2021年新人教版八年级下数学第17章-勾股定理单元测试卷二

2021年新人教版八年级下数学第17章勾股定理单元测试卷（2）

学校：班级：姓名：考号：

一、选择题（本题共计10小题，每题3分，共计30分，）

1.分别以下列各组数作为三角形的三边长，其中不能构成直角三角形的是（）

A.1,1,V2B.12,16,20C.l,%|D.2,3,4

2.下列长度的各组线段能构成勾股数的是（）

A.0.7,0.24,0.25B.6,8,10

34

C.7,8,10D.1,/2

3.如图，菱形4BCD的两条对角线相交于点0,若AC=6,BD=4,则菱形ABCD的周

长是（）

A.24B.16C.4V13D.2V13

4.将长方形ABCD沿EF折叠,使顶点C恰好落在AB边的中点C'上.若力B=6,BC=9,

则BF的长为（）

C.4.5D.5

5.下列说法不正确的是（）

A.命题有真命题，也有假命题

B.要说明一个命题是假命题，只要举出反例即可

C.一个定理的逆命题是原定理的逆定理

D.要说明一个命题是真命题，需要进行证明

6.勾股定理是"人类最伟大的十个科学发现之一"，我国对勾股定理得证明是由汉代的

赵爽在注解《周髀算经》时给出的，他用来证明勾股定理得图案被称为"赵爽弦

图”.2002年在北京召开的国际数学大会选它作为会徽.下列图案中是"赵爽弦图”的是（）

oo

A.——

7.如图，有一个池塘，其底面是边长为10尺的正方形，一个芦苇4B生长在它的中央,

高出水面部分BC为1尺.如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的

顶部B恰好碰到岸边的B'.则这根芦苇的长度是（）

A.10尺B.11RC.12尺D.13R

8.下列是勾股数的是（）

A.7,8,9B.5,7,12C.13,15,17D.21,28,35

9.下列四组数据中，能作为直角三角形的三边长的是（）

A.1,2,3B.0.7,2.4,2.5C.-,-D.V3,V4,V5

345

10."赵爽弦图"巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图所

示的"赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设

直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b.若ab=8,大正方形的面积为25,

则小正方形的边长为（）

二、填空题（本题共计6小题，每题3分，共计18分，）

11.写出一组你喜欢的勾股数：.

12.如图，一棵大树在一次强台风中于离地面3m处折断倒下，树干顶部在距离根部4m

试卷第2页，总19页

处，这棵大树在折断前的高度为m.

13.八年级（1）班的学生准备测量校园人工湖的深度，如图，他们把一根竹竿4B竖直插

到水底，此时竹竿AB离岸边点C处的距离CD=0.8米.竹竿高出水面的部分40长0.2米,

如果竹竿的底端固定不动，把竹竿的顶端A拉向岸边点C处，竿顶和岸边的水面刚好相

14.命题"同位角相等"的逆命题是

15.如图，一架137n长的梯子ZB斜靠在一竖直的墙4c上，这时4c为12nl.如果梯子的

顶端4沿墙下滑7m,那么梯子底端B向外移m.

16."四边形是多边形"，这个命题的逆命题是，这个逆命题是命题

（填"真"或"假"）.

三、解答题（本题共计9小题，每题8分，共计72分，）

17.如图，分别以△ABC的三边为直径作三个半圆，面积分别为Si，S2,S3,S1+S2=

S3,求证：乙4cB=90。.

18.观察下表:

43532+42=52

681062+82=102

8151782+152=172

102426102+242=262

••••••...

60Xy602+x2=y2

...

（1）结合该表格及相关知识，求》,y：

（2）猜想第n行的三个数（用含n的式子表示），并证明它们是一组勾股数.

19.在一次消防演习中，消防员架起一架25米长的云梯，如图斜靠在一面墙上，梯子

底端离墙7米.

（1）求这个梯子的顶端距地面有多高？

（2）如果消防员接到命令，要求梯子的顶端下降4米（云梯长度不变），那么云梯的底部

在水平方向应滑动多少米？

20.在甲村至乙村的公路有一条公路.在C处需要爆破.已知点C与公路上的停靠站4的

距离为300米，与公路上的另一停靠站B的距离为400米，且CAJ.CB,如图所示.为

了安全起见，爆破点C周围半径250米范围内不得进入，问：在进行爆破时，公路4B段

是否有危险？是否需要暂时封锁？请用你学过的知识加以解答.

