利用导数解决问题的综合分析与探讨

PAGEPAGEII目录1引言 12导数在几何问题中的应用 12.1用导数解决切线问题 12.2用导数解决公切线问题 22.3渐近线的求法 23导数在数列中的应用 33.1用导数解决求数列最值问题 33.2用导数解决某些特殊的数列求和问题 44.导数在函数问题中的应用 44.1求函数极限 44.2判断函数单调性 44.3求函数的最值、极值 54.4函数的图像 55.导数在不等式中的应用 8结语 8参考文献 9

利用导数解决问题的综合分析与探讨摘要：本文研究了导数解决问题,采用了文献研究法，本文总体从导数在中学数学中解决几何问题；导数在中学数学中解决数列问题，导数在中学数学中解决函数问题三方面介绍导数在中学数学上的应用，对于学习导数有着积极的作用。关键词：导数；切线；数列；函数；不等式ComprehensiveanalysisandDiscussiononsolvingproblemsbyusingderivativeAbstract：Thispaperstudiesthederivativetosolvetheproblem,byusingthemethodofliterature,thisarticlefromtheoverallderivativeinthemiddleschoolmathematicstosolvegeometricproblems;derivativetosolvetheseriesofproblemsinmiddleschoolmathematicsinmiddleschoolmathematics,derivativesolvingfunctionproblemsthreeaspectsabouttheapplicationofderivativeinhighschoolmathematics,itplaysapositiveroleinlearningderivative.Keywords:Networkenvironment;ideologicalandpoliticaleducationinCollegesanduniversities;networknewmediaPAGE101引言导数是高等数学微分学的核心部分,在中学数学中也具有相当重要的作用,已经成为高考的一个必考点,同时利用导数在解决一些有关曲线的切线和渐近线；解决数列求和、求数列最值、理解函数性态；解决不等式证明等问题中有着不可替代的价值,可以提高解题效率和精确性.与此同时,在学习导数与应用导数的过程中,让学生体会数学的科学价值和应用价值,领会数学的严谨性和逻辑性.培养学生的数学素养和提升数学能力，导数是函数与解析几何的交汇点，有着重要的工具作用.是我们学习的必需工具之一，用它可以解决许多数学问题.现已是高考重点考察的基础知识，主要以应用题的形式出现，例如利用导数处理函数的最值、极值和单调性问题及曲线问题等，除此之外，导数还有其他用途，比如利用导数研究函数的图像，利用导数证明不等式等问题.2导数在几何问题中的应用导数在几何问题中的应用主要是利用导数求曲线在某一点的切线或者是求两条曲线的公切线或是求某条曲线的渐近线.解决此类问题应紧紧抓住切线过切点且切点在曲线上,同时运用时紧紧抓住曲线在某一点的导数就是该曲线在这一点的切线的斜率.在求曲线的渐近线时严格按照曲线渐近线的求法,利用极限方法求得渐近线.2.1用导数解决切线问题例1（2012年全国高考福建理20）已知函数，若曲线在点（1，）处的切线平行于x轴，求函数的单调区间。解因为，故所以，函数的单调减区间为，单调增区间为.2.2用导数解决公切线问题例2（2012年全国高考广东文20）在平面直角坐标系中，已知椭圆的左焦点为且点在上.设直线同时与椭圆和抛物线相切，求直线的方程.解因为椭圆的左焦点为，所以，所以椭圆直线的斜率显然可知，设直线的方程为，将此式带入中，得到又因为直线与椭圆C1相切，故，整理可得①把直线的方程带入中，可得故可知整理可得②综合①②可得故直线方程为：或2.3渐近线的求法例3曲线的方程为,求曲线的渐近线.分析：求函数图像的渐近线遵循渐近线的求法,其中可用导数求极限.解因为,所以没有水平渐近线.由于,所以是的一条垂直渐进线.又因为,且,所以有斜渐近线.3导数在数列中的应用3.1用导数解决求数列最值问题例4在数列中,,若对任意的整数都成立,求实数的取值范围.分析：解决此类问题最重要的是把数列当作函数,然后根据函数的方法求得数列的单调区间,然后运用数列是整标函数,即自变量的取值必须是正整数,从而取得数列的最值,并运用最值解决问题.解由于,所以由,可得.令,即,于是.由>0可得>或<,即在区间内单调递增,所以.所以的取值范围为.3.2用导数解决某些特殊的数列求和问题例5为数列的前项和,其中,求.