体动态平衡问题时，一般是物体只受三个力作用，且其中一

个力大小、方向均不变，另一个力的方向不变，第三个力大小、方向均变化.

(3)矢量三角形法

①若已知F合的方向、大小及一个分力F,的方向，则另一分力尸2的最小值的条件为

②若已知尸合的方向及一个分力丹的大小、方向，则另一分力F2的最小值的条件为

三、考点精讲

考点一动态平衡问题

1.动态平衡是指物体的受力状态缓慢发生变化，但在变化过程中，每一个状态均可视为

平衡状态.

2.常用方法

(1)解析法

对研究对象进行受力分析，画出受力示意图，根据物体的平衡条件列方程，得到因变

量与自变量的函数表达式(通常为三角函数关系)，最后根据自变量的变化确定因变量的变

化.

(2)图解法

此法常用于求解三力平衡问题中，已知一个力是恒力、另一个力方向不变的情况.一般

按照以下流程分析：

受力分析|化“动”为“静,湎不同状态下的平衡图［“静”中求”动：随定力的变化

(3)相似三角形法

在三力平衡问题中，如果有一个力是恒力，另外两个力方向都变化，且题目给出了空

间几何关系，多数情况下力的矢量三角形与空间几何三角形相似，可利用相似三角形对应

边成比例求解（构建三角形时可能需要画辅助线）.

例1.（图解法）（多选）如图所示，在倾角为a的斜面上，放一质量为根的小球，小球和

斜面及挡板间均无摩擦，当挡板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中（）

A.斜面对球的支持力逐渐增大

B.斜面对球的支持力逐渐减小

C.挡板对小球的弹力先减小后增大

D.挡板对小球的弹力先增大后减小

例2.（解析法）（2021广东中山市月考）如图，一小球放置在木板与竖直墙面之间.设墙

面对球的压力大小为FNI，木板对球的压力大小为FN2.以木板与墙连接点所形成的水平直线

为轴，将木板从图示位置开始缓慢地转到水平位置.不计一切摩擦，在此过程中（）

A.FNI先增大后减小，尸N2始终减小

B.FNI先增大后减小，尺2先减小后增大

CFNI始终减小，尸N2始终减小

D/NI始终减小，尺2始终增大

跟踪1.（相似三角形法）如图所示是一个简易起吊设施的示意图，AC是质量不计的撑

杆，A端与竖直墙之间用钱链连接，一滑轮固定在A点正上方，C端吊一重物。现施加一拉

力F将重物P缓慢向上拉，在AC杆达到竖直状态前（）

A.绳中的拉力FT越来越大

B.BC绳中的拉力FT越来越小

C.AC杆中的支持力FN越来越大

D.AC杆中的支持力八越来越小

考点二平衡中的临界、极值问题

1.临界问题

当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好

出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”“恰能”“恰好”等.临界问题常见的种类：

（1）由静止到运动，摩擦力达到最大静摩擦力.

⑵绳子恰好绷紧，拉力尸=0.

（3）刚好离开接触面，支持力FN=O.

2.极值问题

平衡中的极值问题，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题.

3.解题方法

（1）极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析，找出平衡的临界点和极值点；

临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量

推向极端，即极大和极小.

（2）数学分析法：通过对问题的分析，根据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系

（或画出函数图象），用数学方法求极值（如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值）.

（3）物理分析方法：根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析，

利用平行四边形定则进行动态分析，确定最大值与最小值.

例3.如图，倾角为45。的斜面体A放在水平地面上，A与地面间的动摩擦因数为0.75,

最大静摩擦力等于滑动摩擦力，光滑半球体B静止在竖直墙和斜面体之间，己知A、8所受

重力都为G,若在8的球心处施加一竖直向下的力凡要保持斜面体静止不动，F的最大值

是（）

A.GB.1.5GC.2GD.2.5G

例4.（多选）如图所示，质量为"的木楔倾角为仇在水平面上保持静止。当将一质量

为m的木块放在斜面上时正好匀速下滑，如果用与斜面成a角的力F拉着木块沿斜面匀速

上滑。重力加速度为g,下列说法中正确的是（）

A.当a=29时，尸有最小值

B.F的最小值为mgsin20

C.在木块匀速上滑过程中，地面对M的静摩擦力方向水平向右

D.在木块匀速上滑过程中，地面对历的静摩擦力方向水平向左

四步法解决临界极值问题

确定研究对象，进

跟踪2.如图所示，质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜面倾角为30。时恰能沿斜面

匀速下滑.对物体施加一大小为尸、方向水平向右的恒力，物体可沿斜面匀速向上滑行.设最

大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一临界角为时，不论水平恒力尸多

大，都不能使物体沿斜面向上滑行，求：

(1)物体与斜面间的动摩擦因数；

(2)这一临界角%的大小.