试卷第4页，总19页

21.写出下列命题的逆命题，判断它们的真假，并证明.

（1）若a?-b3,则a-b；

（2）若Na+邛=180。，则4a与N0至少有一个是钝角.

22.如图，己知EF1BC,zl=A.C,42+43=180。.试说明直线40与BC垂直.（请在

下面的解答过程的空格内填空或在括号内填写理由）.

理由：

zl=4C,（己知）

//-（）

z2=.（）

又；N2+23=180。，（已知）

Z3+=180。，（等量代换）

_________//-（）

AADC=AEFC.（）

EF1BC,（已知）

/.EFC=90",

^ADC=90°,

1.

23.如图，四边形4BCD是。。的内接四边形，ABAD=60°,AB^AD,连接BD,延

长BC到点F,连接DF,使CF=DF,过点。作。。的切线，交BF于点E.

(1)求证：DE//AB-,

(2)连接AC,若AC=7,求8F的长.

24.勾股定理是数学中最常见的定理之一，熟练地掌握勾股数，对迅速判断，解答题目

有很大帮助，观察下列几组勾股数:

abc

13=1+24=2x1x25=2x2+1

25=2+312=2x2x313=4x3+1

37=3+424=2x3x425=6x4+1

49=4+540=2x4x541=8x5+1

・・•・・・・・・・・•

na=_______b=_______c=_______

(1)你能找出它们的规律吗？(填在上面的横线上)

(2)你能发现a,b,c之间的关系吗？

(3)你能用以上结论解决下题吗？

20192+20202x10092-(2020x1009+I)2

25.如图，数轴上，点力，B表示的数分别为a,b,点P为负半轴上任意一点,它表示的

数为工.

--•P----•A----01--B•---------►

-201

(1)计算3产的值；

(2)在a,b,X中，其中一个数是另两个数的平均数，求x的值；

(3)嘉琪认为：当一2<%<0时，PO+PA<AB,则以P。，PA,AB的长为边长不能

构成三角形.若以PO,PA,4B的长为边长能构成三角形，请直接写出x的取值范围.

试卷第6页，总19页

参考答案与试题解析

2021年新人教版八年级下数学第17章勾股定理单元测试卷(2)

一、选择题(本题共计10小题，每题3分，共计30分)

1.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：4仔+12=(a)2,能组成直角三角形，故此选项错误；

B.122+162=202,能组成直角三角形，故此选项错误；

C.12+6)2=(|)2能组成直角三角形，故此选项错误：

D.22+32^42,不能组成直角三角形，故此选项正确；

故选D.

2.

【答案】

B

【考点】

勾股数

【解析】

欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否

等于最长边的平方.

【解答】

解：4、0.72+0.242=0.252,但不是正整数，故错误;

B、62+82=102,能构成直角三角形，是整数，故正确；

C、72+82彳102,三边是整数，不能构成直角三角形，故错误；

。、(|)2+(52#22,不是正整数，不能构成直角三角形，故错误•

故选B.

3.

【答案】

C

【考点】

勾股定理

菱形的性质

【解析】

根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=。。，AO=OC,在中，

根据勾股定理可以求得AB的长，即可求得菱形力BCD的周长.

【解答】

解：•；菱形对角线互相垂直平分，

BO=OD=2,AO=OC=3,

AB=V224-32=V13,

菱形的周长为4m.

故选C.

4.

【答案】

A

【考点】

勾股定理的应用

翻折变换(折叠问题)

勾股定理的综合与创新

【解析】

先求出BC',再由图形折叠特性知，C'F=CF=BC-BF=9-BF,在RtZkC'BF中,

运用勾股定理BF2+BC'2=C’/2求解.

【解答】

解：；点C'是4B边的中点，AB=6,

BC'=3,

由图形折叠特性知，

C'F=CF=BC-BF=9-BF,

在RtAC'BF中,BF2+BC'2=C'F2,

：.+9=(9-BF)2,

解得BF=4,

故选a.

5.