解由,又有.设是数列的前n项和,则==.两边对求导可得：,于是.4.导数在函数问题中的应用4.1求函数极限例7求.分析：这是型的不定型极限,解决时化为型或是型,并运用洛必达法则求解.解是型,于是.所以所求极限值为0.4.2判断函数单调性例8（2009安徽卷文）已知函数，a＞0，（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）设a=3，求在区间{1，}上值域。期中e=2.71828…是自然对数的底数。分析：由求导可判断得单调性，同时要注意对参数的讨论，即不能漏掉，也不能重复。第二问就根据第一问中所涉及到的单调性来求函数在上的值域。解(1)由于令①当,即时,恒成立.在(－∞,0)及(0,＋∞)上都是增函数.②当,即时由得或或或又由得综上①当时,在上都是增函数.②当时,在上是减函数,在上都是增函数.(2)当时,由(1)知在上是减函数.在上是增函数.又函数在上的值域为4.3求函数的最值、极值例10（2010·山东高考文科·Ｔ8）已知某生产厂家的年利润（单位：万元）与年产量（单位：万件）的函数关系式为，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为（）(A)13万件(B)11万件(C)9万件(D)7万件解,令得或（舍去），当时；当时，故当时函数有极大值，也是最大值，故选C.4.4函数的图像运用导数进行函数的性质、函数图象的交点和方程根的分布等的综合研究，实际上就是运用导数考查函数图象的交点个数问题。如何运用导数的知识研究函数图象的交点问题呢？例1已知函数f(x)=－x+8x,g(x)=6lnx+m（Ⅰ）求f(x)在区间[t,t+1]上的最大值h(t);（Ⅱ）是否存在实数m，使得y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；，若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）略（II）∵函数y=f(x)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，∵x>0∴函数(x)=g(x)－f(x)=－8x+6lnx+m的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。∵=2x－8+随x变化如下表：x(0,1)1(1,3)3(3,+∞)’(x)+0-0+(x)增极大值减极小值增∴x极大值=(1)=1-8+m=m-7，x极小值=(3)=9-24+6ln3+m=m+6ln3-15∵当x→0+时，(x)→，当x时，(x)∴要使(x)=0有三个不同的正实数根，必须且只须∴7<m<15－6ln3.所以存在实数m，使得函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为（7，15—6ln3）.（分析草图见下图1）图1图2图3引申1：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有一个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15>0或m-7<0，即m>15-6In3或m<7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有一个不同的交点（分析草图见图2和图3）。引申2：如果“有且只有三个不同的交点”变为“有且只有两个不同的交点”怎么解答呢？前面相同，只需把后面改为m+6In3-15=0或m-7=0，即m=15-6In3或m=7时，函数y=f(x)与y=g(x)的图象有且只有两个不同的交点（分析草图见图4和图5）。图4图5从上题的解答我们可以看出，用导数来探讨函数y=f(x)的图象与函数y=g(x)的图象的交点问题，有以下几个步骤：①构造函数(x)=f(x)－g(x)②求导③研究函数(x)的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）④画出函数(x)的草图，观察与x轴的交点情况，列不等式⑤解不等式。解题的关键是会用数形结合思想来研究问题。例2已知函数f(x)=x3+3ax-1，g(x)=f’(x)-ax-5其中是的f(x)的导函数。（Ⅰ）对满足的一切的值，都有g(x)<0求实数x的取值范围；（Ⅱ）设a=-m2，当实数m在什么范围内变化时，函数y＝f(x)的图像与直线y=3只有一个公共点。