四、课堂检测

1.如图所示，倾角为。的斜面体c置于水平地面上，小物块人置于斜面上，通过细绳跨

过光滑的定滑轮与沙漏。连接，连接6的一段细绳与斜面平行.在。中的沙子缓慢流出的过

程中，a、b、c都处于静止状态，贝!!()

B.地面对c的摩擦力为零

C.c对b的摩擦力一定增大

D.地面对c的摩擦力一定减小

2.如图所示，两块固定且相互垂直的光滑挡板POQ,OP竖直放置，OQ水平，小球a、

b固定在轻弹簧的两端，现有一个水平向左的推力，作用于b上，使a、b紧靠挡板处于静

止状态.现用力F推动小球儿使之缓缓到达〃位置，贝4()

A.推力尸变大B./?对0Q的压力变大

C.弹簧长度变短D.弹簧长度变长

3.(多选)如图所示装置，两根细绳拴住一小球，保持两细绳间的夹角。=120。不变，若

把整个装置顺时针缓慢转过90。，则在转动过程中，CA绳的拉力B、CB绳的拉力尸2的大

小变化情况是()

A.Fi先变小后变大B.Fi先变大后变小

C.Fa一直变小D.巳最终变为零

五、课堂总结

临界与极值问题的分析技巧

(1)求解平衡中的临界问题和极值问题时，首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,

找出平衡中的临界点和极值点。

(2)临界条件必须在变化中寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而是要把某个

物理量推向极端，即极大或极小，并依此作出科学的推理分析，从而给出判断或导出结论。

参考答案

1.答案C

解析小球沿圆环缓慢上移可看成小球始终受力平衡，对小球进行受力分析，作出受力

示意图如图所示，由图可知即：

假=£=冬，当4点上移时，半径不变，AB长度减小，故尸减小，FN不变，故C正

K/\DK

确。

2.答案D

解析以物块为研究对象，分析受力情况：重力G、绳bO的拉力尸和绳的拉力FT,

由平衡条件得知，F和FT的合力与G大小相等、方向相反，当将物块沿直线0。向上缓慢

移动，绳方向不变则FT方向不变，6。绳绕。点逆时针转动，作出转动过程三个位置力

的合成图如图所示，由B到尸2到人的过程，由图可以看出“0绳弹力FT一直变大，绳

弹力尸先减小后变大，故D正确.

3.答案A

解析。取0。时，下面两圆柱之间将会分开，无法稳定，应适当增大0以保持系统稳定,

此时下面两圆柱之间有弹力：当下面两圆柱之间的弹力恰好为0时，对应的。为最小值；继

续增大仇右圆柱和上圆柱之间弹力减小，若。太大，此两圆柱将分开，当上圆柱和右圆柱

之间的弹力恰好为0,对应的6为最大值.临界情况为％.X时，左边两圆柱的圆心连线在竖

直方向上，保证上圆柱只受到两个力的作用恰好处于平衡状态，此时上圆柱与右圆柱间相互

接触且无弹力，可得9=30。.故A正确，B、C、D项错误.

例1.答案BC

解析对小球受力分析知，小球受到重力mg，斜面的支持力FN,和挡板的弹力尺2,如

图，当挡板绕。点逆时针缓慢地转向水平位置的过程中，小球所受的合力为零，根据平衡

条件得知，人1和八2的合力与重力，咫大小相等、方向相反，作出小球在三个不同位置力

的受力分析图，由图看出，斜面对小球的支持力FNI逐渐减小，挡板对小球的弹力FN2先减

小后增大，当尸NI和尸N2垂直时，弹力乐2最小，故选项B、C正确，A、D错误.

例2.答案C

解析以小球为研究对象，分析受力情况，受重力G、墙面的支持力FNI和木板的支持

力FN2.

过程中，6增大，tan6增大，sin9增大，则FNI和乐2都始终减小，选项C正确.

跟踪1.解析B对C点进行受力分析，如图(a)所示，由平衡条件可知，将三个力按顺

序首尾相接，可形成如图(b)所示的闭合三角形。很容易发现，这三个力与△A6C的三边始

终平行，则乌=与=刍，其中G、~AC.7万均不变，就逐渐减小，则由上式可

ABACBC

知，尸N不变，尸T变小。

例3.答案C

解析对斜面体和半球体整体受力分析如图甲所示，施加力尸之后，可知斜面体对地

面的正压力为2G+F,最大静摩擦力为启=〃(2G+F)；对半球体受力分析如图乙所示，未

施加力尸时有，竖直墙壁的弹力大小Q=Gtan45。，施加力F之后，竖直墙壁弹力大小变为

FJ=(G+F)tan45。，要使斜面体静止不动，水平方向上受力平衡，即(G+£)tan45。%(2G+

F),解得后2G,选项C正确。

甲乙

例4.答案BD

解析选木块为研究对象，当没加外力F时正好匀速下滑，设木块与斜面间的动摩擦

因数为"，此时平行于斜面方向必有mgsin，=〃mgcos仇当加上外力尸时，对木块受力分析

如图，则有尸尸〃FN，平行于斜面方向有Ff+mgsin(9=Fcosa,垂直于斜面方向有A+Fsin

a=mgcos9,联立解得尸=2〃吧—=_"si—,故当a=。时，尸有最小值，最

cosa十"sina./兀.、

sin(］一夕n十a)

小值为尸min=〃2gsin2仇故A错误，B正确；选M和机组成的整体为研究对象，设水平面

对木楔〃的摩擦力是可，水平方向受力平衡，则有F/=Fcos(0+a),可知摩擦力的方向水

平向左，故C错误，D正确。

FNF

mg

1.答案D

解析设a、h的重力分别为Ga、Gb.对a分析，绳子的拉力FT=G“；

对匕分析：①若G,WG/,sinO,此时Ga+Ff=G2,sin仇c对b的摩擦力方向沿斜面向上，

当沙子流出时:G“减小，摩擦力增大；②若GaGkin仇刚开始一段时间有G产Gbsin9+

Ff，c对。的摩擦力方向沿斜面向下，随着G.减小，摩擦力在减小，当减小到G〃=G,sin0

时，摩擦力减小为零，随后GsGMin6,跟第①种情况一样，故