【答案】

C

【考点】

定义、命题、定理、推论的概念

真命题，假命题

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：4、B、D说法正确；

一个定理不一定有逆定理，但是会有逆命题，所以C说法错误.

故选C.

6.

【答案】

B

【考点】

勾股定理的证明

【解析】

"赵爽弦图"的周围是四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形，观

察图形可得出答案.

试卷第8页，总19页

【解答】

解:："赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成一个大正方形

只有B符合

故答案为：B

7.

【答案】

D

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

此题暂无解析

【解答】

此题暂无解答

8.

【答案】

D

【考点】

勾股数

【解析】

欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否

等于最长边的平方.

【解答】

解：4、••・72+82=105力92,此选项不符合题意；

B、；52+72=74片122,此选项不符合题意；

C、•••132+152=3940172,此选项不符合题意；

D,-：212+282=1225=352,二此选项不符合题意.

故选：D.

9.

【答案】

B

【考点】

勾股定理的逆定理

【解析】

根据勾股定理的逆定理：如果三角形有两边的平方和等于第三边的平方，那么这个是

直角三角形判定则可.如果有这种关系，这个就是直角三角形.

【解答】

解：A,V12+22^32,该三角形不是直角三角形，故错误；

B,-：0.72+2.42=2.52,该三角形是直角三角形，故正确；

C，(i)2+(i)2*(i)2,A该三角形不是直角三角形,故错误；

D,•••(V3)2+(V4)2(V5)2,A该三角形不是直角三角形，故错误.

故选B.

10.

【答案】

D

【考点】

勾股定理

【解析】

由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,根据勾股定理以及题目给出的已知数据

即可求出小正方形的边长.

【解答】

解：由题意可知：中间小正方形的边长为：a-b,

每一个直角三角形的面积为：=：x8=4,

4x—ab+(a—b)?=25,

(a—b)2=25—16=9,

a—b=3.

故选D.

二、填空题(本题共计6小题，每题3分，共计18分)

11.

【答案】

12,16,20

【考点】

勾股数

【解析】

根据勾股数的定义：满足。2+人2=02的三个正整数，称为勾股数，即可写出一组勾股

数.

【解答】

解：：122+162=202,且12,16,20都是正整数，

.1•一组勾股数可以是12,16,20.

故答案为12,16,20.

12.

【答案】

8

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

利用勾股定理直接解答即可.

【解答】

解：由勾股定理得，断下的部分为历中=5m,

3+5=8m,

所以大树高为8zn.

故答案为：8.

13.

【答案】

1.5米

【考点】

勾股定理的综合与创新

【解析】

利用勾股定理在RtADBC中，BD2+DC2=BC2,HPx2+0.82=(x+0.2)2,可得解.

【解答】

解：设=则4B=BC=x+02

试卷第10页，总19页

在RMDBC中，BD2+DC2=BC2,

即/+0.82=(x+0.2)2,

解得x=1.5.

故答案为：1.5米.

14.

【答案】

相等的角是同位角

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

“同位角相等"的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，然后交换题设与结论

即可得到原命题的逆命题.

【解答】

解："同位角相等"的题设为两个角为同位角，结论为这两个角相等，

所以"同位角相等”的逆命题为：相等的两个角为同位角.

故答案为：相等的角为同位角.

15.

【答案】

7

【考点】

勾股定理的综合与创新

勾股定理的应用

勾股定理

【解析】

【解答】

解：•••Z.ACB=90",AB=13,AC=12,

BC=ylAB2-AC2=5.

AE=7,

：.CE=12-7=5,

CD=y/DE2-CE2=12,

BD=CD-BC=7,即梯子底端B向外移7m.

故答案为：7.

16.

【答案】

多边形是四边形，假

【考点】

命题与定理

真命题，假命题

原命题与逆命题、原定理与逆定理

【解析】

根据互逆命题的概念得到逆命题，根据题意判断即可.

【解答】

解："四边形是多边形"，

这个命题的逆命题是多边形是四边形，

这个逆命题是假命题，

因为多边形不只有四边形，所以逆命题为假.

故答案为：多边形是四边形；假.

三、解答题(本题共计9小题，每题8分，共计72分)

17.