解：（Ⅰ）略（Ⅱ）f(x)=x3+3ax-1，①当时，f(x)=x3-1的图象与直线y=3只有一个公共点②当时，令h(x)=f(x)-3=x3-3m2x-4，h’(x)=3x2+3a=3x2-3m2h(x)随x变化如下表：（h’(x)h(x)增极大减极小增∴h(x)极小值=h(|m|)=-2m2|m|-4<-4又∵h(x)在上单调递增,当x时，h(x)∴当x>|m|时函数y=h(x)的图象与x轴只有一个公共点。当x<-|m|时，恒有h(x)≤h(-|m|)由题意得h(-|m|)<0即2m2|m|-4<0解得综上，的取值范围是（分析草图见图6）图6当然，题目并不是千篇一律的，也有些变式，但是基本方法没有变化。例3已知f(x)是二次函数，不等式f(x)<0的解集是且f(x)在区间[-1,4]上的最大值是12。 （I）求f(x)的解析式； （II）是否存在实数m，使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。解：（Ⅰ）f(x)=2x2-10x(过程略)（II）方程等价于方程2x3-10x2+37=0 设h(x)=2x3-10x2+37 则h’(x)=6x2-20x=2x(3x-10)当h’(x)>0,h(x)是增函数； 当时，h’(x)<0,h(x)是减函数； 当时，h’(x)>0,h(x)是增函数。（见图7）图7h(-2)=-19，h(-1)=25方程h(x)=0在区间(-2,-1),内分别有惟一实数根，而在区间(0,3)和内没有实数根， 所以存在惟一的自然数m=3，使得方程在区间(m,m+1)内有且只有两个不同的实数根。5.导数在不等式中的应用不等式是数学的重要部分，它遍及数学的每一个分支学科.证明他们的方法很多，因此更是具有很强的技巧性，对于某些不等式不易证明时，可根据给出不等式的特点构造函数，利用函数的单调性来加以在证明，往往可以达到事半功倍的效果，定会觉得豁然开朗.例11（2011年高考浙江卷文科21)（本题满分15分）设函数（Ⅰ）求单调区间（Ⅱ）求所有实数，使对恒成立注：为自然对数的底数结语本文是在我学习了导数的相关知识之后,根据前人对导数的应用的研究和自己学习导数的认识和经验,对导数在中学数学的应用作一个总结.文章是在专家学者对导数的应用的某个模块做了研究的基础上作的整理归纳,所以本文总体从导数在中学数学中解决几何问题；导数在中学数学中解决数列问题和导数在中学数学中解决函数问题三方面介绍导数在中学数学上的应用,其中每一方面又分为几个小点,每小点都是从例题入手,直接体现导数的应用,并作简单的运用分析.文章的结尾部分附上某些摘录或是某个知识的注释,帮助读者解读.参考文献[1]陶祖继.利用导数解决函数问题[J].中学数学教学参考,2017(09):45-46.[2]李亚琴.利用导数解决与函数单调性有关问题[J].考试周刊,2017(15):32-33.[3]陈国伟,孙雅彬.“构造”诚可贵“原理”价更高——例谈用导数解决实际问题中的构造函数法[J].教学月刊·中学版(教学参考),2017(Z1):38-40.[4]刘帅,王婷婷,周仁元,张久军,赵琪.数学史融入高等数学教学的实践与探索[J/OL].当代教育实践与教学研究:1-6[2017-12-26]./10.16534/13-9000/g.20161214.002.[5]赵思林,李世和.导数解决多元问题的几种策略[J].教学月刊·中学版(教学参考),2016(10):54-57.[6]梅磊.例谈导数解决不等式问题[J].高中生学习(试题研究),2016(09):30-31.[7]张国强,宋颢.引导高职学生利用导数解决问题浅议[J].吉首大学学报(社会科学版),2016,37(S1):198-199.[8]宿晶.构造函数在解决导数问题中的运用策略和技巧[J].数理化解题研究,2016(16):15-17.[9]刘智娟.浅谈利用导数解决方程问题[J].高中数理化,2016(07):10-11.[10]李月光.利用导数解决和切线相关问题[J].中学生数理化(教与学),2016(02):90.[11]赵淑云.例谈如何利用导数解决函数单调性问题[J].理科考试研究,2015,22(15):13.[12]刘树娜.浅谈应用导数解决不等式恒成立问题[J].考试与评价,2015(08):75.[13]李可欣.利用导数解决不等式的恒成立问题[J].中学数学研究(华南师范大学版),2015(09):30-32.[14]于海青.如何利用导数解决函数的单调性问题[J].理科考试研究,2015,22(01):7-8.[15]王大成.应用导数解决一类数列求和问题[J].中学生数理化(教与学),2014(12):90.[16]俞世平.应用导数解决问题[J].中学生数学,2014(21):8-9.[17]于海青.如何利用导数解决函数的单调性问题[J].求知导刊,2014(04):127.[18]吴沛东.高中生在导数问题解决中的学习调查与对策研究[D].贵州师范大学,2