【答案】

证明：；S1+S2=S3，=-7T(-/lC)2=~TCAC2,

228

1r1r

S=-TTBC2,S=-TTAB2,

2883

-nAC2+-7TBC2=-TTAB2,

888

即4c2+8。2=AB2,

/-ACB=90".

【考点】

圆的有关概念

勾股定理的逆定理

【解析】

由S1+S2=S3,根据圆的面积公式得出;五4。2+之7rBe2=/4/，即4c2+"2=

ooo

AB2,根据勾股定理的逆定理即可证明乙4cB=90°.

【解答】

证明：丫S[+S2=S3，Sj=-7T(^i4C)2=-TTAC2,

228

S=-rtBC2,S=-TIAB2,

2883

-nAC2+-nBC2=-nAB2,

888

即4c2+BC2=AB2,

：.乙4cB=90°.

18.

【答案】

解：(1)根据题意得：y=x+2,602+x2—y2-,

：.602+x2=(x+2)2；

解得：x=899,

y=901；

(2)猜想：(2n+2)2+(n2+2n)2=(n2+2n+2)2；理由如下:

(2n+2)2+(n2+2n)2=(2n+2)2+n4+4n3+4n2=(2n+2)2+n4+2n2(2n+

2)=(n2+2n+2)2,

2n+2,n2+2n,M+2n+2是一组勾股数.

【考点】

勾股数

【解析】

222

(1)根据题意得：y=x+2,60+x=y;得出方程，解方程即可；

(2)由完全平方公式即可得出结果.

【解答】

试卷第12页，总19页

解：(1)根据题意得：y=x+2,602+x2=y2；

602+炉=,+2)2；

解得：x=899,

y=901；

(2)猜想：(2n+2)2+(n2+2n)2=(n2+2n+2)2；理由如下：

(2n+2)2+(n2+2n)2=(2n+2)2+n4+4n3+4n2=(2n+2)z+n4+2n2(2n+

2)=(n2+2n+2)2,

2n+2,n2+2n,1+2n+2是一组勾股数.

19.

【答案】

解：(1)在RtAABC中，AB=25,BC=7,

所以梯子顶端到地面的距离AC=V252-72=24,

所以梯子顶端到地面的距离为24米.

(2)根据题意可得4D=4,DC=24-4=20,DE=25,

所以CE=V252-202=15,

所以BE=15-7=8,所以，梯子底部在水平方向应滑动8米.

【考点】

勾股定理的应用

【解析】

由于墙地垂直所以根据勾股定理解题即可.

【解答】

解：⑴在ABC中，AB=25,BC=7,

所以梯子顶端到地面的距离AC=V252-72=24,

所以梯子顶端到地面的距离为24米.

(2)根据题意可得40=4,DC=24-4=20,DE=25,

所以CE=,252-202=15,

所以BE=15-7=8,所以，梯子底部在水平方向应滑动8米.

20.

【答案】

解：如图，过C作CD14B于。，

BC=400米，4c=300米，^ACB=90°,

.1•根据勾股定理得4B=500米，

-AB-CD=-BC-AC,

22

：.CD=240米.

•••240米＜250米，故有危险，

因此4B段公路需要暂时封锁.

DB

【考点】

勾股定理的应用

勾股定理的综合与创新

【解析】

如图，本题需要判断点C到AB的距离是否小于250米，如果小于则有危险，大于则没有

危险.因此过C作CD14B于D,然后根据勾股定理在直角三角形4BC中即可求出4B的

长度，然后利用三角形的公式即可求出CD,然后和250米比较大小即可判断需要暂时

封锁.

【解答】

解：如图，过C作CD14B于D,

BC=400米,4c=300米,乙4cB=90°,

•••根据勾股定理得AB=500米，

■1--2AB-CD2=-BC-AC,

：.CD=240米.

240米＜250米，故有危险，

因此4B段公路需要暂时封锁.

21.

【答案】

解：（1）逆命题是：“若a=b,则。3=匕3，，，是真命题.

证明如下：：a=b（已知），

二.a-a=b-b,

即a?=匕2（等式性质）.

a2-a=b2-b,

即a3=/（等式性质）.

（2）逆命题是："若Na与N0至少有一个是钝角，则4a+4£=180。"，是假命题.

证明如下：

设4a—100",邛—60°,

则Na+/£=160°*180°,

该命题是假命题.

【考点】

原命题与逆命题、原定理与逆定理

等式的性质

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：（1）逆命题是："若a=b,则a3=/",是真命题.

证明如下：a=b（已知），

a-a=b-b,

试卷第14页，总19页

即。2=匕2（等式性质）.

a2-a=b2-b,

即a3=庐（等式性质）.

（2）逆命题是：“若Na与二夕至少有一个是钝角，则Na+40=180。"，是假命题.

证明如下：

设z_a=100°.乙B=60°,

则4a+40=160°=180°,

该命题是假命题.

22.

【答案】

解：41=4C,（已知）

DG//AC,（同位角相等，两直线平行）

N2=NZME.（两直线平行，内错角相等）

又；42+△3=180°,（已知）

•<•N3+N/ME=180。，（等量代换）

AD//EF,（同旁内角互补，两直线平行）

乙ADC=4EFC.（两直线平行，同位角相等）

EF1BC,（已知）

/.EFC=90",

^ADC=90°,

AD1BC.

【考点】

平行线的性质

平行线的判定

【解析】

此题暂无解析

【解答】

解：=Zl=4C,（已知）

DG//AC,（同位角相等，两直线平行）

（两直线平行，内错角相等）

又：z2+Z3=180°,（己知）

43+4ZME=180°,（等量代换）

AD//EF,（同旁内角互补，两直线平行）

乙4CC=4EFC.（两直线平行，同位角相等）

•••EF1BC,（已知）

/.EFC=90°,

AADC=90°,

AD1BC.

23.

【答案】

（1）证明：连接。。并延长，交AB于H,如图,

匕BAD=60°»AB=ADf

・•.AABD为等边三角形,

DH1AB.

*/DE是。。的切线，

DH1DE,

・•・DE//AB.

(2)解：・「四边形4BCD是O。的内接四边形，48/0=60。,

・•・乙BCD=120°,

/.乙DCF=60°.

,/CF=DF,

.・・/为等边三角形，

・•・CD=DF,4CDF=60°.

■「Z.ADB=60°,

乙CDF=乙ADB,

Z.CDF+Z.BDC=/.ADB+Z.BDC,

即N4DC=乙BDF.

在A/IOC和ABC尸中，

DA=DB,

/.ADC=乙BDF,

CD=DF,

：.AADC三△BDF(SAS),

BF=AC=7.

【考点】

切线的判定与性质

等边三角形的判定

平行线的判定

全等三角形的性质与判定

【解析】

无

无

【解答】

(1)证明：连接。。并延长，交4B于“，如图,

试卷第16页，总19页

.・.△4B0为等边三角形，

DH1AB.

VDE是O。的切线，

/.DH1DE,

・•・DE//AB.

(2)解：•••四边形4BC。是。0的内接四边形，Z.BAD=60°,

/.乙BCD=120°,

/."CF=60°.

,/CF=DF,

△CDF为等边三角形，

CD=DF,Z,CDF=60°.

•/^ADB=60°,

4CDF=乙ADB,

/.4CDF+Z.BDC=^.ADB+乙BDC,

即44DC=乙BDF.

在△40C和4BO/中，

DA=DB,

/.ADC=乙BDF,

CD=DF,

LADC=LBDF^SAS),

・•・BF=AC=7.

24.

【答案】

2n+l,2n(n+1),2九(九+1)+1

(2)a2+b2=c2,

理由如下：

a=2n+1,b=2n(n+1),c=2n(n+1)+1,

a24-62=(2n+l)2+[2n(n+l)]2=[2n(n+l)]2+4n(n+1)+1,

c2=[2n(n+1)+l]2=[2n(n+l)]2+4n(n+1)+1,

a2+b2=c2.

(3)当2n+1=2019时，n=1009,

.•・当九=1009时，a2=20192,

b2=[2n(n+l)]2=20202x10092,

c2=[2n(n+1)4-l]2=(2020X1009+l)2,

,/a24-62=c2,

・•・20192+20202x10092-(2020x1009+l)2=0.

【考点】

勾股定理的综合与创新

规律型：数字的变化类

勾股数

【解析】

(1)直接表示a,b,c即可；

(2)分别计算三边的平方，可知：a2+b2=c2；

(3)a是奇数表示形式，所